Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp nhân lượng liên hợp trong giải Phương trình – Bất phương trình vô tỉ

P h ầ n I
Đ ặ t v ấ n đ ề
A – Lý do chọn đề tài.
Phương trình - Bất phương trình vô tỉ là nội dung quan trọng của chương trình Toán THPT và không thể thiếu trong việc phát triển tư duy Toán học cho học sinh và nó cũng không thể thiếu trong các kì thi ĐH - CĐ - THCN. Tuy nhiên đối với đa số học sinh khi đứng trước bài toán Phường trình – Bất phương trình vô tỉ thường thì các em sẽ có rất nhiều phương án khác nhau như biến đổi tương đương hoặc dùng đặt ẩn phụ hay đánh giá song có một cách khác dùng để giải quyết bài toán này rất hữu dụng đó là nhân lượng liên hợp. Đây là phương pháp rất tốt trong việc phá bỏ các dấu căn để đua Phương trình – Bất phương trình vô tỉ về Phương trình – Bất phương trình đại số giúp cho việc giải bài toán dễ dàng hơn. Nhưng việc tìm xem sẽ áp dụng phương pháp nào thì cũng không phải là đơn giản. Chuyên đề này của tôi giúp các bạn một phần nào đó trong quá trình tìm lời giải cho bài toán Phương trình - Bất phương trình vô tỉ. Những lời giải và phương pháp mà tôi nêu ra đây có thể không phải là hay nhất và duy nhất nhưng đối với cá nhân tôi thì nó phù hợp với đúng luồng tư duy Toán học và phù hợp với đa số các Học sinh có tư duy Trung bình - Khá trở lên. Hy vọng chuyên đề này sẽ đồng hành với các bạn, hỗ trợ các bạn một phần nào đó trên con đường tìm hiểu khoa học toán học, tìm đến cái hay của Toán học. Tuy nhiên do nhiều điều kiện khách quan khác nhau và cách trình bày chưa thật sự khoa học nên không thể tránh được những thiếu xót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy cô, các bạn học sinh và những người yêu Toán. Tôi xin chân thành cảm ơn.
B – Cơ sở lý luận
 Ta biết x = x0 là nghiệm của phương trình f( x) 
Mà theo định lý Bơzu nếu x = a là nghiệm của đa thức P (x) thì P(x) = ( x - a)P1(x).
Từ đó ta có nhận xét : Nếu x = x0 là một nghiệm của phương trình f(x) = 0 thì ta có thể đưa phương trình f(x) = 0 về dạng (x - x0)f1(x) = 0 và khi đó việc giải phương trình 
f(x) = 0 quy về giải phương trình f1(x) = 0. 
Ta đã biết : an - bn = (a - b) ( an-1+ an-2+....+ abn-2+ bn-1) gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau. Việc xử dụng các biểu thức liên hợp để bỏ căn thức là một yếu tố quan trọng nhất trong việc sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp trong giải Phương trình – Bất phương trình vô tỉ mà ta sẽ bắt đầu nghiên cứu từ các ví dụ cụ thể sau đây.
P h ầ n II
G i ả i q u y ế t v ấ n đ ề
 I – Các ví dụ mở đầu :
 Ví dụ 1: Giải phương trình: 3( 2 +) = 2x +
Giải: ĐK: x 2
Ta thấy x= 3 là mộtnghiệm của phương trình ( ta nghĩ đến x= 3 vì khi đó x-2 và x+6 là những số chính phương) do đó ta có thể đưa phương trình về dạng : (x-3)f1(x)= 0 
nên ta biến đổi phương trình như sau: 2(x-3)+- 3) =0, vấn đền còn lại của chúng ta là phải phân tích - 3 ra thừa số (x-3) 
 Chú ý : Khi x=3 thì =3 ), vì định lý Bơzu chỉ áp dụng cho đa thức nên ta phải biến đổi biểu thức này giúp ta liên tưởng đến đẳng thức a2 - b2 =( a - b)(a+b) nên ta biến đổi:
 - 3= 
Phương trình (x-3) (2-) đến đây ta cần giải phương trình 2-- =4 phương trình này có một nghiệm x=
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x= 3 và x=
Qua ví dụ trên ta thấy để bỏ căn ta có thể sử dụng hằng đẳng thức
an - bn = (a - b) ( an-1+ an-2+....+ abn-2+ bn-1) 
Hai biểu thức an - bn = (a - b) ( an-1+ an-2+....+ abn-2+ bn-1) ta gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau. Nên phương pháp trên ta gọi là phương pháp nhân lượng liên hợp.
 Ví dụ 2: Giải phương trình: 
Giải: ĐK: x-1
Ta thấy (nên ta nhân liên hợp ở VT
* Với x= 0 bất phương trình trở thành: 0 >-4 (luôn đúng). Vậy x= 0 là một nghiệm BPT.
*Với x0 nên
BPT 
Kết hợp với điều kiện có nghiệm bất phương trình: -1x<8.
 Nhận xét: ở trên ta nhân liên hợp với mục địch là trục căn thức ở mẫu. Khi nhân cả tử và mẫu ở VT với biểu thức 1- thì biểu thức đó có phải khác không nên ta chia làm các trường hợp như trên.
 II – Các bài toán tương tự :
 Bài toán 1: Giải phương trình: +=x2- 6x + 11.
Giải ĐK: 2 x 4
Ta nhận thấy phương trình có nghiệm x=3, đồng thời với x=3 thì ==1
Nên ta biến đổi như sau:
PT 
 (x-3)	= 0
 (x-3)	= 0
 (x-3)	=0
 (x-3)
( Vì )
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 3
 Chú ý: 
* Trong cách trên chúng ta khôngnhân liên hợp ngày ở VT mà chúng ta thêm -1 vào mỗi căn thức rồi nhân với liên hợp, cách làm vậy là để xuất hiện thừa số chung x-3 ở cả hai vế.
* Cách giải trên chưa phải cách giải hay nhất đối với bài toán trên nhưng nó rất tự nhiên. Cách giải hay nhất đối với bài toàn đó là cách đánh giá hai vế, cụ thể:
VT còn VP= (x-3)2 + 2 2 (**). Nên phương trình 
VT = VP = 2 x=3. Tuy nhiên trong nhiều bài toán thì việc sử dụng lượng liên hợp sẽ cho chúng ta lời giải tối ưu nhất. Ta xét ví dụ sau:
 Bài toán 2: Giải phương trình: 
Giải: ĐK: 2
Mới nhìn vào phương trình ta sẽ nghĩ có thể giải phương trình bằng cách đánh giá. Nhưng ta không thể theo cách đánh giá vì VP0! Tuynhiên phương trình trên vẫn có nghiệm x=3 nên ta giải phương trình trên bằng cách nhân lượng liên hợp.
PT 
ta có:
Mặt khác xVô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 3
 Nhận xét:
* Ta có dạng tổng quát của phương trình trên là:
 (Đk : a + 2 b)
* Quan 4 ví dụ trên ta thấy trong phương pháp này dự đoán nghiệm của phương trình là khâu quan trọng, từ việc đoán nghiện này ta mới định hướng được các pháp biến đổi.
 Bài toán 3: Giải phương trình: 
Giải: ĐK: 0 < x 1
Ta thấy phương trình có một nghiệm x = nên ta phân tích ra thừa số. Nên ta có phương trình : 
(Do biểu thức trong dấu ngoặc luôn dương)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=
 Bài toán 4: Giải phương trình: 
Giải: 
 Do VT 1 nên VP 1 
Ta thấy nếu 2x= x + 1 thì hai vế của phương trình bằng nhau nên ta phân tích ra thừa số 2x-x - 1
Ta có: PT (
( doxnên khi đặt 2x-x-1 làm thừa số thì biểu thức trong dấu ngoặc luôn dương)
là nghiệm của phương trình đã cho
 Chú ý: Bài toán trên có thể giải giải bằng cách đánh giá như sau:
* Nếu 2 x= x+ 1 thì hai vế của phương trình bằng nhau
* Nếu 2x > x + 1VT < VP Phương trình vô nghiệm
* Nếu 2x VP Phương trình vô nghiệm
 Bài toán 5: Giải phương trình: x+ x - 1 = ( x + 2 ) 
Giải:
Phương trình : x+ x - 1 = ( x + 2 ) 
x-2x - 7 =0 là nghiệm của phương trình đã cho
 Nhận xét: Qua những ví dụ trên ta thấy sau khi tạo ra thưad số chung, thì ta tìm cách chứng minh biểu thức trong dấu () còn lại luôn âm hoặc luôn dương. Tuynhiên không phải bài nào cũng xày ra trường hợp đó. Ta xét bài toán sau:
 Bài toán 6: Giải phương trình: 
Giải: ĐK x
Phương trình : 
(*)
Kết hợp với phương trình ban đầu ta có:
(*) thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thoả mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x= -88, x=-24, x=3
 Nhận xét: Để giải phương trình (*) ta phải kết hợp với phương trình ban đầu. Ta chú ý rằng phép biến đổi này là phép biến đổi hệ quả do đó sau khi giải xong ta phải thử lại các nghiệm để loại đi những nghiệm ngoại lai
 Bài toán 7: Giải phương trình: 
Giải: ĐK
Để đơn giản ta đặt a=b= (I)
Ta thấy phương trình có nghiệm x = 1, ta biến đổi như sau:
PT2
( Vì hai phương trình và vô nghiệm)
(II)
Kết hợp (I ) và (II) ta có hệ phương trình 
Thay vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có nghiệm x= thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x=1 và x= 
 III - Bài tập về nhà vận dụng: 
Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1. 
2. 
3. (x-1) 
4. 
5. 2
6. 2x-11 x 21=3
7. 
8.
9.	
10. 2x-11x + 21 = 3 
11. x-3x-8x+ 40 = 8 
12. 
13. 
14. 
P h ầ n III
K ế t l u ậ n v à k i ế n n g h ị
 Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi giải quyết được những vấn đề đặt ra sau đây:
Cho học sinh cái nhìn sâu hơn và tổng quát hơn về Phương trình – Bất phương trình vô tỉ từ đó có cách nhìn nhận ra lời giãi tối ưu cho bài toán.
Thông qua việc giải toán giúp các em học sinh có khả năng làm việc độc lập, phát huy tối đa tính tích cực sáng tạo của học sinh nhằm nâng cao chất lượng dạy và học 
Tạo cho học sinh sự hứng thú và đam mê khi học toán và nghiên cứu toán, vì chỉ như vậy thì việc học toán mới đạt kết qua cao nhất .
Qua thực tế áp dụng vào giảng dạy tôi nhận thấy học sinh không những nắm chắc kiến thức về giải Phương trình – Bất phương trình vô tỉ mà còn vận dụng thành thạo các kiến thức này vào trong các bài toán khác. Chuyên đề này đã làm cho học sinh say mê hơn, sáng tạo hơn trong học tập, góp phần phát triển tư duy trí tuệ học sinh một cách toàn diện.
 Đồng thời tôi cũng mạnh dạn có các kiến nghị và đề xuất với BGH nhà trường, với Sở GD -ĐT và các nhà quản lý giáo dục một số ý sau đây :
Thường xuyên tổ chức các cuộc hội thảo trao đổi về sáng kiến kinh nghiệm và áp dụng sáng kiến kinh nghiêm trong việc dạy học để chúng tôi có dịp trao đổi học tập kinh nghiệm của nhau.
Ban tổ chức nên công bố rộng rãi các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải hàng năm để chúng tôi kịp thời có thông tin và có thể áp dụng nó vào ngay việc dạy học của mình ở trong truờng góp phần nâng cao chất lượng dạy và học đặc biệt khi chúng ta đang thực hiện cuộc vận động hai không với bốn nội dung mà Bộ trưởng Bộ giáo dục đang phát động.
Có một quy chế hợp lý trong việc theo dõi đánh giá khen thưởng và phê bình cho những tập thể và cá nhân trong việc áp dụng những sáng kiến kinh nghiệm trong dạy học.
Lời cuối cùng cho phép tôi cảm ơn nhưng Thầy cô giáo đặc biệt là các Thầy cô dạy toán đã không vì cái khô khó khổ của toán mà cố gắng đem vẻ đẹp của Toán học đến với học sinh và mọi người. Xin chân thành cảm ơn !