Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng Maple, GSP, Excel trong việc tìm nhanh kết quả, ra đề bài toán giải máy tính cầm tay

LỜI NÓI ĐẦU
H
ằng năm, Bộ GD-ĐT và Sở đều tổ chức thi Học sinh giỏi về giải toán trên máy tính cầm tay, đồng thời PPCT cũng yêu cầu Học sinh thực hành trên máy tính cầm tay. Do đó, việc rèn luyện cho Học sinh kỷ năng giải toán là yêu cầu cấp thiết. Có hai vấn đề nảy sinh:
Một là, việc tìm ra lời giải (thường chí là đáp số) cho một bài toán trên máy tính cầm tay nhiều lúc không đơn giản. Việc giải được yêu cầu phải có Kiến thức Toán, hiển nhiên rồi, nhưng chưa đủ. Kỹ thuật sử dụng máy tính hiệu quả đóng một vai trò vô cùng quan trong. Tuy nhiên đối với giáo viên hướng dẫn , việc thử trực tiếp trên máy tính cầm tay là thiếu hiệu quả, thậm chí phản giáo dục. Bỡi vì sao? Thường thì khi nắm vững thuật Toán, học sinh có thể bấm máy nhanh hơn Thầy. Hơn nữa, Thầy phải biết chắc kết quả, và đặc biệt hơn hết, Thầy giáo không được sai ! mà điều này có lẽ là khó đối với giáo viên khi bấm trực tiếp trên máy tính bỏ túi.
Hai là, đề ở đâu để rèn luyện cho học sinh? Thầy giáo có thể sưu tầm trên mạng, sách vở,v,v..Tuy nhiên có khả năng các đề đó đã có lời giải, đáp số. Vậy làm thế nào để ra một bài tập tương tự nhằm để rèn luyện một kỹ năng nào đó cho học sinh? 
Tập Sáng kiến kinh nghiệm này tập trung mô tả việc sử dụng các phần mềm Maple, Excel, Geomtry Sketchpad để tìm ra kết quả như thế nào. Đồng thời, giáo viên có thể ra đề và tìm ra đáp số nhanh chóng và chính xác. Đó là toàn bộ nội dung của tập sáng kiến này.
Đây chỉ là ý kiến của chủ quan của bản thân nên chắc có nhiều sai sót. Kính mong đồng nghiệp gần xa vui lòng chỉ giáo.
Phú Hòa, ngày 22 tháng 08 năm 2008
Người viết 
Đào Văn Chánh
Mục lục
1) Phần I: Cơ sở pháp lý	3
2) Phần II: Cơ sở thực tiễn. A-ƯD Maple giải PT bậc cao	4
3) Giải phương trình, hệ phương trình siêu việt	5
4) Giải hệ bậc nhất nhiều ẩn số	7
5) Giải hệ phương trình đại số	8
6) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, khoảng cách	11
7) Phương trình tiếp tuyến 	14
8) Phương trình nghiệm nguyên, lập trình	16
9) về bộ nhớ	17
10) Ứng dụng GSP.I-Tính diện tích 	17
11) Ứng dụng GSP.II-Tính độ dài	20
12) Ứng dụng GSP.II-Xác định tọa độ điểm 	21
13) Ứng dụng Excel	22
14) Phần phụ lục: Các đề đã ra	24
15) Phần đánh giá của Hội đồng các cấp	26
16) Danh mục Tài liệu tham khảo	27
PHẦN 1: CƠ SỞ PHÁP LÝ
1) Công văn Số: 7475 /BGDĐT-GDTrH, ngày 15 tháng 8 năm 2008 của Bộ GD-ĐT, về việc Hướng dẫn thực hiện nhiệm vụ Giáo dục Trung học Phổ thông năm học 2008-2009:
 +.... chỉ đạo việc bồi dưỡng thi chọn học sinh giỏi quốc gia, chuẩn bị đội tuyển dự các kỳ thi Ôlympic quốc tế. .......
 + Thực hiện Kế hoạch giáo dục (KHGD) với 37 tuần thực học mỗi năm học. Tiếp tục đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, rèn luyện của HS, bảo đảm yêu cầu thí nghiệm, thực hành, hướng nghiệp và thí điểm mô hình trường THPT kỹ thuật. Từng bước phát triển mạng lưới trường học, chuẩn hoá đội ngũ giáo viên, cán bộ quản lý và nâng cấp cơ sở vật chất (CSVC).
 +Biện pháp và kết quả xây dựng CSVC, mua sắm thiết bị dạy học, tự làm đồ dùng dạy học và xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia; đầu tư nâng cấp các trường THPT chuyên, trường phổ thông dân tộc nội trú, bán trú; 
2) Công văn số 1899/GDĐT-KTCNTT về việc hướng dẫn kỳ thi cấp tỉnh giải toán trên máy tính cầm tay năm học 2008-2009
3) Công văn số 1327/CV-GDĐT-KT&CNTT về việc hướng dẫn thực hiện nhiệm vụ khảo thí và quản lý CLGD năm học 2008-2009: .Tổ chức kỳ thi cấp tỉnh giải toán trên máy tính cầm tay: Môn Toán lớp 9 THCS và lớp 12 BTTHPT; các môn Toán, Vật lý, Sinh học, Hóa học lớp 12 THPT.
4) Một số nội dung chương trình và Sách giáo khoa yêu cầu thực hành trên Máy tính cầm tay
PHẦN 2: CƠ SỞ THỰC TIỄN
Hầu như tất cả các Học sinh ở các khối đều có máy tính cầm tay. Tuy nhiên việc sử dụng nó thường không hết công năng. Nhằm khuyến khích và bồi dưỡng niềm đam mê tìm hiểu khả năng máy tính cầm tay, đồng thời đáp ứng kỳ thi Học sinh giỏi Giải Toán trên máy tính cầm tay cấp Tỉnh, Giáo viên phải ra đề và đáp án. Việc ứng dụng các phần mềm như Maple, Geometry Sketchpad, Excel giúp cho công tác trên trở nên nhẹ nhàng, chính xác và khoa học hơn 
PHẦN 3: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
A. ỨNG DỤNG MAPLE
I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO
Ví dụ 1: Giải phương trình 
Giải: 
ĐS: 
Ví dụ 2: Giải phương trình ( Đề thi máy tính Casio cấp khu vực khối 12 năm 2004)
Bài giải: 
ĐS: 
II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT
Ví dụ 1: Giải phương trình ( Đề thi máy tính Casio cấp khu vực khối 12 năm 2004)
Giải: để biết được phương trình có bao nhiêu nghiệm thì có lẽ hơi khó. HS khi làm bài thì chỉ dò (mò) thôi. Đối với Giáo viên chúng ta thì có công cụ vẽ đồ thị để biết phương trình có mấy nghiệm và nằm trong khoảng nào. Tuy nhiên thường thì các nghiệm phân bố cũng không xa gốc tọa độ là mấy.
Từ đó sẽ dùng Maple tìm nghiệm trong từng khoảng:
ĐS: 
Ví dụ 2: Tìm MỘT nghiệm gần đúng của phương trình ( Đề thi máy tính bỏ túi cấp thành phố của TP HCM, năm 2006)
Bài giải: 
ĐS: Thực ra bài này chỉ có một nghiệm mà thôi. Vì nên ta có thể dò nghiệm trong từng khoảng để có tất cả các nghiệm của nó.
Ví dụ 3: Giải : (Đề thi máy tính bỏ túi của Bộ GD-ĐT, năm 2005) 
Bài giải: 
ĐS: 
Nếu giải bằng tay cũng khá dài. 
Ví dụ 4: (Đề thi máy tính Casio của Bộ GD-ĐT, năm 2007) 
 Giải hệ phương trình : ĐS :
Bài giải : 
ĐS: 
III. HỆ BẬC NHẤT NHIỀU ẨN SỐ
Ví dụ 1: (Bài số 23, Trang 96, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Cho đa thức có giá trị là 5;4;3;2;-1 lần lượt tại x=1,2,3,4,5. Tính giá trị a,b,c,d,e và tính nghiệm của P(x).
Bài giải: Ở đây cần giải phương trình bậc nhất có 5 ẩn số 
ĐS: 
Ví dụ 2 : (Bài số 9, trang 106, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay): Phân thức nhận các giá trị 3,-4,5,7 tại x tương ứng bằng 1,2,3,4. Tính giá trị của a,b,c,d.
Bài giải : 
ĐS: 
IV. GIẢI HỆ ĐẠI SỐ 
Ví dụ 1: (Đề số 10, trang 110, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Giải hệ: 
Giải: 
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm. 
Ví dụ 2: Giải hệ 
Liệu hệ này chỉ có hai nghiệm mà thôi? từ (1), ta có . Thay vào (2), ta có 
Đúng là phương trình này chỉ có hai nghiệm thực : 
Ví dụ 3: (Bài số 3, trang 96, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Tính gần đúng giá trị của biểu thức biết 
Bài giải: Thực chất ở dây là ta giải hệ 
Từ đó đi đến đáp số cần tìm. Đó là: A=17 hoặc A=96,54462
Ví dụ 4: (Đề số 6, trang 102, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Giải hệ . 
Ta dễ thấy rằng nếu là một nghiệm của hệ thì cũng là một nghiệm của hệ, đồng thời, hệ luôn có nghiệm .
Có phải hệ này chỉ có 4 nghiệm? Nếu từ phương trình và thay vào phương trình còn lại, ta có . Phương trình cuối cùng này có khả năng có 5 nghiệm. Vậy có khả năng thiếu mất một nghiệm. Nhìn vào kết quả trên, ta thấy thiếu một nghiệm . Như vậy ta có thể tìm nghiệm này bằng cách giải phương trình 
Vậy là ta có đủ 3 nghiệm . Kết quả : 
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 
Bài giải : hệ có 4 nghiệm là 
ĐS: 
V. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LỚN NHẤT, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI CỰC TRỊ
 Ví dụ 1: (Đề số 1, trang 92, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
 Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
Bài giải: 
Cách 1: Giải trực tiếp
Cách 2: Cách giải gián tiếp thông qua việc đổi biến số. 
Ta có 
Đặt .Lúc đó 
. Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của g(t) cũng chính là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của f(x),
Từ đó, ta có giá trị lớn nhất là 2.20711 và giá trị nhỏ nhất là -1.82843
Ví dụ 2: (Đề số 1, trang 92, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Gọi A và B là điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số 
a) Tính khoảng cách AB.
b) Tìm giá trị a, b nếu đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
Bài giải: 
Đáp số cần tìm là : AB=10.16530; a=3, b=-2
Ví dụ 3: Tính giá trị gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số 
Bài giải: 
Ví dụ 4: (Đề số 6, trang 102, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
Bài giải:
ĐS: Maxy= 0.441; Miny=-0.789
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
Bài giải:
VI. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Ví dụ 1: (Đề Thi HSG MTCT quốc gia năm 2003) : 
Cho hàm số 
a) Tính gần đúng giá trị của hàm số tại điểm 
b) Tính gần đúng giá trị của các hệ số a và b để đường thẳng tiếp xúc với diện tích hàm số tại điểm .
Bài giải: 
ĐS: 
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm .
Bài giải: 
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu: 
Cách 2:
Ta cũng có đáp số như trên.
VII. PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN-LẬP TRÌNH
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà lập phương của nó có tận cùng là 4 số 1. (đề thi TP HCM)
Bài giải: Gọi số cần tìm là x. Phương trình có dạng 
Nghiệm nguyên của hệ là 
Dĩ nhiên ta lấy t=0, ta sẽ được đáp số cần tìm. 
Ví dụ 2: Tìm số tư nhiên sao cho nó lớn hơn tổng bình phương các chữ số của nó 1 đơn vị. (Đề thi của Sở GD-ĐT Hải Phòng)
Bài giải: Giả sử số cần tìm có 3 chữ số, nghĩa là nó có dạng . Lúc đó đề bài toán tương đương 
Tương đương 
Nhận xét : 
Do đó số cần tìm không thể có 3 chữ số, tương tự nếu số có nhiều hơn 3 chữ số cũng không thỏa.
Bây giờ ta xét số có hai chữ số có dạng . Ta cần giải phương trình 
Như vậy ta có hai đáp số là 75 và 35
Ví dụ 3: Tìm số lớn nhất trong các số có dạng mà chia hết cho 1333 (Đề thi của Sở GD-ĐT TP HCM)
Bài giải: 
Như vậy đáp số cần tìm là 19293842. Số nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện là 10213446
VIII. VẤN ĐỀ VỀ BỘ NHỚ
Vì màn hình và bộ nhớ của Máy tính cầm tay có hạn nên việc giải các bài toán yeu cầu bộ nhớ vượt ra ngoài tầm sẽ yêu cầu những kỹ năng khá phức tạp (Nhưng đó là yêu cầu của đề thi). Gv chúng ta có thể dễ dàng kiểm tra những kết quả có được bằng maple.
Ví dụ 1: Tìm 4 chữ số hàng ngàn, trăm, chục và đơn vị của số .
Bài giải: Số Kết quả dài gần 3 trang màn hình. Tuy nhiên ta vẫn biết được kết quả cần tìm là 7056
Ví dụ 2: Phân tích thành thừa số nguyên tố số: 200920092009200920092009
B. ỨNG DỤNG GEOMETRY SKETCHAD (GSP)
1. Tính diện tích
Ví dụ 1: (Bài số 9, trang 109, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay): Tính diện tích phần chung công thức hai đường tròn có bán kính 5dm và 6dm nếu khoảng cách giữa hai tâm là 7dm.
Bài giải: 
Ví dụ 2: (Đề số 1, trang 92, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Tính gần đúng diện tích hình tròn nội tiếp tam giác có các đỉnh là 
Bài giải: Chú ý trong Sketchpad, hệ thống tọa độ không nên thay đổi (Phóng to ra hoặc thu nhỏ lại). Lúc đó độ dài một đơn vị là 1 cm. và đáp số sẽ như ý muốn.
Dựng từng điểm có các tọa độ đã cho: Graph-plot point:
Vẽ các đường phân giác các góc :
Chon theo thứ tự A-B-C, rồi chọn: Contruct-Angle Bisector.
Sau đó dựng tâm I và đường tròn nội tiếp tam giác ABC rồi tính diện tích.
Ví dụ 3: Cho 4 điểm A, B, C, D trên đường tròn tâm O bán kính 1dm sao cho AB là đường kính, OC vuông góc với AB và CE đi qua trung điểm của OB. Gọi D là trung điểm OA. Tính diện tích tam giác CDE và góc 
Bài giải:
ĐS: diện tích S=80cm2. 
Ví dụ 4: (Đề thi HSG Giải toán trên máy tính cầm tay cấp quốc gia năm 2005): Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và DC cùng vuông góc với cạnh bên CD, .
a) Tính tọa độ điểm D
b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng AB và DC. Hãy tính tỷ số diện tích tam giác BEC với diện tích hình thang ABCD.
Bài giải: 
ĐS: D(10;3); Tỷ số thể tích là 0.8
2. Tính độ dài
Ví dụ 1: (Đề thi máy tính cầm tay cấp tỉnh năm học 2005-2006): Cho tam giác ABC có 3 cạnh là a=6,83cm; b=9,13cm, c=12,25cm. Gọi O, I G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm của tam giác ABC.
Tính OG.
Tính IG.
Bài giải: 
 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có 3 cạnh là a=6,83cm; b=9,13cm, c=12,25cm. Gọi AH, BM và CD lần lượt là đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác trong của tam giác ABC xuất phát từ A, B, C. Tính tổng AH, BM và CD.
Bài giải: 
3. Xác định tọa độ điểm
Ví dụ : Cho tam giác có các đỉnh là . Xác định tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
Bài giải:
Kết quả: H(7.69;0.38),O(-0.35;4.81);I(2.83;3.22)
C. ỨNG DỤNG EXCEL
Ví dụ 1: Cho dãy số được xác định như sau: .
 Tính số hạng thứ 15. (Đề thi máy tính Casio của Bộ Giáo dục và Đào tạo, năm 2006)
Bài giải: để tính bài này trên máy tính cầm tay buộc phải “lập trình” tương đối phức tạp. Điều đó dễ dẫn đến sai sót. Học sinh sai thì được nhưng GV thì không. Tuy nhiên Giáo viên có một công cụ khác tìm nhanh kết quả một cách chính xác, đó là Excel. ĐS là 
Cách làm: 
+ Ô A1 nhập 1 (giá trị của ); Ô A2 nhập 2 (giá trị của )
+ Ô A3 nhập công thức 3*A2+2*A1 rồi Enter. Kết quả A3 ()
+ Copy công thức ở Ô A3 sang ô A4, A5,....A15 bằng cách kéo thả. Ta có điều cần tìm
Ví dụ 2: (Đề thi máy tính Casio của Sở GD-ĐT Thừa Thiên-Huế, năm 2006): Cho dãy số được xác định như sau: 
1) Tính giá trị 
2) Gọi là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số . Tính 
Bài giải: 
Dãy được viết lại như sau : 
 Cách làm: 
+ Ô B1 nhập 1 (giá trị của ); Ô B2 nhập 2 (giá trị của )
+ Ô B3 nhập công thức (5/2+(-1)^A3*1/2)*A2+(5/2-(-1)^A3*1/2)*A1 rồi Enter. Kết quả A3 ()
+ Copy công thức ở Ô B3 sang ô B4, B5,....B21 bằng cách kéo thả. Ta có điều cần tìm
Bài tập tương tự: (Đề thi máy tính Casio của Sở GD-ĐT Hải Phòng, năm 2003): Cho dãy số được xác định như sau: 
1) Tính giá trị 
2) Gọi là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số . Tính 
Ví dụ 3: Cho 
Tính gần đúng S15. 
Tính giới hạn 
Bài giải: Ta viết Sn theo dạng truy hồi như sau: . Dĩ nhiên . Cách làm:
+ Đánh số thứ tự cột A
+ Tại ô B1, nhập =1/3 rồi Enter
+Tại ô B2 nhập : =B1+A2/(3^A2) rồi Enter.
+ Copy công thức ô B2 sang B2, B4,v.v... ta được kết quả.
Ví dụ 4: Tính giá trị gần đúng với hai chữ số thập phân của 
Bài giải: Đặt Việc bấm quá nhiều phiếm “bằng” (4016 phím) là không tưởng. Tuy nhiên Excel hoàn toàn có thể làm được theo cách như trên và ta có đáp số như sau: 
PHẦN PHỤ LỤC
CÁC ĐỀ THI GIẢI TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY ĐÃ RA
Bài 1: Tìm các hệ số a, b, c biết rằng đồ thị của hàm số đi qua các điểm (Trong mặt phẳng Oxy)
ĐS: 
Bài 2: Cho hàm số có đồ thị của nó đi qua 4 điểm (Trong mặt phẳng Oxy).
a) Tìm giá trị đúng của a,b,c,d.
ĐS 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn 
ĐS: 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M nằm trên đồ thị của hàm số mà có hoành độ là 
ĐS: 
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
ĐS: 
Bài 4: Cho dãy số xác định bỡi: . Tính .
ĐS: 
Bài 5: Tính giới hạn của dãy số sau: 
(ĐS:0.12112) 
Bài 6: Cho hình ngũ giác đều B1C1D1E1F1 nội tiếp bên trong đường tròn có bán kính 6 cm. Hãy tính diện tích của ngũ giác đều BCDEF (Tô đậm) trong hình sau:
ĐS: 12,4882 cm2.
Bài 7: Cho tam giác ABC có 3 cạnh lần lượt là 6cm ,7cm và 8 cm. Gọi O, H, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp , trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Tính: OH, HI và OI.
ĐS: 
Bài 8: 
Cho tứ diện ABCD có AB=CD=6cm, AC=BD=7cm, AD=BC=8cm. Tính thể tích của tứ diện đã cho. ĐS : V=33.84339 cm3.
Cho tứ diện ABCD có và có AB=6cm, AC=7cm,AD=8cm. Tính thể tích tứ diện ABCD. ĐS: V= 39.59789 cm3.
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
Maxy=0.33780; Miny=0.00112
Bài 10: Cho hai đường (H) :và (C) : 
Tìm giao điểm của chúng. 
ĐS: 
Tính các khoảng cách giữa các điểm đó. 
Bài 11: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho lũy thừa bậc 3 của có số tận cùng là 3333. ĐS: 6477
Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
ĐS: Max= 0.59952; Min:= -0.21206
Bài 13: Giải hệ: 
ĐS:
Bài 14: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho lũy thừa bậc 3 của có số tận cùng là 4512. ĐS: 2008
Bài 15: Cho tam giác có các đỉnh là . Xác định tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
ĐS: H(7.69;0.38),O(-0.35;4.81);I(2.83;3.22)
Bài 16: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm .
ĐS: Có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu: 
Bài 17: Giải hệ 
ĐS: Phương trình này chỉ có hai nghiệm thực : 
PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CÁC CẤP
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO
Hướng dẫn thực hành TOÁN-LÝ-HÓA-SINH trên máy tính cầm tay, Lê Hải Châu (Chủ biên), NXB Hà Nội-2008
Đề Thi HSG Giải toán trên máy tính cầm tay các cấp
Hướng dẫn sử dụng Maple (Tài liệu sưu tầm qua mạng)