Sáng kiến kinh nghiệm Một số biện pháp giúp học sinh Khối 12 trường THPT Nghĩa Dân học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
 TRƯỜNG THPT NGHĨA DÂN
 ............–&—..........
 s¸ng kiÕn kinh nghiÖm
MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH KHỐI 12 TRƯỜNG THPT NGHĨA DÂN HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Lĩnh vực: Toán học
Tác giả: Phạm Ngọc Sơn
Giáo viên môn: Toán học
N¨m häc: 2019 - 2020
MỤC LỤC
PHẦN I - MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Xuất phát từ thực tế qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy tuy các em tiếp thu nhanh các kiến thức Toán học cụ thể là các kiến thức về Đại số - Giải tích, song quá trình giải toán tích phân mắc phải một số sai lầm, khó khăn, nhất là phần ứng dụng tích phân, dẫn đến hiệu quả làm toán không cao.
Vì vậy tôi viết sáng kiến này nhằm mục đích cùng trao đổi thêm về vấn đề giải các bài toán ứng dụng tích phân.
Tôi thấy rằng: các bài toán liên quan đến ứng dụng tích phân là nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán ở THPT, góp phần kiến thức quan trọng trong nội dung thi THPT Quốc Gia, thi học sinh giỏi, là các chủ đề thi năng lực vào các trường trung học chuyên nghiệp, cao đẳng và đại học. Người giáo viên có vai trò hướng dẫn, điều khiển quá trình học tập của học sinh nên giúp các em tự nhận ra phương pháp giaiả trong giải toán và có giải pháp phù hợp là việc cần thiết. Chính vì những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài là: “Một số biện pháp giúp học sinh khối 12 trường THPT Nghĩa Dân học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân” 
2. Mục đích của đề tài.
Nhằm giúp học sinh các em học sinh có hứng thú, tích cực và giải tốt các bài toán ứng dụng tích phân, góp phần hiểu những ứng dụng của tích phân trong thực tế.
Giúp các em có kết quả cao trong kỳ thi THPT quốc gia,làm tốt các bài thi năng lực của các trường đại học,cao đẳng. Giúp các em học tốt môn Toán và có sự say mê giải Toán học hơn nữa.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu .
+ Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán ứng dụng tích phân
+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán không vượt quá chương trình lớp 12.
4. Nhiệm vụ của đề tài.
 + Nêu và phân tích một bài toán ứng dụng tích phân mà học sinh thấy khó. Đề xuất cách giải dễ hiểu, hay giúp học sinh hiểu, làm được bài.
+ Đưa ra biện pháp giúp học sinh giải nhanh những bài toán ứng dụng tích phân.
Biện pháp 1: Tăng cường các hoạt động sư phạm nhằm hình thành tốt cho học sinh các khái niệm, định lí về chủ đề các bài toán ứng dụng tích phân.
Biện pháp 2: Khắc phục một số sai lầm cho học sinh trong hoạt động giải bài tập về các bài toán ứng dụng tích phân.
5. Các phương pháp nghiên cứu.
- Các phương pháp phổ biến như: phân tích, tổng hợp, đối chiếu, thống kê, so sánh, hệ thống hóa...
- Phương pháp trọng tâm: thực nghiệm 
6. Dự kiến đóng góp của đề tài.
Trên cơ sở tập hợp, hệ thống hóa, bổ sung, xử lý nguồn tư liệu một cách khoa học, dự kiến đóng góp của đề tài các vấn đề sau:
- Làm rõ một cách có hệ thống cách giải một số bài toán ứng dụng tích phân.
- Thông qua các bài toán cụ thể giúp học sinh hiểu và giải quyết tốt một số bài toán ứng dụng tích phân.
- Nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân, đặc biệt là tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối , rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số , từ đó khắc phục những khó khăn , sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể tròn xoay. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích và thể tích mà học sinh đã học ở lớp dưới , thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học , học sinh sẽ cảm thấy hứng thú , thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân. Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để luyện thi và ôn tập thi TN THPT, ôn thi ĐH, CĐ .
PHẦN II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI
CHƯƠNG I: CƠ SỞ NGHIÊN CỨU
1.1 Cơ sở lí luận
 Chúng ta biết rằng “Dạy học Toán là dạy hoạt động Toán học” là một luận điểm cơ bản đã được mọi người thừa nhận, hoạt động toán học chủ yếu của học sinh là hoạt động giải bài tập Toán. Trong môn Toán ở trường phổ thông có nhiều tình huống điển hình, nhưng có thể xem giải Toán là hoạt động toán học chủ yếu. Đây là một luận điểm đúng đắn đã được mọi người thừa nhận. 
 Với sự quan tâm từ bộ giáo dục, sở giáo dục ,các cấp các nghành từ trung ương đến địa phương, phương pháp dạy học được sử dụng trong nhà trường hiện nay đã có những thay đổi tích cực,nhiều giáo viên tâm huyết với nghề và có hiểu biết sâu sắc về bộ môn, đã có những giờ dạy tốt;tích cực đổi mới phương pháp dạy học, soạn bài theo định hướng phát triển năng lực của học sinh,áp dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy ... Giúp học sinh tích cực, chủ đông trong học tâp.
Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác , tứ giác , ngũ giác , lục giác, gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới . Cũng tương tự như vậy vấn đề thể tích các khối như ( khối hộp chữ nhật , khối lập phương , khối lăng trụ , khối chóp , .gọi chung là khối đa diện ) học sinh đều được học công thức tính thể tích . Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu , đặc biệt là tư duy cụ thể hoá , trừu tượng hoá .Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới 8 , 9 , 10 , 11 vốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân, trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang còn thiếu .
 Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng , vấn đề thể tích của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn .Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay. Khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, học không giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”. Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế.
1.2. Cơ sở thực tiễn
Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ,tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành hoặc trục tung. Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II, đề thi TN THPT, đề thi CĐ , ĐH. Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh 
(kể cả học sinh khá giỏi) thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
- Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay). 
 Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây ( diện tích đa giác , thể tích các khối đa diện ).Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này.
-Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng . Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng , vật tròn xoay đang học .
-Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này , trái lại học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu.
- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng (thể tích vật tròn xoay) một cách máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ diện tích; cộng, trừ thể tích. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải. 
-Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối .
Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức : 
Học sinh không biết rằng : công thức trên chỉ đúng trong trường hợp biểu thức f(x) không đổi dấu trong khoảng (a ; b).
Ví dụ : 
Học sinh viết sai là : 
CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM KHẮC PHỤC
CÁC SAI LẦM CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
- Giúp học thành thạo kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối một cách linh hoạt tùy thuộc vào từng tình huống cụ thể bằng một trong các cách sau :
+ Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối.
+ Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối.
+ Hoặc dùng công thức sau :
Với điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a ;b) .
- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy phụ đạo và để học sinh tham khảo. Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận dụng vào giải toán . Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình phẳng . Từ đó học sinh có cảm giác nhẹ nhàng , gần gũi thực tế hơn, hứng thú hơn.
- Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó. Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng giải, số còn lại để học sinh tự thảo luận làm nhóm ở nhà và nộp bài làm cho giáo viên.
Các dạng bài tập ứng dụng tích phân và biện pháp khắc phục sai lầm để học sinh học tốt và làm tốt các bài toán về ứng dụng tích phân:
2.1. BIỆN PHÁP GIẢI CÁC BÀI DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH
1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b 
Chú ý : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn .
Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích là S và được tính theo công thức :
 (1)
C Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối .
Nếu thì 
Nếu thì 
< Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x) . Thường có hai cách làm như sau :
-Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất” , định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f(x) ; đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn 
-Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn để suy ra dấu của f(x)
 trên đoạn đó .
Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì 
Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì 
 -Cách 3 Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có : 
2/ Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Vd 1 : Tính 
 Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4
x
-∞ -2 0 +∞
f(x)=2x + 4 
 - 0 + ½ +
Suy ra 
Do đó 
Vd 2 : 
Xét dấu tam thức f(x) = - x2 + 2x – 2 , có , a = - 1 < 0. Suy ra f(x) < 0 
x
-∞ 0 3 +∞
f(x)= -x2 + 2x - 2 
 - -2 - -5 -
Suy ra 
Vd 3 
Cách 1 Xét dấu tam thức f(x) = x2 – 3x + 2 , có a = 1 > 0 ; và 
x
-∞ 0 1 2 +∞
f(x)= x2 - 3x + 2 
 + 2 + 0 - 0 +
Suy ra và 
Do đó : 
=-=1
Cách 2 
3/ Diện tích của hình  ... hể tích của khối cầu , khối trụ ,khối nón , khối nón cụt
a/ Thể tích của khối cầu 
Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình (P ) : x2 + y2 = r2 
 với r > 0 và y ≥ 0 . (hình 49)
Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành ta được một mặt cầu có bán hính bằng r.
Thể tích của mặt cầu này là : (đvtt)
Hinh 49
Thật vậy : Giải : Ta có 
Với y ≥ 0 ta có : có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành.
 Và có diện tích 
 (đvtt)
b/ Thể tích của khối trụ : 
Cho hình phẳng ( hình chữ nhật )giới hạn bởi đường thẳng y = r ( r > 0) ; trục hoành và các đường thẳng x = 0 ; x = h ( h > 0) .
Quay hình phẳng trên quanh trục hoành ta được một khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao h .
Thể tích của vật thể tròn xoay ( khối trụ )này là :
 (đvtt) .
c/ Thể tích khối nón tròn xoay .
Cho hình phẳng (H) ( tam giác vuông ) giới hạn bởi đồ thị hàm số ; trục hoành và hai đường thẳng x = 0 ; x = h . (hình 50) .
Quay hình phẳng (H ) quanh trục hoành ta được một khối nón có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng h .
Khi đó thể tích của khối nón đó là :
 (đvtt) .
Hình 50 
d/ Thể tích của khối nón cụt 
Hình 51 
Cho hình thang vuông giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b ( b > a > 0 ; R > r > 0 ) . Hình 51
Quay hình thang vuông trên quanh trục hoành ta được một khối nón cụt có bán kính đáy lớn bằng R , bán kính đáy nhỏ bằng r và chiều cao bằng h = b – a .
Thể tích của khối nón cụt tạo thành là :
Vì khi x = a ta có y = r và khi x = b ta có 
 Do đó 
 ( đvtt)
Chú ý : 
CHƯƠNG III:THỰC NGHIỆM
3.1. MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM
Mục đích thực nghiệm là kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của việc thực hiện các biện pháp sư phạm để khắc phục và sửa chữa sai lầm và rèn luyện kĩ năng giải toán một số vấn đề về ứng dụng tích phân cho học sinh lớp 12.
3.2. TỔ CHỨC VÀ NỘI DUNG THỰC NGHIỆM
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường Trung học phổ thông Nghĩa Dân –Kim Động –Hưng Yên Đối với 06 lớp 12 (235 )học sinh ở các lớp 12 đơn vị tôi công tác: Trường THPT Nghĩa Dân thông qua phiếu điều tra và thông qua 2 tiết dạy thực nghiệm. Cho 20 học sinh làm 2 bài kiểm tra
3.2.2. Nội dung thực nghiệm
Chúng tôi đã tiến hành hai tiết dạy thực nghiệm (Phụ lục 2). Sau đó cho học sinh làm phiếu điều tra, làm 2 bài kiểm tra.
A. PHIẾU ĐIỀU TRA VỀ NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1. Thông tin về học sinh.
- Họ và tên: ......................................................
- Trường: THPT Nghĩa Dân 
- Lớp: 12A
- Xếp loại học lực :
c Giỏi 
c Khá
c Trung bình
c Yếu
2. Em hãy đánh dấu (a) vào những ô mà em thấy đúng 
2.1. Ý kiến của em khi học chuyên đề :”Một số bài toán ứng dụng tích phân”.
c Thích
 c Rất thích
 c Bình thường	
 Ý kiến khác :
2.2. Những sai lầm thường gặp của em khi giải các bài toán ứng dụng tích phân 
c Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp.
c Không nắm vững về điều kiện để thực hiện biến đổi tương đương.
c Không nắm vững định nghĩa và hệ quả,hoặc không nắm vững định lý.
c Sai lầm liên quan đến cách diễn đạt.
c Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng
c Sai lầm khi không nắm vững các khái niệm Toán học
c Sai lầm liên quan đến suy luận 
c Sai lầm do không hiểu rõ bản chất đối tượng.
2.3 Em muốn giáo viên đưa ra những tình huống thử thách sai lầm với mức độ nào ?
c Thường xuyên
 c Vừa phải
 c Thỉnh thoảng	
 Ý kiên khác :.
2.4. Em thấy thích nhất ở điều gì sau khi học chuyên đề :” một số bài toán ứng dụng tích phân.
c Khắc sâu kiến thức đã học
c Tự nhận ra sai lầm ;phân tích được nguyên nhân
 c Tự khắc phục và sửa chữa sai lầm ;tìm ra hướng giải
 Ý kiên khác :..
2.5. Khi giải khi giải một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số; tần suất của việc em mắc phải sai lầm là :
c Thường xuyên
 c Đôi khi
 c Thỉnh thoảng	
 c Không bao giờ
Để kiểm chứng cho đề tài nghiên cứu, tôi đã tiến hành thu thập dữ liệu thông qua:
“Phiếu điều tra về những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải khi giải một số bài toán ứng dụng tích phân. 
Đối với 235 học sinh ở các lớp 12 đơn vị tôi công tác: Trường THPT Nghĩa Dân.
B. Kết quả:
Lớp
Số HS
Sau khi thực hiện giải pháp
Trước khi thực hiện giải pháp 
Thường xuyên 
mắc sai lầm 
Thỉnh thoảng 
Không bao giờ 
Thường xuyên 
mắc sai lầm 
Thỉnh thoảng 
Không bao giờ 
12A1
 42
20
5
9
35
4
1
12A2
36
22
10
7
40
5
0
12A3
37
11
6
13
25
5
3
12A4
34
12
9
10
25
6
4
12A5
39
13
11
9
20
15
3
12A6
38
22
15
8
22
6
3
Tổng
226
120
56
56
167
41
14
 (Bảng thống kê kết quả thăm dò ý kiến về đề tài
	C. Xử lí số liệu.
* Biểu diễn kết quả trên biểu đồ thông qua số liệu thu được từ phiếu thăm dò ý kiến về đề tài với HS khối 12 – Trường THPT Nghĩa Dân.
(Biểu đồ thể hiện kết quả thăm dò ý kiến về “Những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải các bài toán ứng dụng tích phân HS khối 12 – Trường THPT Nghĩa Dân) 
* Lập bảng số liệu đối chứng kết quả thu được
Lớp
Số HS
Sau khi thực hiện giải pháp
Thường xuyên
Thỉnh thoảng
Hiếm khi
12A1
 42
Giảm 19 HS
Tăng 10 HS
Tăng 9 HS
12 A2
36
Giảm12 HS
Tăng 7HS
Tăng 8 HS
12A3
37
Giảm18 HS
Tăng 8 HS
Tăng 10 HS
12A4
34
Giảm 7 HS
Tăng 8 HS
Tăng 9 HS
12A5
39
Giảm 10 HS
Tăng 0 HS
Tăng 10 HS
12A6
38
Giảm 10 HS
Tăng 4 HS
Tăng 5 HS
(Bảng số liệu đối chứng số 1)
d) Kết luận.
Từ kết quả thu được sau quá trình xử lý số liệu (thông qua bảng thống kê 1 và biểu đồ 2, bảng số liệu đối chứng số 3), cho phép kết luận đề tài nghiên cứu giúp học sinh tự phát hiện sai lầm, tự sửa chữa sai lầm và tìm ra lời giải đúng một cách hiệu quả từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh
- Học sinh có khả năng nhìn nhận chính xác cách giải một một số bài toán ứng dụng tích phân.
- Hình thành được tư duy logic, kỹ năng giải cách giải một một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số .Đồng thời tạo hứng thú trong học tập cho học sinh.
Chương IV: KẾT LUẬN
a) Bài học kinh nghiệm.
Qua thực tế giảng dạy chúng tôi thấy rằng vấn đề nào mà giáo viên quan tâm và truyền thụ cho học sinh của mình bằng lòng say mê nhiệt tình sẽ cuốn hút các em vào con đường nghiên cứu. Phân tích những sai lầm và tìm cách khắc phục những sai lầm giúp học sinh tránh nhưng sai lầm khi giải cách giải một một số bài toán ứng dụng tích phân.giúp học sinh tự tin khi làm bài.
b) Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm.
Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh những kinh nghiệm mà bản thân tích lũy được trong quá trình giảng dạy. Những vấn đề được đề cập trong sáng kiến kinh nghiệm chỉ là các gợi ‎ý; hy vọng rằng các quí đồng nghiệp tiếp tục nghiên cứu để đưa ra ngày càng nhiều các chuyên đề hay. Nếu làm tốt công việc này sẽ giúp học sinh đạt kết quả cao trong các kỳ thi THPT quốc gia, đạt kết quả cao khi làm các bài thi năng lực vào các trường đại học,cao đẳng ,trung học chuyên nghiệp trong cả nước..
c) Khả năng ứng dụng, triển khai.
Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai ứng dụng trong các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi khối 12, học sinh ôn thi tốt nghiệp và đại học, làm các bài thi năng lực vào các trường đại học,cao đẳng ,.. Để đạt hiệu quả cao trong công việc thì giáo viên phải có tinh thần nghiên cứu sáng tạo. Đây là yếu tố quan trọng thu hút sự quan tâm của học sinh.
 Từ kết quả thực hiện của đề tài, tôi thấy tuy kết quả ấy chưa phải là hoàn mỹ nhưng nó cũng cho thấy rằng việc quan tâm đến những khó khăn của học sinh qua việc phân tích những sai lầm khi giải toán và tìm cách khắc phục giúp học sinh nắm vững hơn về kiến thức tích phân, đồng thời giúp các em hứng thú hơn, say mê tìm tòi, nghiên cứu môn Toán học. Đồng thời giúp học sinh tự tin trong các kì thi tốt nghiệp và thi đại học. 
 Rất mong sự đóng góp trao đổi ý kiến của đồng nghiệp! 
Chương V : KIẾN NGHỊ
Đề xuất hướng tiếp tục nghiên cứu đề tài.
a) Đối với người dạy và người học.
	Để đạt được yêu cầu trên, sự cố gắng phải từ hai phía cả thầy và trò:
* Đối với học sinh:
	- Phải chuẩn bị bài thật kỹ theo yêu cầu của giáo viên (Đọc trước nội dung theo Hệ thống các câu hỏi trọng tâm của bài mà Giáo viên đưa ra).
	- Phải đầu tư thời gian nhất định để trau rồi kiến thức qua các tư liệu tham khảo (Giáo viên giới thiệu).
	- Chủ động trong giờ học, phát huy tính tích cực, sáng tạo trong tư duy của mình dưới sự hướng dẫn của GV, phát huy tốt năng lực, phẩm chất cá nhân.
* Đối với giáo viên:
	- Phải đầu tư soạn Giáo án điện tử cẩn thận, chu đáo từ nguồn tư liệu và kiến thức cũng như kỹ năng của mình.
	- Phải có hướng khai thác hợp lý, khoa học thấu đáo, phát huy trí lực của học sinh.
	- Phải tích cực trau dồi kiến thức tin học, biết tạo được các tình huống gây hứng thú, khả năng tìm tòi, tư duy cho HS, phù hợp với nội dung bài giảng.
b) Ý kiến với các cấp lãnh đạo chỉ dạo bộ môn.
	- Ngành giúp đỡ các nhà trường tăng cường thực hiện thí nghiệm, mô hình.
	- Ngành giúp đỡ các nhà trường bổ sung các loại sách tài liệu tham khảo, để giúp giáo viêm thuận tiện trong việc phục vụ giảng dạy.
	- Ngoài đợt bồi dưỡng chuyên môn trong hè, nên có những đợt bồi dưỡng thêm về chuyên môn cho giáo viên.
	- Cho giáo viên đi thực tế, học tập kinh nghiệm ở các trường điểm trong tỉnh và các trường bạn ngoài tỉnh.
	- Đầu tư các phương tiện, thiết bị dạy học mới như máy chiếu đa năng, máy, các phần mềm ứng dụng công nghệ thông tin trong soạn bài giảng.
 - Tích cực tổ chức các buổi sinh hoạt tổ nhóm chuyên môn theo cụm trường để giáo viên có điều kiện chia sẻ kinh nghiệm và trao đổi thảo luận.
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Giải tích 12 ( Tác giả: Vũ Tuấn ), Giải tích 12 nâng cao( Tổng chủ biên: Đoàn Quỳnh), Sách giáo viên giải tích 12 ( Tổng chủ biên: Trần Văn Hạo)
[2] Phương pháp dạy học môn Toán tập 1, 2(Tác giả: Nguyễn Bá Kim )
[3] Sai lầm thường gặp khi giải Toán ( Tác giả: Trần Phương )
[4]	Sai lầm phổ biến khi giải Toán ( Tác giả: Nguyễn Vĩnh Cận )
[5]	Hoàng Chúng (1997), Những vấn đề lôgic trong môn Toán ở trường phổ thông Trung học cơ sở, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[6]	Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn Vĩnh (2001), Lôgic Toán, Nxb Thanh Hoá, Thanh Hoá.
[7]	Đ. P. Goocki (1974), Lôgic học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[8]	Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (2006), giải tích 12, Nxb Giáo Dục.
[9]	Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2008), Giải tích 12, Nxb Giáo Dục. 
[10]	Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2007), Đại số và giải tích 11, Nxb Giáo Dục.
[11]	Nguyễn Hữu Hậu (2006), Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán Đại số – Giải tích và quan điểm khắc phục, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học, Vinh.
[12] Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc (1981), Giáo dục học môn Toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
 [13]	Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội.
LỜI CAM ĐOAN
Trên đây là nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng của chúng tôi nghiên cứu và xây dựng, viêt, không sao chép nội dung của người khác!
Tác giả
 Phạm Ngọc Sơn