Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng Maple, Excel, GSP trong việc tìm nhanh đáp số các bài toán trên máy tính cầm tay

ỨNG DỤNG MAPLE, EXCEL, GSP TRONG VIỆC TÌM NHANH ĐÁP SỐ CÁC BÀI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
LỜI NÓI ĐẦU
Hằng năm, Bộ GD-ĐT và Sở đều tổ chức thi Học sinh giỏi về giải toán trên máy tính cầm tay, đồng thời PPCT cũng yêu cầu Học sinh thực hành trên máy tính cầm tay. Do đó, việc ra đề rèn luyện cho Học sinh kỷ năng giải toán là yêu cầu cấp thiết.
Việc tìm ra lời giải cho một bài toán trên máy tính cầm tay nhiều lúc không đơn giản, nhưng đó thường là yêu cầu của một đề thi giải toán máy tính cầm tay. Việc giải được yêu cầu phải có Kiến thức Toán và kỹ thuật sử dụng máy tính hiệu quả. Tuy nhiên đối với người ra đề, việc thử trực tiếp trên máy tính cầm tay là thiếu hiệu quả, thậm chí không chính xác, mặc dù bàn thân biết rõ thủ thuật giải nó. Bỡi vì sao? Thứ nhất, có thể nhầm lẫn, do màn hình máy tính cầm tay và bộ nhớ khá nhỏ. Thứ hai, qua trình bấm phím có thể sai sót, kẹt phím, ...do tuổi tác,....
Vậy làm sao để tìm nhanh và chính xác đáp số của bài toán trên máy tính cầm tay ( Đã có thuật giải trên máy tính cầm tay, hay ít ra là máy tính cầm tay có thể giải được nó) ? khi ra đề, kiểm tra đề thi Giải Toán trêm máy tính cầm tay nhằm rèn luyện kỷ năng sử dụng máy tính cầm tay cho Học sinh? Sử dụng Máy vi tính và các phần mềm như Maple, Excel, Geomtry Sketchpad là một cách.
Tập Sáng kiến kinh nghiệm này chí tập trung mô tả việc sử dụng các phần mềm để tìm ra kết quả như thế nào. Từ một đề gốc, Giáo viên có thể sửa đổi và tìm ra đáp số nhanh chóng và chính xác. Đó là toàn bộ nội dung của tập sáng kiến này.
Vì đây chỉ là ý kiến của Bản thân nên chắc có nhiều sai sót. Kính mong đồng nghiệp gần xa vui lòng chỉ giáo.
Phú Hòa, ngày 22 tháng 08 năm 2008
Người viết 
Đào Văn Chánh
PHẦN 1: CƠ SỞ PHÁP LÝ
1) Công văn Số: 7475 /BGDĐT-GDTrH, ngày 15 tháng 8 năm 2008 của Bộ GD-ĐT, về việc Hướng dẫn thực hiện nhiệm vụ Giáo dục Trung học Phổ thông năm học 2008-2009:
 +.... chỉ đạo việc bồi dưỡng thi chọn học sinh giỏi quốc gia, chuẩn bị đội tuyển dự các kỳ thi Ôlympic quốc tế. .......
 + Thực hiện Kế hoạch giáo dục (KHGD) với 37 tuần thực học mỗi năm học. Tiếp tục đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, rèn luyện của HS, bảo đảm yêu cầu thí nghiệm, thực hành, hướng nghiệp và thí điểm mô hình trường THPT kỹ thuật. Từng bước phát triển mạng lưới trường học, chuẩn hoá đội ngũ giáo viên, cán bộ quản lý và nâng cấp cơ sở vật chất (CSVC).
 +Biện pháp và kết quả xây dựng CSVC, mua sắm thiết bị dạy học, tự làm đồ dùng dạy học và xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia; đầu tư nâng cấp các trường THPT chuyên, trường phổ thông dân tộc nội trú, bán trú; 
2) Nội dung chương trình và Sách giáo khoa yêu cầu thực hành trân Máy tính cầm tay
PHẦN 2: CƠ SỞ THỰC TIỄN
Hầu như tất cả các Học sinh ở các khối đều có máy tính cầm tay. Tuy nhiên việc sử dụng nó thường không hết công năng. Nhằm khuyến khích và bồi dưỡng niềm đam mê tìm hiểu khả năng máy tính cầm tay, đồng thời đáp ứng kỳ thi Học sinh giỏi Giải Toán trên máy tính cầm tay cấp Tỉnh, Giáo viên phải ra đề và đáp án để làm điều đó. Việc ra đề có thể không có gì khó, cứ việc đổi số ở một đề nào đó là xong. Tuy nhiên việc tìm ra đáp số lại có vấn đề. SKKN này nhằm giải quyết điều đó.
A. ỨNG DỤNG MAPLE
I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO
Ví dụ 1: Giải phương trình 
Giải: 
Phương trình có đầy đủ 4 nghiệm, gồm hai nghiệm phức và hai nghiệm thực 
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Giải: 
Phương trình có đầy đủ 6 nghiệm, gồm 4 nghiệm phức và 2 nghiệm thực. Tuy nhiên ta cần nghiệm thực thôi.
Ví dụ 3: Giải phương trình ( Đề thi máy tính Casio cấp khu vực khối 12 năm 2004)
Bài giải: 
II. PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT
Ví dụ 1: Giải phương trình ( Đề thi máy tính Casio cấp khu vực khối 12 năm 2004)
Giải: để biết được phương trình có bao nhiêu nghiệm thì có lẽ hơi khó. HS khi làm bài thì chỉ dò( mò) thôi. Đối với Giáo viên chúng ta thì có công cụ vẽ đồ thị để biết phương trình có mấy nghiệm và nằm trong khoảng nào. Tuy nhiên thường thì các nghiệm phân bố cũng không xa gốc tọa độ là mấy.
Từ đó sẽ dùng Maple tìm nghiệm trong từng khoảng:
Ví dụ 2: Tìm MỘT nghiệm gần đúng của phương trình ( Đề thi máy tính bỏ túi cấp thành phố của TP HCM, năm 2006)
Bài giải: 
Thực ra bài này chỉ có một nghiệm mà thôi. Vì nên ta có thể dò nghiệm trong từng khoảng để có tất cả các nghiệm của nó.
Ví dụ 3: Tìm MỘT nghiệm gần đúng của phương trình ( Đề thi máy tính bỏ túi cấp thành phố của TP HCM, năm 2005)
Bài giải: 
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT
Ví dụ 1: Giải : (Đề thi máy tính bỏ túi của Bộ GD-ĐT, năm 2005) 
Bài giải: 
Nếu giải bằng tay cũng khá dài. 
Ví dụ 2: (Đề thi máy tính Casio của Bộ GD-ĐT, năm 2007) 
 Giải hệ phương trình : ĐS :
Bài giải : 
IV. HỆ BẬC NHẤT NHIỀU ẨN SỐ
Bài 1: (Trang 96, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Cho đa thức có giá trị là 5;4;3;2;-1 lần lượt tại x=1,2,3,4,5. Tính giá trị a,b,c,d,e và tính nghiệm của P(x).
Bài giải: Ở đây cần giải phương trình bậc nhất có 5 ẩn số 
Bài 2 (Đề số 9, trang 106, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Phân thức nhận các giá trị 3,-4,5,7 tại x tương ứng bằng 1,2,3,4. Tính giá trị của a,b,c,d.
Bài giải : 
V. GIẢI HỆ ĐẠI SỐ BẬC 2, BẬC 3
(Trường hợp có thể biết nghiệm nằm trong một khoảng cho trước)
Bài 1: (Đề số 10, trang 110, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Giải hệ: 
Từ đó ta thấy rằng 
Mặc dù 
nhưng ta có thể lấy rộng hơn 
Và như thế là ta có đủ 4 nghiệm của hệ phương trình.
Nói chung là nếu giải bằng tay (Có hỗ trợ của máy tính cầm tay vẫn phải biến đổi phức tạp)
Bài 2: (Đề số 11, trang 112, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Giải hệ: ĐK:
Bài 3: (Đề số 6, trang 102, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Giải hệ ĐK nghiệm: 
 Hai nghiệm là một, nghiệm còn lại (không được hiển thị) có được bằng cách hoán đổi x và y.
Nếu vai trò của x và y không như nhau, ví dụ giải hệ , ta có :
Liệu hệ này chỉ có hai nghiệm mà thôi? từ (1), ta có . Thay vào (2), ta có 
Đúng là phương trình này chỉ có hai nghiệm thực !
Như vậy, nếu biết được khoảng nghiệm thì hầu như lệnh fsolve sẽ cho ta tất cả các nghiệm thực có thể có của hệ .
Bài 4: (Đề số 3, trang 96, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Tính gần đúng giá trị của biểu thức biết 
Bài giải: Thực chất ở dây là ta giải hệ 
Vì từ (3), ta có 
Dựa vào đây ta thấy hệ chỏ có hai nghiệm. Từ đó đi đến đáp số cần tìm
VI. GIẢI HỆ BẬC 2, BẬC 3 
(Trong trường không thể biết nghiệm nằm trong một khoảng cho trước)
Bài 1: (Đề số 6, trang 102, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Giải hệ . 
Rõ ràng là ta không thể ước lượng được các ẩn x và y. Ta dễ thấy rằng nếu là một nghiệm của hệ thì cũng là một nghiệm của hệ, đồng thời, hệ luôn có nghiệm .
Có phải hệ này chỉ có 4 nghiệm? Nếu từ phương trình và thay vào phương trình còn lại, ta có . Phương trình cuối cùng này có khả năng có 5 nghiệm. Vậy có khả năng thiếu mất một nghiệm. Nhìn vào kết quả trên, ta thấy thiếu một nghiệm . Như vậy ta có thể tìm nghiệm này bằng cách giải phương trình 
Vậy là ta có đủ 3 nghiệm .
Bài 2: Đề thi Đại học 2008: Giải hệ phương trình 
Giải: hệ có hai nghiệm (Thực, gần đúng) là 
Bài 3: Giải hệ phương trình 
Bài giải: hệ có 4 nghiệm là (mặc dù máy giải chỉ được 3 nghiệm.)
VII. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LỚN NHẤT, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI CỰC TRỊ
 Ví dụ 1: (Đề số 1, trang 92, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
 Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
Bài giải: 
Cách 1: Giải trực tiếp
Cách 2: Đổi biến số. 
Ta có 
Đặt .Lúc đó 
. Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của g(t) cũng chính là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của f(x),
Từ đó, ta có giá trị lớn nhất là 2.20711 và giá trị nhỏ nhất là -1.82843
Ví dụ 2: (Đề số 1, trang 92, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Gọi A và B là điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số 
Tính khoảng cách AB.
Tìm giá trị a, b nếu đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
Bài giải: 
Đáp số cần tìm là : AB=10.16530; a=3, b=-2
Ví dụ 3: Tính giá trị gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số 
Bài giải: 
Ví dụ 4: (Đề số 6, trang 102, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
Bài giải:
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
Bài giải:
VIII. VẤN ĐỀ VỀ BỘ NHỚ
Vì màn hình và bộ nhớ của Máy tính cầm tay có hạn nên việc giải các bài toán yeu cầu bộ nhớ vượt ra ngoài tầm sẽ yêu cầu những kỹ năng khá phức tạp (Nhưng đó là yêu cầu của đề thi). Gv chúng ta có thể dễ dàng kiểm tra những kết quả có được bằng maple.
Ví dụ 1: Tìm 4 chữ số hàng ngàn, trăm, chục và đơn vị của số .
Bài giải: Số Kết quả dài gần 3 trang màn hình. Tuy nhiên ta vẫn biết được kết quả cần tìm là 7056
IX. PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN-LẬP TRÌNH
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà lập phương của nó có tận cùng là 4 số 1. (đề thi TP HCM)
Bài giải: Gọi số cần tìm là x. Phương trình có dạng 
Nghiệm nguyên của hệ là 
Dĩ nhiên ta lấy t=0, ta sẽ được đáp số cần tìm. 
Ví dụ 2: Tìm số tư nhiên sao cho nó lớn hơn tổng bình phương các chữ số của nó 1 đơn vị. (Đề thi của Sở GD-ĐT Hải Phòng)
Bài giải: Giả sử số cần tìm có 3 chữ số, nghĩa là nó có dạng . Lúc đó đề bài toán tương đương 
Tương đương 
Nhận xét : 
Do đó số cần tìm không thể có 3 chữ số, tương tự nếu số có nhiều hơn 3 chữ số cũng không thỏa.
Bây giờ ta xét số có hai chữ số có dạng . Ta cần giải phương trình 
Như vậy ta có hai đáp số là 75 và 35
Ví dụ 3: Tìm số lớn nhất trong các số có dạng mà chia hết cho 1333 (Đề thi của Sở GD-ĐT TP HCM)
Bài giải: 
Như vậy đáp số cần tìm là 19293842. Số nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện là 10213446
B. ỨNG DỤNG GEOMETRY SKETCHAD (GSP)
Ví dụ 1: (Đề số 9, trang 109, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Tính diện tích phần chung công thức hai đường tròn có bán kính 5dm và 6dm nếu khoảng cách giữa hai tâm là 7dm.
Bài giải: 
Ví dụ 2: (Đề số 1, trang 92, Sách hướng dẫn thực hành Toán-Lý-Hóa-Sinh trên máy tính cầm tay)
Tính gần đúng diện tích hình tròn nội tiếp tam giác có các đỉnh là 
Bài giải: Chú ý trong Sketchpad, hệ thống tọa độ không nên thay đổi (Phóng to ra hoặc thu nhỏ lại). Lúc đó độ dài một đơn vị là 1 cm. và đáp số sẽ như ý muốn.
Dựng từng điểm có các tọa độ đã cho: Graph-plot point:
Vẽ các đường phân giác các góc :
Chon the thứ tự A-B-C, rồi chọn: Contruct-Angle Bisector.
Sau đó dựng tâm I và đường tròn nội tiếp tam giác ABC rồi tính diện tích.
Ví dụ 3: Cho 4 điểm A, B, C, D trên đường tròn tâm O bán kính 1dm sao cho AB là đường kính, OC vuông góc với AB và CE đi qua trung điểm của OB. Gọi D là trung điểm OA. Tính diện tích tam giác CDE và góc 
Bài giải:
C. ỨNG DỤNG EXCEL
Ví dụ 1: Cho dãy số được xác định như sau: . Tính số hạng thứ 15. (Đề thi máy tính Casio của Bộ Giáo dục và Đào tạo, năm 2006)
Bài giải: để tính bài này trên máy tính cầm tay buộc phải “lập trình” tương đối phức tạp. Điều đó dễ dẫn đến sai sót. Học sinh sai thì được nhưng GV thì không. Tuy nhiên Giáo viên có một công cụ khác tìm nhanh kết quả một cách chính xác, đó là Excel. ĐS là 
Cách làm: 
+ Ô A1 nhập 1 (giá trị của ); Ô A2 nhập 2 (giá trị của )
+ Ô A3 nhập công thức 3*A2+2*A1 rồi Enter. Kết quả A3 ()
+ Copy công thức ở Ô A3 sang ô A4, A5,....A15 bằng cách kéo thả. Ta có điều cần tìm
Ví dụ 2: (Đề thi máy tính Casio của Sở GD-ĐT Thừa Thiên-Huế, năm 2006): Cho dãy số được xác định như sau: 
1) Tính giá trị 
2) Gọi là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số . Tính 
Bài giải: 
Dãy được viết lại như sau : 
 Cách làm: 
+ Ô B1 nhập 1 (giá trị của ); Ô B2 nhập 2 (giá trị của )
+ Ô B3 nhập công thức (5/2+(-1)^A3*1/2)*A2+(5/2-(-1)^A3*1/2)*A1 rồi Enter. Kết quả A3 ()
+ Copy công thức ở Ô B3 sang ô B4, B5,....B21 bằng cách kéo thả. Ta có điều cần tìm
Bài tập tương tự: (Đề thi máy tính Casio của Sở GD-ĐT Hải Phòng, năm 2003): Cho dãy số được xác định như sau: 
1) Tính giá trị 
2) Gọi là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số . Tính 
Ví dụ 3: Cho 
Tính gần đúng S15. 
Tính giới hạn 
Bài giải: Ta viết Sn theo dạng truy hồi như sau: . Dĩ nhiên . Cách làm:
+ Đánh số thứ tự cột A
+ Tại ô B1, nhập =1/3 rồi Enter
+Tại ô B2 nhập : =B1+A2/(3^A2) rồi Enter.
+ Copy công thức ô B2 sang B2, B4,v.v... ta được kết quả.
Ví dụ 4: Tính giá trị gần đúng với hai chữ số thập phân của 
Bài giải: Đặt Việc bấm quá nhiều phiếm “bằng” (4016 phím) là không tưởng. Tuy nhiên Excel hoàn toàn có thể làm được theo cách như trên và ta có đáp số như sau: