Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu
 Trên thực tế học sinh THPT đã được học rất nhiều dạng toán về PT, BPT và hệ PT cụ thể là : Lớp 10 có PT, BPT, hệ PT quy về bậc hai, chứa ẩn dưới dấu căn và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối. Lớp 11 có PT lượng giác. Lớp 12 có PT, BPT, hệ PT mũ và lôgarit. 
 Nói riêng đối với phần PT, BPT mũ và lôgarit tôi thấy các phương pháp giải rất đa dạng, lượng bài tập suất hiện trong các đề thi Tốt nghiệp THPT và thi tuyển sinh vào các trường Đại học rất phong phú.
 Với mười một năm làm nghề dạy học tôi đã may mắn được tham gia giảng dạy cho khá nhiều lớp ôn thi Đại học và ôn thi Học sinh giỏi tôi thấy có một số vấn đề cần phải giải quyết:
 Một là: Theo qua điểm của ngành Giáo dục và thời lượng chương trình nên các bài tập về PT, BPT mũ và lôgarit trong Sách giáo khoa rất đơn giản học sinh tiếp cận rất dễ dành và thực hiện lời giải rất tốt chủ yếu theo phương pháp biến đổi về cùng cơ số hoặc đặt ẩn phụ nhưng các bài tập loại này trong các đề thi tuyển sinh Đại học có rất nhiều bài tập đòi hỏi biến đổi tương đối phức tạp qua nhiều bước phải sử dụng nhiều công thức một cách linh hoạt hoặc phải đặt một hay nhiều ản phụ nhờ sự quan sát mối liên hệ giữ các đại lượng trong bài toán đã cho.
 Hai là: Các bài tập trong các đề thi tuyển sinh Đại học thường có sự kết hợp giữa việc giải PT, BPT mũ và lôgarit với PT, BPT, hệ PT chứa ẩn dưới dấu căn và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối hoặc PT lượng giác.
 Ba là: Từ năm 2006 sách giáo khoa không nói đến định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, trong khi đó sách tham khảo suất bản trước đó có rất nhiều bài toán sử dụng định lý đó để thực hiện việc so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với các số cho trước nên học sinh đọc sách rất hoang mang. Do đó người giáo viên phải định hướng cho học sinh biến đổi về bài toán sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nếu là tình huống không thể giải quyết đơn thuần theo kiểu tính biệt thức đenta. Đồng thời nhờ sử dụng tính đơn điệu của hàm số ta có thể giải được khá nhiều bài toán liên quan đến PT, BPT mũ và lôgarit. 
 Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài: 
Phương pháp giải phương trình, 
bất phương trình mũ và lôgarit
2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
 Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau:
 Một là: Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về phương pháp giải PT, BPT mũ và lôgarit.
 Hai là: Qua việc luyện tập các bài toán về PT, BPT mũ và lôgarit sẽ hỗ trợ ôn tập về PT, BPT chứa ẩn dưới dấu căn và PT lượng giác.
 Ba là: Giúp các em học sinh thấy được ý nghĩa của đạo hàm trong giải toán nói chung và trong bài toán giải PT, BPT nói riêng.
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
 Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về PT, BPT trong chương trình Trung học phổ thông, đạo hàm và ý nghĩa của đạo hàm đặc biệt là các bài toán về PT, BPT mũ và lôgarit.
 Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là phần: PT, BPT mũ và lôgarit.
4 . Kế hoạch nghiên cứu
 Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần cơ sở thực tiến để đưa ra lý do chọn đề tài tôi thấy khi cho các em học sinh lớp 12 làm các bài toán về PT, BPT mũ và lôgarit ở mức độ như các bài tập trong Sách giáo khoa thì các em làm rất tốt vì các bài tập đó yêu cầu biến đổi khá đơn giản hoặc đặt ẩn phụ rất dễ dàng. Nhưng với những bài tập ở mức độ thi vào Đại học thì nhiều học sinh rất lúng túng và làm bài thường bị thiếu sót ví các bài tập loại này đòi hỏi phải biển đổi tương đối linh hoạt, đặt ẩn phụ khá khéo léo và phải nhớ được các phương pháp giải PT, BPT dạng phân thức. PT, BPT chứa ẩn dưới dấu căn kết hợp với cả phương trình lượng giác.
 Từ những khúc mắc nói trên tôi đã nghiên cứu đề tài Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit thông qua một số tiết tự chon nâng cao tại hai lớp 12A4, 12A6 năm học 2009 – 2010 và hai lớp 12A4, 12A5 năm học 2010 – 2011 từ đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận
a) Tính chất cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit
* Hàm số mũ với là cơ số 
- Tập xác định : . 
- Nếu hàm số đồng biến trên 
 Nếu hàm số nghịch biến trên 
* Hàm số lôgarit với là cơ số 
- Tập xác định : . Tập giá trị suy ra với mỗi thì có thể là số âm, số 0 hoặc số dương.
- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng
 Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng.
b) Các công thức lôgarit
Trong các công thức sau cơ số phải có điều kiện 
Công thức 1  
Với mọi số dương và mọi số thực b ta có : 
Công thức 2  
 ta có 
 ta có .
Công thức 3 
- Với các số dương , ta có 
 .
- Với và cùng dấu thì .
Công thức 4 
, ta có 
Hệ quả
 thì 
Công thức 5 (công thức đổi cơ số) 
Với mọi số dương  ; ta có 
Hệ quả : +) 
 +) 
c) Phương trình và bất phương trình vô tỉ đơn giản
* PT : 
*BPT : 
*BPT : 
d)Tìm số nghiệm của phương trình
 Xét PT , (1) . Trong đó là ẩn thực và là tham số thực
- Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số ( có thể nhận thấy hình dạng đồ thị hàm số thông qua BBT của nó ) và đường thẳng là đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng . 
- các nghiệm của PT (1) chính là hoành độ của các giao điểm.
e) Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số
* Từ việc lập BBT của hàm số trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là GTLN ( GTNN ) của hàm số .
* Nếu hàm số xác định và liên tục trên đoạn thì ta có thể tìm GTLN và GTNN theo các bước sau :
- Tìm các điểm trên đoạn mà tại đóbằng 0 hoặc không xác định
- Tính các giá trị 
- Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là GTLN (GTNN ) của hàm số trên đoạn 
f) Tìm tham số trong bài toán bất phương trình
Nếu hàm số có GTLN và GTNN trên tập xác định khi đó
 BPT : thỏa mãn khi và chỉ khi 
 thỏa mãn khi và chỉ khi 
 có nghiệm khi và chỉ khi 
 có nghiệm khi và chỉ khi 
Trong trường hợp hàm số không có GTLN hoặc GTNN trên tập ta phải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp 
g) Giải phương trình, bất phương trình nhờ tính đơn điệu của hàm số
* Xét phương trình có tập xác định 
Nếu hàm số tăng (giảm) trên tập còn hàm số tương ứng giảm (tăng) hoặc không đổi trên và là một nghiệm của phương trình thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là .
* Cho là hàm số xác định và liên tục trên tập. 
Nếu hàm số tăng trên thì 
Nếu hàm số giảm trên thì 
Nếu hàm số đơn điệu trên thì 
2. Thực trạng của vấn đề
 Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như sau: 
 Trong năm học 2008 – 2009 sau khi học sinh lớp 12 đã học hết chương 2 tức là khi đã nghiên cứu khá đầy đủ về hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit tôi cho học sinh lớp 12A1 và 12A2 làm bài kiểm tra khảo sát 55 phút trong giờ tự chọn nâng cao với đề kiểm tra như sau:
 Câu I. ( 4 điểm ) Giải các phương trình
 1. 
 2. 
 Câu II. ( 6 điểm ) Giải các bất phương trình
 1. 
 2. 
 3. 
 Kết quả thu được với các mức điểm được tính tỉ lệ phần trăm như sau: 
 Điểm
 Lớp
1 – 2,5
3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
Lớp 12A1
( 55 HS )
1,8%
27%
51,2%
16,5%
3,5%
Lớp 12A2
( 55 HS )
3,5%
31%
49,2%
14,5%
1,8%
 Để phân tích lý do có kết quả thấp như trên tôi xin trình bày một lời giải đúng 
Câu I . 
I.1. ĐK: 
PT đã cho 
+) (thỏa mãn đk)
+) 
 mà suy ra 
 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm , 
I.2. Đặt và 
PT đã cho trở thành 
Do đó 
 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 
Câu II
II.1. BPT đã cho 
 vì 
 Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là khoảng 
II. 2 Đặt BPT đã cho trở thành
Do đó 
 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là đoạn 
II.3 Xét 
Suy ra hàm số nghịch biến với mọi x . Ta có 
Do đó 
Và 
Ta lập bảng xét dấu vế trái của bất phương trình đã cho
 0 1 +
 0
-
+
+
 0
+
+
-
 0
-
+
-
. 
 Vậy BPT đã cho có tập nghiệm 
Những sai lầm của học sinh trong khi làm bài kiểm tra :
I.1. Một số học sinh cho rằng 
hoặc cho rằng và chia hai vế cho 
Do đo dẫn đến đáp số sai.
I.2. Một số học sinh không tìm được lời giải do không nhận thấy sự liên hệ giữa các số mũ mặc dù đây là bài tập khá đơn giản có thể giải theo cách trên hoặc chia cả phương trình cho số dương sẽ được một PT bậc hai theo một ẩn phụ.
II.1. Một số bài sai lầm theo một trong các tình huống sau:
- Không lưu ý cơ số nhỏ hơn 1
- Khi giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu số đã thực hiện việc nhân cả hai vế với mẫu thức chung mà không qua tâm đó là số dương hay âm.
II.2. Hầu hết học sinh đều nhận thấy ẩn phụ nhưng khá nhiều học sinh cho kết quả không chính xác do không xét hết các trường hợp khi giải BPT vô tỉ.
II.3. Rất ít học sinh có lời giải đúng.
Những bài có lời giải đúng hầu hết có cách giải rất dài dong theo phương pháp chuyển qua về các hệ BPT sau đó nhận xét và chứng minh để chỉ ra tập nghiệm. 
3. Các phương pháp đã tiến hành
 Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12A4, 12A6 năm học 2009 – 2010 và lớp 12A4, 12A5 năm học 2010 - 2011, bắt đầu là phần PT, BPT mũ và lôgarit với các tiết học tự chọn nâng cao, tôi đã lồng ghép các bài tập thể hiện các phương pháp giải PT, BPT mũ và lôgarit với mức độ đề thi vào Đại học. Nhưng vì thời gian không có nhiều, hơn thế để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh một số bài tập để các em thảo luận trao đổi và về nhà nghiên cứu tìm lời giải. Trên lớp tôi cho một số học sinh lên bảng làm bài và một số học sinh khác nhận xét lời giải. Sau đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một số điểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng.
 Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết của mình thành bốn phần sau:
- Phương pháp biến đổi về cùng cơ số
- Phương pháp đặt ẩn phụ
- Phương pháp mũ hóa và lôgarit hóa
- Phương pháp đánh giá.
PHẦN I : PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI VỀ CÙNG CƠ SỐ
 Sử dụng các công thức biến đổi lũy thừa và lôgarit có thể đưa rất nhiều bài toán PT, BPT mũ và lôgarit khá phức tạp về các PT, BPT mũ và lôgarit cơ bản có dạng dưới đây mà học sinh đã biết cách giải 
Được thể hiện qua các bài tập sau :
Bài 1. Giải phương trình (1)
Giải
ĐK: Ta có 
 PT(1) 
 (thỏa mãn điều kiện)
 Vậy PT đã cho có nghiệm 
Nhận xét : 
 Trong các PT, BPT mũ và lôgarit có thể cơ số khác nhau nhưng các biếu thức trong ký hiệu log như nhau thì ta có thể đổi về cùng một cơ số 
Chẳng hạn, xét phương trình: 
Bài 2. Giải phương trình (2)
Giải
ĐK: 
PT đã cho 
Kết hợp với đk ta được hệ
 (a) 
+) không thỏa mãn (b) nên loại
+) 
Với thế vào (2) đúng
và thế vào (3) 
Với thế vào (2) sai
 Vậy PT đã cho có nghiệm 
Nhận xét :
 Trong khi thực hiện giải phương trình trên và nhiều bài tập khác ta có thể
gặp BPT lượng gác, nhưng không được học trong chương trình Trung học phổ
thông. Khi đó ta tiến hành giải phương trình để tìm nghiệm sau đó thể vào các điều kiện ở dạng BPT để kiểm tra.
Chú ý.
 Hệ 
Bài 3. Giải phương trình (3)
Giải
ĐK : 
PT (3) 
Nếu , ... iải.
Bài 3. Giải hệ phương trình 
Giải 
ĐK : 
Thực hiện phép lôgarit hai vế mỗi phương trình theo cơ số 10. Hệ đã cho 
Từ thế vào (3b) ta được
Thế vào (3a) 
 Vậy hệ đã cho có một nghiệm (x;y) là 
Nhận xét :
 Trong hệ trên khi thay các số 2 và 3 bởi các số dương tùy ý ta vẫn có cách giải tương tự. 
Bài 4. Tìm để PT ; (4)
 Có hai nghiệm phân biệt 
Giải 
 phương trình (4) xác định
Cách 1 :
Thực hiện phép lôgarit hai vế của (4) theo cơ số 2 ta được PT tương đương
Đặt , ta được PT
 (4a)
Ta thấy 
Và 
Do đó yêu cầu của đề bài (4a) có hai nghiệm phân biệt 
Xét hàm số 
Có 
Bảng bến thiên
 0 +
2
0
 Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện phải tìm là 
Cách 2 :
Đặt . 
PT (4) trở thành 
Đến đây tiếp tục giải theo kiểu cách 1.
Nhận xét :
 Trong bài toán trên yêu cầu tìm tham số nên việc tìm điều kiện cho ẩn phụ là rất cần thiết và phải chính xác, hơi thế đề bài còn đề cập đến số nghiệm nên ta phải tìm quan hệ giữa số nghiệm theo ẩn phụ và số nghiệm theo ẩn chính.
 Việc thực hiện lôgarit hóa hai vế của một phương trình là khá dễ dàng . Nhưng với BPT thì cần phải chú ý cơ số lớn hơn 1 (hay bé hơn 1) để sử dụng tính đồng biến (hay nghịch biến) của hàm số lôgarit. 
Bài 5. Tìm để hệ sau có nghiệm 
Giải
Cách 1 (theo phương pháp mũ hóa)
Hệ đã cho 
Đặt , hệ trên trở thành
 suy ra và là các nghiệm của PT : (5a)
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (5a) có hai nghiệm dương 
 Vậy điều kiện phải tìm là 
Cách 2 (theo phương pháp thế và ẩn phụ)
Từ PT thứ hai thế vào PT thứ nhất ta được
Đặt , ta có PT : , (*)
Rõ ràng hệ có nghiệm (*) có nghiệm dương tức là đường thẳng 
(vuông góc với Oy) cắt đồ thị hàm số trên khoảng 
Lập bảng biến thiên cho hàm số bậc hai 
Từ BBT suy ra là đk phải tìm.
Nhận xét :
 Ta thấy trong hai cách giải trên mỗi cách có những điểm hay riêng. Nhưng giải theo cách 1 hay 2 nhất thiết phải có đk chính xác cho ẩn phụ và phải lập luận chặt chẽ theo đk ấy.
Bài tập tương tự.
1. Giải PT : 
2. Giải BPT : .
3. Giải hệ PT : 
4. Giải hệ PT : 
5. Cho . Giải và biện luận BPT sau theo  : 
PHẦN IV : PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
 Trong tất cả các loại PT, BPT và hệ PT thuộc chương trình trung học phổ thông nói chung và đối với PT, BPT mũ và lôgarit nói riêng có một lớp bài toán không thể giải theo cách biến đổi tương đương liên tục đến khi tìm thấy nghiệm mà phải sử dụng các phương pháp sau :
 - Sử dụng tính đơn điệu của hàm số,
 - Ước lượng các vế nhờ biến đổi và sử dụng các bất đẳng thức ;
 - Nhận xét và chứng minh để chỉ ró tập nghiệm.
Chúng ta tạm gọi các phương pháp đó là phương pháp đánh giá. Được thể hiện qua các bài tập sau
Bài 1. Giải PT  ; (1)
Giải
ĐK : PT (1) 
Đặt , ta được PT
Xét hàm số 
Có 
Suy ra hàm số giảm trên nên PT (1a) có nhiều nhất một nghiệm 
Mà thỏa mãn (1a). Do đo (1a) có nghiệm duy nhât 
Từ 
 Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất 
Nhận xét : 
 Trong bài toán trên việc nhẩm nghiệm rất dễ dàng. Nhưng để chứng minh được nghiệm là duy nhất việc cần thiết là phải biến đổi một vế về hàm số tăng (giảm ) vế còn lại tương ứng là hàm số giảm (tăng) hoặc không đổi trên tập xác định của phương trình đó.
Bài 2. Giải BPT , (2)
Giải
BPT (2) (chia cả hai vế cho )
Đặt 
BPT trên trở thành , (2a)
, ta có 
nên hàm số nghịch biến trên 
Do đó BPT 
 Vậy BPT đã cho có nghiệm 
Nhận xét :
 Việc nhẩm thấy có thể dựa vào việc dự đoán dấu bằng ở BPT ban đầu.
Bài 3. Giải BPT 
 , (3)
Giải
ĐK : 
BPT (3) 
 , (3a)
Xét hàm số  với 
Hàm số liên tục và có  ;
Tính 
BPT (3a) 
 mà 
 Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là 
Nhận xét :
 Qua việc khảo sát hàm số trên tập xác định của BPT ta đã có được nên BPT đã cho trở thành BPT rất đơn giản.
Bài 4. Giải PT , (4)
Giải
ĐK : 
Ta có 
Đẳng thức xảy ra (thỏa mãn đk)
 Vậy PT đã cho có nghiệm 
Bài 5. Giải BPT , (5)
Giải 
Ta thấy 
- Nếu BPT (5) nghiệm đúng
- Nếu BPT (5) vô nghiệm 
Do đó BPT (5) 
 Vậy BPT đã cho có tập nghiệm : 
Bài 6. Giải PT , (6)
Giải
BPT (6) 
Chú ý : 
- Nếu 
Suy ra BPT đã cho vô nghiệm
- Nếu 
Suy ra BPT đã cho vô nghiệm
 Vậy BPT đã cho vô nghiệm.
Nhận xét :
 Các bài tập 4, 5 và 6 ta đã thực hiện lời giải theo các dự đoán và chứng minh để tìm ra tập nghiệm. các phương pháp khác e rằng rất khó có thể giải quyết được.
Bài 7. Giải PT , (7)
Giải
ĐK : 
PT (7) , (7a)
Ta thấy , (*1)
Xét hàm số với 
Có 
Bảng biến thiên 
 +
 + 0 
Từ BBT suy ra , (*2)
Từ (*1) và (*2) ta có (7a) 
 Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất 
Bài 8. Giải BPT , (8)
Giải
ĐK : 
BPT (8) 
Đặt , ta có BPT , (8a)
Có 
BPT (8a) 
 , (8b)
Xét hàm số 
Và hàm số với 
 là hàm số đồng biến 
Mà . Do đó 
Lập bảng xét dấu vế trái của (8b)
 Từ bảng xét dấu suy ra BPT đã cho có tập nghiệm là 
Nhạn xét :
 Việc tính biệt thức đenta để tìm các nghiệm của tam thức bậc hai nói trên với mục đích phân tích vế trái của BPT thành tích. Khi tính căn bậc hai của đenta thì phải lấy giá trị tuyệt đối nhưng trong công thức nghiệm thì không cần viết trị tuyệt đối vì hai nghiệm tự giao hoán trong hai giá trị đó.
 Để xét dấu được biểu thức ta nên sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Bài 9. Giải PT , (9)
Giải
ĐK : 
 PT (9) 
Xét hàm số với 
BPT trên trở thành , (9a)
Ta có nên hàm số đồng biến 
Do đó (9a) , (9b)
Xét hàm số với 
Có 
Bảng biến thiên của hàm số 
0
Từ BBT suy ra phương trình (9b) có nhiều nhất hai nghiệm. Dễ thấy là nghiệm của (9b). Vậy PT (9b) có đung hai nghiệm 
 Tóm lại phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
Nhận xét :
 Nếu thay PT đã cho bới BPT ta vẫn có lời giải theo phương pháp sử dụng tính đơn điệu của các hàm số và 
Bài 10. Tìm tham số để BPT sau có nghiệm: (7)
Giải 
 PT (7) 
 Đặt 
 Ta được BPT (7a) với ĐK 
 Xét hàm số trên đoạn 
Ta thấy BPT (7) có nghiệm BPT (7a) có nghiệm 
Ta có 
là hàm số nghịch biến trên đoạn , mà 
 Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Tương tự bài toán trên có thể có một số bài toán sau:
1) Tìm tập giá trị của hàm số 
2) Tìm tham số để hệ sau có nghiệm: 
Bài 11. Giải BPT , (11)
Giải 
BPT (11) , (11a)
Xét hàm số trên tập 
Ta có 
 là hàm số đồng biến trên 
Lại có 
có duy nhất một số sao cho 
 Nếu 
 Nếu 
Bảng biến thiên của hàm số 
(dễ thấy )
Từ BBT suy ra BPT 
 Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là đoạn 
Nhận xét :
 Cách giải trong bài 11 thể hiện rõ việc giải BPT hay đọc tập nghiệm của PT hoặc BPT dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số. Việc khảo sát hàm số bằng cách sử dụng đạo hàm có thể tính đến đạo hàm cấp hai, cấp ba.
Bài tập tương tự
1. Giải BPT : 
2. Giải PT : 
3. Tìm các nghiệm của BPT 
 thỏa mãn điều kiện 
4. Giải BPT : 
5. Giải PT : 
6. Giải PT : 
7. Giải BPT : 
8. Giải BPT : 
9. Giải PT : 
10. Giải BPT : 
11. Tìm để PT sau có hai nghiệm phân biệt :
12. Giải BPT : 
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
 Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một số bài tập người giáo viên có thể nắm bắt được tình hình tiếp thu bài học. Nhưng để có được sự kết luận toàn diện nên cuối học kỳ I năm học 2009 – 2010 và năm học 2010 – 2011 khi học sinh đã học song các phần liên quan đến nội dung của bài viết này tôi đã cho các lớp 12A4 , 12A6 , 12A5 và 12A9 (năm học 2009 – 2010), các lớp 12A4, 12A5, 12A6 và 12A8 (năm học 2010 – 2011) làm bài kiểm tra 55 phút. 
 Trong năm học 2009 – 2010 hai lớp 12A4 và 12A6 là các lớp thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tài còn hai lớp 12A5 và 12A9 là các lớp đối chứng không tham gia trong việc triển khai đề tài. 
 Trong năm học 2010 – 2011 hai lớp 12A4 và 12A5 là các lớp thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tài còn hai lớp 12A6 và 12A8 là các lớp đối chứng không tham gia trong việc triển khai đề tài. 
 Với đề kiểm tra như sau:
 Câu I. ( 2,5 điểm ) Giải BPT : 
Câu II. (2,5 điểm ) Giải BPT :
Câu III. (2,5 điểm ) Tìm tham số để BPT sau thỏa mãn 
Câu IV. (2,5 điểm ) Giải PT : 
 Sau khi chấm bài kiểm tra tôi thu kết quả với mức điểm được tính phần trăm như sau: 
1. Năm học 2009 – 2010 
 Lớp thực nghiệm:
 Điểm
Lớp
1 1 – 2,5
3 3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
Lớp 12A4
( 55 HS )
0%
5,5%
29%
38,5%
27%
Lớp 12A6
( 55 HS )
2%
9%
35%
36%
18%
 Lớp đối chứng: 
 Điểm 
Lớp
1 – 2,5
3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
Lớp 12A5
( 54 HS )
11%
24%
44,5%
18,5%
2%
Lớp 12A9
( 53 HS )
13%
28%
44%
15%
0%
2. Năm học 2010 – 2011 
 Lớp thực nghiệm:
 Điểm
Lớp
1 1 – 2,5
3 3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
Lớp 12A4
( 48 HS )
0%
6%
27,5%
37,5%
29%
Lớp 12A5
( 50 HS )
2%
8%
32%
36%
22%
 Lớp đối chứng: 
 Điểm 
Lớp
1 – 2,5
3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
Lớp 12A6
( 49 HS )
10%
22,5%
49,5%
16%
2%
Lớp 12A8
( 48 HS )
12,5%
25%
48%
14,5%
0%
 Các bài làm đúng có cách giải phổ biến theo hướng sau:
Câu I: 
ĐK : 
Vì nên BPT đã cho 
 (vì với ĐK trên thì )
Kết hợp với ĐK suy ra BPT đã cho có tập nghiệm là 
Câu II: ĐK ; BPT đã cho tương đương với BPT:
Đặt , ta được BPT : 
 Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là 
Câu III: Đặt 
 Chú ý và . BPT đã cho trở thành:
 (*3) với ĐK 
 Xét hàm số trên tập ...
Câu IV: ĐK . PT đã cho tương đương với 
Đặt , ta được PT : 
 , (*4)
Xét hàm số 
Có 
Suy ra hàm số nghịch biến trên nên PT (*4) có nhiều nhất là một nghiệm mà rõ ràng là một nghiệm của (*4). Vậy (*4) có nghiệm duy nhất . Do đó .
 Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất .
............................................................................................................
 Căn cứ vào kết quả kiểm tra. Đối chiếu so sánh kết quả làm bài của hai lớp thực nghiệm và hai lớp còn lại không được tham gia thực nghiệm ta thấy: Với các nội dung đã trình bày trong bài viết này đã giúp các em học sinh lớp 12 đang chuẩn bị cho kì thi Tốt nghiệp và thi vào Đại học có cái nhì bao quát về cách giải các PT, BPT mũ và lôgarit. Sự gắn kết giữa PT, BPT mũ và lôgarit với các loại PT, BPT đã học trước đó, đồng thời thấy được ứng dụng đạo hàm rất tự nhiên trong khá nhiều bài toán về PT, BPT mũ và lôgarit. góp phần đáng kể hỗ trợ cho các em học sinh trong việc ôn thi vào Đại học.
III. KẾT LUẬN
 Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 trong một số giờ tự chọn nâng cao, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung như đã trình bày. Tôi thấy các em học sinh đã tự tin hơn khi đứng trước bài toán có thể mới, là về PT, BPT mũ và lôgarit. Linh hoạt hơn trong các PT, BPT có sự kết hợp giữ mũ, lôgarit với biểu thức chứa ẩn dưới dấu căn và chứa cá biểu thức lượng giác. Đồng thời khai thác được tính chất của hàm số không những trong nhiều bài toán về mũ và lôgarit mà còn áp dụng được vào khá nhiều tình huống khác của Đại số và Giải tích
 Với thời gian ngắn, tuổi nghề chưa nhiều nên việc thực hiện đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
 Mỹ Đức, ngày 15 tháng 5 năm 2011
Ý KIẾN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Tác giả 
 Nguyễn Hà Hưng
Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo viên , Sách giáo khoa và Sách bài tập Đại số , Giải tích lớp 10 , 
 11 , 12 theo chương trình chuẩn và chương trình nâng cao của nhà xuất bản 
 Giáo Dục.
2. Tuyển tập các đề thi tuyển sinh vào các trường Đai học và Cao đẳng từ 
 năm 1996 đến năm 2010 của nhà xuất bản Hà Nội.