Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân

Đặt vấn đề .
I. Lời mở đầu.
 Để bồi dưỡng năng lực tư duy độc lập ,tư duy tích cực và tư duy sáng tạo của học sinh, trước tiên phải trang bị cho các em có nền kiến thức cơ bản phổ thông vững chắc, có khả năng giải các dạng bài tập. Muốn vậy, người giáo viên phải vận dụng các phương pháp khác nhau, hướng các em vào một môi trường hoạt động tích cực, xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục. Học tập phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh. Người thầy giáo phải giúp học sinh xem xét một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng, kết nối giữa dữ kiện và yêu cầu của bài toán, giữa bài toán chưa biết cách giải với bài toán quen thuộc đã biết cách giảI, biết phân tích, tổng hợp, và so sánh, từng trường hợp riêng lẻ để đem đến cái chung nhất mang tính chân lý. Từ đó học sinh vận dụng các phương pháp toán học để giải quyết các bài toán đặt ra.
 Với lý do đó tôi chọn đề tài “MỘT SỐ Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân “
II. Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu.
Thực trạng:
 Trong chương trình Giải tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân chiếm một phần rất quan trọng. Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm, tích phân chưa nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều phương pháp. Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một hướng nhất định nào đó. Do đó các bài toán về nguyên hàm, tích phân chưa khai thác hết được và chưa phát huy được tính sáng tạo, khám phá của học sinh.
Tôi nhận thấy việc khai thác các phương pháp giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân để học sinh có thể tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiều cách giải khác nhau là một điều rất quan trọng.
Kết quả:
 Khi tôi được phân cônggiảng dạy lớp 12, tôi nhận thấy kiến thức về giải tích của học sinh lớp tôi giảng dậy được phân công còn hạn chế: các bài toán về nguyên hàm, tích phân còn ít nên việc vận dụng các phương pháp giải của học sinh còn chậm và đang còn bế tắc trong cách định hình phương pháp giải.
 Do vậy tôi đã dần hình thành các phương pháp giải, phát triển từ bài toán cơ bản đến những bài toán ở mức độ khó hơn. Để công việc giảng dạy được tốt hơn, tôi đã mạnh dạn cải tiến nội dung, phương pháp, khai thác cấu trúc logic của bài toán, tìm ra nhiều phương pháp giải cho bài toán, phát triển bài toàn dưới nhiều hình thức khác nhau.
GiảI quyết vấn đề.
I các Giải pháp thực hiện.
Các yêu cầu cơ bản về giải toán nguyên hàm – tích phân.
 Học sinh nắm vững các định nghĩa nguyên hàm – tích phân, các tính chất cơ bản và các phương pháp chủ yếu để tính nguyên hàm và tích phân.
 Học sinh có kĩ năng giải toán nguyên hàm và tích phân bằng nhiều phương pháp khác nhau, nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân để trong một sốtrường hợp ta có thể tính các tích phân bằng một phương pháp đơn giản hơn .
 Học sinh được phát triển về tư duy thuật giải trong quá trình tính nguyên hàm, tích phân theo những quy trình xác định, được rèn luyện về tính linh hoạt , khả năng sáng tạo trong quá trình giải toán.
Trong chương trình môn toán trường phổ thông trung học, nội dung kiến thức mà học sinh học về nguyên hàm và tích phân ở lớp 12 gồm các vấn đề sau đây:
Định nghĩa nguyên hàm. Các tính chất của nguyên hàm. Bảng các nguyên hàm cơ bản.
Định nghĩa tích phân. Các tính chất của tích phân. Các phương pháp tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích.
2 Các phương pháp xác định nguyên hàm – tích phân
Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa
Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số:
là một nguyên hàm của hàm số:
 trên R.
Giải: 
	Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta xét hai trường hợp sau:
Với x ạ 0, ta có: với 
Với x = 0, ta có:
 Nhận xét rằng F’(0-) = F’(0+) = 1 ị F’(0) = 1 mà
 có nghĩa là hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 0.
Tóm lại : 
Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
Xác định nguyên hàm bằng phương pháp phân tích.
Phương pháp tích phân thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết.
Phương pháp chung:
Bước 1: 	Biến đổi f(x) về dạng:
 f(x) = 
	với fi(x) có nguyên hàm trong bảng công thức và ai là các hằng số.
Bước 2: 	Khi đó:
Ví dụ 2: Tính tích phân : .
Giải: 	Sử dụng đồng nhất thức:
 1 = (1 + ex) – ex. 
Ta được:
 = x - ln(1 + ex) + C.
Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. 
 - Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân. Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:
Định lý 1:
Nếu ũf(x)dx = F(x) + C và u = j(x) là hàm số có đạo hàm thì:
 ũf(u)du = F(u) + C.
Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = j(t) trong đó j(t) cùng với đạo hàm j’(t) là những hàm số liên tục, ta được:
 ũf(x)dx = ũf[j(t)].j’(t)dt. 
- Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác định cũng có hai dạng cơ bản dựa trên định lý sau:
Định lý 2:
Nếu ũf(x)dx = F(x) + C và u = j(x) là hàm số có đạo hàm trong đoạn [a,b] thì:
 .
Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x = j(t) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] và thoả mãn các điều kiện sau:
(i). 	Tồn tại đạo hàm j’(t) liên tục trên đoạn [a, b].
(ii).	j(a) = a và j( b) = b.
(iii).	Khi đó: 
Tuy nhiên cái khó của phương pháp này là cách chọn hàm x = j(t) hay u = j(x) sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể. 
 Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:
Dấu hiệu
Cách chọn và đặt
x= a + (b – a)sin2t
Hàm có mẫu số
t là mẫu số
Hàm f(x, )
t = 
Hàm f(x) = 
t = 
Hàm f(x) =
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm : .
Giải: Đổi biến Đặt 
 Ta có: 
Ví dụ 2: Tính các tích phân: 
Giải:
Đặt: 
 Khi đó: 
 ***Sâu đây chúng ta đi vào từng dạng cụ thể 
*Trường hợp I Nếu hàm số dưới dấu tớch phõn cú chứa 
 ta cú thể tỡm cỏch giải theo một trong hai hướng sau:
- Hướng thứ nhất : Đặt = a cost
-Hướng thứ hai Đặt t = 
 Ví dụ 3: Tính các tích phân: 
 Lời giải:
 Đặt 
 Khi đó: 
*Trường hợp II: 
 Nếu hàm số dưới dấu tớch phõn cú dạng f(x) = 
 thỡ ta đặt 
Ví dụ 4: Tính các tích phân: 
Lời giải: 
 Đặt x = ; 1 + 3x2 = 1 + tan2t
 X = 0 thỡ t = 0 ; X = 1 thỡ t = 
Ta cú: = = 
*Trường hợp III Nếu hàm số dưới dấu tớch phõn cú dạng 
 Ta cú thể đặt t = 
Ví dụ 5: Tính các tích phân: 
 Lời giải: 
 Đặt : 
 thỡ t = 1 ; thỡ t = 3
Vậy 
 Tớnh 
 Đặt : 
 với ; 
 = vậy 
 *Trường hợp IV 
 Nếu hàm số dưới dấu tớch phõn là hàm số chẵn thỡ ta cú: 
 (a>0)
 Biến đổi I về dạng: (1)
 Xột tớch phõn Đặt : 
 Đổi cận 
 Mặt khỏc vỡ f(x) là hàm chẵn f(-t) = f(t)
 Khi đú (2)
 Thay (2) vào (1) ta được đpcm.
Ví dụ 6: Tính các tích phân: 
 Lời giải: 
 Hàm số dưới dấu tớch phõn : là hàm số chẵn
 Ta cú = 
 Đặt : 
 Đổi cận 
 Vậy = 
 *Trường hợp V 
 Nếu hàm số dưới dấu tớch phõn là hàm số lẻ thỡ ta cú :
 (a>0)
Ví dụ 7: Tính các tích phân: 
 Lời giải: 
 NX : hàm số dưới dấu tích phân xác định trên [ - 3 ; 3 ]
 ta có : 
 Vậy lẻ trờn [ - 3 ; 3 ] Do đú = 0
 *Trường hợp VI : 
 Nếu hàm số dưới dấu tớch phõn là hàm số liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T thì: 
CM: Ta có (1)
 Đặt 
 Đổi cận: 
 Khi đó : (2)
 Thay (2) vào (1), ta được : (đpcm)
 áp dụng:
 Ví dụ 8: Tính các tích phân: 
 (đề thi học sinh giỏi toan cấp tỉnh lớp - 12 – 2006 -2007)
 Lời giải: 
xét hàm số 
f(x) tuần hoàn với chu kì là 
Thật vậy : có TXĐ: D = R 
 R thì R
 Giả sử mà R
Cho x = 0 được : 
 Mà t > 0 điều này mâu thuẫn vói giả thiết 
Dođó 
 .
 Ví dụ 9: Tính các tích phân: 
 Lời giải: 
 Ta dễ thấy hàm số : tuần hoàn 
 với chu kì là nên ta cú
 Do là hàm số lẻ trên nên hay I = 0
Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
Phương pháp tích phân từng phần được sử dụng rất thông dụng trong quá trình xác định nguyên hàm của hàm số. Phương pháp này cụ thể như sau:
Cho u, v là các hàm số có đạo hàm liên tục thì:
 ũudv = uv - ũvdu.
Còn đối với tích phân xác định, ta có:
	Dựa vào công thức tính tích phân từng phần,để tính tích phân I=ũf(x)dx ta tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
 I = ũf(x)dx = ũf1(x).f2(x)dx.
Bước 2: Đặt: u = f1(x), dv= f2(x)dx ị du,v. 
Bước 3: I = uv - ũvdu.
	Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:
Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
Tích phân ũvdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I.
Ta dùng P(x) để chỉ cho một đa thức.
Khi gặp các tích phân có dạng:
 ũP(x)axdx, ũP(x)sinxdx, ũP(x)cosxdx
nên dùng tích phân từng phần để tính với cách đặt: u = P(x).
Khi gặp các tích phân có dạng:
 ũP(x)logaxdx
nên dùng tích phân từng phần để tính với cách đặt: u = P(x).
Khi gặp các tích phân có dạng:
 ũeaxsinbxdx, ũeaxcosbxbx
nên dùng tích phân từng phần hai lần để tính với cách đặt: u = eax.
Sau đây là ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến và tiện lợi của phương pháp này:
Ví dụ :10 Tính nguyên hàm: 
Giải: Ta viết lại I dưới dạng: 
Đặt:
Khi đó:
***Sau đõy chỳng ta đi vào từng dạng cụ thể:
*Trường hợp I: 
 Nếu hàm số dưới dấu tớch phõn cú dạng 
 trong đú là một hàm đa thức cũn là một hàm số lượng giỏc thỡ cỏch giải chung là đặt 
 Ví dụ 11: Tính tích phân: 
 Lời giải: 
*Trường hợp II: 
 Nếu hàm số dưới dấu tớch phõn cú dạng trong 
 đú là một hàm đa thức thỡ ta cú cỏch giải chung là 
 đặt : 
 Ví dụ 11: Tính tích phân: 
 Lời giải: 
	Đặt : 
 Tớnh Đặt: 
 Vậy : I = 2e-2
*Trường hợp III: 
 Nếu hàm số dưới dấu tớch phõn cú dạng 
 Trong đú là một hàm đa thức hoạc là một hàm số lượng giỏc thỡ ta 
cú cỏch giải chung là đặt . 
Ví dụ 11: Tính tích phân: .
 Lời giải: 
 Đặt: 
 Tớnh : 
 Vậy 
 *** Để củng cố cho hai phương đổi biến số và tớch phõn từng phần hay được sử dụng để tớnh tớch phõn ta đi làm một số vớ dụ sau.
 Ví dụ 11: Tính tích phân: ( a > 0 ) 
 Lời giải: 
Tớnh : Đặt : xỏc đinh 
 thỡ 
 là hàm số lẻ trờn 
 = 0 
 Tớnh : Đặt: với thỡ
 là hàm số chẵn trờn 
 đặt x = a sint 
 Đổi cận: 
 Vậy: 
Ví dụ 11: Tính tích phân: 
 Lời giải: 
 Ta cú 
 Ta tớnh I1 = bằng phương phỏp đổi biến số
 Đặt: t = t2 = 1 + lnx 2tdt = dt = 
 Đổi cận: x = 1 thỡ t = 1 ; x = e thỡ t = 
 Vậy 
 Tớnh I2 = Đặt : 
 vậy 
Xác định nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ.
	Phương pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ thuật dùng hàm phụ xuất phát từ ý tưởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn, từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) theo phương pháp này, ta tiến hành thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x).
Bước 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là 
Bước 3: Từ hệ trên ta nhận được: F(x) = [A(x) + B(x)] + C.
	Đối với phương pháp này, điều khó là cách tìm hàm số g(x) như thế nào để sao cho việc giải bài toán là dễ dàng hơn. 
Ví dụ : 	Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) = .
Giải: 	Chọn hàm số phụ: g(x) = .
	Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có: f(x) + g(x) = 
Suy ra: 
Xác định tích phân của các hàm số lượng giác.
	Để xác định tích phân của các hàm số lượng giác, ta thường sử dụng các phương pháp sau:
Sử dụng các nguyên hàm cơ bản.
Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm lượng giác.
Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản.
Phương pháp đổi biến.
Đối với các dạng tích phân: I = ũR(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách đổi biến lựa chọn một trong các hướng sau:
Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép đổi biến t = cosx.
Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép đổi biến t = sinx.
Hướng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) thì sử dụng phép đổi biến t = tgx.
Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến t = tg.
Phương pháp tích phân từng phần.
Sử dụng nguyên hàm phụ.
Ví dụ : 	Tính: 
Giải: 	Ta có nhận xét rằng: 
Từ nhận xét đó giúp ta định hướng được phép biến đổi.
Đặt: t = sinx, khi đó dt = cosxdx.
Đổi cận: x = 0 ị t = 0; x = ị t = -1.
 Khi đú: 
Tích phân của các hàm số hữu tỉ
	Để xác định tích phân các hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau:
Phương pháp tam thức bậc hai.
Phương pháp phân tích.
Phương pháp đổi biến.
Phương pháp tích phân từng phần.
Sử dụng các phương pháp khác nhau: có thể kết hợp việc dùng công thức đổi biến số với kĩ thuật phân tích ra số hạng đơn giản hoặc tích phân từng phần.
	Tuy nhiên, chọn cách sử dụng phương pháp nào cần phải căn cứ vào dạng của từng bài toán cụ thể.
Ví dụ : 	Tính tích phân: 
Giải:	Biến đổi:
Khi đó: 
 .
+) Ta đi xác định tích phân .
 Đặt x = tgt, 
Đổi cận: x = 0 ị t = 0; Vậy I1 = 
 +) Ta đi xác định tích phân . Đặt x = tgt, ;
 Suy ra: .
 Đổi cận: x = 0 ị t = 0 ; x = 1 ị t = .
Khi đó: . Từ đó ta có I = 
Nhận xét: Như vậy, ta đã kết hợp nhiều phương pháp lại với nhau để giải ví dụ trên, cụ thể ở ví dụ trên ta đã sử dụng đồng thời hai phương pháp là phương pháp phân tích và phương pháp đổi biến.
Tích phân của các hàm số vô tỉ.
	Để xác định tích phân của các hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp sau:
Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản.
Phương pháp đổi biến
Phương pháp tích phân từng phần.
Sử dụng các phép biến đổi.
Kết hợp các phương pháp khác nhau.
Ví dụ : 	Tính nguyên hàm: 
Giải: 	Biến đổi I về dạng: 
Thực hiện phép đổi biến: Đặt: 
Suy ra: tdt = xdx và 
 Khi đó: 
Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Để tính tích phân : ta thực hiện theo các bước sau:
 -Bước 1: Xét dấu biểu thức f(x,m) trên đoạn [a, b]. Từ đó phân đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ mà trên mỗi đoạn đó f(x, m) có một dấu xác định, giả sử:
 [a, b] = [a, c1] ẩ [c1, c2] ẩ ẩ [ck, b].
Bước 2: Khi đó ta có:
Ví dụ : 	Tính tích phân: (a > 0).
Giải: 	Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu a ³ 1, khi đó ta có:
Trường hợp 2: 
 Nếu 0 < a < 1, khi đó ta có:
 II, các bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau:
1.ĐH KA-08::
2.ĐH KA-04::
 3.ĐH KB-04:
 4.ĐH KD-08::
 5 a 
 6 
 9 
 10 10
5.CĐGTVT07::
6.ĐH KA-05::
7.ĐH KB-05::
8.CD Y tế HN07::
 b 
 7 
8 
III.Các biện pháp để tổ chức thực hiện
1.Hình thức luyện tập trên lớp có sự hướng dẫn của Thầy giáo.
- Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của các buổi học chính khoá với các bài tập ở mức độ vừa phải. Thầy giáo đưa ra các phương pháp giải và hệ thống bài tập, học sinh nêu các lời giải có thể có được của bài toán. Sau đó cho học sinh tìm tòi, phát hiện một số vấn đề xung quanh bài toán ở mức độ đơn giản.
- Thực hiện một số buổi trong công tác bồi dưỡng đối với những học sinh khá hơn ở mức độ những bài toán cao hơn.
2. Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự hướng dẫn của thầy giáo.
Hình thức này cũng cần được thực hiện liên tục trong quá trìnhhọc tậpcủa học sinh, làm cho khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh ngày càng được tăng lên.
Kết LUậN
Kết quả nghiên cứu.
Sau khi tôI thực hiện dạy một số tiết trên lớp và một số buổi bồi dưỡng và cho tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh. Kết quả đạt được là có 32/50(64%) học sinh đạt yêu cầu.
Kiến nghị, đề xuất.
 - Cần tăng cường hơn nữa các buổi thảo luận khoa học để thống nhất cách dạy và đưa ra các tài liệu tham khảo. 
 - Đõy là một dạng toỏn hay được ra trong cỏc đề thi. Trong chuyờn đề này
 tụi đó cố gắng chọn lọc , tuy nhiờn thời gian cũn hạn chế cũng như sự trau dồi chuyờn mụn chưa cao.Vỡ vậy, khụng trỏnh khỏi những thiếu sút nhất định.
Rất mong được sự tham gia gúp ý kiến ,giỳp đỡ của cỏc đồng nghiờp để 
 đề tài này được ỏp dụng tốt hơn trong giảng dạy
 Tụi xin chõn thành cảm ơn ! 
 PhựCcừ ngày 19 / 05 / 2009
 Người viết
 PhanTtuấn Anh