Phương trình và các bất phương trình vô tỉ

Ph­¬ng tr×nh , BÊt ph­¬ng tr×nh v« tØ
Bµi 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
a) 
- Ph­¬ng tr×nh ®­îc chuyÓn thµnh hÖ 
- VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm.
b) 
§S:x=1/2; x=1
c) 
§S: x=2.
d) 
§S: 
e) 
- Sö dông B§T Bunhia.
f) 
§S: x=0
Bµi 2: Gi¶i BPT:
a) 
§S: x≥1/4
b) 
§K 
- BiÕn ®«Ø bÊt ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng 
- KÕt hîp §K ta cã nghiÖm cña BPT lµ .
c) .
d) .
§K: 
- Thùc hiÖn phÐp nh©n liªn hîp ta thu ®­îc BPT
.
- KÕt hîp §K thu ®­îc nghiÖm 
C¸ch 2: 
- XÐt 2 TH:
Víi 
Víi 
e) 
§K: 
- Víi §k ®ã 
- §Æt . 
- §S: x≤-3 hoÆc x≥1.
Bµi 3: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:
.
Gi¶i: XÐt hµm sè 
MiÒn x¸c ®Þnh D=.
§¹o hµm 
y’(0)=1>0 nªn hµm sè §B
Giíi h¹n 
BBT
x
-∞ +∞
y’
 +
y
 1
-1
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi -1<m<1.
Bµi 4: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thùc 
Gi¶i:
- §Æt . Ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh:
2t=t2-1+m óm=-t2+2t+1
- XÐt hµm sè y=-t2+2t+1; t≥0; y’=-2t+2
x
0 1 +∞
y’
 + 0 -
y
 2
1 -∞
- Theo yªu cÇu cña bµi to¸n ®­êng th¼ng y=m c¾t §THS khi m≤2.
Bµi 5: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã ®óng 2 nghiÖm d­¬ng:
.
Gi¶i:
- §Æt .
 XÐt x>0 ta cã BBT:
x
0 2 +∞
f’(x)
 - 0 +
f(x)
 +∞ 
 1 
- Khi ®ã ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh m=t2+t-5 ót2+t-5-m=0 (1).
- NÕu ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm t1; t2 th× t1+ t2 =-1. Do ®ã (1) cã nhiÒu nhÊt 1 nghiÖm t≥1.
- VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng 2 nghiÖm d­¬ng khi vµ chØ khi ph­¬ng tr×nh (1) cã ®óng 1 nghiÖm t.
- §Æt g(t)=t2+t-5. Ta ®i t×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh g(t)=m cã ®óng 1 nghiÖm t.
f’(t)=2t+1>0 víi mäi t. Ta cã BBT sau:
t
1 
g’(t)
 +
g(t)
-3
Tõ BBT suy ra -3<m< lµ c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m.
Bµi 6: X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm .
Gi¶i: 
- §iÒu kiÖn -1≤x≤1. §Æt .
- Ta cã
- TËp gi¸ trÞ cña t lµ (t liªn tôc trªn ®o¹n [-1;1]). Ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh:
- XÐt Ta cã f(t) liªn tôc trªn ®o¹n . Ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x khi vµ chØ khi ph­¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm t thuéc .
- Ta cã .
- VËy 
Bài 7: Tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm.
Giải: Đặt . Bất phương trình trở thành:(2)
(1)có nghiệm ó(2) có nghiệm t≥0 ó có ít nhất 1 điểm của ĐTHS y= với t≥0 không ở phía dưới đường thẳng y=m.
Xét y= với t≥0 có 
t
 0 +
y’
- 0 + | + 0 -
y
Từ Bảng biến thiên ta có m≤.
Bài 8: Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải:
Đặt với thì 
x
 -3 3/2 6 +∞
f’(x)
 ║ + 0 - ║ 
f(x)
 | |
 3 3
 Vậy t. Phương trình (1) trở thành (2).
Phương trình (1) có nghiệmó Phương trình (2) có nghiệm tó đường thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y= với t.
Ta có y’=-t+1 nên có 
t
 1 3 
y’
 + 0 - | - | 
y 
 3
Bài 9: Cho bất phương trình . Tìm a để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x[-2;4].
Giải:
Đặt . Bất phương trình trở thành:
.(2)
(1)ghiệm ó (2) có nghiệm mọi t[0;3] óđường thẳng y=a nằm trên ĐTHS 
y=t2-4t+10 với t[0;3]
y’=2t-4; y’=0ót=2
t
 0 2 3
y’
 | - 0 + | 
y
 10 7
 6 
Vậy m≥10.
Bài 10: Cho phương trình (1). Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải:
Phương trình đã cho tương đương 
Đặt t=; t[-1;1].
Khi đó phương trình (1) trở thành 2t+t2=4m.
(1) có nghiệm ó (2) có nghiệm t[-1;1] 
Xét hàm số y=f(t)=t2+2t với t[-1;1]. Ta có f’(t)=2t+2≥0 với mọi t[-1;1]. 
t
 -1 1
f’
 0 + |
f
 3 
 -1
 Từ BBT -1≤4m≤3.
HUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 
1. Bình phương 2 vế của phương trình 
Phương pháp 
Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau
và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : 
Ví dụ 
 Giải phương trình sau : 
Giải: Đk 
Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút .
Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 
Bình phương hai vế ta có : 
Thử lại x=1 thỏa
Nhận xét : Nếu phương trình : 
Mà có : , thì ta biến đổi phương trình về dạng : sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả 
Bài 2. Giải phương trình sau : 
Giải:
Điều kiện : 
Bình phương 2 vế phương trình ?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? 
Ta có nhận xét : , từ nhận xét này ta có lời giải như sau :
Bình phương 2 vế ta được: 
Thử lại : l nghiệm 
Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình :
 Mà có : thì ta biến đổi 
2. Trục căn thức 
2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung 
Phương pháp 
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía vô nghiệm 
 Ví dụ 
Bài 1 . Giải phương trình sau : 
Giải: 
Ta nhận thấy : v 
Ta có thể trục căn thức 2 vế : 
Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : 
Giải: Để phương trình có nghiệm thì : 
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng 
, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :
Dễ dàng chứng minh được : 
Bài 3. Giải phương trình :
Giải :Đk 
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình 
Ta chứng minh : 
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
2.2. Đưa về “hệ tạm “
a) Phương pháp 
Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : 
ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau :
, khi đĩ ta có hệ: 
b) Ví dụ 
Bài 4. Giải phương trình sau :
Giải:
Ta thấy : 
 không phải là nghiệm 
Xét 
Trục căn thức ta có : 
Vậy ta có hệ: 
Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=
Bài 5. Giải phương trình : 
Ta thấy : , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên.
Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau :
 (HSG Toàn Quốc 2002)
 (OLYMPIC 30/4-2007)
3. Phương trình biến đổi về tích 
Sử dụng đẳng thức 
Bài 1. Giải phương trình : 
Giải: 
Bi 2. Giải phương trình : 
Giải:
+ , không phải là nghiệm 
+ , ta chia hai vế cho x: 
Bài 3. Giải phương trình: 
Giải: 
pt
Bài 4. Giải phương trình : 
Giải: 
Đk: 
Chia cả hai vế cho : 
 Dùng hằng đẳng thức 
Biến đổi phương trình về dạng :
Bài 1. Giải phương trình : 
Giải:
Đk: khi đó pt đ cho tương đương :
Bài 2. Giải phương trình sau :
Giải:
Đk: phương trình tương đương : 
Bài 3. Giải phương trình sau : 
Giải : pttt 
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường 
Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện của nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn thường là những phương trình dễ .
Bài 1. Giải phương trình: 
Điều kiện: 
Nhận xét. 
Đặt thì phương trình có dạng: 
Thay vào tìm được 
Bài 2. Giải phương trình: 
Giải
Điều kiện: 
Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau:
Ta tìm được bốn nghiệm là: 
Do nên chỉ nhận các gái trị 
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: 
Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 
Ta được: , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.
Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ)
Bài 3. Giải phương trình sau: 
Điều kiện: 
Đặt thì phương trình trở thnh: ( với 
Từ đó ta tìm được các giá trị của 
Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau :
Giải: đk 
Đặt pttt
Bài 5. Giải phương trình sau : 
Giải:
Điều kiện: 
Chia cả hai vế cho x ta nhận được:
Đặt , ta giải được.
Bài 6. Giải phương trình : 
Giải: không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 
Đặt t=, Ta có : 
Bài tập đề nghị 
Giải các phương trình sau
Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với lại quá khó giải 
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách 
Xét phương trình trở thành : 
 thử trực tiếp 
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này .
a) . Phương trình dạng : 
Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu 
Xuất phát từ đẳng thức :
Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:
Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp”
Bài 1. Giải phương trình : 
Giải: Đặt 
Phương trình trở thành : 	Tìm được: 
Bài 2. Giải phương trình :
Bài 3: giải phương trình sau :
Giải: 
Đk: 
Nhận xt : Ta viết 
Đồng nhất thức ta được: 
Đặt , ta được: 
 Ta được :
Bài 4. Giải phương trình :
Giải:
Nhận xét : Đặt ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :
Pt có nghiệm :
b).Phương trình dạng : 
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.
Bài 1. giải phương trình : 
Giải: 
Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : 
Bài 2.Giải phương trình sau : 
Giải 
Đk . Bình phương 2 vế ta có : 
Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ : 
Do . 
Bài 3. giải phương trình : 
Giải:
Đk . Chuyển vế bình phương ta được: 
Nhận xét : không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt 
.
Nhưng may mắn ta có : 
Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết . 
Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên 
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 
Từ những phương trình tích ,
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .
Bài 1. Giải phương trình :
Giải: 
 , ta có : 
Bài 2. Giải phương trình : 
Giải:
Đặt : 	Khi đó phương trình trở thnh : 
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn :
Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau 
Bài 3. Giải phương trình sau : 
Giải: 
Nhận xét : đặt , pttt: (1)
Ta rút thay vào thì được pt: 
Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương .
Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo 
Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được:
Bài 4. Giải phương trình: 
Giải .
Bình phương 2 vế phương trình: 
Ta đặt : . Ta được: 
Ta phải tách làm sao cho có dạng chính phương .
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích 
4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích 
Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ
Xuất phát từ đẳng thức , Ta có
Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba . 
Bài 1. Giải phương trình :
Giải : , ta có : , giải hệ ta được: 
Bài 2. Giải phương trình sau :
Giải . Ta đặt : , khi đó ta có : 
Bài 3. Giải các phương trình sau 
5. Đặt ẩn ... hương trình vô tỉ 
Xuất phát từ hàm đơn điệu : mọi ta xây dựng phương trình :
, Rút gọn ta được phương trình 
Từ phương trình thì bài toán sẽ khó hơn 
Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau :
Đặt khi đó ta có hệ : cộng hai phương trình ta được:
=
Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ?
Bài 1. Giải phương trình : 
Giải:
Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có 
Bài 2. Giải phương trình 
Giải . Đặt , ta có hệ : 
Xét hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình 
Bài 3. Giải phương trình :
V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
1. Một số kiến thức cơ bản:
Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho 
Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho 
Với mỗi số thực x có sao cho : 
Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì có một số t với , sao cho 
Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán :
Nếu : thì đặt với hoặc với 
Nếu thì đặt , với hoặc , với 
Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì đặt với 
Nếu , ta có thể đặt : , với , tương tự cho trường hợp khác 
x là số thực bất kỳ thi đặt : 
Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? 
Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện thì phải đảm bảo với mỗi có duy nhất một , và điều kiện trên để đảm bào điều này . (xem lại vòng tròn lượng giác )
2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ?
Từ công phương trình lượng giác đơn giản: , ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ 
Chú ý : ta có phương trình vô tỉ: (1)
Nếu thay bằng ta lại có phương trình : (2)
Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó: (3)
Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ? 
Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,.hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác .
3. Một số ví dụ 
Bài 1. Giải phương trình sau : 
Giải:
Điều kiện :
Với : thì (ptvn)
 ta đặt : . Khi đó phương trình trở thành: vậy phương trình có nghiệm : 
Bài 2. Giải các phương trình sau : 
 HD: 
 Đs: 
 HD: chứng minh vô nghiệm 
Bài 3 . Giải phương trình sau: 
Giải: Lập phương 2 vế ta được:
Xét : , đặt . Khi đó ta được mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình.
Bài 4. .Giải phương trình 
Giải: đk: , ta có thể đặt 
Khi đó ptt: 
Phương trình có nghiệm : 
Bài 5 .Giải phương trình : 
Giải: đk 
Ta có thể đặt : 
Khi đó pttt.
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm 
Bài tập tổng hợp
Giải các phương trình sau 
 (HSG Toàn Quốc 2002)
 (OLYMPIC 30/4-2007)
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Dạng 1 : Phương trình 
Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của hay 
Dạng 2: Phương trình 
Dạng 3: Phương trình 
+) (chuyển về dạng 2)
 +) 
và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : 
Bài 1: Giải phương trình:
a) 	
b) 	
c) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
Bài 3: Cho phương trình: 
-Giải phương trình khi m=1
-Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 4: Cho phương trình: 
-Giải phương trình khi m=3
-Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.
II.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường.
-Nếu bài toán có chứa và khi đó đặt (với điều kiện tối thiểu là . đối với các phương trình có chứa tham số thì nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ).
-Nếu bài toán có chứa , và (với k là hằng số) khi đó có thể đặt : , khi đó 
-Nếu bài toán có chứa và khi đó có thể đặt: suy ra 
-Nếu bài toán có chứa thì đặt với hoặc với 
-Nếu bài toán có chứa thì đặt với hoặc với 
-Nếu bài toán có chứa ta có thể đặt với 
Bài 1: Giải phương trình:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
Bài 2: Giải phương trình:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Bài 4: Cho phương trình: 
-Giải phương trình với 
-Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 5: Cho phương trình: 
-Giải phương trình với m = 9
-Tìm m để phương trình có nghiệm.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x. 
-Từ những phương trình tích ,
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát.
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .
Bài 1. Giải phương trình :
Giải: , ta có : 
Bài 2. Giải phương trình : 
Giải:
Đặt : 
Khi đó phương trình trở thnh : 
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn 
Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau 
Bài 3. Giải phương trình sau : 
Giải: 
Nhận xét : đặt , pttt: (1)
Ta rt thay vo thì được pt: 
Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương .
Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo 
Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được:
Bài 4. Giải phương trình: 
Giải .
Bình phương 2 vế phương trình: 
Ta đặt : . Ta được: 
Ta phải tách làm sao cho có dạng chình phương .
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích. 
Bài tập: Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
3. Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ.
a) Dạng thông thường: Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v. Chẳng hạn đối với phương trình: ta có thể đặt: từ đó suy ra . Khi đó ta có hệ 
Bài tập: Giải các phương trình sau: 
a) 	b) 	c) 
b) Dạng phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai:
 với 
Cách giải: Đặt: khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
 ->giải
Nhận xét: Dể sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu về dạng thỏa mãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được.
c) Dạng phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba.
 với 
Cách giải: Đặt khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:
Hướng 1: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: 
Bước 2: Xét hàm số 
Bước 3: Nhận xét:
Với do đó là nghiệm
Với do đó phương trình vô nghiệm
Với do đó phương trình vô nghiệm
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình
Hướng 2: thực hiện theo các bước
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: 
Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định sao cho 
Bước 3: Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
Hướng 3: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng 
Bước 2: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu
Bước 3: Khi đó 
Ví dụ: Giải phương trình : 
pt
Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có 
Bài tập: Giải phương trình: 
,,,,,
BAØI TAÄP :
Baøi 1: Bình phöông hai veá : 
x2 +
Hd: pt 
b)pt: 
Chuyeån veá ,bình phöông hai veá : x =2 ;
 x = 2/11( loaïi ) . Vaäy x=2 .
c) 
Bình phöông hai laà ta coù :ÑS x = 0 .
d) 
e) 
Bphöông hai lanà ta coù :ÑS x = 4/3 
Baøi 2 : Daët Aån soá phuï : 
a) 
Ñaët : 
T=x2-3x+3 
b) 
- Ñaët : 
ptót2-3t +2 =0 t =1 ; t=2 Vn
t=1 ó x=0 ; x=1 .
c) 
HDÑS:
ÑK : 
Giaûi pt khi m=2 .** Tìm m pt coù nghieäm .
HDÑS : ÑK: b) f(t) = -t2/2 + t +2 = m (1) . Laäp baûng bieán thieân : Tacoù : 
Bình phöông : Ñaët t= 
KsHSd)
HDÑS:Ñaët : 
Laäp BBT : m>19VN; m=19: 1 ngh ;m<19pt2ngh.
Baøi3:
1-
BAØI TAÄP : I- GIAÛI PT:
 Laäp phöông hai veá ta coù : x3-4x2+5x-2 =0ó x=1 ; x=2 . Thöû laïi x=1 khoâng thoaû .Vaäy x=2 .
 Laäp phöông hai veá ta coù : x2+31x-1830 =0ó x=-1061 ; x=75 . 
-Laäp phöông hai veá ta coù : x3-4x2+5x-2 =0ó x=1 ; x=2 . Thöû laïi x=1 khoâng thoaû .Vaäy x=2 .
-Laäp phöông hai veá ta coù : ptó x=1 ; x=2 ;x=3/2. Thöû laïi Ñeàu thoaû .
--Laäp phöông hai veá ta coù : ptó x=0 ; x=3 ;x=-6/5. Thöû laïi Ñeàu thoaû .
ptó 18X = 14a ó x=7a/ 9 ; a# 0 . Thöû laïi thoaû.
II- PHÖÔNG TRÌNH CAÊN THÖÙC CHÖÙA THAM SOÁ m :
Baøi 1: : BLs ngh pt.
HdÑS : 
Tính ñaïo haøm : Baûng bieán thieân ,Ta coù :
m<1 : 1ngh; m=1: coù 2ngh: 1<m<2: 2ngh
m=2 : 2ngh ; 2<m<: 0 Vn .
BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CAÊN THÖÙC
KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ :
Daïng cô baûn :
Daïng khaùc :
Coù nhieàu caên thöùc :Ñaët ÑK – Luyõ thöøa- khöû caên – Döa veå bpt cô baûn nhö caùc daïng treân .
Chuù yù : - Hai veá khoâng aâm ta ñ7ôïc bình phöông – Hai veá laø soá thöïc ta ñöïôc laäp phöông .
BAØI TAÄP :
 GIAÛI CAÙC BAÁT PHÖÔNG TRÌNH
1-Pt : 
ptó -3/2
PHÖÔNG TRÌNH CAÊN THÖÙC
PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Dạng 1 : Phương trình 
Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của hay 
Dạng 2: Phương trình 
Dạng 3: Phương trình 
+) (chuyển về dạng 2)
 +) 
và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : 
Bài tập trong các đề thi tuyển sinh.
Bài 1 : 
a)(ĐHXD) Giải pt 
b) (CĐSP MG 2004) 
c) (CĐSP NINH BÌNH) 
d) (CĐ hoá chất) 
e) (CĐ TP 2004) 
g) (CĐSP bến tre) 
h) (CĐ truyền hình 2007) 
ĐS: 
a) x=1.	b) x=14/5	c) x=9.	d)x=1
e) x=5	g) x=2	h) x=-1.
Bài 2: 
a)(ĐHNN-2001) Giải phương trình 
b) (CĐ Nha trang 2002) : 
Hdẫn: 
a) ĐK: -1≤x≤4.
Đặt t=. Giải được t=-5 (loại), t=3. Giải t=3 được x=0.
b) x=
Bài 3 
a)(ĐHQG KD-2001) Giải phương trình .
b) (CĐXD 2003)
Hdẫn: 
a) ĐK: x≥1/2
Xét hàm số y= . HSĐB trên [1/2;+∞). Và f(1/2)=1.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1/2.
b)x=-1 là nghiệm .
Các hàm số y=; y=; y=ĐB 
Bài 4 : Giải pt .
ĐK : x≤-3,x=-1,x≥1.
-Với x=-1 Thoả mãn pt 
-Với x≤-3 thì VP<0 loại
-Với x≥1 pt 
Tiếp tục bình phương 2 vế thu được x=1.
Vậy pt có 2 nghiệm x=1 ; x=-1.
Bài 5 : (ĐH mỏ điạ chất) Giải pt 
ĐK : . Đặt t=. Giải được t=2 ; t=-4/3.
+t=2 được x=0, x=2
+t=-4/3 được (loại)
KL : Pt có 3 nghiệm.
Bài 6 : (HV CNBCVT) Giải pt .
Giải : ĐK : x≥2/3.
Trục căn thức ta được .
PT trên có nghiệm x=2.
HS y=ĐB do vậy x=2 là nghiệm duy nhất.
Bài 7: Giải phương trình .
ĐK: x≥2.
pt
KL: x=3; x=
Bài 8: Giải phương trình 
ĐK:x-7.
Đặt .
Phương trình trở thành 
Giải được x=2; x=
a) 
- Ph­¬ng tr×nh ®­îc chuyÓn thµnh hÖ 
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm.
c)
-Ñaët : 
d) 
.ÑK : x
Bài 9: Giải phương trình 
ĐK: x≥2.
Đặt .
Thế vào phương trình giải được t=1; t=-2. từ đó giải được x=2.
Bài 10: (Tham khảo 2002) giải phương trình 
ĐK:x≥4.
Phương trình 
Đặt t=≥0. giải phương trình ẩn t được t=4; t=-3 (loại).
Giải được x=5.
Bài 11 : 
a)(CĐSP 2004) Giải pt 
b) (ĐH-KD-2005) 
a) ĐK ; x≥1.
Pt .
Xét 1≤x≤2 : giải được nghiệm x=1
xét x>2 giải được x=5
b)x=3
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 
Từ những phương trình tích ,
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .
Bài 1. Giải phương trình :
Giải: 
 , ta có : 
Bài 2. Giải phương trình : 
Giải:
Đặt : 	Khi đó phương trình trở thnh : 
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn :