Đề thi thử đại học lần 1 môn thi: Toán, khối A và B

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG 
TRƯỜNG THPT NINH GIANG 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2012 
Môn thi: TOÁN, Khối A và B 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I (2,0 điểm) 
Cho hàm số - + = 
+ 2 
x m 
y 
x 
có đồ thị là (Cm) 
1)  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi  1 m =  . 
2)  Tìm các giá trị của m để đường thẳng d:  2 2 1 0 x y + - =  cắt (Cm) tại hai điểm A và B sao cho tam 
giác OAB có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ). 
Câu II (2,0 điểm) 
1)  Giải phương trình 
2 2 sin sin 3 
tan 2 (sin sin 3 ) 
cos cos3 
x x 
x x x 
x x 
+ = + 
2)  Giải phương trình  2 2 2 1 1 3 x x x x x + + + - + =  . 
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 
1 
3 2 
0 
( 1) 2 x x x dx - - ò 
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng  . ' ' ' ABC A B C  có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB 
bằng 2a và góc ABC bằng 30 0 . Tính thể tích của khối  lăng trụ  . ' ' ' ABC A B C  biết khoảng cách giữa hai 
đường thẳng AB và  ' CB  bằng 
2 
a 
Câu V  (1,0 điểm) Cho x, y là các số  thực thay đổi  thỏa mãn điều kiện  2 2  1 x y xy + + =  . Tìm giá  trị lớn 
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  2 2 S x y xy = - 
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc B) 
A.  Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a (2,0 điểm) 
1)  Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM và phân giác trong 
BD. Biết 
17 
( 4;1), ( ;12) 
5 
H M -  và BD có phương trình  5 0 x y + - =  . Tìm tọa độ đỉnh A của tam 
giác ABC. 
2)  Trong  không  gian  Oxyz,  cho  đường  thẳng 
1 1 
: 
2 3 1 
x y z + + 
D = = 
- 
và  hai  điểm  (1;2; 1), A - 
(3; 1; 5) B - -  .  Viết  phương  trình  đường  thẳng  d  đi  qua  điểm  A  và  cắt  đường  thẳng D  sao  cho 
khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất. 
Câu VII.a (1,0 điểm) Tính môđun của số phức  z , biết  3  12 z i z + =  và z có phần thực dương. 
B.  Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b (2,0 điểm) 
1)  Trong  mặt  phẳng  Oxy,  cho  đường  tròn  (C):  2 2 ( 2) ( 3) 4 x y - + + =  và  đường  thẳng  d: 
3 4 7 0 x y m - + - =  . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm M mà từ đó kẻ được hai  tiếp tuyến 
MA, MB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho góc AMB bẳng 120 0 . 
2)  Trong  không  gian  Oxyz,  cho  điểm  A(1;4;2)  và  hai  đường  thẳng  lần  lượt  có  phương  trình 
1 2 1 1 1 
: , ' : 
1 1 2 2 1 1 
x y z x y z - + - + - 
D = = D = = 
- 
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, 
cắt đường thẳng D và cách đường thẳng  ' D  một khoảng lớn nhất. 
Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu 
( 3)25 (2 1)5 1 0 x x m m m + + - + + = 
Hết 
Cảm ơn  toanpy@yahoo.com gửi đến www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM 
Câu  Ý  Nội dung  Điểm 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
- + 
= 
+ 
1 
2 
x 
y 
x 
1,00 
TXĐ : ¡ . 
2 
3 
' 0, 2 
( 2) 
y x 
x 
- 
= < " ¹ - 
+ 
0,25 
Hàm số nghịch biến trên  ( ; 2) và ( 2; ) -¥ - - +¥ 
lim 1 
x 
y 
®±¥ 
= - Þ TCN:  1 y = - 
2 2 
lim , lim 
x x 
y y 
- + ®- ®- 
= -¥ = +¥ Þ  TCĐ:  2 x = - 
0,25 
Lập BBT  0,25 
1 
Đồ thị 
4 
2 
­2 
­4 
­5 
­1 
O  1 ­2 
0,25 
2 2 1 0 x y + - =  cắt (Cm) tại hai điểm A và B...  1,00 
1 
2 2 1 0 
2 
x y y x + - = Û = -  . Pt hoành độ giao điểm của d và (Cm) là 
- + 
= - Û - + - = ¹ - 
+ 
2 1 2 2 0 (1), 2 
2 2 
x m 
x x x m x 
x 
0,25 
D cắt (Cm) tại 2 điểm A, B Û  (1) có 2 nghiệm pb khác ­2 
2 
' 1 4(2 2) 0  9 
2 
8 ( 2) ( 2) 2 2 0 
m 
m 
m 
D = - - > ì 
Û - ¹ < í 
- - - + - ¹ î 
0,25 
Gọi  1 2 , x x  là 2 nghiệm của (1). Khi đó  1 1 2 2 
1 1 
; , ; 
2 2 
A x x A x x æ ö æ ö - - ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
2 2 2 
2 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) 4 2(9 8 ) AB x x x x x x x x m é ù = - + - = + - = - ë û 
0,25 
I 
2 
1 1 1 1 7 
. ( , ) 2(9 8 ). 9 8 1 
2 2 4 8 2 2 
OAB S AB d O d m m m = = - = - = Û = -  (tm) 
Vậy 
7 
8 
m = - 
0,25 
Giải phương trình  2 2 2 1 1 3 x x x x x + + + - + =  1,00 II  1 
2 2 1 0 x x + + >  và  2  1 0, x x x - + > " Î Þ ¡  TXĐ: ¡ 
TH 1.  0 x £  . Pt luôn TM 
0,25
TH 2. x > 0. PT 
2 2 
1 1 1 1 
2 1 3 
x x x x 
Û + + + - + =  . Đặt  1 , 0 t t 
x 
= > 
Ta được  2 2 2 2 2 1 3 2 3 1 t t t t t t t t + + + - + = Û + + = - - + 
2 2 2 2 2 9 1 6 1 3 1 4 t t t t t t t t t Þ + + = + - + - - + Û - + = - 
0,25 
2 2 2 
1 4 0 4 
7 
9(1 ) 16 8 8 7 0 
8 
t t t 
t t t t t t t 
= é - ³ £ ì ì ê Û Û Û í í ê = - - + = - + - - = î î ë 
0,25 
Đối chiếu với t > 0 ta được  1 1 t x = Þ = 
Thử lại thấy x = 1 thỏa mãn pt. Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 1 
0,25 
Giải phương trình 
2 2 sin sin 3 
tan 2 (sin sin 3 ) 
cos cos3 
x x 
x x x 
x x 
+ = +  1,00 
ĐK:  cos 0,cos3 0 x x ¹ ¹ 
Pt  tan sin tan3 sin 3 tan 2 (sin sin 3 ) x x x x x x x Û + = + 
0,25 
sin( ) sin( ) 
(tan tan 2 )sin (tan3 tan 2 )sin 3 0 sin sin 3 0 
cos cos 2 cos3 cos2 
x x 
x x x x x x x x 
x x x x 
- 
Û - + - = Û + =  0,25 
sin 0 
sin 3 sin 
0 
cos3 cos 
x 
x x 
x x 
= é 
ê Û 
ê - = 
ë 
0,25 
2 
sin 0 sin 0 ( ) 
sin 2 0 cos 0 ( ) 
x x TM 
x x L 
= = é é 
Û Û ê ê = = ë ë 
0,25 
Tính tích phân 
1 
3 2 
0 
( 1) 2 x x x dx - - ò 
1,00 
1 1 
3 2 2 2 
0 0 
( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1) I x x x dx x x x x x dx = - - = - + - - ò ò  . 
Đặt  2 2 2 2 2 (1 ) . (0) 0, (1) 1 t x x t x x tdt x dx t t = - Þ = - Þ = - = = 
0,25 
1 
2 
0 
(1 ) ( ) I t t t dt = - - ò  0,25 
1 1  5 3 
4 2 
0  0 
( ) 
5 3 
t t 
t t dt 
æ ö 
= - = - ç ÷ 
è ø 
ò  0,25 
III 
1 1 2 
5 3 15 
- = -  0,25 
Tính thể tích khối lăng trụ  . ' ' ' ABC A B C  1,00 
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và  A'B' . Tam giác CAB cân tại C 
suy  ra  AB ^  CM.  Mặt  khác  AB ^ 
CC ' ( ') ' ' ( ') AB CMNC A B CMNC Þ ^ Þ ^  .  Kẻ 
( ). ( ') ' ' ( ' ') MH CN H CN MH CMNC MH A B MH CA B ^ Î Ì Þ ^ Þ ^ 
0,25 
mp ( ' ') CA B  chứa  ' CB  và song song với AB nên 
( , ') ( , ( ' ')) ( , ( ' ')) 
2 
a 
d AB CB d AB CA B d M CA B MH = = = = 
0,25 
IV 
Tam giác vuông  0 . tan 30 
3 
a 
BMC CM BM Þ = = 
Tam giác vuông 
2 2 2 2 2 2 
1 1 1 4 3 1 
CMN MN a 
MH MC MN a a MN 
Þ = + Û = + Û = 
0,25
Từ đó 
3 
. ' ' ' 
1 
. .2 . . 
2  3 3 
ABC A B C ABC 
a a 
V S MN a a = = = 
N 
M 
A' 
B' 
C  A 
B 
C' 
H  0,25 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  2 2 S x y xy = -  1,00 
2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( 2 ) ( ) (1 3 ) S xy x y S xy x y xy xy xy = - Þ = + - = -  0,25 
Đặt  t xy = 
2 2 2  1 1 1 3 ( ) 0 
3 
x y xy xy x y t + + = Û - = - ³ Þ £ 
2 2 2 1 ( ) 1 0 1 x y xy x y xy t + + = Û + = + ³ Þ ³ -  . 
0,25 
2 2  1 ( ) (1 3 ), 1; 
3 
S f t t t t é ù Þ = = - Î -ê ú ë û 
.  2 
0 
'( ) 2 9 0  2 
9 
t 
f t t t 
t 
= é 
ê = - = Û 
ê = 
ë 
2 1 2 4 ( 1) 4, (0) 0, 4 2 2 
3 9 243 
f f f f S S æ ö æ ö - = = = = Þ £ Û - £ £ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
0,25 
V 
2 1, 1 max 2 
2 1, 1 min 2 
S x y S 
S x y S 
= Û = - = Þ = 
= - Û = = - Þ = - 
0,25 
Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC  1,00 
Đt D qua H và ^ BD có pt  5 0 x y - + =  .  (0;5) BD I I D Ç = Þ  .  0,25 
Giả  sử  ' AB H D Ç =  .  Tam  giác  ' BHH  có  BI  là  phân  giác  và  cũng  là 
đường cao nên  ' BHH  cân Þ I là trung điểm của  ' '(4;9) HH H Þ  .  0,25 
AB đi qua H’ và có vtcp 
3 
' ;3 
5 
u H M æ ö = = - ç ÷ 
è ø 
r uuuuuur 
nên có pt là  5 29 0 x y + - =  .  0,25 1 
Tọa độ B là nghiệm của hệ 
5 29 
(6; 1) 
5 
x y 
B 
x y 
+ = ì 
Þ - í + = î 
. M là trung điểm của 
AB 
4 
;25 
5 
A æ ö Þ ç ÷ 
è ø 
0,25 
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng D sao 
cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất. 
1,00 
Gọi d là đt đi qua A và cắt D tại M  ( 1 2 ;3 ; 1 ) M t t t Þ - + - - 
( 2 2 ;3 2; ), (2; 3; 4) AM t t t AB = - + - - = - - 
uuuur uuur  0,25 
VI.a 
2 
Gọi  H  là  hình  chiếu  của  B  trên  d.  Khi  đó  ( , ) d B d BH BA = £  .  Vậy 
( , ) d B d  lớn  nhất  bằng  BA  H A Û º  .  Điều  này  xảy  ra  0,25
. 0 AM AB AM AB Û ^ Û = 
uuuur uuur 
2( 2 2 ) 3(3 2) 4 0 2 t t t t Û - + - - + = Û = 
(3;6; 3) M Þ -  . Pt d là 
1 2 1 
1 2 1 
x y z - - + 
= = 
- 
Mặt phẳng (P) chứa d và D có pt là: 
Gọi K là hình chiếu của B trên (P)  BH BK Þ ³  . Vậy  ( , ) d B d  nhỏ nhất 
bằng BK  H K Û º  . Lúc đó d là đường thẳng đi qua A và K 
0,25 
Tìm được K và viết pt d  0,25 
Tính môđun của số phức  z , biết  3  12 z i z + =  1,00 
Giả sử  , , z x yi x y = + Ρ .  3 3 12 ( ) 12 z i z x yi i x yi + = Û + + = -  0,25 
3 2 
3 2 2 3 
2 3 
3 (1) 
3 (3 12) 
3 12 (2) 
x xy x 
x xy x y y i x yi 
x y y y 
ì - = ï Û - + - + = - Û í 
- + = - ï î 
0,25 
Do  2 2 0 (1) 3 1 x x y > Þ Û = +  . Thế vào (2) ta được 
2 3 3 3(3 1) 12 2 3 0 y y y y y y + - + = - Û + + =  (3) 
0,25 
VII.a 
Giải pt (3) ta được  2 1 4 y x = - Þ =  . Do x > 0 nên x = 2 
Vậy  2 5 z i z = - Þ = 
0,25 
Tìm m để trên d có duy nhất một điểm M mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến 
MA, MB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho góc AMB bẳng 120 0 
1,00 
0,25 
0,25 
0,25 
1 
0,25 
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, cắt đường thẳng D và 
cách đường thẳng  ' D  một khoảng lớn nhất. 
1,00 
0,25 
0,25 
0,25 
VI.b 
2 
0,25 
( 3)25 (2 1)5 1 0 x x m m m + + - + + =  có 2 nghiệm trái dấu  1,00 
0,25 
0,25 
0,25 
VII.b 
0,25