Số phức 12 - THPT Tân Bình

THPT Tân Bình – Bình Dương. SỐ PHỨC 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 1 
 SỐ PHỨC  
§1. SỐ PHỨC. 
1) KHÁI NIỆM SỐ PHỨC: 
 Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả 2i = –1. 
Kí hiệu là z a bi  với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. 
 Tập hợp các số phức kí hiệu là = {a + b i / a, b  và 2i = –1}. Ta có   . 
 Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a   
 Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i 
 Số 0 = 0 + 0. i vừa là số thực vừa là số ảo. 
 VD: 2 – 3 i có phần thực là 2, phần ảo là –3, số 2 i có phần thực là 0, phần ảo là 2 . 
2) SỐ PHỨC BẰNG NHAU: 
 Cho hai số phức z = a + b i và z = a + b i . Ta có z = z  
'
'
a a
b b



 1Vd Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1) 
(1)  
2 3 2 1 2 2
3 1 3 7 2 0
x y x y x
y x x y y
       
   
        
3) BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC: 
 Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b). 
 Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại. 
 Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành 
Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo. 
 2Vd Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là: 
Az = 1 + 4 i , Bz = –3 + 0. i , Cz = 0 –2 i , Dz = 4 – i 
 A(1; 4), B(–3; 0), C(0; –2), D(4; –1)  Trọng tâm G của 
ABC là 2 2;
3 3
G   
 
 biểu diễn số phức 2 2
3 3
z i   
4) MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC: 
 Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt 
phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM

 được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu 2 2z = a + bi = a + b 
 3Vd z = 3 – 4 i có 
2 23 4 3 ( 4)z i     = 5 
 Chú ý: 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ( ) 4z a b abi a b a b a b z         
5) SỐ PHỨC LIÊN HỢP: 
 Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z a bi  . 
z = a + bi z = a - bi ; z z ; z = z 
 Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy. 
6) CỘNG, TRỪ SỐ PHỨC: 
 Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – b i 
 Cho z a bi  và ' ' 'z a b i  . Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i 
 Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực. 
7) PHÉP NHÂN SỐ PHỨC: 
 Cho hai số phức z a bi  và ' ' 'z a b i  . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay 2i = –1 và 
rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i 
 k.z = k(a + b i ) = ka + kb i . Đặc biệt 0.z = 0 z  
 z. z = (a + b i )(a – b i ) hay 22 2z.z = a + b = z 
4
THPT Tân Bình – Bình Dương. SỐ PHỨC 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 2 
 4Vd Phân tích 
2z + 4 thành nhân tử. 2z + 4 = 2z – 2(2 )i = (z – 2 i )(z + 2 i ). 
 Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực. 
8) PHÉP CHIA SỐ PHỨC: 
 Số nghịch đảo của số phức z a bi   0 là -1 2
1 zz = =
z z
 hay 2 2
1 a - bi=
a + bi a + b
 Cho hai số phức z a bi   0 và ' ' 'z a b i  thì 2
' '.z z z
z z
 hay 2 2
a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)=
a + bi a + b
 5Vd Tìm z thoả (1 + 2 i )z = 3z – i . 
Ta có (3 – 1 – 2 i )z = i  z = 
2 2
i
i
  (2 2 ) 2 2 1 1
4 4 8 4 4
i i iz z z i        

9) LŨY THỪA ĐƠN VỊ ẢO: 
 Cho k N: 4k 4k+1 4k+ 2 4k+ 3i = 1; i = i; i = -1; i = -i 
 6Vd Tìm phần thực và ảo của số phức: z = 
13(2 2 )i 
62 6 6 6 19 19(2 2 ) (2 2 ) (8 ) (2 2 ) 8 .2 8 .2 2 2z i i i i i i             
Phần thực a = 192 , phần ảo b = 192 
BÀI TẬP. 
1) Tìm các số thực x, y biết: 
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; 
b) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i; 
c) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; 
 Hướng dẫn: 
a) x = 3
2
, y = 4
3
 b) x = 1 5
2
 , y = 1 3
3
 c) x = 0, y = 1. 
2) Tính |z| với: 
a) z = –2 + i 3 ; b) z = 2 – 3i c) z = –5 d) z = i 3 . 
 Hướng dẫn: 
a) |z| = 7 b) |z| = 11 c) |z| = 5 d) |z| = 3 
3) Cho các số phức 2 + 3i; 1 + 2i; 2 – i. 
a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức. 
b) Viết số phức đó dưới dạng liên hợp rồi biểu diễn trên mặt phẳng phức. 
c) Viết số đối của mỗi số phức đó rồi biểu diễn chúng trên mặt phẳng phức.` 
 Hướng dẫn: 
a)  1 2;3M ,  2 1;2M ,  3 2; 1M  ; b)  1 2; 3N  ,  2 1; 2N  ,  3 2;1N 
c)  1 2; 3K   ,  2 1; 2K   ,  3 2;1K  
4) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa: 
a) |z| = 1; b) |z|  1 c) 1 < |z|  2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1. 
 Hướng dẫn: 
a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2 1a b  , là đường tròn tâm O, bán kính R = 1; 
b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2 1a b  , là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên; 
c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 21 2a b   , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính 
biên, bán kính lớn R = 2 tính biên; 
5) Tìm z , biết: 
a) z = 1 – i 2 b) z = – 2 + i 3 c) z = 5 d) z = 7i; 
 Hướng dẫn: 
a) z = 1 + i 2 ; b) z = – 2 – i 3 c) z = 5 d) z = –7i. 
THPT Tân Bình – Bình Dương. SỐ PHỨC 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 3 
6) Thực hiện phép chia: 
a) 2
3 2
i
i


 b) 1 2
2 3
i
i


 c) 5
2 3
i
i
 d) 5 2i
i
 
 Hướng dẫn: 
a) 4 7
13 13
i b) 2 6 2 2 3
7 7
i  c) 15 10
13 13
i  d) 2 5i  
7) Tìm nghịch đảo của số phức z, biết: 
a) z = 1 + 2i b) z = 2 – 3i c) z = i d) z = 5 + i 3 
 Hướng dẫn: 
a) 1 2
5 5
i b) 2 3
11 11
i c) –i d) 5 3
28 28
i 
8) Thực hiện các phép tính sau: 
a) 2i(3 + i)(2 + 4i) b) 
2 3(1 ) (2 )
2
i i
i

 
 c) 3 + 2i + (6 + i)(5 + i) d) 5 44 3
3 6
ii
i

 

 Hướng dẫn: 
a) –28 + 4i b) 32 16
5 5
i  c) 32 + 13i d) 219 153
45 45
i 
9) Thực hiện phép tính: 1 1 3 2 3 4; ; ;
2 3 41 3
2 2
i i
i i i
i
 
 

 Hướng dẫn: 2 3
13 13
i ; 1 3
2 2
i ; 2 3i  ; 16 13
17 17
i 
10) Cho 1 3
2 2
z i   . Hãy tính: 2 3 21 ; ; ; ( ) ;1z z z z z
z
  . 
 Hướng dẫn: Ta có 1z  nên 
1 1 3
2 2
i z
z
    ; 2 1 3
2 2
z i   ; 3 2. 1z z z  ; 21 0z z   
11) Chứng minh rằng: 
a) Phần thực của số phức z bằng  1
2
z z , phần ảo của số phức z bằng  1
2
z z
i
 
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z z  . 
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi z z . 
d) Với mọi số phức z, z, ta có ' ', ' . 'z z z z zz z z    và nếu z  0 thì ' 'z z
z z
   
 
 Hướng dẫn: 
a) ,z a bi z a bi    (1). Lấy vế cộng vế  Phần thực của số phức z bằng  1
2
z z . Lấy vế trừ vế  
phần ảo của số phức z bằng  1
2
z z
i
 . 
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0  0z z z z     . 
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0  0z z z z    . 
d) 2 2; ' ' ' ;z a bi z a b i z z a b      là số thực 
' ( ') ( ') ( ') ( ') ( ) ( ' ' ) 'z z a a b b i a a b b i a bi a b i z z               
' ( ' ') ( ' ' ) ( ' ') ( ' ' ) ( )( ' ' ) . 'zz aa bb ab a b i aa bb ab a b i a bi a b i z z            
' '. '. '. '
. . .
z z z z z z z z
z z z z z z z z
         
   
12) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có 4 4 1 4 2 4 31; ; 1;m m m mi i i i i i        
THPT Tân Bình – Bình Dương. SỐ PHỨC 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 4 
 Hướng dẫn: Ta có 4 2 2. 1i i i  
 4 4 4 4 1 4 1 4 2 4 2 4 31 1 . 1. . . 1 . 1.m m m m m m m m mi i i i i i i i i i i i i i i i i                      
13) Chứng minh rằng: 
a) Nếu u

 của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì | | | |u z

 và từ đó nếu hai điểm 1 2,A A theo thứ tự 
biểu diễn số phức 1 2,z z thì 1 2 2 1A A z z 

; 
b) Với mọi số phức z, z, ta có |z.z| = |z|.|z| và khi z  0 thì 
'' zz
z z
 
c) Với mọi số phức z, z, ta có ' 'z z z z   
 Hướng dẫn: 
a) z a bi  thì 2 2z a b  , u

 biểu diễn số phức z thì u

= (a; b)  2 2u a b 

 do đó | | | |u z

1 2,A A theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2,z z thì 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1A A OA OA z z A A z z      
   
b) z a bi  , ' ' 'z a b i  ,    . ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b i    , 2 2 2 2, ' ' 'z a b z a b    
Ta có   2 2 2 2 2 2. ' ' 'z z a b a b   
Ta có               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b aa bb ab a b a b a b           
Vậy |z.z| = |z|.|z| 
Khi z  0 ta có 2 2
' . ' . '' '.
.
z z z z zz z z
z z z zz z
    
c) u

 biểu diễn z, 'u

 biểu diễn z thì 'u u
 
 biểu diễn z + z và ' 'z z u u  
 
Khi , ' 0u u 
  
, ta có    22 2 22 2' ' 2 ' cos , ' ' 2 ' 'u u u u u u u u u u u u u u                      
 ' 'u u u u  
   
 do đó ' 'z z z z   
14) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: 
a) 1z i  b) 1z i
z i



 c) 3 4z z i   
 Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. 
a) Với z x yi    22 2 21 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1z i x y i x y x y              
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1. 
b) Với z x yi      2 22 21 ( 1) ( 1) 1 1 0z i x y i x y i x y x y y
z i

              

Tập hợp các điểm M là trục thực Ox. 
c) Với z x yi   2 2 2 23 4 ( 3) (4 ) ( 3) (4 )z z i x yi x y i x y x y               
6 8 25 0x y    . Tập hợp các điểm M là đường thẳng 6 8 25 0x y   
15) Chứng minh rằng với mọi số phức z  1, ta có 
10
2 9 11 ...
1
zz z z
z

    

 Hướng dẫn: Với z  1,     2 9 2 9 10 2 9 101 ... 1 ... 1 ... 1z z z z z z z z z z z z                 
Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh. 
16) Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)? 
a) 2 2( )z z b) 3 3( )
z z
z z


 c) 
2 2( )
1
z z
zz


 Hướng dẫn: 
a) Ta có ,z a bi z a bi    , 2 2 2 2 2 2( ) 2 , ( ) 2 ,z a b abi z a b abi      
Và 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3( 3 ) (3 ) , ( 3 ) (3 )z a ab a b b i z a ab a b b i        . Vậy 2 2 2 2( ) 2( )z z a b   là số thực; 
THPT Tân Bình – Bình Dương. SỐ PHỨC 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 5 
b) 3 3 3 2( ) 3
z z b i
z z a ab


 
 là số ảo; c) 
2 2
2 2
( ) 4
1 . 1
z z ab i
z z a b


  
 là số ảo. 
17) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: 
a) 2z là số thực âm; b) 2z là số ảo ; c) 2 2( )z z d) 1
z i
 là số ảo. 
 Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì 2 2 2 2 2 22 ; 2z x yi z x y xyi z x y xyi         
a) 2z là số thực âm khi xy = 0 và 2 2 0x y   x = 0 và y  0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O 
b) 2z là số ảo khi 2 2 0x y   y =  x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ. 
c) 2 2( )z z khi xy = 0  x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ. 
d) 1
z i
= 2 2
1 ( 1)
( 1) ( 1)
x y i
x y i x y
 

   
 là số ảo khi x = 0, y  1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0; 1). 
18) Giải phương trình sau: 
a) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i) ...  , nghiệm 2 i , 1 2i 
22) Giải các phương trình sau trên tập số phức: 
a) 2 8(1 ) 12 16 0z i z i     ; b)  2 2 2 0z i z i    ; 
c)  2 2 1 4 0iz i z    ; d)  2 5 8 0z i z i     
 Hướng dẫn: 
a) 2 , 8 6z i z i    ; b) 1 22;z z i   ; c) 1 22; 2z z i    ; d) 1 22 ; 3 2z i z i    
23) Giải các phương trình sau trên tập số phức: 
THPT Tân Bình – Bình Dương. SỐ PHỨC 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 15 
a) 4 26 25 0x x   ; b) 4 216 100 0x x   ; c) 4 2(3 2 ) 8 6 0x i x i     
d) 4 23(1 2 ) 8 6 0x i x i     ; e) 4 7 24 0x i   ; f) 4 28 96 0x i   
g) 2 2 2 2( 3 6) 2 ( 3 6) 3 0z z z z z z       h) 4 3 22 2 1 0z z z z     
 Hướng dẫn: 
a)    1 2 , 1 2x i x i      ; b)    3 , 3x i x i      ; c)    2 , 1x i x i      
d)    2 , 1x i x i      ; e)    2 , 1 2x i x i      ; f)    3 , 1 3x i x i      
g) 
2
2 2 2 2
2
3 6 3 3 3
( 3 6) 2 ( 3 6) 3 0
3 6 1 5
z z z z
z z z z z z
z z z z i
       
         
      
h) Ta có z = 0 không phải là nghiệm phương trình nên ta chia hai vế cho 2z ta được: 
2 2
2
1 31 01 1 1 12 3 0 1 3 3 53 1 0
2
z iz z
z z z z
z z z z z z z
                                  
24) Tìm z biết: 
a) 2z z ; b) 2 2 4z z i   c) 2 1 2z i z i     và 1 10
10z
 
 Hướng dẫn: Gọi z = x + y i  z = x – y i và 2 2 2 2z x y xyi   . 
a) 2z z  
2 2 (1)
2 (2)
x y x
xy y
  

 
. (2) có nghiệm y = 0 thay vào (1)  x = 0 hoặc x = 1 
Nếu y  0  (2) có nhiệm x = – 1
2
 thay vào (1)  y = 3
2
 
Vậy nghiệm của hệ là các cặp số 1 3 1 3(0;0), (1;0), ; , ;
2 2 2 2
   
        
   
Vậy phương trình có các nghiệm: z = 0; z = 1; z = 1 3
2 2
i  ; z = 1 3
2 2
i  
b) 2 4
3
z i  c) 1 3 ; 1 3z i z i     
25) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: 
a) 2z i  ; b) 3 1
3
z i
z i



; c) 1z z i   ; d) (2 3 ) 2 0i z i m    (m là tham số) 
 Hướng dẫn: 
a) 2 2 2 22 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 4z i x y i x y x y              
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2. 
b) 
2 2
2 2
( 3)3 ( 3)1 1 1 0
3 ( 3) ( 3)
x yz i x y i y
z i x y i x y
   
      
    
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox. 
c) 2 2 2 21 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 0z z i x yi x y i x y x y x y                   
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – 1 = 0. 
d) 
2 6
2 2 6 3 4 13(2 3 ) 2 0 3 2 2 0
3 42 3 13 13
13
mxm i m mi z i m z z i x y
mi y
    
             
   

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0. 
THPT Tân Bình – Bình Dương. SỐ PHỨC 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 16 
CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT: 
1) (Đề thi TN.THPT năm 2006) Giải phương trình 22 5 4 0x x   trên tập số phức. 
 Hướng dẫn: 
Ta có  = 25 – 32 = –7 = 2( 7 )i . Vậy nghiệm là: 1
5 7 5 7
4 4 4
ix i   ; 1
5 7 5 7
4 4 4
ix i   
2) (Đề thi TN.THPT năm 2007) 
a) Lần 1 (1 điểm): Giải phương trình 2 4 7 0x x   trên tập số phức. 
b) Lần 2 (1 điểm): Giải phương trình 2 6 25 0x x   trên tập số phức. 
 Hướng dẫn: 
a) Ta có  = 4 – 7 = –3 = 2( 3 )i . Phương trình có hai nghiệm là: 1 2 3x i  ; 1 2 3x i  
b) Ta có  = 9 – 25 = –16 = 2(4 )i . Phương trình có hai nghiệm là: 1 3 4x i  ; 1 3 4x i  
3) (Đề thi TN.THPT năm 2008) 
a) Lần 1 (1 điểm): Tính giá trị của biểu thức: 2 2(1 3 ) (1 3 )P i i    
b) Lần 2 (1 điểm): Giải phương trình 2 2 2 0x x   trên tập số phức. 
 Hướng dẫn: 
a) 2 2(1 3 ) (1 3 )P i i    = (1 2 3 3) (1 2 3 3)i i     = –4 
b) Ta có  = 4 – 8 = –4 = 2(2 )i . Phương trình có hai nghiệm là: 1
2 2 1
2
ix i   ; 2
2 2 1
2
ix i   
4) (Đề thi TN.THPT năm 2009) 
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm): Giải phương trình 28 4 1 0z z   trên tập số phức. 
b) Chương trình Nâng cao (1 điểm): Giải phương trình 22 1 0z iz   trên tập số phức. 
 Hướng dẫn: 
a) Ta có  = 16 – 32 = –16 = 2(4 )i . Phương trình có hai nghiệm là: 
1
4 4 1 1
16 4 4
iz i   ; 2
4 4 1 1
16 4 4
iz i   
b) Ta có  = –1 – 8 = –9 = 2(3 )i . Phương trình có hai nghiệm là: 1
3
4
i iz i  ; 2
3 1
4 2
i iz i   
5) (Đề thi TN.THPT năm 2010) 
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm): Cho hai số phức 1 1 2z i  và 2 2 3z i  . Xác định phần thực và phần 
ảo của số phức 1 22z z 
b) Chương trình Nâng cao (1 điểm): Cho hai số phức 1 2 5z i  và 2 3 4z i  . Xác định phần thực và 
phần ảo của số phức 1 2z z . 
 Hướng dẫn: 
a) 1 22z z = (1 – 4) + (2i + 6i) = –3 + 8i. Phần thực là –3, ảo 8. 
b) 1 2z z = 6 – 8i + 15i – 20
2i = 26 + 7i. Phần thực là 26, ảo 7. 
6) (Đề thi TN.THPT năm 2011) 
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm): Giải phương trình (1– i)z + (2 – i) = 4 – 5i trên tập số phức. 
b) Chương trình Nâng cao (1 điểm): Giải phương trình 2( 1) 4 0z    trên tập số phức. 
 Hướng dẫn: 
a) z = (2 4 )(1 )
2
i i  = 2 2 4 4
2
i i   = 3 – i; b) 
2 3
2
z i i z i
z i i z i
   
      
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG: 
7) (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D) 
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn 2(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z      . Tìm phần thực 
và phần ảo của z. 
b) Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình 4 3 7 2z i z i
z i
 
 

 trên tập  . 
THPT Tân Bình – Bình Dương. SỐ PHỨC 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 17 
 Hướng dẫn: 
a) 2(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z       2(1 ) (2 ) (1 2 ) 8i i i z i          2 (2 ) 1 2 8i i i z i      
8
1 2
iz
i



  (8 )(1 2 )
1 4
i iz  

  10 15 2 3
5
iz i   . Phần thực là 2, phần ảo –3 
b) 4 3 7 2z i z i
z i
 
 

  2 (4 3 ) 1 7 0z i z i     
Ta có  = 2 2(4 3 ) 4(1 7 ) 3 4 (2 )i i i i       . Phương trình có 2 nghiệm: 
1
4 3 2 3
2
i iz i     và 2
4 3 2 1 2
2
i iz i     
8) (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm 
tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện | (3 4 ) | 2z i   . 
 Hướng dẫn: 
Đặt z = x + y i (x, y  )  (3 4 ) 3 4 ( 3) ( 4)z i x yi i x y i          
Ta có | (3 4 ) | 2z i    2 2( 3) ( 4)x y   = 2  2 2( 3) ( 4)x y   = 4 
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2 
9) (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) 
Tìm số phức z thoả: | (2 ) | 10z i   và .z z = 25. 
 Hướng dẫn: 
Đặt z = x + y i (x, y  )  (2 ) 2 ( 2) ( 1)z i x yi i x y i          
Ta có | (2 ) | 10z i    2 2( 2) ( 1) 10x y     2 2 4 2 5 0x y x y     (1) 
Ta có .z z = 25  (x + y i )( x – y i ) = 25  2 2 25x y  (2) 
Từ (1) và (2), ta có 
2 2
2 2
4 2 5 0
25
x y x y
x y
     

 
  
2 2
10 2
25
y x
x y
 

 
  
2
10 2
8 15 0
y x
x x
 

  
  
3
4
x
y



 hoặc 
5
0
x
y



. Vậy z = 3 + 4 i hoặc z = 5 + 0 i . 
10) (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi 1z và 2z là hai nghiệm phức 
của phương trình 2 2 10 0z z   . Tính giá trị của biểu thức 2 21 2A z z  . 
 Hướng dẫn: 
2 2 10 0z z   có  = 1 – 10 = –9 = 2(3 )i . Nghiệm là 1 1 3z i   , 2 1 3z i   
Ta có: 1 1 9 10z    và 2 1 9 10z    nên 
2 2
1 2 20A z z   
11) (Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D) 
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa:      22 3 4 1 3i z i z i      
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình  2 1 6 3 0z i z i     
 Hướng dẫn: 
a) Gọi z = a + bi, ta có:      22 3 4 1 3i z i z i       
     2
6 4 8 2
2 3 ( ) 4 ( ) 1 3 6 4 (2 2 ) 8 6
2 2 6 5
a b a
i a bi i a bi i a b a b i i
a b b
    
                
   
Vậy phần thực a = –2, phần ảo b = 5. 
b)  2 1 6 3 0z i z i     có  = 2 2(1 ) 4(6 3 ) 24 10 (1 5 )i i i i        
Do đó phương trình có 2 nghiệm: 1
1 1 5 1 2
2
i iz i     ; 2
1 1 5 3
2
i iz i    
12) (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) 
Tìm số phức z thỏa: 2z  và 2z là số thuần ảo 
 Hướng dẫn: 
THPT Tân Bình – Bình Dương. SỐ PHỨC 12. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 18 
Gọi z = a + bi  
2 2
2 2 2 2
z a b
z a b abi
  

  
. Theo đề ta có: 
2 2
2 2
1 1 1 12
1 1 1 10
hoaëc hoaëc hoaëc
a a a aa b
b b b ba b
               
          
Vậy z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i. 
13) (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp 
điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa 1 (1 )z i z   
 Hướng dẫn: 
Gọi z = x + yi, ta có 2 2 2 2( 1) (1 )( ) ( 1) ( ) ( )x y i i x yi x y x y x y             
2 2 2 22 1 0 ( 1) 2x y y x y        . Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R = 2 . 
14) (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A) 
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa: 2( 2 ) (1 2 )z i i   
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa: 
3(1 3 )
1
iz
i



. Tìm môđun của số phức z iz 
 Hướng dẫn: 
a) Gọi z = a + bi, ta có: 2( 2 ) (1 2 )z i i      1 2 2 1 2 5 2a bi i i a bi i        . 
5, 2a b    . Vậy phần phần ảo b = – 2 . 
b) Gọi z = a + bi, ta có: 
3(1 3 ) 1 3 3 9 3 3 8 8(1 ) 4 4
1 1 1 1 1
i i i iz i
i i i
      
      
   
 z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i  z iz = –8 – 8i. Do đó :    2 28 8 8 2z iz      . 
15) (Đề thi Đại học năm 2011 – Khối D) (1,0 điểm) Tìm số phức z, biết : (2 3 ) 1 9z i z i    
 Hướng dẫn: 
Gọi z = a + bi (a, b  R). Khi đó z  (2 + 3i) z = 1 – 9i  a + bi – (2 + 3i)(a –bi) = 1 – 9i 
 –(a + 3b) + (3b –3a)i = 1 –9i  
3 1 2
3 3 9 1
a b a
b a b
    
 
     
. Vậy z = 2 –i 
16) (Đề thi Đại học năm 2011 – Khối B) 
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z, biết: 5 3 1 0iz
z

   . 
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức 
3
1 3
1
iz
i
 
    
. 
 Hướng dẫn: 
a) 5 3 0z z i z     2 2x y – x – 5 ( 3 )y  i = 0. Vậy z = 1 3i  hay 2 3z i  . 
b) z = 
2 3
2 3
1 3 3 9 3 3
1 3 3
i i i
i i i
  
  
 = 4
1 i
 = 2 + 2i. Vậy phần thực của z là 2 và phần ảo của z là 2. 
17) (Đề thi Đại học năm 2011 – Khối A) 
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z, biết 22z z z  
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Tính môđun của số phứcz, biết (2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2z i z i i       
 Hướng dẫn: 
a)  
2 2 2 2 2
22 2 1 1 1 10;0 , ; , ;
2 2 2 22 (2 1) 0
a b a b a a b
z z z
ab b b a
                              
b) 
3 3 2 1 1 2(3 3 ) ( 2) 2 2 ,
2 2 3 3 3
a b
a b a b i i a b z
a b
 
             
   