Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp quy về một biến trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chứa nhiều biến

Phần I: Đặt vấn đề
Trong chương trình THPT bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số nhiều biến là một dạng toán khó. Dạng toán này có nhiều trong các đề thi ở các lớp phổ thông và đặc biệt là ở các bài toán hay và khó trong các đề thi đại học.Làm thế nào để học sinh có thể tìm tòi khám phá để đưa về được bài toán về khảo sát bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ở dạng cơ bản đây cũng là vấn đề suy nghĩ trăn trở đối với chúng tôi. 
Vì vậy tôi viết nội dung này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách định hướng giúp các em có thể giải tốt các bài toán tìm GTLN,NN của hàm số có từ hai biến số trở lên mà không coi đó là một dạng bài tập quá khó nữa.
Nội dung bài viết gồm
I/ Đặt vấn đề
II/Nội dung
III/Biện pháp thực hiện.
IV/Kết quả
V/Kết luận
Tuy bản thân đã hết sức cố gắng song không tránh khỏi những thiếu sót.Tôi rất mong được sự góp ý của các quý thầy cô để sáng kiến kinh nghiệm của mình được hoàn thiện hơn!
Thái Phúc ngày 20/07/2012
 Giáo viên
Trần Văn Huấn
 Phần II:Nội dung
 Sáng kiến kinh nghiệm
Phương pháp quy về một biến trong các bài toán 
tìm GTLN,NN chứa nhiều biến.
Ví dụ 1:( Đề thi đh GTVT -2000):Tìm GTNN của hàm số:
 f(x,y)=(x-2y+1)+(2x+my+5)
Tìm tòi,định hướng lời giải:
 -Em có nhận xét gì về dấu của f(x,y)(f(x,y)0)
 -Vậy f(x,y)=0 khi nào?Suy ra dẫn đến hệ?Để tồn tại (x,y) sao cho f(x,y)=0 thì hệ có đk gì?Từ đó suy ra giá trị của m,suy ra GTNN của f?
 -Khi f(x,y)>0 tương đương với hệ nào vô nghiệm, tương đương với m ?Khi đó đặt t=x-2y+1 thì F(t) có GTNN là bao nhiêu?
Bài giải:
 Th1:(x,y) sao cho f(x,y)=0
 Có nghiệmm-4
 Khi đó min f =0
 Th2:Không (x,y) để f(x,y)=0m=-4
 Ta có f(x,y) = (x-2y+1)+(2x+my+5)>0 (x,y)
 t=x-2y+1 f(x,y)=F(t)=5t+12t+9x-2y-11/5=0
 KL: +)Nếu m-4 thì fmin=0
 +)Nếu m=-4 thì fmin=9/5 khi x-2y-11/5=0
Ví dụ 2:( Đề thi đh khối B-2008):Cho 2 số thực x,y thay đổi thỏa mãn hệ thức x+y=1.Tìm GTLN,NN của biểu thức P=
Tìm tòi,định hướng lời giải:
-Em có nhận xét gì về giá trị của P khi y=0
-Khi y0,đặt x=ty thì P(t)=?
-Em hãy đi tìm TGT của P,từ đó suy ra Pmax,Pmin?
Lời giải:
 -Nếu y=0 từ giả thiết ta có x=1 suy ra P=2
 -Nếu yđặt x=ty(tZ) suy ra
 P= (t+2t+3=(t+1)+2>0 t)
 (P-2)t+2(P-6)t+3P=0(1)
 +)Nếu P=2 suy ra t=
 +)Nếu P2 suy ra (1) có nghiệm '0-2P-6P+360-6P3
 Vậy Pmax =3 khi (x=;y=) hoặc (x=-;y=-)
 Pmin =-6 khi (x=-;y=) hoặc (x=;y=-)
Ví dụ 3: ( Cao đẳng Khối A, B – 2008 ) Cho là số thực thỏa mãn . 
Tìm giá trị LN,NN của biểu thức: P=2(x+y)-3xy 
Tìm tòi,định hướng lời giải:
-Tìm mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận?
-Ta nghĩ tới các hằng đẳng thức nào?(x+y=(x+y)-2xy;x+y=(x+y)(x-xy+y)
-Biến đổi P xuất hiên giả thiết và quy về một biến?(Dẫn đến P=2(x+y)(2-xy)-3xy,từ gt suy ra xy=?Đặt t=x+y thì P=?)
-Từ bđt x+y thì t thuộc đoạn?
Lời giải
 Ta có :
Ta có : , Vậy đặt thì: 
Ta có .
Xét hàm số với .
Ta có .
Ta có bảng biến thiên như sau :
t
-2 1 2
P’(t)
 + 0 -
P(t)
-7 1
Vậy 
 khi 
Ví dụ 4: (ĐH Khối D – 2009 )Cho và .Tìm GTLN,NN của biểu thức sau:
Hoạt động tìm tòi khám phá:
Từ giảthiết có thể đưa về bài toán một ẩn không ?
Biến đổi S làm xuất hiện để sử dụng giả thiết.
-Chú ý các hằng đẳng thức :
 Sau khi khai triển S và thế ta có : 
Sau đó đặt : để đưa S về một biến
-Đánh giá biến t bằng bất đẳng thức : .
Lời giải
Ta có : 
Đặt . Do nên 
Xét hàm số với .
Ta có .
.
Bảng biến thiên
 t
0 
 f’(t)
	-	 0	+
 f(t)
12	
Vậy : 
	 khi hoặc 
	 khi .
Ví dụ 5 ( ĐH Khối B – 2009). Tìm GTLN,NN của biểu thức:
 .
 Với là các số thực thỏa mãn điều kiện: .
Hoạt động tìm tòi khám phá:
-Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để sử dụng dễ dàng hơn,ta cần lưu ý hằng đẳng thức : 
-Và . Khi đó điều kiện bài toán trở thành : 
Ta biến đổi A như sau :
 ( do )
Hay .
Vì vậy ta có thể nghĩ đến đưa A về một biến bằng cách đặt .
Tìm điều kiện của t ta sử dụng bất đẳng thức .
Lời giải.
Ta luôn có : ,nên suy ra :
Do 
Bài toán dẫn đến tìm max min của biểu thức:
Với thỏa mãn .
Ta có  :
 ( do )
Hay .
Với ( do ) nên .
Đặt . Ta có hàm số với .
Ta có BBT:
+
 Vậy khi 
 Suy ra . Mặt khác, ta dễ thấy thì .
Kết luận : khi và không có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 6: (ĐH Khối A- 2006). Cho hai số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện . Tìm GTLN của biểu thức:
Lời giải:
.
Đặt . Từ giả thiết ta có 
Do đó .
Vậy.
Xét hàm số .
Lập bảng biến thiên ta tìm được GTLN của A là: 16 khi .
 Ví dụ 7 (ĐH Khối B- 2011)Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn Tìm GTLN của biểu thức : 
Lời giải: 
	Từ giả thiết ta có:
 áp dụng bđt cô-si ta có:
Suy ra: .
 Đặt , . Ta được : .
Xét hàm số: 
Suy ra .
Vậy đạt được khi và chỉ khi và 
	 hoặc 
Ví dụ 8:( Đề thi đh khối D-2012)Cho các số thực x,y thỏa mãn (x-4)+(y-4)
+2xy32.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x+y+3(xy-1)(x+y-2).
Bài giải:
 +)Ta có (x-4)+(y-4)+2xy32(x+y)-8(x+y)00x+y8
 +)Mà 4xy(x+y)-6xy-(x+y)
Ta có A=x+y+3(xy-1)(x+y-2)=(x+y)-6xy-3(x+y)+6
Suy ra A(x+y)-(x+y)-3(x+y)+6
Đặt t=x+y(0t8).Xét hàm số f(t)=t-t-3t+6f'(t)=3t-3t-3
Ta có f'(t)=0 khi t=
Mà f(0)=6;f(8)=398;f()=
Với Amin=khi x=y=
Ví dụ 9: (Đề thi khối B-2012) :Cho các số thực x,y,z sao cho x+y+z=0 và x+y+z=1.Tìm GTLN của biểu thức P=x+y+z
Hoạt động tìm tòi khám phá:
-Từ giả thiết biến đổi theo x+y và xy?
-Biến đổi P thành x+y và xy,đặt t=x+y cùng với giả thiết để đưa P về một biến
-Điều kiện của t được đánh giá từ bất đẳng thức (x+y)4xy
Bài giải:
 Ta có z=-(x+y) suy ra x+y+(x+y) =1
 x+y+xy=
 (x+y)-xy=
 Đặt t=x+y suy ra xy=t -
 Vì (x+y)4xy t4(t-)t-
 Mà P=x+y-(x+y)=-(5xy+10xy+xy+5xy)
 =-5xy(x+2xy+2xy+y)=-5xy(x+y)(x+xy+y)
 =-t(t-)=-t+t
 Dùng đạo hàm tìm GTLN của f(t)= -t+t trên đoạn ta tìm được Pmax=
 Phần III: Biện pháp thực hiện
- Trao đổi thông qua sinh hoạt 15 phút.
- Dạy trong các tiết bài tập.
- Thông qua báo bảng với chuyên mục “Tìm GTLN,NN với bài toán nhiều biến”
- Ngoại khóa.
- Dạy vào tiết tự chọn.
 Phần IV: kết quả
Trong quá trình giảng dạy tôi đã lồng ghép vào kiểm tra lên bảng, đưa một số bài tương tự vào kiểm tra một tiết tôi thấy có 50% các em làm tương đối tốt dạng toán này ở lớp Toán, Lý, Hóa.Còn lại có khoảng 20% làm đúng hướng nhưng biến đổi thiếu chặt chẽ hoặc biến đổi sai.
 Phần V: Kết luận
Bài toán tìm GTLN,NN nói chung và bài toán tìm GTLN,NN của hàm nhiều biến nói riêng là dạng toán tương đối khó nhưng lại xuất hiện thường xuyên trong các đề thi đại học trong những năm gần đây.Phương pháp đưa bài toán nhiều biến về một biến sẽ giúp các em xác định được lời giải tốt hơn khi ta đưa đươc về bài toán tìm GTLN,NN ở dạng cơ bản.Tôi chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tham khảo và rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô./.