Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải hệ phương trình

Phần I	ĐẶT VẤN ĐỀ
Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10; tuyển sinh đại học, cao đẳng; thi học sinh giỏi. Mặc dù học sinh được cọ sát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình tìm ra cách giải. Nguyên nhân là vì
Thứ nhất, hệ phương trình là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện.
Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn giản, các tài liệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại chưa dựa trên cái gốc của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìn tổng quát về hệ phương trình.
Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các em.
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi về mặt hình thức là không mới. Cái mới ở đây chính là sự phân loại có tính chất xuyên suốt chương trình nhưng vẫn bám vào các kĩ thuật quen thuộc, phù hợp với tư duy của học sinh. Thêm vào đó, với mỗi bài toán đều có sự phân tích lôgic, có sự tổng quát và điều đặc biệt là cho học sinh tìm ra cái gốc của bài toán, các bài toán từ đâu mà có, người ta đã tạo ra chúng bằng cách nào.
Thông qua các việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần dần thích nghi một cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toán mới. Học sinh thường hiểu sâu và thích nghi khi học phần này.
Mặc dù đã có sự đầu tư và thu được những thành công đáng kể song vì điều kiện thời gian còn hạn chế nên sự phân loại có thể chưa được triệt để và chỉ mang tính chất tương đối, rất mong được các bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Phần II	GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
I.1. Định nghĩa. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng
với là các số thực đã cho thỏa mãn 
I.2. Ví dụ
I.3. Cách giải. Ngoài các phương pháp giải đã học ở lớp 9 ta có thêm phương pháp sau:
+ Bước 1. Tính các định thức
+ Bước 2.
Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất 
Nếu và thì hệ vô nghiệm
Nếu thì hệ (vô số nghiệm)
II. Hệ phương trình đối xứng loại I
II.1. Định nghĩa. Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ pt có dạng 
Trong đó và là những đa thức chứa hai biến x, y thỏa mãn 
II.2. Cách giải phổ biến
Bước 1. Biểu diễn từng pt theo tổng và tích 
Bước 2. Đặt . 
Bước 3. Giải hệ mới theo S và P
Bước 4. x và y là hai nghiệm của pt 
III. Hệ phương trình đối xứng loại II
III.1. Định nghĩa. Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ phương trình có dạng
trong đó là một biểu thức chứa hai biến x và y.
III.2. Cách giải.
Bước 1. Trừ vế hai pt ta được (*)
Bước 2. Đưa phương trình (*) về dạng tích 
Bước 3. Xét hai trường hợp.
TH 1. x = y thế vào một trong hai phương trình của hệ và giải tiếp
TH 2. kết hợp với ta được hệ đối xứng loại I
* Chú ý. Nếu phức tạp ta sẽ tìm cách chứng minh nó vô nghiệm.
IV. Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai
IV.1. Định nghĩa. Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai là hệ có dạng
IV.2. Cách giải
Bước 1. Cân bằng hệ số tự do ta được 
Bước 2. Trừ vế hai phương trình ta được (*)
Bước 3. Giải phương trình (*) ta sẽ biểu diễn được x theo y
Bước 4. Thế vào một trong hai phương trình của hệ và giải tiếp
* Chú ý
Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn.
Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt hoặc đặt .
Ta cũng có thể cân bằng số hạng chứa (hoặc chứa ) rồi trừ vế và dùng phép thế.
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp thế
* Cơ sở phương pháp. Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình trong hệ và thế vào phương trình còn lại.
* Nhận dạng. Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
Lời giải.
Từ (1) ta có thế vào (2) ta được 
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Phương trình (2) là bậc nhất đối với y nên ta dùng phép thế.
Lời giải. 
x = 0 không thỏa mãn (2)
 thế vào (1) ta được 
Do nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
Chú ý.
+ Hệ phương trình này có thể thế theo phương pháp sau:
Hệ 
+ Phương pháp thế thường là công đoạn cuối cùng khi ta sử dụng các phương pháp khác
Phương pháp cộng đại số
* Cơ sở phương pháp. Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này là khả thi hoặc có lợi cho các bước sau.
* Nhận dạng. Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
Lời giải.
ĐK: 
Hệ . Trừ vế hai phương trình ta được
TH 1. thế vào (1) ta được 
TH 2. . Từ , 
. Do đó TH 2 không xảy ra.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1)
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 
Lời giải.
ĐK: .
Trừ vế hai pt ta được 
TH 1. thế vào (1) ta được 
Đặt ta được và 
TH 2. . TH này vô nghiệm do ĐK.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1)
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Đây là hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta sẽ cân bằng số hạng tự do và thực hiện phép trừ vế.
Lời giải.
Hệ 
Giải phương trình này ta được thế vào một trong hai phương trình của hệ ta thu được kết quả.
* Chú ý
Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn.
Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt hoặc đặt .
Ví dụ 6. Tìm các giá trị m để hệ có nghiệm.
Phân tích. Để có kết quả nhanh hơn ta sẽ đặt ngay 
Lời giải.
TH 1. 
Vậy hệ có nghiệm 
TH 2. , Đặt . Hệ 
Ta có nên hệ có nghiệm pt (*) có nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ khi hoặc 
Kết luận. 
Ví dụ 7. Tìm các giá trị của m để hệ (I) có nghiệm.
Lời giải.
Nhân 2 vế của bpt thứ hai với -3 ta được 
Cộng vế hai bpt cùng chiều ta được 
Điều kiện cần để hệ bpt có nghiệm là 
Điều kiện đủ. Với . Xét hệ pt (II)
Giả sử là nghiệm của hệ (II). Khi đó
Vậy mọi nghiệm của hệ (II) đều là nghiệm của hệ (I)
(II) 
Thay vào pt thứ 2 của hệ (II) ta được 
Hệ (II) có nghiệm, do đó hệ (I) cũng có nghiệm. Vậy .
Ví dụ 8. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia hai vế pt thứ nhất cho và chia hai vế pt thứ hai cho .
Lời giải.
ĐK: .
Dễ thấy hoặc không thỏa mãn hệ pt. Vậy 
Hệ 
Nhân theo vế hai pt trong hệ ta được 
TH 1. thế vào pt (1) ta được 
TH 2. không xảy ra do .
Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất .
Chú ý. Hệ phương trình có dạng . Trong trường hợp này, dạng thứ nhất có vế phải chứa căn thức nên ta chuyển về dạng thứ hai sau đó nhân vế để mất căn thức.
Tổng quát ta có hệ sau: 
Ví dụ 9. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Nếu chia hai vế của mỗi phương trình cho thì ta được hệ mới đơn giản hơn.
Lời giải.
TH 1. . Nếu thì hệ hoặc 
Tương tự với và ta thu được các nghiệm là 
TH 2. . Chia hai vế của mỗi pt trong hệ cho ta được
. Cộng vế 3 phương trình của hệ ta được
Từ (4) và (1) ta có 
Tứ (4) và (2) ta có . Từ (4) và (3) ta có 
Tương tự, từ (5), (1), (2), (3) ta có .
Vậy hệ có tập nghiệm là
S = 
Nhận xét. Qua ví dụ trên ta thấy: từ một hệ phương trình đơn giản, bằng cách đổi biến số (ở trên là phép thay nghịch đảo) ta thu được một hệ phức tạp. Vậy đối với một hệ phức tạp ta sẽ nghĩ đến phép đặt ẩn phụ để hệ trở nên đơn giản.
Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 10. Giải hệ phương trình 
Lời giải. Đây là hệ đối xứng loại I đơn giản nên ta giải theo cách phổ biến.
Hệ 
Đặt ta được 
TH 1. 
TH 2. . Vậy tập nghiệm của hệ là
S = 
Chú ý.
Nếu hệ pt có nghiệm là thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là . Do vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là .
Không phải lúc nào hệ đối xứng loại I cũng giải theo cách trên. Đôi khi việc thay đổi cách nhìn nhận sẽ phát hiện ra cách giải tốt hơn.
Ví dụ 11. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Đây là hệ đối xứng loại I
Hướng 1. Biểu diễn từng pt theo tổng và tích 
Hướng 2. Biểu diễn từng pt theo và . Rõ ràng hướng này tốt hơn.
Lời giải.
Hệ . Đặt ta được
TH 1. 
TH 2. Đổi vai trò của a và b ta được . Vậy tập nghiệm của hệ là
S = 
Nhận xét. Bài toán trên được hình thành theo cách sau
Xuất phát từ hệ phương trình đơn giản (I)
Thay vào hệ (I) ta được hệ
(1) đó chính là ví dụ 11
Thay vào hệ (I) ta được hệ
(2) 
Thay vào hệ (I) ta được hệ
(3) 
Thay vào hệ (I) ta được hệ
(4) 
Thay vào hệ (I) ta được hệ
(5) 
Như vậy, với hệ xuất (I), bằng cách thay biến ta thu được rất nhiều hệ pt mới.
Thay hệ xuất phát (I) bằng hệ xuất phát (II) và làm tương tự như trên ta lại thu được các hệ mới khác. Chẳng hạn
Thay vào hệ (II) ta được hệ
(6) 
Thay vào hệ (II) ta được hệ
(7) 
Thay vào hệ (II) ta được hệ
(8) 
Thay vào hệ (II) ta được hệ
(9) 
Thay vào hệ (II) ta được hệ
(10) ...
Như vậy, nếu chúng ta biết cách tạo ra bài toán thì chúng ta có thể nghĩ ra cách giải của những bài toán khác.
Ví dụ 12. Giải các hệ pt sau
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải.
ĐK. . Hệ 
Đặt ta được hệ 
Hệ . Đặt ta được
TH 1. 
TH 2. 
Vậy tập nghiệm của hệ pt là S = 
ĐK: 
Hệ 
Đặt . ta được hệ pt
 (thỏa mãn đk)
Hệ .
Đặt ta được hệ 
 hoặc 
 hoặc 
 hoặc 
Kết luận. Hệ có 4 nghiệm như trên
Phương pháp đưa về dạng tích
* Cơ sở phương pháp. Phân tích một trong hai phương trình của hệ thành tích các nhân tử. Đôi khi cần tổ hợp hai phương trình thành phương trình hệ quả rồi mới đưa về dạng tích.
* Cách thành lập hệ dạng này trong đó được chọn sao cho vô nghiệm hoặc giải được; được chọn sao cho giải được và thỏa mãn kết hợp được với 
Ví dụ 13. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1).
Lời giải.
ĐK: 
(1) 
TH 1. (loại do )
TH 2. thế vào pt (2) ta được
. Do . Vậy hệ có nghiệm 
Chú ý. Do có thể phân tích được thành tích của hai nhân tử bậc nhất đối y (hay x) nên có thể giải pt (1) bằng cách coi (1) là pt bậc hai ẩn y (hoặc x).
Ví dụ 14. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Từ cấu trúc của pt (1) ta thấy có thể đưa (1) về dạng tích.
Lời giải.
ĐK: . (1) 
TH 1. thế vào (2) ta được hoặc (TM)
TH 2. thế vào (2) ta được . Pt này vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của hệ là S = 
Ví dụ 15. Giải hệ phương trình 
Lời giải.
TH 1. thế vào pt thứ hai ta được 
TH 2. .
(2) 
Trường hợp này không xảy ra do 
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = 
Ví dụ 16. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1)
Lời giải.
ĐK: . (1) 
TH 1. thế vào (2) ta được 
TH 2. vô nghiệm do ĐK
Vậy tập nghiệm của hệ là S = 
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
* Cơ sở phương pháp. Nếu đơn điệu trên khoảng và thì 
* Cách xây dựng hệ theo phương pháp này.
Lấy hàm số đơn điệu trên khoảng , 
Lấy sao cho hệ giải được trên tập xác định của chúng.
Lập hệ phương trình 
Ví dụ 17. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Nếu thay vào phương trình thứ nhất thì ta sẽ được hđt
Lời giải. Thay vào phương trình thứ nhất ta được
 (1)
Xét hàm số có suy ra đồng biến trên . (1) thế vào pt thứ hai ta được
. Vậy tập nghiệm của hệ là S = 
Ví dụ 18. Giải hệ phương trình 
Lời giải. ĐK: 
(1) 
 với . đồng biến trên . Vậy 
Thế vào pt (2) ta được 
Với 
Ví dụ 19. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Ta có thể giải hệ trên bằng phương pháp đưa về dạng tích. Tuy nhiên ta muốn giải hệ này bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Hàm số không đơn điệu trên toàn trục số, nhưng nhờ có (2) ta giới hạn được x và y trên đoạn .
Lời giải.
Từ (2) ta có 
Hàm số có đồng biến trên đoạn . nên (1) thế vào pt (2) ta được . Vậy tập nghiệm của hệ là S = 
Nhận xét. Trong trường hợp này ta đã hạn chế miền biến thiên của các biến để hàm số đơn điệu trên đoạn đó.
Ví dụ 20. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm
Lời giải.
Điều kiện. 
(1)
Hàm số nghịch biến trên đoạn 
 nên 
Thế vào pt (2) ta được 
Hệ có nghiệm Pt (3) có nghiệm 
Xét 
. 
Pt (3) có nghiệm 
Ví dụ 21. Giải hệ phương trình 
Lời giải. Trừ vế hai pt ta được 
 với . 
 đồng biến trên . Bởi vậy thế vào pt thứ nhất ta được 
Với . 
 do và 
Suy ra đồng biến trên . Bởi vậy 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 0
Ví dụ 22. Chứng minh hệ có đúng 2 nghiệm 
Lời giải. ĐK: . Do nên 
Trừ vế hai pt ta được 
Hay với .
 đồng biến trên .
Bởi vậy thế vào pt thứ nhất ta được
Với . Ta có 
Suy ra đồng biến trên . liên tục trên và có
 nên có nghiệm duy nhất và 
Từ BBT của ta suy ra pt có đúng 2 nghiệm . Vậy hệ phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương.
Ví dụ 23. Giải hệ phương trình 
Lời giải. ĐK: 
(1) với 
 đồng biến trên và nghịch biến trên khoảng 
TH 1. hoặc thì 
Thế vào pt (2) ta được (không thỏa mãn)
TH 2. hoặc ngược lại thì 
TH 3. thì hệ có nghiệm . Vậy hệ có nghiệm duy nhất 
Phần 3	KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã giải quyết được những vấn đề sau:
Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát và có hệ thống về hệ phương trình đại số, từ đó có kĩ năng giải thành thạo các bài toán thuộc chủ đề này và hơn thế học sinh không còn cảm giác e sợ khi gặp hệ phương trình.
Tạo cho học sinh có thói quen tổng quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà có và người ta đã tạo ra chúng bằng cách nào.
Thông qua việc tìm ra bài toán gốc, việc tổng quát bài toán, việc tạo ra bài toán mới, dần dần hình thành cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần phương pháp mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin, hứng thú khi học tập bộ môn.
Qua thực tế giảng dạy chuyên đề này tôi thấy các em học sinh không những nắm vững được phương pháp, biết cách vận dụng vào các bài toán cụ thể mà còn rất hứng thú khi học tập chuyên đề này. Khi học trên lớp và qua các lần thi thử đại học, số học sinh làm được bài về giải hệ phương trình cao hơn hẳn các năm trước và tốt hơn nhiều so với các em không được học chuyên đề này.
Một số đề xuất
Mỗi bài toán thường có cái gốc của nó, việc học sinh phát hiện ra bài toán gốc sẽ thấy toán học rất thực tế, tự nhiên và không khó như các em nghĩ đồng thời tạo niềm tin và hứng thú học tập với các em. Với tinh thần như vậy và theo hướng này các thày cô giáo và các em học sinh có thể tìm ra được nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác nhau. Chẳng hạn, các bài toán về tích phân, các bài toán về tổ hợp – xác suất, các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, trong không gian.
Cuối cùng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các đồng nghiệp đã giúp đỡ và góp ý kiến cho tôi hoàn thành đề tài sáng kiến kinh nghiệm này.