Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng bài tập Số phức

Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 0
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 1
PHẦN MỞ ĐẦU 
I.BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI 
Kể từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung 
“ Số phức” vào chương trình lớp 12 cho học sinh dạng đại trà. Đây là vấn đề khá 
mới lạ đối với không ít giáo viên và học sinh bậc THPT (do thời lượng chương trình và 
tài liệu nghiên cứu không nhiều), mặc dù nội dung này chiếm một tỉ lệ nhất định trong 
các đề thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Vì thế, việc dạy và học 
nội dung “ Số phức” có hiệu quả thật sự là vấn đề cần nghiên cứu. Qua quá trình giảng 
dạy tôi đã tích lũy một ít kinh nghiệm cho nội dung này. Trong năm học 2010 - 2011, 
tôi đã hệ thống những kinh nghiệm soạn đề và phương pháp giải một số dạng bài 
tập về số phức với hy vọng học sinh sẽ có cái nhìn toàn diện và tự tin hơn khi tiếp cận 
các vấn đề liên quan đến số phức. 
II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 
Lý do chọn đề tài của tôi xuất phát từ những trải nghiệm sau: 
* Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên đa phần khi vận dụng còn 
ảnh hưởng bởi tính chất của tập hợp số thực đã học từ các lớp dưới. Vì vậy thường tỏ ra 
lúng túng khi đối mặt chúng trong các đề thi. 
* Trong nhiều trường hợp, có thể vận dụng phương pháp“ Dùng cái phức để giải 
quyết cái thực” một cách hữu hiệu. 
* Nghiên cứu dạng toán này còn giúp cho học sinh kết hợp phương pháp đại số và 
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải quyết một số dạng toán nâng cao. 
* Đặc biệt, nhằm ứng dụng hiệu quả kiến thức tiếp thu qua các lớp tập huấn về công 
nghệ thông tin và bồi dưỡng thường xuyên, bên cạnh việc hướng dẫn học sinh sử dụng 
máy tính cầm tay trong việc tính toán số phức, bản thân còn ứng dụng phần mềm 
Maple để chủ động biên soạn các đề bài toán số phức phù hợp mục tiêu từng dạng bài. 
Từ những suy nghĩ trên, tôi mạn phép trao đổi cùng các anh chị đồng nghiệp và các 
em học sinh sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “KINH NGHIỆM SOẠN ĐỀ VÀ 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC” nhằm góp phần 
nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn toán ở trường THPT. 
III. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 
•Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở các trường trung 
học phổ thông tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp và Cao đẳng - 
Đại học. 
•Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm: 
* Một số dạng bài tập thường gặp về số phức. 
* Ứng dụng số phức tìm để giải quyết một số bài toán về số thực. 
* Các bài toán tham khảo qua các kì thi. 
* Minh họa một số đề bài toán được biên soạn bởi sự hỗ trợ phần mềm Maple. 
IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 
Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục tiêu: 
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 2
* Cùng chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm về phương pháp 
giải một số dạng bài tập về số phức. 
 * Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm. 
 * Ứng dụng CNTT trong việc đổi mới phương pháp dạy và học ở trường phổ thông. 
 * Hưởng ứng phong trào viết SKKN của trường THPT chuyên Bến Tre và của Công 
Đoàn ngành Giáo dục phát động. 
V. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 
 * SKKN này đã hệ thống tóm tắt những nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý 
khi nghiên cứu chương số phức. 
 * Qua SKKN nầy, học sinh được nắm được phương pháp giải một số dạng toán về 
số phức và các kỹ thuật tính toán đại số.Cụ thể là: 
 + Dạng 1: Các phép tính về số phức và các bài toán định tính. 
 + Dạng 2: Biểu diễn hình học của số phức. 
 + Dạng 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai. 
 + Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai. 
 + Dạng 5: Dạng lượng giác của số phức. 
 + Dạng 6: Nhị thức Niu-tơn và số phức. 
* SKKN này còn khai thác ý nghĩa hình học về các phép toán cộng, trừ của số phức 
và ứng dụng dạng lượng giác của số phức. 
 * SKKN này đưa ra nhiều bài toán mẫu và các bài tập tương tự nhằm mục tiêu giúp 
học sinh rèn luyện kỹ năng tính toán và phát triển tư duy trước mỗi dạng bài. 
 * Qua SKKN này, học sinh sẽ tích lũy thành kinh nghiệm cho bản thân để có thể 
sáng tạo giải quyết các bài toán nâng cao và tổng hợp khác. 
 * Đặc biệt, điểm mới cần lưu ý trong SKKN này là bản thân đã khai thác ứng dụng 
phần mềm Maple trong việc sáng tác các bài toán và kiểm tra kết quả theo mục tiêu bài 
học. 
PHẦN NỘI DUNG 
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN 
 Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở: 
 * Các kiến thức cơ bản về số phức. 
 * Các kiến thức cơ bản về lượng giác và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. 
 * Một số kĩ thuật biến đổi đại số và ứng dụng của máy tính cầm tay. 
 * Một số lệnh cơ bản của Maple. 
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 
 Trong suốt 12 năm học từ bậc tiểu học đến bậc THPT, hầu hết thời gian làm toán số 
của học sinh là yêu cầu giải quyết trên tập số thực. Riêng năm học lớp 12 học sinh 
được tiếp cận với tập số phức với thời lượng nhất định để nghiên cứu các dạng toán 
liên quan. Vì thế, nếu không có sự hướng dẫn đầy đủ và cụ thể của giáo viên thì học 
sinh thường có sự nhầm lẫn trong tính toán và không nắm vững phương pháp giải từng 
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 3
dạng bài. Đồng thời, học sinh cũng không cảm nhận hết“ cái đẹp” của số phức cũng 
như không thấy rõ mối liên quan giữa các kiến thức toán học. 
Do vậy, việc giải các bài toán liên quan đến số phức đòi hỏi có sự kết hợp khéo léo 
và vận dụng linh hoạt, sáng tạo giữa các kiến thức toán. Sau đây, tôi xin giới thiệu một 
số phương pháp thường dùng để giải các dạng toán nói trên. 
III. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
1) TÓM TẮT GIÁO KHOA 
Trước hết, ta cần hệ thống tóm tắt những nội dung chính và những vấn đề cần 
lưu ý khi nghiên cứu chương số phức. 
Phần 1: SỐ PHỨC 
2
Moãi laø moät bieåu thöùc daïng vôùi
, vaø 1. Kí hieäu soá phöùc ñoù laø z vaø vieát .
 ñöôïc goïi laø ñôn vò aûo, ñöôïc goïi laø phaàn thöïc vaø ñöôïc 
Ñònh nghóa 1:
soá phöc
g
ù +
∈ = − = +
i
\
a bi
a b i z a bi
i a b oïi laø phaàn aûo 
cuûa soá phöùc .
Taäp hôïp caùc soá phöùc ñöôïc kí hieäu laø .
= +
^
z a bi
Ñònh nghóa 2: , Suy ra 0 0.
a a
a bi a b i a bi a b
b b
′=⎧′ ′+ = + ⇔ + = ⇔ = =⎨ ′=⎩i 
Ñaây laø cô sôû cuûa vieäc öùng duïng soá phöùc ñeå giaûi quyeát caùc baøi toaùn trong 
taäp hôïp soá t
Chuù yù: 
höïc.
3 3 2 2
Sau khi hoïc xong coâng thöùc Moivre(Moa- vrô), coù theå tính ñöôïc
 cos , sin nhö sau:
Vôùi 3, xeùt = cos3 sin3 (1).
Ta coù = (cos si
V
n
í duï:
) (cos 3cos .sin ) (3cos i
.s n
ϕ ϕ
= ϕ + ϕ
ϕ+ ϕ ⇒ = ϕ− ϕ ϕ + ϕ ϕ
∗
i
n n
n z i
z i z i 3
3
3
sin ); (2)
cos3 4cos 3cos .
Töø (1) vaø (2) ta ñöôïc:
sin3 3sin 4sin .
− ϕ
⎧ ϕ = ϕ− ϕ⎪⎨ ϕ = ϕ− ϕ⎪⎩
i
i
′ ′
′ ′≥
∗
≤
^ Trong khoâng coù quan heä thöù töï, nghóa laø khoâng coù khaùi nieäm z > z , z < z ,
 z z , z
Chuù yù:
z . 
∗
= +
+
iÖÙng vôùi moãi soá coù duy nhaát moät ñieåm 
Bieåu dieãn hình hoïc cuûa soá phö
( ; )/ mp vaø ngöôïc laï
ùc:
i. 
Kí hieäu: ( ) hay ( ) .
M a bz a bi
M a b
O
M
x
z
y
i
 iCaùc ñieåm treân truïc hoaønh bieåu dieãn caùc soá thöïc; Caùc ñieåm treân truïc tung 
bieåu dieãn caùc soá aûo.
Ox Oy 
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 4
Cho coù vectô bieåu dieã
cuûa ca
n laø ( ; )
 coù vectô bieåu d
ùc pheùp toaùn coäng, tröø s
ieãn laø ( ; )
oá phö :ùc
= +
′ ′ ′ ′ ′ ′= +
G
JGz a bi u a b
z a b i u a b
∗ Y Ù nghóa hình hoïc
 bieåu dieãn cho .
Khi ño :
 bieåu dieãn cho - .
⎧ ′ ′+ +⎪⎨ ′ ′−⎪⎩
G JG
G JGu u z zù
u u z z
∗
′ ′ ′= + = +
′ ′ ′ ′ ′= + +
Ñònh nghóa pheùp nhaân soá phöùc:
Tích cuûa hai soá phöùc va 
laø soá phöùc - ( ) .
z a bi ø z a b i
zz aa bb ab a b i
 * Chu ù yù :
\
"Coù theå thöïc hieän caùc pheùp toaùn coäng, tröø, nhaân hai soá phöùc moät caùch hình thöùc
 töông töï nhö caùc pheùp toaùn coäng, trö,ø nhaân treân taäp soá thöïc
 "
∗Khaùi nieäm soá phöùc lieân hôïp vaø moâñun soá phöùc. 
2 2
Pheùp chia soá phöùc: 
Soá phöùc lieân hôïp cuûa laø - .
Moñun cuûa soá phöùc z laø 
Pheùp chia cho soá phöùc khaùc kh
= . 
Soá nghòch ñaûo cuûa soá phöùc khaùc
Ñònh nghóa:
oâng:
∗
= + =
+
i
i
i
z a bi z a bi
â z a b
z
1
2
0 laø soá 
1 = . −z z
z
1
2
 Thöông cuûa pheùp chia soá phöùc cho soá phöùc 0 laø tích cuûa vôùi soá phöùc 
nghòch ñaûo cuûa , töùc laø . .
Vaäy Neáu 0 th .: ì 
−
′ ′≠ =
′ ′ ′≠
′ ′=
z z zz
z z z z
z
zz
z
z z
z z 
SƠ ĐỒ TRÌNH BÀY KHÁI NIỆM PHÉP CHIA SỐ PHỨC 
−
−
⎫⎪∗ = + ⇒ ⎪ ′ ′⎪ ′∗ = + ⇒ + ⇒ = ≠⎬⎪⎪∗ ≠ ⇒ ⎪⎭
2 2 1
2
1
2
 = -
 = . =
1Cho 0 = 
z a bi z a bi
z z zz a bi z a b z z z
z z
z z z
z
 ;( 0)
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 5
′∗ Chuù yù: Trong thöïc haønh, ñeå tính ta chæ caàn nhaân caû töû vaø maãu soá vôù . i z z 
z
Phần 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
=∗
∗
≠
2 Ñònh nghóa:
 Coù theå chöùng minh ñö
 " Caên baäc hai cuûa soá phöùc laø soá phöùc sao cho "
 Moãi soá phöùc 0 coù ñuùng hai caên baäc hai laø hai soá
ôïc keát quaû 
 ñoái nhau (kh
sau
a 
:
ùc 0)
w z z w
z 
∗
+
Khoâng ñöôïc duøng kí hieäu ñeå chæ caên baäc hai cuûa moät soá phöùc 
( khoâng ñöôïc vieát )a bi
: Chuù yù
∗ = +
= +
= ⇔ − + = +
⎧ − = ∗⎨ =⎩
i
i
2 2 2
2 2
 Chuù yù phöông phaùp tìm caên baäc hai cuûa soá phöùc :
Giaû söû laø caên baäc hai cuûa . 
Vaäy ta coù: ( ) 2
 Giaûi heä phöông trình
: ( )
2
Vaäy vieäc
w a bi
z x yi w
z w x y xyi a bi
x y a
xy b
∗ tìm caên baäc hai cuûa soá phöùc ñöôïc quy veà vieäc giaûi hpt ( ) baèng phöông
 phaùp theá trong taäp hôïp soá thöïc.
w
TÓM TẮT CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC 
∗
∗
 Soá 0 coù ñuùng moät caên baäc hai laø 0.
 Moãi soá phöùc khaùc 0 coù hai caên baäc hai laø hai soá ñoái nhau (khaùc 0).
Ñaëc bieät, soá thöïc döông coù hai caên baäc hai laø vaø - ; soá thöïc a a a a
− −
aâm coù hai caên
baäc hai laø vaø - .ai ai 
∗ Phöông trình baäc hai: 
 + + = ≠2 0; 0 (1)Az Bz C A 
 Δ = −
∗ Δ ≠
− + δ − − δ= =
δ Δ
∗Δ =
2
1 2
 Xeùt bieät thöùc 4 .
Neáu 0 thì pt (1) coù 2 nghieäm phaân bieät:
 , 
2 2
trong ñoù laø moät caên baäc hai cuûa .
0 thì pt (1) coù nghieäm keùp:
B AC
B Bz z
A A
= = −1 2 .2
Bz z
A
: HS söû duïng MTCT ñeå kieåm tra nghieäm pt baäc baäc hai trong taäp soá phöùc.*Chu ù yù 
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 6
Phần 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 
= ϕ + ϕ >Daïng (cos sin ) vôùi 0
∗
+
= + ∈
∗
i
\
2 2
PP tìm daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc 
Ñònh nghóa daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc:
khaùc 0
Böôùc 1:Tìm = (moñun cu
 ( ; ) cho tröô
ûa so
c:ù
.z r i r
z a bi
r a b
a b
ϕ ϕ∈ ϕ ϕi \
á phöùc).
Böôùc 2:Tìm (laø moät acgumen cuûa ); sao cho cos = ; sin = .a bz
r r
∗Ñònh lyù nhaân vaø chia soá ph ... ⎠ ⎝ ⎠
π ϕ π ϕ π ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2sin sin cos
4 2 4 2 4 2
i= − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
 2sin
⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦
π ϕ ⎡ π ϕ π ϕ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ cos sin . (1)4 2 4 2 4 2
Do 0 neân 0 0 2sin 0.
2 2 4 4 2 2 4 2
Vaäy (1) chính laø daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc treân.
Vì theá 
i
⎡ ⎤
+ + +⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
π ϕ π π ϕ π π ϕ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
 chính laø moät acgumen cuûa soá phöùc .
4 2
zπ ϕ−
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 16
Thực chất bài tập trên là yêu cầu viết dạng lượng giác của số phức. Bài tập sau 
ây cũng mang ý nghĩa như trên nhưng ở mức độ nâng cao hơn. 
Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn z, giải pt điều kiện tìm z 
Bước 2: Áp dụng công thức Moa-vrơ để tìm w 
Bước 3: Kết luận phần thực và phần ảo của w. 
( KQ: Phần thực của w bằng -1, phần ảo của w bằng 0.) 
Trong bài tập trên có thể thay số mũ 2008 bởi số khác sẽ được bài tương tự. Khi đó 
có th vận dụng công thức cung liên kết của lượng giác để hỗ trợ tính toán. 
Dạng 6:
đ
ể
 NHỊ HỨC NIU-TƠN VÀ SỐ PHỨC 
 T
Yêu cầu bài toán thường cho dưới dạng: 
1) Tính tổng. 
2) Chứng minh đẳ
 minh 
ng thức phụ thuộc số tự nhiên. 
 B
ài toán họa 
)
2008
2008
Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc
1 1 , neáu 1. w z z
z z
= + + =
( ) ( )2 22 4 1 3 5
Vôùi moïi soá nguyeân döông n, haõy chöùng minh heä thöùc sau:
1 ... ... 2 . nn n n n nC C C C C− + + − + = 
( ) ( ) (2 4 1 3 5
0
iu- tôn ta coù:
 1 ... ... .nn k kn n n n n n
k
Xeùt soá phöùc 1 . Theo coâng thöùc khai trieån nhò thöùc N
n
z i= +
z 1
( ) ( )2 22 4 1 3 51 ... ... .n n n n n n
Maët khaùc: = nn
i C i C C C C C i
=
= + = = − + − + − + −∑
)2 2 (ñpcm).n=
z C C C C C⇒ = − + − + − + − 
z z . Suy ra:
( ) (22 4 1 3 51 ... ...n n n nC C C C C− + − + − + −n
0 2 4
2010 2010 2010Tính toång: ...S C C C= − + − 2004 2006 20082010 2010 2010C C C+ − +
2010Khai trieån nhò thöùc Niu-tôn (1 )i+
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông T Trang 1hò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre 7
2Tìm soá phöùc bieát: 0; , vaø K .Q:+ = = = = −0z z z z z i z i
( ) ( )2 2
Tìm taäp hôïp caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn 
soá p (ÑH-D-2009)
KQ: 
höùc thoûa: (3 4 ) 2.
Ñöôøng troøn 3 4 4.
− − =
− + + =
M
z z i
x y
3
( ÑH-B-2009)
 KQ: 
a) Cho soá phöùc thoûa: (2 ) 10 vaø . 25. Haõy tìm . 
3 4 vaø 5.
2; 1 3 vaø 1 3.
− + = =
= + =
= − = − = +
z
b) Gpt: 8 0.+ =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) )
1 2
2 2
1 2
1 2
3 3
Giaûi caùc hpt sau
4
1) 
5 2
 ; 3 ;1 2 vaø ; 1 2 ;3
3(1 )
2) 
9( 1 )
 ; 2 ;1 2 vaø ; 1 2 ;
KQ:
KQ: 2
z z
z z i
z z i i z i
z w i
z w i
(
1 2z
 treân taäp soá phöùc:
i
z w i i z w i i
+ = +⎧⎨ + = −⎩
= − + +
+ = +⎧⎨ + = − +⎩
=
= + + = + +
 KQ: 
z i z z z
z i z
z z z
z
1 2 3 1 2 3
2 1
1 2 3
3 2
Cho ba ñieåm , , töông öùng vôùi caùc soá phöùc , , .M M M z z z
z Chöùng minh r
laø moät s
aèng neáu , , thaúng haøng thì tæ soá
oá thöïc. 
zM M M
z
−
−z
0 2 2 4 3 6
1 3 2 5
Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n, ta coù caùc heä thöùc:
3 3 3 ... 2 cos
3 
23 3 ... sin .
33
n
n n n n
n
n n n
nC C C C
nC C C
π⎧ − + − =⎪⎪⎨ π⎪ − + − =⎪⎩
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 18
3) MINH HỌA VIỆC ỨNG DỤNG MAPLE BIÊN SOẠN CÁC ĐỀ TOÁN VỀ 
SỐ PHỨC 
 Khi ra đề kiểm tra về số phức cho học sinh, để tránh phải tính toán nặng nề, giáo 
viên thường trích từ những tài liệu tham khảo có sẵn đáp số hoặc lời giải. Vì thế các 
d ập dễ bị trùng lắp và số lượng bài cũng hữu hạn. Còn nếu tự sáng tác đề bài 
một cách ngẫu nhiên thì sau đó phải gia công tính toán nặng nề và tốn rất nhiều thời 
gian. Phần mềm Maple chính là công cụ hữu hiệu giúp giáo viên giải quyết vấn đề một 
cách sáng tạo và khoa học. Nhờ đó, GV ra đề bài tập theo chủ ý và nhanh chóng kiểm 
tra kết quả. Do khuôn khổ bài viết có hạn nên tôi xin minh họa qua ba dạng bài tập sau: 
a) Dạng : Các phép tính về số phức 
Dùng các lệnh: expand (khai triển), solve (giải pt), conjugate (số phức liên 
hợp), abs ( môđun số phức), Re ( phần thực), Im (phần ảo),... 
Ví dụ 1: 
ạng bài t
• Ta có thể thực hiện lệnh khai triển như sau: 
( ) ( )+ − = + + +2
Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc bieát:
1 . 2 8 (1 2 ) (CÑ A,B, D - 20 ) 09
z
i i z i i z
 • Sau đó dùng lệnh giải phương trình: 
 • Hoặc thay cả hai lệnh trên bởi lệnh: 
 • Từ đó dễ dàng kiểm tra phần thực và phần ảo của z. 
Chú ý: 
Họ
trê hác thì có ngay 
i và đáp số tương ứng. 
í dụ 2: 
c sinh có thể dùng MTCT để tính ở bước cuối rồi kết luận ( tr 7). Với cú pháp 
n, GV nhanh chóng tìm được đáp số. Ngoài ra có thể thay bởi số k
một đề mớ
V 
3/ Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc bieát:
5 5 20
z 
 . 
3 4 4 3
= +− +
 (KT giöõa HKI 2010 -2011-chuyeân BT)
+ iz
i i 
• Tương tự VD1 hoặc dùng lệnh gán: 
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 19
Ví dụ 3: ( ) 
• Ta có thể thực hiện lần lượt các lệnh sau: 
 • Hoặc để kiểm tra kết quả, ta dùng lệnh gộp sau: 
Chú ý: Có thể tìm phần thực, phần ảo bằng lệnh: 
Ví dụ 4: 
• Học sinh dùng công thức tính tổng CSN, GV kiểm tra KQ bằng lệnh: 
Chú ý: Có thể dùng phím tính tổng trong Maple. 
b) Dạng : Phương trình và hệ phương trình 
• Dùng Maple, GV dễ dàng kiểm tra nghiệm của pt bậc hai với h ố phức hoặc hệ ệ s
phương trình bằng lệnh solve như sau: 
Ví dụ 5: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 51 1 3 + 1 3 + 1 3
 Tính toång:
 + 1 3 + 1 3 + 1 3 = + − − − − − −
∗
S i i i i i
6
i
= +−
3
1- 3
Cho soá phöùc thoûa: .Tìm moâñun cuûa soá phöùc 
1
 (ÑH -A- 0 201 )
i
z z z iz
i
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 20
( ) ( )2
Giaûi phöông trình sau treân taäp soá phöùc:
 1 2 1 2 4 0. i z i z− − + − =
Ví dụ 6: 
 ( ) ( )2
ng trình sau treân taäp soá phöùc:
2 3 4 3 1 0. i z i z i− + − + − =
Giaûi phöô
• Tương tự VD5: 
Ví dụ 7: 
• Dùng lệnh solve như sau: 
Chú ý: Trong các bài toán trên, nếu thay đổi số liệu ta dễ dàng có đề bài và 
đáp số tương ứng. Ngoài ra, có thể dùng lệnh expand để lập phương trình bậc 
hai nếu biết hai nghiệm (có thể phức) của nó. Chẳng hạn thực hiện các bước: 
- Lập pt bậc hai biết hai nghiệm là 1+2i và 3-4i: 
- Thu gọn pt bằng lệnh sort(collect(..., )); z
Giaûi phöông trình treân taäp s á phö
(CÑ-A,B-2009)
o ùc:
4 3 7 2 . z i z i
z i
− − = −−
( ) ( )22 2
Giaûi phöông trình treân taäp soá phöùc:
4 12 0.z z z z+ − =+ +
2
4 3Cho pt: 1 0 (1) 
2
zz z z− + + + =
3 3
Giaûi hpt sau treân taäp soá phöùc:
3(1 )
9( 1 )
+ = +⎧⎨ + = − +⎩
z w i
z w i
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 21
c) Dạng : Khai triển hàm lượng giác 
Ví dụ 8: Biểu diễn sin6x và cos6x lần lượt theo sinx và cosx. 
Nhận xét: 
 Ví dụ trên minh họa cho việc ứng dụng Maple để chứng minh công thức 
dạng biểu diễn lần lượt sinnx, cosnx theo sinx, cosx. Đồng thời thể hiện quan 
 thực” trong toán học. 
IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 Bằng việc hệ thống kiến thức trọng tâm và phương pháp một số dạng bài tập về số 
phức như trên, tôi đã trang bị cho các em học sinh một chuẩn kiến thức cần thiết để g i 
quy ã mang lại kết quả đáng khích lệ: Qua thực t
bài kiểm tra và bài thi của học sinh khối 12 và lớp 11 chuyên toán, có khoảng học 
sinh cho lời giải khá tốt. Điều này chứng tỏ các em đã có sự tiến bộ về nhận thức và kĩ 
năng vận dụng phương pháp giải các dạng toán nói trên. Từ đó, học sinh chủ động sáng 
tạo hơn trong việc học toán và thêm yêu thích bộ môn. 
Việc ứng dụng phần mềm Maple để sáng tác đề và kiểm tra kết quả các bài tập về số 
phức thật sự đã mang lại hiệu quả đáng kể hờ đấy, GV có trong tay một lượng bài tập 
pho khac nhau hay tương đồng giúp cho HS có nhiều cơ hội rèn 
luy n và phát triển tư duy. Đồng thời, GV có thể tổ chức cho HS 
kiểm tra nhiều mã đề khác nhau cùng mộ lúc với chất lượng đề tương đương. Như thế 
đảm khả năng tiếp thu của HS một cách khách quan và công b ng. 
điểm “Dùng cái phức để giải quyết cái
iả
ết thành công dạng toán này. SKKN đ ế 
85%
. N
ng phú với mức độ
ện kỹ năng tính toá
t 
 bảo việc đánh giá ằ
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 22
PHẦN KẾT LUẬN 
BÀI HỌC KINH NGHIỆM I. 
Với sáng kiến kinh nghiệm trên đây, bản thân rút ra được bài học kinh nghiệm trong 
công tác chuyên môn là: Để học sinh nắm vững phương pháp giải các dạng bài tập về 
số phức, giáo viên cần phải có sự gia công hệ thống các k n thức trọng tâm và phương 
p n phải chuẩn bị hệ thống bài 
p
p về số phức. Đồng thời, SKKN 
này
n 
phương pháp thích hợp và i bài toán. Chuyên đề “Kinh 
nghiệm soạn đề và phương i tập về số phức” có thể dùng 
 viên dạy toán THPT bổ sung kinh nghiệm ra đề và 
giả
 Thành phố Bến Tre, ngày 25 tháng 2 năm 2011. 
iế
háp giải một số dạng bài về số phức. Đồng thời, giáo viê
tậ đa dạng minh họa cho từng dạng bài nhờ sự hỗ trợ của phần mềm Maple. Đặc biệt, 
giáo viên phải là người tạo động cơ để học sinh cùng tham gia giải quyết các vấn đề đặt 
ra. Sau cùng, giáo viên còn phải kiểm tra, đánh giá và rút kinh nghiệm cho các em về 
việc vận dụng các phương pháp này. 
II. Ý NGHĨA CỦA SKKN 
 Sáng kiến kinh nghiệm trên đã giúp cho giáo viên chủ động giảng dạy cho học sinh 
một cách hệ thống và tương đối đầy đủ các dạng bài tậ
 còn giúp cho học sinh phát triển tư duy và rèn luyện kĩ năng giải toán. Từ đó học 
sinh có cái nhìn toàn diện và tự tin hơn khi tiếp cận dạng toán này. 
III. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG, TRIỂN KHAI 
SKKN này đã được trình bày theo chuyên đề và thiết kế dưới dạng giáo án điện tử 
dùng giảng dạy cho các em học sinh lớp 11 chuyên toán và khối 12 ôn thi Tốt nghiệp, 
Cao đẳng – Đại học. Được học chuyên đề này, học sinh sẽ dễ dàng có sự lựa chọ
vận dụng sáng tạo cho mỗ
 pháp giải một số dạng bà
làm tài liệu tham khảo cho giáo
ng dạy dạng toán này. 
IV. KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT 
Qua việc trình bày nội dung chuyên đề trên, chúng tôi thật sự muốn chia sẻ với quý 
anh chị đồng nghiệp cùng các em học sinh một vài kinh nghiệm mà bản thân đã góp 
nhặt trong quá trình giảng dạy. Rất mong nhận được sự trao đổi, góp ý cho chuyên đề 
từ các anh chị đồng nghiệp và các em học sinh. Hy vọng SKKN này sẽ góp phần nâng 
cao chất lượng dạy và học toán ở trường THPT. 
 Người viết 
 Dương Thị Xuân An 
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 23
MỤC LỤC 
 2) Một số dạng bài tập về số phức 6 
 3) Minh họa ứng dụng Maple biên soạn các đề toán về số phức 18 
 Phần kết luận 22 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
ương trình nâng cao 
) Các tài liệu tập huấn ứng dụng CNTT trong dạy học và tài liệu 
BDT
) Các phương pháp cơ bản tính nguyên hàm, tích phân và số 
 Phần mở đầu Trang 1 
 Phần nội dung 2 
1) Tóm tắt giáo khoa 3 
 17 Bài tập củng cố 
1) Sách giáo khoa lớp 12 ch
2
X 
3
phức ( Tác giả: Phan Huy Khải)