Sáng kiến kinh nghiệm Tìm lời giải các bài toán bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nhờ đánh giá dấu bằng trong bất đẳng thức Cô-Si

MỤC LỤC
	Trang
Mục lục	1
A. ĐẶT VẤN ĐỀ 	2
	I. Lí do chọn đề tài	2
	II.Mục đích nghiên cứu	2
	III. Đối tượng nghiên cứu	2
	IV. Phương pháp nghiên cứu	3
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ	4
	I. Các kiến thức cần nhớ	4
	I.1 Định nghĩa bất đẳng thức	4
	I.2 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức	4
	I.3 Một số bất đẳng thức thông dụng	4
	I.4 Phân tích tìm lời giải	5
	II. Một số ví dụ	5
III. Bài tập tự luyện:	 18
C.KẾT QUẢ VẬN DỤNG ĐỀ TÀI	 	20
D.KẾT LUẬN	21
TÀI LIỆU THAM KHẢO	22
A.ĐẶT VẤN ĐỀ
I.Lí do chọn đề tài:
Trong thực tế, khi dạy học sinh lớp 10 bất đẳng thức Cô-Si tôi thấy học sinh rất lúng túng trong việc làm bài tập hay định hướng cách làm đặc biệt là học sinh ở mức độ trung bình.
	Xét bài toán:
	Cho a,b,c >0 và a+b+c=3 . Chứng minh rằng:	
Lời giải:
	Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:
Cộng các vế của các bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức:
(đpcm)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1	
Khi đọc một bài toán bất đẳng thức(ví dụ như bài toán trên ) học sinh thường đặt ra những câu hỏi “ Tại sao lại chọn được số 1”, “có phải do đoán mò không”. Nếu không được giải đáp và hướng dẫn cách tìm lời giải sẽ dẫn đến tình trạng học sinh ngại các bài toán về bất đẳng thức vì cho rằng lời giải và đề không có quan hệ lôgíc với nhau nên khó tìm ra lời giải cho bài toán. Thực chất việc phát hiện các dấu hiệu đó không phải là ngẫu nhiên mà thông qua phân tích giả thiết bài toán. 
Qua ®Ò tµi “Tìm lời giải các bài toán bÊt ®¼ng thøc, giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) nhê ®¸nh gi¸ dÊu b»ng trong bÊt ®¼ng thøc Cô-Si” t«i muèn gióp häc häc sinh cã thªm mét ph­¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc, t×m GTLN vµ GTNN, gióp häc sinh cã thÓ tù ®Þnh h­íng ®­îc ph­¬ng ph¸p chøng minh vµ høng thó h¬n khi häc vÒ bÊt ®¼ng thøc nãi riªng vµ bé m«n To¸n nãi chung ®ã lµ lý do t«i chän ®Ò tµi nµy, khi nghiªn cøu kh«ng tr¸nh khái cßn nh÷ng h¹n chÕ rÊt mong ®­îc sù gãp ý cña c¸c thµy c« gi¸o ®Ó ®Ò tµi ®­îc hoµn thiÖn h¬n, t«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n. 
II.Mục đích nghiên cứu: 
	Giúp học sinh có thể vận dụng được bất đẳng thức Cô-Si vào chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN. Từ đó biết cách vận dụng sáng tạo linh hoạt giữa các bài toán.
III. Đối tượng nghiên cứu
 	Các bài toán về bất đẳng thức, GTLN, GTNN có thể giải được bằng bất đẳng thức Cô-Si, đặc biệt các bài toán gần gũi với những kì thi vào Cao Đẳng và Đại Học .
IV. Phương pháp nghiên cứu 
 Nghiên cứu, tìm hiểu một số tài liệu và dựa trên kinh nghiệm giảng dạy trong những năm qua.
www.VNMATH.com
B. gi¶i quyÕt vÊn ®Ò
I.Các kiến thức cần nhớ
I.1. §Þnh nghÜa bÊt ®¼ng thøc 
	Các mệnh đề có dạng “ab” hoặc “” hoặc “” được gọi là các bất đẳng thức.
I.2. Mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt đ¼ng thøc :
	TÝnh chÊt 1: a > b b < a 
	TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c => a > c 
TÝnh chÊt 3: a > b a + c > b + c
	 HÖ qu¶ : a > b a - c > b - c 
 a + c > b a > b - c 
	TÝnh chÊt 4: a > c vµ b > d => a + c > b + d 
 a > b vµ c a - c > b - d 
	TÝnh chÊt 5: a > b vµ c > 0 => ac > bc 
 a > b vµ c ac < bc 
	TÝnh chÊt 6: a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd
	TÝnh chÊt 7: a > b > 0 => a2n > b2n (n nguyên dương)
 a > b a2n+1 > b2n+1 (n nguyên dương)
	TÝnh chÊt 8: Nếu b>0 thì 
	Tính chất 9: 
I.3. Mét sè bÊt ®¼ng thøc th«ng dông :
	* Bất đẳng thức Cô-Si hai số:
	 Cho 2 số thực không âm a,b khi đó: 
	 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b
	* Bất đẳng thức Cô-Si ba số:
	 Cho 3 số thực không âm a,b,c khi đó: 
	 Dấu = xảy ra khi a=b=c
	* Bất đẳng thức Cô-Si tổng quát:
	 Cho n số thực không âm khi đó:
	Dấu = xảy ra khi 
	*Các bất đẳng thức cơ bản liên quan hay dùng:
	 1. a2 + b2 2ab ; Dấu = xảy ra khi a=b
	 2. ; Dấu = xảy ra khi a=b
	 3. ; Dấu = xảy ra khi a=b
	 4. ; Dấu = xảy ra khi a=-b
 5. Nếu a,b0 thì; Dấu = xảy ra khi a=b
	 6. Nếu a,b>0 thì ; Dấu = xảy ra khi a=b>0
	 7. Nếu a,b>0 thì ; Dấu = xảy ra khi a=b>0
	 8. Nếu a,b>0 thì ; Dấu = xảy ra khi a=b>0
	 9. Nếu a,b > 0.thì: (a + b)() 4 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b>0
	 10.Nếu a,b>0 thì ; Dấu = xảy ra khi a=b>0
	 11. Nếu a,b>0 thì ; Dấu = xảy ra khi a=b>0
 12. a2 + b2 + c2 ab + ac + bc .Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c.
 13. a2 + b2 + c2 (a + b + c)2 ab + ac + bc .
	 Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c.
	 14. Nếu a,b,c > 0. thì: (a + b + c)() 9 . 
	Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c >0
	 15. Nếu a,b,c > 0. thì:. Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c>0
I.4. Phân tích tìm lời giải:
	Để giải bài toán trước tiên ta dự đoán dấu “=” của bất đẳng thức hay các điểm mà tại đó đạt GTLN, GTNN. Từ dự đoán dấu “=”, kết hợp với các bất đẳng thức quen thuộc dự đoán phép đánh giá. Mỗi phép đánh giá phải đảm bảo nguyên tắc dấu ‘=’ xảy ra ở mỗi bước phải giống như dấu ‘=’ dự đoán ban đầu.
	Để làm rõ, tôi xin phân tích cách suy nghĩ tìm lời giải trong một vài ví dụ sau:
II. Một số ví dụ: 
Bµi 1: Cho sè thực d­¬ng 
	Chứng minh rằng: 
Ph©n tÝch:
+ DÊu “=” x¶y ra khi a=3; víi a=3 th× 
+ Khi ¸p dông Cô-Si cho vµ . Ta cÇn chän sao cho khi ®ã =9
Lêi gi¶i đúng:
	Víi khi ®ã 
Tõ (1) vµ (2) suy ra (®pcm)
DÊu “=” x¶y ra 
Bài 2: Cho các số thực, chứng minh rằng: 
Ph©n tÝch:
Sai lầm thường gặp:
 	Ta có:, 
Lại có 
Nguyên nhân sai lầm:
 Dấu “=” xảy ra 
+ Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi .Vì vậy khi áp dụng Cô-Si cho và : 
Lêi gi¶i đúng:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:
Dấu “=” xảy ra khi .
Bài 3:(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang 2010-2011)
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng: 
Phân tích:
	+ 
	+ Dự đoán dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1
	+ Ta cần áp dụng Cô-Si cho 3 số để chuyển a3 về a và làm mất mẫu nên:
Lời giải đúng:
Bất đẳng thức cần chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 3 số ta có:
	Từ (1),(2),(3) suy ra 
	(4)
Lại có 
Từ (4) và (5) suy ra 
(đpcm)
Dấu “=” xảy ra 
Bài 4: (Đề thi học sinh giỏi thành phố Đà Nẵng 2009-2010) Cho các số thực dương x, y, z và xyz=1. Chứng minh rằng: 
Phân tích :
	+ Dấu =xảy ra khi x=y=z=1
	+ 
	+ để làm mất căn bậc 3 ta có thể áp dụng bđt Cô-Si 3 số y, x, x đảm bảo dấu = vẫn xảy ra	 
Lời giải đúng :
Ta có 
Theo bất đẳng thức Cô-Si :
 (1)
 (2)
 (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra (đpcm)
Dấu ‘=’ xảy ra khi x=y=z=1
Bài 5: (Đề thi học sinh giỏi Nghệ An -2009)
Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng: 
Phân tích:
	+ Dấu ‘=’ xảy ra x=y=z=1
	+ Khi x=y=z=1 ta thấy 
,9=1+1+1+1+1+1+1+1+1
	+ Vậy gồm 12 số hạng có giá trị bằng 1và có 3 số hạng có giá trị bằng 1 .
Lời giải đúng:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:
	(1)
 (2)
Nhân vế với vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta có :
(đpcm)
	Dấu ‘=’ xảy ra khi x=y=z=1
Bài 6: Cho ba số thực dương a, b, c và a+b+c=3.
 Chứng minh rằng:
Phân tích:
+ Sai lầm thường gặp:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:
Suy ra >6 
suy ra chưa chứng minh được theo yêu cầu của đề
	+ Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra khi a=b=c=1 khi đó a+3b=b+3c=c+3a=4 để dấu ‘=’ trong bất đẳng thức Cô-Si xảy ra thì ta cần ghép a+3b, b+3c, c+3a với 4
Lời giải đúng:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:
Suy ra (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1
Bài 7: Cho ba số thực dương x, y,z thoả mãn x+y+z
CMR: (Đề thi đại học khối A năm 2003)
Phân tích:
	Dấu “=” xảy ra khi 
	(81 phân số)
Lời giải đúng:
	Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có:
Suy ra 
(suy ra đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi 
Bài 8: Cho a,b,c là 3 số thực dương và thoả mãn 
CMR: 	(*)
Phân tích :
	+ Dấu “=” xảy ra khi 
	+ khi đó có thể tách thành 33 số hạng có giá trị bằng nhau và bằng 
Lời giải đúng :
	Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 33 số dương.
chứng minh tương tự ta có 
Từ (1),(2),(3) ta có:
Dấu ‘=’ xảy ra 
Bài 9: Cho 4 số thực dương a, b, c, d thoả mãn a+b+c+d=4
CMR:
Phân tích:
	+ Dấu ‘=’ xảy ra khi a=b=c=d=1
	+ Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si trực tiếp không đi đến đâu nên ta sử dụng Cô-Si ngược dấu.
Lời giải đúng:
	Ta có Dấu ‘=’ xảy ra khi b=1
Chứng minh tương tự ta có :
 Dấu ‘=’ xảy ra khi c=1
 Dấu ‘=’ xảy ra khi d=1
 Dấu ‘=’ xảy ra khi a=1
Suy ra 
(suy ra đpcm)
Dấu ‘=’ xảy ra khi a=b=c=d=1
Bài 10: Cho 3 số thực dương . Chứng minh rằng: 
Phân tích:
Dấu ‘=’ xảy ra khi a=b=c khi đó 
Ta cần chọn m, n phù hợp sao cho 
 suy ra 3m=2n nên ta chọn được m=3 và n=2.
Lời giải:
	Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 5 số ta có:
	Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có 
Dấu ‘=’ xảy ra khi a=b=c
Bài 11: (Đề thi học sinh giỏi Hải Phòng -2010)
Cho ba số thực dương a,b,c và . 
Chứng minh rằng: 
Phân tích:
	+ Dự đoán ta chọn được bộ (a,b,c) là hoán vị của
sao cho . + Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra khi . Khi áp dụng bất đẳng thức Cô-Si đảm bảo dấu bằng phải xảy ra nên ta ghép và 
 và .
Lời giải đúng: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có: 
Từ (1), (2) và (3) ta có 
	(đpcm)
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 
Bài 12: Cho hai số thực dương x, y. Chứng minh rằng:
Phân tích: Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra khi x=3 và y=9 khi đó 
Lời giải:
	Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 4 số ta có 
	Từ (1),(2) và (3) suy ra 
(đpcm)
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
Bài 13: Cho 3 số thực dương a, b, c và a+b+c=6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Phân tích:
Sai lầm thường gặp:
	Áp dụng Cô-Si cho 3 số ta có:
Suy ra Max P=10
Nguyên nhân sai lầm:Dấu ‘=’ trong các bất đẳng thức trên không xảy ra 
	 tức là không tồn tại a,b,c thoả mãn yêu cầu bài toán để P=10
	Dự đoán P đạt Max khi a=b=c=2 và khi đó a+3b=b+3c=c+3a=8 để dấu ‘=’ trong bất đẳng thức Cô-Si xảy ra thì ta cần ghép a+3b, b+3c, c+3a với 8
Lời giải:
	Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:
Dấu ‘=’ xảy ra 
Vậy Max P=6 khi a=b=c=2
Bài 14: Cho 3 số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Phân tích:
	Sai lầm thường gặp
	Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có
	Nguyên nhân sai lầm:
	 (vô lí vì a,b,c>0)
	+ Dự đoán P đạt Min khi a=b=c>0 và khi đó 
Lời giải:
	Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:
Từ (1),(2),(3) suy ra 
Dấu ‘=’ xảy ra 
Vậy khi a=b=c>0
Bài 15: Cho 3 số thực dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Phân tích:
+ Sai lầm thường gặp:
 Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 2 số
 Suy ra Vậy MinP =6
+ Nguyên nhân sai lầm :
 MinP=6(vô nghiệm)
+Dự đoán P đạt min khi x=y=z>0
Lời giải đúng:
Ta có 
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có:
 (1) Dấu =xảy ra khi x=y=z>0
Lại có:
Vậy 
 (2) Dấu ‘=’ xảy ra khi x=y=z>0
Từ (1) và (2) suy ra 
Vậy MinP= khi x=y=z>0
III. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho . Chứng minh rằng:.
Bài 2: (Đề thi ĐH-CĐ Khối D-Năm 2005) Cho , 
Chứng minh rằng: 
Bài 3: Cho 3 số dương thỏa mãn , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 4: Cho ,chứng minh rằng 
Bài 5: Cho x,y,z > 0 tho¶ m·n x + y + z = 1.
a) Chứng minh rằng : .
b) T×m giá trị nhỏ nhất cña: A = .
Bài 6: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình –Năm 2010)
Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng:
Bài 7: Cho a,b,c,d>0 và a+b+c+d=2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 8: Cho a,b,c>0 và abc=1. Chứng minh rằng:
Bài 9: Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng: 
Bài 10: Cho a,b,c>0 .Chứng minh rằng: 
Bài 11: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
Bài 12: Cho a,b,c>0 và abc=1 .Chứng minh rằng:
Bài 13: Cho a,b,c>0 và abc=1 .Chứng minh rằng:
Bài 14: Cho a,b,c>0 . Chứng minh rằng:
Bài 15: Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng:
Bài 16: Cho a,b,c>0 . Chứng minh rằng: 
Bài 17: Cho a,b,c>0 và a+b+c=3abc. Chứng minh rằng:
Bài 18: Cho a,b,c>0 và abc=1. Chứng minh rằng:
Bài 19: Cho a,b,c>0 và a+b+c=3abc .Chứng minh rằng: 
Bài 20: Cho a,b,c>0 . Chứng minh rằng: 
Bài 21: Cho a,b,c>0 . Chứng minh rằng: 
Bài 22: Cho a,b,c>0 và a+b+c=2010. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 23: Cho 3 số thực dương a,b,c và a+b+c
CMR: 
C.KẾT QUẢ VẬN DỤNG ĐỀ TÀI
 Đề tài này đã được bản thân tôi dạy thí điểm trên các em học sinh lớp 10A , 10B. Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập một cách say mê hứng thú. chất lượng học tập của học sinh tăng nên rõ rệt. Góp phần không nhỏ vào luyện trí thông minh, khả năng tư duy sáng tạo của học sinh.
Trước khi giảng dạy đề tài tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 45 phút
Đề bài:
	Câu 1(3đ):Cho a,b là các số thực dương. CMR:
	Câu 2(4đ)Cho a,b,c là các số thực dương và a+b+c=3
	CMR:
	Câu 3(3đ):Cho a,b là các số thực dương. CMR:
Kết quả:
Lớp
Sĩ số
Điểm TB
(5 đến 6,4)
Điểm khá
(6,5 đến 7,9)
Điểm giỏi
(từ 8 trở lên)
Đạt yêu cầu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10A
45
25
55,66
15
33,33
5
11,11
45
100
10B
45
30
66,65
12
26,68
3
6,67
45
100
	Sau khi giảng dạy đề tài tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 45 phút
Đề bài:
	Câu 1:(3đ) Cho a,b,c là 3 số thực dương. CMR: 
	Câu 2:(4đ) Cho a,b,c là 3 số thực dương. CMR: 
	Câu 3:(3đ) Cho a,b,c>0 và a+b+c=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Kết quả:
Lớp
Sĩ số
Điểm TB
(5 đến 6,4)
Điểm khá
(6,5 đến 7,9)
Điểm giỏi
(từ 8 trở lên)
Đạt yêu cầu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10A
45
10
22,23
20
44,44
15
33,33
45
100
10B
45
15
33,34
20
44,44
10
22,22
45
100
D. KÕt luËn
	C¸c bµi tËp vÒ bÊt ®¼ng thøc, tìm GTNN,GTLN th­êng lµ t­¬ng ®èi khã ®èi víi häc sinh, nh­ng khi giảng dạy xong ®Ò tµi häc sinh sÏ thÊy r»ng viÖc tìm lời giải các bài toán bất đẳng thức rất lôgíc và việc sử dụng tốt bất đẳng thức Cô-Si đã có thể giải được rất nhiều bài toán vÒ bÊt ®¼ng thøc. §ång thêi ®øng tr­íc bµi to¸n khã cho dï ë d¹ng bµi tËp nµo häc sinh còng cã h­íng suy nghÜ vµ tËp suy luËn, c¸c em sÏ cã tự tin hơn khi giải các bài toán bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN. Bất đẳng thức là một chủ đề khó, để giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo đề tài còn có thể tiếp tục phát triển sang việc tìm lời giải các bài toán bất đẳng thức nhờ dự đoán dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức Bunhiacốpsky.
Thông qua đề tài này tôi mong hội đồng khoa học và các đồng nghiệp kiểm định và góp ý để đề tài ngày một hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
Xin chân thành cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Ban tổ chức kỳ thi Olympic 30-4, Tuyển tập các đề thi Olympic 30 - 4 môn Toán, NXB Giáo dục.
Bộ giáo dục đào tạo- Hội toán học Việt Nam (1996- 2007), Tạp chí toán học và tuổi trẻ, NXB Giáo dục.
Doãn Minh Cường (1996-2006), Giới thiệu đề thi tuyển sinh, NXB Giáo Dục.
Đoàn Quỳnh-Doãn Minh Cường-Trần Nam Dũng -Đặng Hùng Thắng (2010), “Tài liệu chuyên toán đại số 10”, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
GS. Phan Đức Chính (1996), 101 bài toán chọn lọc, NXB Trẻ, TP Hồ Chí Minh.
Nguyễn Vũ Thanh (2006), Bất đẳng thức và Giá trị Nhỏ Nhất, NXB Giáo Dục.
Phạm Kim Hùng (2010) “Sáng tạo bất đẳng thức”, Nhà xuất bản Hà Nội.
Phan Huy Khải-Nguyễn Đạo Phương, “Các bài toán chọn lọc về bất đẳng thức”
Trần Tiến Tự (2011) “Lời giải đề thi học sinh giỏi toán 12”,Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội .
Võ Quốc Bá Cẩn-Trần Quốc Anh (2010), “Sử dụng phương pháp Cauchy-Schwarz để chứng minh bất đẳng thức”, Nhà xuất bản đại học sư phạm .