Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu
 Trên thực tế học sinh THPT đã được học rất nhiều dạng toán về PT, BPT và hệ PT cụ thể là : Lớp 10 có PT, BPT, hệ PT quy về bậc hai, chứa ẩn dưới dấu căn và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối. Lớp 11 có PT lượng giác. Lớp 12 có PT, BPT, hệ PT mũ và logarit. Trong đó có khá nhiều dạng bài toán cần phải thực hiện phương pháp đặt ẩn phụ khi tiến hành lời giải và hầu hết đó là các bài toán không chứa tham số. Tuy nhiên trong các đề thi tuyển sinh Đại học và đề thi học sinh giỏi thường có các bài toàn đề cập đến PT, BPT chứa tham số hoặc tìm GTLN, GTNN mà khi tiến hành lời giải thì phải đặt ẩn phụ và tìm ĐK của ẩn phụ.
 Với mười năm làm nghề dạy học tôi đã may mắn được tham gia giảng dạy cho khá nhiều lớp ôn thi Đại học và ôn thi học sinh giỏi tôi thấy có một số vấn đề cần phải giải quyết:
 Một là: Viếc biến đổi PT, BPT hoặc đặt ẩn phụ để quy PT đã cho về các PT bậc cao thì học sinh được giải quyết khá nhiều ở lớp 10 và lớp 11, nhưng khảo sát hàm số bằng cách ứng dụng đạo hàm thì đến lớp 12 mới được học nên khi làm bài cần phải kết hợp hai việc trên với nhau thì học sinh rất lúng túng nên lời giải nhiều khi không chặt chẽ.
 Hai là: Khi học sinh làm bài tập về PT, BPT hoặc tìm GTLN, GTNN của biểu thức có ĐK mà trong lời giải có bước đặt ẩn phụ thì tôi thấy nhiều học sinh mắc phải một trong những sai lầm: hoặc là đặt ẩn phụ mà không nghĩ đến tìm ĐK của ẩn phụ hoặc tìm sai ĐK của nó, hoặc đã tìm chính xác ĐK của ẩn phụ nhưng khi lập luận trên PT, BPT theo ẩn phụ thì lại không xét trên ĐK ràng buộc của nó nên dẫn đến kết luận không chính xác.
 Ba là: Từ năm 2006 sách giáo khoa không nói đến định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, trong khi đó sách tham khảo suất bản trước đó có rất nhiều bài toán sử dụng định lý đó để thực hiện việc so sánh các nghiệm của một tam thức bậc với các số cho trước nên học sinh đọc sách rất hoang mang. Do đó người giáo viên phải định hướng cho học sinh biến đổi về bài toán sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nếu là tình huống không thể giải quyết đơn thuần theo kiểu tính biệt thức đenta. 
 Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài: 
Ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình
2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
 Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau:
 Một là: Làm sáng tỏ sự liên hệ giữa số nghiệm của PT một ẩn với số giao điểm của hai hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của PT đó, nghiệm của PT chính là hoành độ các giao điểm nghĩa là từ các giao điểm mà chiếu vuông góc lên trục hoành ta sẽ tìm được các nghiệm tương ứng.
 Hai là: Trong khi giải quyết các bài toán về PT, BPT hoặc bài toán tìm GTLN , GTNN của một biểu thức có ĐK mà phải thực hiện việc đặt ẩn phụ thì việc tìm ĐK của ản phụ là rất cần thiết, việc tìm ĐK của ẩn phụ thực ra là tìm tạp giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của bài toán đã cho. Sau khi tìm được ĐK của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phải được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên ĐK của nó.
 Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về bài toán PT, BPT có tham số hoặc bài toán tìm GTLN, GTNN có liên quan đến phép đặt ẩn phụ.
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
 Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về PT, BPT và các bài toán tìm GTLN, GTNN đặc biệt là các bài toán về PT, BPT chứa tham số và trong lời giải có việc đặt phụ.
 Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần: PT, BPT, hệ PT quy về bậc cao một ẩn. PT, BPT chứa ản dưới dấu căn bậc hai và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối. PT lượng giác. PT, BPT mũ và logarit.
4 . Kế hoạch nghiên cứu
 Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần cơ sở thực tiến để đưa ra lý do chọn đề tài tôi đã cho các em học sinh từ lớp 10 làm các bài toán về PT, BPT quy về bậc hai, PT, BPT chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai có liên quan đến tham số và đặt ẩn phụ. Các em học sinh lớp 11 làm các bài toán về PT lượng giác có liên quan đến tham số, bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thưc lượng giác nói trung là đều phải đặt ẩn phụ. Khi đó học sinh có thể làm được các bài toán mà sau khi đặt ẩn phụ quy về PT bậc hai có thể tính toán đơn thuần thông qua biệt thức đenta hoặc sau khi biến đổi cô lập tham số ta được một vế là hàm số bậc hai đối với ẩn phụ, nhưng nhiều em vẫn làm không chính xác do không để ý tìm ĐK của ẩn phụ hoặc có tìm ĐK của ẩn phụ nhưng tìm không chính xác.
 Với các bài toán có tham số mà sau khi đặt ẩn phụ lại quy về PT, BPT có chứa hàm số đa thứ bậc ba, bạc bốn hoặc hàm số phân thức thì học sinh không thể giải được vì khi đó các em chưa được học khảo sát các loại hàm số này. 
 Các vướng mắc nói trên sẽ được giải quyết toàn diện khi học sinh đã học về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số. Do đó từ đầu năm học 2009 – 2010 tôi đã nghiên cứu đề tài nói trên thông qua một số tiết tự chon nâng cao tại hai lớp 12A4, 12A6 và từ đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận
a) Tìm số nghiệm của phương trình
 Xét PT , (1) . Trong đó là ẩn thực và là tham số thực
- Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số ( có thể nhận thấy hình dạng đồ thị hàm số thông qua BBT của nó ) và đường thẳng là đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng . 
- các nghiệm của PT (1) chính là hoành độ của các giao điểm.
b) Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số
* Từ việc lập BBT của hàm số trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là GTLN ( GTNN ) của hàm số .
* Nếu hàm số xác định và liên tục trên đoạn thì ta có thể tìm GTLN và GTNN theo các bước sau :
- Tìm các điểm trên đoạn mà tại đóbằng 0 hoặc không xác định
- Tính các giá trị 
- Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là GTLN (GTNN ) của hàm số trên đoạn 
c) Tìm tham số trong bài toán bất phương trình
Nếu hàm số có GTLN và GTNN trên tập xác định khi đó
 BPT : thỏa mãn khi và chỉ khi 
 thỏa mãn khi và chỉ khi 
 có nghiệm khi và chỉ khi 
 có nghiệm khi và chỉ khi 
Trong trường hợp hàm số không có GTLN hoặc GTNN trên tập ta phải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp 
2. Thực trạng của vấn đề
 Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như sau:
 Trong đợt ôn tập hè năm 2009 cho các em học sinh lớp 11 chuẩn bị lên lớp 12 trong phần ôn tập môn toán có một số tiết ôn tập về phần PT, BPT đã học ở lớp 10 và lớp 11 tôi đã cho học sinh làm một số bài về PT, BPT có chứa tham số và có phải thực hiện việc đặt ẩn phụ và dặn các em về ôn tập thêm để đến đầu năm học lớp 12 tôi cho học sinh lớp 12A4 và 12A6 làm bài kiểm tra khảo sát 55 phút trong giờ tự chọn nâng cao với đề kiểm tra như sau:
 Câu I. ( 3 điểm ) Tìm tham số để PT sau có nghiệm duy nhất:
 (1)
 Câu II. ( 3 điểm ) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
 Câu III. ( 4 điểm ) Cho PT: (2)
1. Giải PT (2) khi 
2. Tìm tham số để PT (2) có nghiệm
 Kết quả thu được với các mức điểm được tính tỉ lệ phần trăm như sau: 
 Điểm
 Lớp
1 – 2,5
3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
Lớp 12A4
( 55 HS )
11%
27%
42%
16,5%
3,5%
Lớp 12A6
( 55 HS )
18%
36%
35%
11%
0%
 Để phân tích lý do có kết quả thấp như trên tôi xin trình bày một lời giải đúng: 
Câu I . 
ĐK ; PT (1) (1a)
PT (1) có nghiệm duy nhất PT (1a) có đúng một nghiệm thỏa mãn tức là đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại đúng một điểm trên khoảng 
 là hàm số bậc hai có hệ số dương nên có bảng biến thiên sau:
1 2 +
 0
 -1
Từ BBT suy ra là ĐK phải tìm
Câu II . TXĐ: ; Đặt 
Theo BĐT Cosi : 
Ta được 
Đặt 
 ( để học sinh hiểu rõ tính chất trên cần biểu diễn trên đường tròn lượng giác )
Thì với 
Bảng biến thiên của hàm số bậc hai 
 1
Từ BBT suy ra 
Câu III. TXĐ: ; Đặt 
 PT (2) trở thành: (2a)
1. Khi ta có PT: 
 Với 
 Với , vô nghiệm vì vế trái 
Vậy khi PT đã cho có nghiệm 
3. Ta phải tìm ĐK của 
 và 
Mặt khác theo tính chất 
 Vậy 
PT (2) có nghiệm PT (2a) có nghiệm 
Xét hàm số trên đoạn 
Có bảng biến thiên 
-1 0 1 
 -1
 3
Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là 
Những sai lầm của học sinh trong khi làm bài kiểm tra :
Câu I : Sau khi biến đổi về PT (1a) 
- Một số trường hợp chỉ yêu cầu biệt thức đenta bằng không mà không quan tâm đến ĐK
- Một số trường hợp đã tính các nghiệm và so sánh với số 1 nhưng xét chưa hết các trường hợp 
Câu II : Sau khi đặt 
- Một số trường hợp không có ĐK của 
- Một số trường hợp cho rằng 
Câu III :
a. Một số trường hợp không có lời giải mặc dù ý này có thể giải theo nhiều cách: đặt một ẩn phụ như trên hoặc đặt hai ẩn phụ và quy PT đã cho về hệ PT.
b. Hầu hết học sinh làm sai vì không nghĩ đến việc tìm ĐK của ẩn phụ hoặc có tìm ĐK nhưng tìm không chính xác.
3. Các phương pháp đã tiến hành
 Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12, bắt đầu là phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tự chọn nâng cao, tôi đã lồng ghép các bài tập liên quan đến tìm tham số và đặt ẩn phụ. Nhưng vì thời gian không có nhiều, hơn thế để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh một số bài tập để các em về nhà nghiên cứu tìm lời giải. Trên lớp tôi cho một số học sinh lên bảng làm bài và một số học sinh khác nhận xét lời giải. Sau đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một số điểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng.
 Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết của mình thành bốn phần sau:
- Phương trình , bất phương trình bậc cao một ẩn
- Phương trình , bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
- Phương trình lượng giác
- Phương trình , bất phương trình mũ và logarit
 PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN
Bài 1. Tìm tham số để PT: , (1) có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm bé hơn 1
Giải 
 PT (1) , (1a) . 
Yêu cầu của đề bài tương đương với PT (1a) có ba nghiệm phân biệt sao cho tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn 
Ta có 
 ; 
Bảng biến thiên của hàm số 
 -4
- 0 1 2 + 
x
 + 0 - - 0 +
 0
 -2
 Từ BBT suy ra điều kiện phải tìm là 
Nhận xét: Nghiệm của (1a) là hoành độ giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số tức là từ mỗi giao điểm ta chiếu vuông góc lên trục hoành sẽ suy ra vị trí các nghiệm.
Bài 2. Biện luận theo số nghiệm của PT: , (2)
Giải
Đặt 
PT (2) trở thành , (2a)
Xét hàm số với có 
Bảng biến thiên của hàm số 
 +
-
Từ BBT ta thấy 
- Nếu ( 2a) không có nghiệm nên ( 2) vô nghiệm
- Nếu ( 2a) có một nghiệm nên ( 2) có một nghiệm 
- Nếu ( 2a) có một nghiệm nên ( 2) có hai nghiệm phân biệt
Nhận xét:
- Thay vì việc khai dấu giá trị tuyệt đối ta thực hiện việc đặt ẩn phụ để có lời giải ngắn gọn hơn
- Lưu ý quan hệ giữa số nghiệm theo ẩn và số nghiệm theo ẩn 
Bài 3. Tìm tham số để PT: , ( 3) 
 c ... 
Đặt 
PT trên trở thành 
 (1a) với 
Xét hàm số với 
PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi PT (1a) có nghiệm tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số trên khoảng 
 suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 
 mà 
Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
Trong lời giải của bài toán trên nhất thiết phải tìm được ĐK chính xác cho ẩn phụ
Trước kia nhờ định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai có thể thực hiện lời giải theo cách so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với các số 0 và 1 nhưng khá phức tạp và phải xét nhiều khả năng có thể xảy ra
Bài 2. Tìm tham số để PT: , (2) 
 có nghiệm
Giải 
 PT (2) xác định 
 PT (2) 
Đặt ; 
 và 
Ta được PT: 
	, (2a) với ĐK 
PT (2) có nghiệm PT (2a) có nghiệm 
Xét hàm số với 
 là hàm số nghịch biến trên đoạn 
Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét: 
Cần để ý sự liên hệ giữa và 
Việc tìm ĐK của có thể thực hiện theo cách khảo sát hàm số trên đoạn 
Bài 3. Tìm tham số để PT sau có nghiệm:
 , (3)
Giải 
ĐK: và 
PT (3) 
 với chú ý
Đặt 
Theo BĐT Cosi 
Ta được: , (3a) với 
Ta thấy PT (3) có nghiệm PT (3a) có nghiệm thỏa mãn ĐK 
Xét hàm số với ĐK 
Bảng biến thiên 
 -2 2 +
 4
 -4
Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là hoặc 
Nhận xét:
 Có thể giải bài toán trên theo cách so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với các số -2 và 2 nhưng rất phức tạp , trong khi giải theo cách ứng dụng đạo hàm lại rất đơn giản. Tuy nhiên làm theo cách nào thì vẫn phải chú ý tìm chính xác ĐK của ẩn phụ. 
Bài 4. Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn ĐK: A>B>C. Tìm số nghiệm của PT 
 (4)
Giải
Suy ra ĐK xác định của PT (4) là khi đó 
 PT (4) (4a)
Xét hàm số với ĐK 
 = 
Bảng biến thiên	
 +
2
+
Vì 
Từ BBT suy ra đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại đúng một điểm nên PT đã cho có đúng một nghiệm
Bài 5. tìm tham số để PT sau có nghiệm: (5)
Giải
 PT (5) 
 Đặt 
 PT (5) trở thành (5a) với ĐK 
 PT (5) có nghiệm PT (5a) có nghiệm 
 Xét hàm số liên tục trên đoạn 
 Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Đề bài trên có thể phat biểu theo cách tương tự là BPT hoặc tìm GTLN và GTNN của biểu thức ở vế trái
Bài 6. Giải PT (6) với và 
Giải 
 PT (6) 
 Đặt 
 Ta được PT (6a) với ĐK 
 Xét hàm số trên khoảng 
Bảng biến thiên
 0 +
 Từ BBT suy ra và đẳng thức (6a) xảy ra khi 
 vì 
Nhận xét:
 Có thể thay đề bài trên bởi bài tập tương tự là tìm GTLN và GTNN của biểu thức ở vế trái trên đoạn 
Bài 7. Tìm tham số để BPT: (7) 
 nghiệm đúng 
Giải
 BPT (7) 
 Đặt 
 BPT trên trở thành (7a) với ĐK 
 Xết hàm số 
 BPT (7) nghiệm đúng BPT (7a) nghiệm đúng 
Bảng biến thiên
 + 0 
Tư BBT suy ra 
Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét :
 Bài toán trên có thể giải theo cách so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với các số 0 và 1 nhưng khá phức tạp và có thể không xét hết các khả năng . Lưu ý rằng 
Bài tập tương tự
1.Tìm tham số để PT sau có nghiệm:
2.Tìm tham số để PT sau có nghiệm: 
3.Tìm tham số để BPT nghiệm đúng :
4.Tìm tham số để BPT nghiệm đúng :
 Hướng dẫn: 
 Đặt 
 mà 
 BPT đã cho trở thành BPT ẩn với ĐK 
5.Tìm tham số để PT sau có nghiệm : 
	PHẦN IV : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Bài 1. Tìm tham số để PT sau có nghiệm duy nhất: (1)
Giải 
PT (1) 
PT (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi PT (1a) có nghiệm duy nhất thỏa mãn ĐK và tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số 
 tại đúng một điểm trên tập 
Ta có 
Bảng biến thiên
 0 1 +
 0
 0 +
 0
 4
Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
- có thể phát biểu đề bài theo tổng quát hơn: Biện luận theo tham số số nghiệm của PT đã cho 
- Lưu ý nhờ phép biến đổi logic nên PT (1) trở thành PT (1a) với ĐK và 
Bài 2. Tìm tham số để PT sau có nghiệm:
 (2)
Giải
ĐK: 
Đặt 
PT (2) trở thành với ĐK 
 , (2a) với 
PT (2) có nghiệm PT (2a) có nghiệm 
Xét hàm số xác định và liên tục trên đoạn 
 là hàm số đồng biến trên đoạn 
 Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
- Đề bài có thể phát biểu tương tự thay PT là BPT
- Lưu ý phải tìm ĐK chính xác của ẩn phụ, học sinh thường làm sai bước này và sai theo nhiều kiểu khac nhau
Bài 3. Tìm tham số để PT (3) 
 có hai nghiệm trái dấu
Giải
Đặt ; 
PT (3) trở thành 
	 (3a) với 
 Nếu 
 Nếu 
 Do đó 
Lưu ý với mỗi số PT chỉ có một nghiệm ẩn 
PT (3) có hai nghiệm trái dấu PT (3a) có hai nghiệm sao cho tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số tại đúng hai điểm với ĐK hoành độ giao điểm thứ nhất thuộc khoảng và hoành độ giao điểm thứ hai trong khoảng 
Hàm số với ĐK 
 Có . 
Bảng biến thiên
 1 
+ 0 
 -1
-3
Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì lời giải của bài toán trên khá gắn gọn nhưng sách giáo khoa hiện hành không trình bày. Nhưng giải theo phương pháp nào cùng đều phải tìm được ĐK của ẩn phụ, mối liên hệ giữa số nghiệm theo ẩn phụ và số nghiệm theo ẩn chính.
Bài 4. Biện luận theo tham số số nghiệm của PT:
 (4)
Giải 
PT (4) (4a)
Số nghiệm của PT (4) bằng số nghiệm của PT (4a)
Xét hàm số trên tập 
 là hàm số đồng biến trên tập 
 Mà 
Suy ra: 
 ; 
Bảng biến thiên
 0 +
 0 + 
 0
Từ BBT suy ra 
Nếu , PT (4) vô nghiệm
Nếu , PT (4) có một nghiệm
Nếu PT (4) có hai nghiệm phân biệt
Nhận xét:
 - Có thể phát biểu bài toán trên theo cách tương tự là tìm GTNN của hàm 
 số 
 - Để xét dấu của đôi khi ta phải tính và khảo sát tính 
 chất của nó.
Bài 5. Tìm tham số để hệ sau có nghiệm:
Giải 
ĐK: . (2) 
 mà 
Vậy hệ đã cho 
 (5a ) với ĐK 
Xét hàm số trên tập 
Hệ đã cho có nghiệm BPT (5a) có nghiệm 
Ta có 
 là hàm số nghịch biến trên tập mà 
 suy ra 
 Tóm lại ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Qua lời giải trên ta thấy việc giải hệ trên chính là giải BPT (5a) trên tập 
Bài 6. Tìm tham số để BPT (6) 
 	nghiệm đúng có tính chất 
Giải
 BPT (6) 
 Đặt 
 Xét trên tập 
Bảng biến thiên của hàm số 
 +
+
1
Từ BBT của suy ra 
BPT đã cho trở thành với ĐK 
 (6a) với 
Xét hàm số trên nửa khoảng 
BPT (6) nghiệm đúng BPT (6a) nghiệm đúng 
Ta có 
Bảng biến thiên của hàm số 
 1 2 +
 0 +
3
Từ BBT suy ra 
Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét: Việc tìm ĐK của ẩn phụ chính là việc tìm tập giá trị của hàm số trên tập 
Bài 7. Tìm tham số để BPT sau có nghiệm: (7)
Giải 
 PT (7) 
 Đặt 
 Ta được BPT (7a) với ĐK 
 Xét hàm số trên đoạn 
Ta thấy BPT (7) có nghiệm BPT (7a) có nghiệm 
Ta có 
là hàm số nghịch biến trên đoạn , mà 
 Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Tương tự bài toán trên có thể có một số bài toán sau:
 1) Tìm tập giá trị của hàm số 
 2) Tìm tham số để hệ sau có nghiệm: 
Bài tập tương tự 
1. Bện luận theo tham số số nghiệm của PT: 
2. Giải PT: 
 Hướng dẫn: Ước lượng hai vế bằng cách sử dụng hàm số và BĐT Cosi
3. Tìm tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn ĐK 
4. Tìm tham số để hệ sau có nghiệm: 
 Hướng dẫn: BPT thứ nhất 
 . Bài toán trên trở 
 thành tìm để BPT có nghiệm 
5. Tìm tham số để BPT sau có nghiệm: 
 Hướng dẫn: xét hàm số trên đoạn 
6. Tìm tham số để PT: 
 có nghiệm thuộc khoảng 
7. Tìm tham số để BPT: thỏa mãn với mọi 
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
 Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một số bài tập người giáo viên có thể nắm bắt được tình hình tiếp thu bài học. Nhưng để có được sự kết luận toàn diện nên cuối học kỳ I năm học 2009 – 2010 khi học sinh đã học song các phần liên quan đến nội dung của bài viết này tôi đã cho các lớp 12A4 , 12A6 , 12A5 và 12A9 làm bài kiểm tra 55 phút. Trong đó hai lớp 12A4 và 12A6 là các lớp thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tài còn hai lớp 12A5 và 12A9 là các lớp đối chứng không tham gia trong việc triển khai đề tài 
 Với đề kiểm tra như sau:
Câu I. ( 2,5 điểm ) Tìm ĐK của để PT sau có sáu nghiệm phân biệt:
Câu II. (2,5 điểm ) Tìm tham số để PT sau có nghiệm duy nhất: 
Câu III. (2,5 điểm ) Tìm tham số để BPT sau thỏa mãn 
Câu IV. (2,5 điểm ) Tìm tham số để PT sau có nghiệm :
 Sau khi chấm bài kiểm tra tôi thu kết quả với mức điểm được tính phần trăm như sau: 
 Lớp thực nghiệm:
 Điểm
Lớp
1 1 – 2,5
3 3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
Lớp 12A4
( 55 HS )
0%
5,5%
29%
38,5%
27%
Lớp 12A6
( 55 HS )
2%
9%
35%
36%
18%
 Lớp đối chứng: 
 Điểm 
Lớp
1 – 2,5
3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
Lớp 12A5
( 54 HS )
11%
24%
44,5%
18,5%
2%
Lớp 12A9
( 53 HS )
13%
28%
44%
15%
0%
 Các bài làm đúng có cách giải phổ biến theo hướng sau:
Câu I: ĐK ; Đặt . PT đã cho trở thành:
 (*1)
PT (1) có sáu nghiệm phân biệt PT (*1) có ba nghiệm dương phân biệt tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt trên khoảng 
Câu II: ĐK ; PT đã cho tương đương với PT:
 (*2)
PT đã cho có nghiệm duy nhất PT (*2) có đúng một nghiệm thỏa mãn 
Khảo sát hàm số trên khoảng 
Hoặc đặt ẩn phụ với ĐK và quy PT (*2) về PT theo ẩn phụ.
Câu III: Đặt 
 Chú ý và . BPT đã cho trở thành:
 (*3) với ĐK 
 Xét hàm số trên tập ...
Câu IV: ĐK . PT đã cho tương đương với PT:
 (*4)
 Đặt ...
............................................................................................................
 Căn cứ vào kết quả kiểm tra của hai lớp thực nghiệm trước và sau khi thực hiện đề tài sáng kiến. Đối chiếu so sánh kết quả làm bài của hai lớp thực nghiệm và hai lớp còn lại không được tham gia thực nghiệm ta thấy: Với các nội dung đã trình bày trong bài viết này đã rúp các em học sinh lớp 12 thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa bài toán PT, BPT chứa tham số và bài toán khảo sát hàm số đồng thời rúp các em có cái nhìn khá toàn diện về bài toàn PT, BPT chứa tham số và ẩn phụ trong phạm vi toán học THPT góp phần đáng kể hỗ trợ cho các em học sinh trong việc ôn thi vào Đại học.
	III. KẾT LUẬN
 Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 trong một số giờ tự chọn nâng cao, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán PT, BPT đã giúp cho học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa số nghiệm của một PT với số giao điểm của các đồ thị của hai hàm số ở hai vế, học sinh biết cách sử dụng đạo hàm trong nhiều bài toán tìm tham số, học sinh làm bài có những lạp luận chăt chẽ hơn trong những tình huống tìm tham số và đặt ẩn phụ.
 Mặc dù Sách giáo khoa đã giảm tải khá nhiều nhưng trong các đề thi tuyển sinh vào đại học có nhiều bài rất khó được phát triển từ các bài tập trong sách giáo khoa , nên tôi mong muốn với lần xuất bản tới, sau chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Sách bài tập giải tích 12 sẽ có thêm những bài tập tự luyện ( có hưỡng dẫn ) thể hiện việc ứng dụng đạo hàm trong những tình huống tìm tham số đối với bài toán PT, BPT để học sinh thấy rõ hơn ý nghĩa của đạo hàm đồng thời có cái nhìn toàn diện hơn về bài toán tìm tham số.
 Với thời gian ngắn, tuổi nghề chưa nhiều nên việc thực hiện đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
 Mỹ Đức , ngày tháng năm 2010
 Ý KIẾN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Tác giả 
 Nguyễn Hà Hưng
	Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo viên , Sách giáo khoa và Sách bài tập Đại số , Giải tích lớp 10 , 
 11 , 12 theo chương trình chuẩn và chương trình nâng cao của nhà xuất bản 
 Giáo Dục
2. Tuyển tập các đề thi tuyển sinh vào các trường Đai học và Cao đẳng từ 
 năm 1996 đến năm 2009 của nhà xuất bản Hà Nội