Sáng kiến kinh nghiệm: Khai thác một số bài tập trong sách giáo khoa Hình học 9

phòng giáo dục thị xã cẩm phả
trường trung học cơ sở cẩm sơn
 ------------------*****------------------
Sáng kiến kinh nghiệm:
 khai thác một số bài tập
trong sách giáo khoa 
hình học 9
 Người viết: Tạ Thị Thu Trang
 Năm học: 2008- 2009
 khai thác một số bài tập
trong sách giáo khoa hình học 9
 I. Lý do chọn đề tài:
 Toán học là một môn khoa học tự nhiên cơ bản, các kiến thức trong chương trình có tính hệ thống cao, các yêu cầu về mặt kỹ năng đặt ra tương xứng với kiến thức cơ bản ở những mức độ khác nhau.Đối với những học trò chăm chỉ thì toán học là một môn học ưa thích. Tuy nhiên đối với nhiều học sinh thì việc học tốt môn toán còn gặp nhiều khó khăn- đặc biệt là môn hình học lại càng khó.
 Trong quá trình giảng dạy môn toán tôi thấy: cái hay của một bài toán không dừng lại khi chúng ta đã hoàn thành bài giải mà sau mỗi bài toán bao giờ cũng còn lại những vấn đề để học sinh suy nghĩ, tìm tòi. Như vậy nếu trong quá trình giảng dạy mà người thầy sử dụng hợp lý các phương pháp dạy học thì sẽ giúp cho học sinh tìm thấy những bài toán đặc biệt hơn, tổng quát hơn. Năng lực này rất quan trọng, làm phong phú nguồn vốn kiến thức cho học sinh và rèn luyện kỹ năng trong thực hành giải toán hình học.
 Vậy làm thế nào để vừa giúp học sinh rèn luyện kỹ năng chứng minh hình học, vừa kích thích sự tìm tòi một cách tự lực của học sinh. Giúp cho học sinh sau khi giải mỗi bài toán hình học, từ bài toán đã giải có thể thay đổi hoặc cho thêm một số dữ kiện của bài để có những bài toán mới.
 Vì vậy tôi quyết định chọn đề tài: "Khai thác một số bài tập trong sách giáo khoa hình học 9" nhằm mục đích tiết kiệm thời gian, nâng cao chất lượng dạy học, phối kết hợp một số bài tập rèn kỹ năng, một số bài tập nâng cao, mở rộng cho học sinh giúp các em có kiến thức vững vàng khi bước vào phổ thông trung học.
 II. Quá trình thực hiện
 Lớp 9 mà tôi được phân công giảng dạy là một tập thể ngoan, lực học môn toán của các em tương đối đồng đều nên việc hướng dẫn cho học sinh khai thác bài toán dưới nhiều mức độ khác nhau nhằm mục đích vừa tiết kiệm thời gian vừa mở rộng nâng cao giúp cho học sinh vận dụng thành thạo lý thuyết, giải quyết được hết những bài tập trong sách giáo khoa; sách bài tập vầ bài tập nâng cao.
 Trong quá trình giảng dạy tôi đã khai thác một số bài tập trong chương: "Đường tròn" cụ thể như sau:
Bài 10( 104-sgk)
 Cho tam giác ABC, các đường cao BD, CE.Chứng minh rằng:
 a; Bốn điểm B,E,D,C cùng thuộc một đường tròn.
 b; DE < BC.
CM
 a; Gọi I là trung điểm của BC 
Xét DBC có DI là trung tuyến
 DI = BC 
Tương tự chứng minh được EI = BC 
 IB = ID = EI = CI = BC 
 Các điểm B,E,D,C cùng thuộc một đường tròn.
 b; Có BC là đường kính nên DE < BC.
Khai thác bài 10: Gọi H;K là chân các đường vuông góc kẻ từ B và C đến ED. C/m: EH=DK
CM
Kẻ IM ED ME = MD
Có BH // CK // IM(cùng ED)
 IC=IB( cùng bán kính)
 HB; MI; KC song song cách đều
 HM=MK
Mà HE=HM-EM
 DK=MK-MD
 EH=DK
 Nội dung bài vừa khai thác chính là bài tập 11(104-sgk) .Như vậy một mặt học sinh sẽ tiết kiệm được thờigian vẽ hình; mặt khác học sinh sẽ biết cách khai thác bài toán dưới các khía cạnh khác nhau.
Bài 12 (106-sgk)
 Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB=8cm.
 a; Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
 b; Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI= 1cm.Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB.C/m: CD=AB
CM
 a, Kẻ OH AB HA=HB=4
Theo Pi-ta-go có
 OH=
 b; Kẻ OK CD
Có IH=AH - AI = 3 OK = 3
Vì OK=OH CD = AB
 Khai thác bài 12 để có các bài toán sau:
 Bài 12.1:Cho hình vẽ có dây CD và AB bằng nhau và vuông góc với nhau taị I. Biết ID=14; IC=2.
Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây.
CM
Có CD= IC + ID = 14+ 2 = 16
OKCD KC = KD =CD = 8 
IK = CK- CI = 8 - 2 = 6
Do CD = AB nên OH = OK
Tứ giác OKIH có 900 Tứ giác OKIH là hình chữ nhật.
Mặt khác OH = OK Tứ giác OKIH là hình vuông
Do đó OH=OK=IK=6
 Bài 12.3: Cho (O; 15cm); điểm I cách O 9cm
 a; Dựng dây AB đi qua I sao cho AB = 26cm.
 b; Có bao nhiêu dây đi qua I có độ dài là một số nguyên cm.
CM
* Phân tích: Giả sử đã dựng được dây AB đi qua I thỏa mãn bài toán
Kẻ OH AB OHI = 900
H đường tròn đường kính OI ; HA = HB =13
OHB vuông tại H OH2 = OB2 - HB2= 152 - 132 = 56
 OH =2 H (O;2)
Vậy H là giao điểm của đường tròn đường kính OI và (O;2)
* Cách dựng:
 Dựng đường tròn đường kính OI 
 Dựng (O;2)
Hai đường tròn cắt nhau tại H
Dựng d OH tại H d cắt (O) tại A;B
AB là dây cần dựng.
* Chứng minh:
Có d OH ( Cách dựng)
 HI OH (H đường tròn đường kính OI) 
 d đi qua I hay AB đi qua I
Xét OHB có HB2 = OB2 - OH2 =152 -(2)2 = 169 HB = 13
Mà OH AB ( vì HI OH) AB = 2 AH AB = 26cm.
* Biện luận:
Vì (O;2)đường tròn đường kính OI tại hai điểm 
 Dựng được hai dây AB thỏa mãn bài toán
 Bài toán có hai nghiệm hình
 b; Gọi dây ngắn nhất đi qua I là dây CD
 Khoảng cách từ O đến dây CD là 9cm
Có CI2 = CO2 - OI2= 144 CI = 12cm
 CD = 24 cm.
Có dây dài nhất đi qua I là đường kính 
 Các dây qua I có độ dài thỏa mãn
 = 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30
Vì qua mỗi điểm I xác định được hai dây(trừ vị trí có dây dài nhất và dây ngắn nhát)
Có 2+5.2=12 dây qua I có độ dài nguyên
Bài 24(111-sgk)
Cho đường tròn tâm O, dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.
 a; Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn 
 b; Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB=24cm. Tính độ dài OC
CM
Gọi AB CO tại H
Xét OAB cân tại O có OH là đường cao
 OH là phân giác hay 
OAC = OBC(OA=OB; OC chung; )
 CB OB tại B 
CB là tiếp tuyến của (O)
 b; Có OC AB tại H
 HA = HB = 
Xét vuông OAH có
 OH2 = OA2 -AH2= 152 - 122 = 81
 OH =9cm
OAC có OA2 =OH.OC 
Từ bài 24 cho thêm dữ kiện để có bài toán sau:
Chứng minh rằng nếu ACB = 60o thì điểm C di động trên một đường tròn cố định.
CM
 Có CA, CB là tiếp tuyến
 CO là phân giác ACB
 hay 
OAC có OA=OC. sin C1
OC = AO: sin C1=15: sin30o =30
C di động trên đường tròn tâm O đường kính 30cm.
Bài 26(115-sgk)
Cho đường tròn tâm O, điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn(B,C là tiếp điểm).
 a; Chứng minh rằng AO BC.
 b; Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD//AO.
 c; Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB = 2cm; OA= 4cm.
CM
a; Xét ABC có AB = AC(T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) ABC cân.
Mà OA là phân giác BAC (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) 
 AO là đường cao hay AO BC (1)
 b; CóBCD nội tiếp(O)
 Mà DC = 2R(gt) 
CBD = 90o hay BD BC (2)
Từ (1) và (2) BD//AO(cùng BC)
 c; Xét AOC có (Vì AC OC do AC là tiếp tuyến)
AC = 
sin A2 =
mà 
Xét ABC có AB = AC; BAC=60o
ABC đều BC =AB = AC = 
Khai thác từ bài 26 để có bài toán sau:
Bài 26.1:Tiếp tuyến của (O) tại D cắt BC ở E .
Chứng minh AD OE
CM
Có AC//DE( cùng CD)
ACB =BED (so le trong)
Mà ACB =ABC (ABC cân)
 => ABC =BED 
=> BDE =BAO 
 ( cùng phụ ABC =BED)
 tg BDE = tg BAO
CóABC = DBO(cùngphụCBO)
ABD = OBE
Xét ABD và BOE có : ABD = OBE ; 
ABD OBE
BDA =BEO
Gọi I là giao điểm của BD và EO
 H là giao điểm của AD và EO 
Xét EBI và DHI có:
 BIE = DIH
 BDA =BEO
EBIDHI 
 IHD = IBE 
Mà IBE = 900 IHD =90o 
Hay AD OE
Bài 30(116-sgk)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax; By là các tia vuông góc với AB( Ax; By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn(M khác A;B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax; By theo thứ tự ở C và D.Chứng minh:
 a; COD = 90o
 b; CD = AC + BD
 c; Tích AC. BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
CM
Có AxAB(gt)
 AxAO tại A(O)
 Ax là tiếp tuyến của (O)
Tương tự c/m được
 By là tiếp tuyến của (O)
Có MC; AC là tiếp tuyến
 OC là phân giác AOM
Có MD; DB là tiếp tuyến
 OD là phân giác BOM
Mà AOM +BOM = 180o
 OC OD(T/c phân giác của hai góc kề bù)
HayCOD = 90o
 b; Có CM=CA; DM = DB (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
 CD = CM + DM = CA + DB.
 c; Có CA.BD = CM. DM
Xét COD có COD = 90o
 OM CD( Vì CD là tiếp tuyến)
 CM. DM= OM2 = R2( Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
 CA.BD = R2 không đổi.
Khai thác bài 30 ta có một số bài toán mới sau:
Bài 30.1: Tìm vị trí của D để tứ giác ABCD có chu vi bằng 14cm
(biết AB =4cm)
CM
Có tứ giác ABCD là hình thang(vì AC//BD) 
Đặt AC= x; BD=y.
Gọi chu vi hình thang ABCD là C
 C = AB+ DB + CD + CA
mà CD = AC + BD C = AB + 2(AC+ DB) = 4+ 2(x+ y)
Vì C =14cm 4+ 2(x+y) = 14
x + y = 5
Có AC.DB = MC.MD =OM2 (Theo c/m trên)
 OM2 = xy hay xy=4
 (y - 1). ( y - 4) = 0 y =1 hoặc y = 4
Vậy nếu D thuộc By sao cho DB=1cm hoặc BD = 4cm thì chu vi tứ giác ABCD bằng 14cm.
 OM//AE//BF 
M là trung điểm của FE
OM là đường trung bình của hình thang AEFBOM = 
 SAEFB= OM.EF
SAEFB lớn nhất OM.EF lớn nhất EF lớn nhất
Có EFAB OM.EFOM.AB = 2R2
 Max S = 2R2 OMABM là điểm chính giữa cung AB.
Vậy khi M là điểm chính giữa cung AB tứ giác ABCD có chu vi nhỏ nhất, diện tích tứ giác AEFB lớn nhất.
Bài 30.3: AM cắt By tại K .Tìm vị trí của M để 2AM + AK nhỏ nhất
 CM
Có AMB = 90o
 Xét ABK vuông tại B có BM là đường cao 
AM.AK = AB2 =4R2
Theo côsi: 
2AM+AK
Dấu "=" xảy ra 2AM=AK
 ABK vuông cân
M là điểm chính giữa cung AB.
Vậy khi M là điểm chính giữa cung AB thì 
2AM + AK nhỏ nhất.
 Trên đây tôi chỉ trình bày một trong số những bài toán trong sách giáo khoa mà tôi đã hướng dẫn học sinh khai thác ở những mức độ khác nha
III. Kết quả và bài học
Kết quả:
 Qua quá trình áp dụng kinh nghiệm này trong giảng dạy tôi thấy học sinh có hứng thú học tập hơn. Qua mỗi bài tập học sinh được củng cố, khắc sâu các kiến thức cơ bản và rèn kỹ năng vẽ hình; kỹ năng chứng minh hình học.
 Trong mỗi giờ học sau khi đã giải quyết xong một bài toán học sinh luôn có thói quen tìm tòi để đưa ra các bài toán mới.Từ những giờ học như vậy học sinh được rèn kỹ năng chứng minh hình học, phát huy năng lực và tính sáng tạo của các em.
 Từ những giờ học đầu tiên khi tôi đưa ra cách khai thác một bài tập hình học sinh rất lúng túng thì đến cuối năm số đông học sinh trong lớp đã có khả năng khai thác một bài tập dưới nhiều góc độ khác nhau hoặc giải quyết nhanh bài toán mới mà giáo viên đưa ra. Tôi rất mong muốn lên lớp trên các em vẫn giữ được thói quen này trong học toán.
2. Bài học:
 Đối với học sinh khá giỏi đưa ra một số bài tập mới phức tạp hơn ; thay đổi các dữ kiện nhiều hơn để phát triển năng lực tư duy cho học sinh.
 Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh khai thác bài toán theo các hướng như đặc biệt hóa, tổng quát hóa  để có một hệ thống bài tập từ bài toán đã cho.
 Hoàn thiện hơn nữa kỹ năng vẽ hình và chứng minh hình học . Giúp học sinh biết tìm nhiều cách chứng minh cho một bài tập hình học và chọn cách chứng minh ngắn gọn nhất.