Phương trình mặt phẳng khi không dùng chùm mặt phẳng

A. Kiến thức cơ sở
1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
a) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
	* là vectơ pháp tuyến của (P) 
	* Nếu là vectơ pháp tuyến của (P) thì k (k 0) cũng là vectơ pháp tuyến của (P)
b) Phương trình tổng quát của mặt phẳng
	(P) đi qua M(x0; y0; z0) và có vectơ pháp tuyến 
	Phương trình tổng quát của (P) là: 
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 (A2 + B2 + C2 > 0)
	 Ax + By + Cz + D = 0 	(D = -Ax0 - By0- Cz0)
2. Chùm mặt phẳng (phương pháp cũ)
	d là giao tuyến của hai mặt phẳng (Q) và (R)
	(Q): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (R): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
	Khi đó phương trình:
	biểu diễn mọi mặt phẳng của chùm tạo bởi (Q) và (R)
Nhận xét: 
	, thì (1) chính là phương trình mặt phẳng (R)
	 thì (1) chính là phương trình mặt phẳng (Q)
	 và , (1) cho phương trình của một mặt phẳng (P) khác hai mặt phẳng (Q), (R). Trong trường hợp này ta có thể đặt và (1) trở thành:
	(A1+ mA2)x + (B1+ mB2)y + (C1+ mC2)z + D1+ mD2 = 0
	(P) có vectơ pháp tuyến 
3. Lập phương trình mặt phẳng không sử dụng phương pháp chùm
Với giả sử yêu cầu của đề bài là viết phương trình mặt phẳng(P), biết răng (P) chứa đường thẳng d (còn có thêm giả thiết nữa)
	+ Tìm một điểm M(x0;y0;z0) d
	+ Tìm một vectơ chỉ phương của d, giả sử 
	+ Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0	(A2 + B2 + C2 > 0) (2)
	+ d thuộc (P) nên với ta được a.A + b.B + c.C = 0 (3)
	Trong ba hệ số A, B, C từ (3) có thể rút mộthệ số theo hai hệ số còn lại rồi thay vào (2). Khi đó phương trình (2) chỉ còn hai hệ số, tiếp tục sử dụng giả thiết còn lại để xác định chúng
B. Một số dạng toán minh hoạ 
Dạng 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0; y0; z0) và chứa đường thẳng d ()
	Phương pháp
Cách1. d đi qua N và có vectơ chỉ phương 
	(P) có vectơ pháp tuyến 
Cách 2. Sử dụng chùm mặt phẳng
	Mặt phẳng (P) thuộc vào chùm xác định bởi d ( d là giao tuyến của hai mp)
	M thuộc vào mp(P) từ đó suy ra giá trị của (hoặc m)
Cách 3. Sử dụng phương pháp 3 (Không dùng chùm mặt phẳng)
Đường thẳng d đi qua M(x0; y0; z0) và có vtcp 
	(P) qua M có dạng: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 (A2 + B2 + C2 > 0)
	(P) chứa d 
Lại có M (P) 
	Từ đó tìm mối liên hệ giữa A, B, C
Ví dụ1: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1; 2; 3) và chứa 
	Giải
Cách 1. Ta có d đi qua N(0; 2; 1) và có vectơ chỉ phương 
	, 
	Vậy mp (P) đi qua M(1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến 
	Phương trình mặt phẳng (P): 2 (x -1) + 2(y - 2) - (z - 3) = 0
	 2x + 2y - z - 3 = 0
Cách 2. (Phương pháp cũ sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng)
	Ta có thể coi d là giao tuyến của (Q): 2x + y - 2 = 0 và (R): 2x + z - 1 = 0
	mp(P) thuộc vào chùm xác định bởi d
	Phương trình mp(P) có dạng: (2x + y - 2)+(2x + z - 1) = 0 (2+2>0)
	(2+2)x + y + z -2- = 0
	M(1; 2; 3) (P) 2+2 + 2 + 3 -2- = 0+ 2= 0
	Cho = 2 thì =-1
	Vậy (P): 2x + 2y - z - 3 = 0
Cách 3. (Không sử dụng chùm mặt phẳng)
Ta có d đi qua N(0; 2; 1) và có vectơ chỉ phương 
(P) đi qua N(0; 2; 1) nên (P) có dạng:
A(x - 0) + B(y - 2) + C(z - 1) = 0	(A2 + B2 + C2 > 0) 
	Vì d thuộc (P) nên với ta được - A + 2B + 2C = 0 (*)
	Lại có M(1; 2; 3) (P) A + 2C = 0
	Thay A = -2C vào (*) ta được B = -2C
	Vậy (P): 2x + 2y - z - 3 = 0
Dạng 2: Lập phương trình mặt phẳng(P) chứa đường thẳng d và vuông góc với đường thẳng 
	Phương pháp:
Cách1:Kiểm tra xem d có vuông góc với không?
	Nếu không vuông góc thì kết luận không tồn tại mp(P)
	Ngược lại: d đi qua M và có vtcp 
(P) qua M và vtpt 
Cách 2: Sử dụng phương pháp chùm
Mặt phẳng (P) thuộc vào chùm xác định bởi d ( d là giao tuyến của hai mp)
	M thuộc vào mp(P) từ đó suy ra giá trị của (hoặc m)
Ví dụ2: Lập phương trình mặt phăng (P) chứa đường thẳng d: và vuông góc với đường thẳng 
	Giải
Cách 1. Ta có d đi qua M(0; 0; 3) và có vectơ chỉ phương 
 đi qua N(6; 0; 1) và có vectơ chỉ phương 
	Ta thấy d
	mp(P) đi qua M(0; 0; 3) và nhận làm vectơ pháp tuyến
	Vậy phương trình mp(P) là: -3(x - 0) - 2(y - 0) - 2(z - 3) = 0
	 3x + 2y + 2z - 6 = 0
Cách 2. (Phương pháp chùm mặt phẳng)
	Ta có có vectơ chỉ phương 
	d là giao tuyến của hai mặt phẳng (Q): x - 2y = 0 và (R): 2x+z-3=0
	mp(P) thuộc vào chùm mặt phẳng xác định bởi d
	Phương trình mp(P) có dạng: (x -2y) +(2x + z - 3) = 0 (2+2>0)
	(+2)x - 2y + z - 3 = 0
	Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 
	 mp(P) vuông góc với nên ta có 2+ = 0
	Cho = -1 thì =2
Vậy phương trình mp(P) là: 3x + 2y + 2z - 6 = 0
Cách 3. (Không sử dụng chùm mặt phẳng)
Ta có d đi qua M(0; 0; 3) và có vectơ chỉ phương 
(P) đi qua M(0; 0; 3) nên (P) có dạng:
A(x - 0) + B(y - 0) + C(z - 3) = 0	(A2 + B2 + C2 > 0) 
	Vì d thuộc (P) nên với ta được - 2A - B + 4C = 0 (*)
	 có vectơ chỉ phương 
	Lại có (P) 2A = 3C và B = C thoả mãn (*)
Vậy (P): 3x + 2y + 2z - 6 = 0
Dạng 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 
	Phương pháp
Cách 1. d1 qua M và có vectơ chỉ phương , d2 có vectơ chỉ phương 
	(P) qua M có vectơ pháp tuyến 
Chú ý: Ta phải thử lại xem d2 có song song với (P) không? (vì d2 có thể nằm trên (P))
Cách 2. (Sử dụng chùm mặt phẳng)
	Mặt phẳng (P) thuộc vào chùm xác định bởi d ( d là giao tuyến của hai mp)
	(P)//d2 (vtcp và vtpt của d và (P))
Từ đó suy ra giá trị của (hoặc m)
Cách 3. (Không sử dụng chùm mặt phẳng)
Đường thẳng d đi qua M(x0; y0; z0) và có vtcp 
	(P) qua M có dạng: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
	(P) chứa d 
	Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳngd2: 
	(P)(Q) 
	Từ đó tìm mối liên hệ giữa A, B, C
Ví dụ3: Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (Q): x + y - 2 = 0 và mp(R): 4y + z - 2 = 0 và . Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng .
	Giải
Cách 1. Lấy M(2; 0; 2) 
	Mp(Q) có vectơ pháp tuyến ;
 mp(R) có vectơ pháp tuyến 
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương 
 có vectơ chỉ phương 
Giả sử mp(P) có vectơ pháp tuyến là 
 (P) chứa d và (P)//
Vậy mp(P) đi qua M(2; 0; 2) và có vectơ pháp tuyến 
Phương trình mặt phẳng (P): -10(x - 2) - 6(y - 0) + z - 2 = 0 
 10x + 6y - z - 18 = 0
Thử lại ta có //(P)
	Vậy (P): 10x + 6y - z - 18 = 0
Cách 2. (Phương pháp chùm)
	Mặt phẳng (P) thuộc vào chùm mặt phẳng xác định bởi d
	Phương trình mp(P) có dạng: x + y - 2 + m(4y + z - 2) = 0 
	x + (1 + 4m)y + mz - 2 - 2m = 0
	Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 
	 có vectơ chỉ phương 
	 (P) // 
	Vậy phương trình mp(P) là: 10x + 6y - z - 18 = 0
Cách 3. (Không sử dụng phương pháp chùm)
 Đường thẳng d đi qua M(2;0;2) và có véctơ chỉ phương 
	Do mặt phẳng (P) chứa điểm M(2;0;2), nên phương trình của mp(P) có dạng: 
A(x - 2) + By + C(z - 2) = 0 với A2+B2 + C2 > 0 
	d(P) 	(1)
	 (P) // 	(2)
	(1) A = B - 4C thay vào (2) ta được B + 6C = 0
	Cho C = - 1 thì B = 6 và A = 10
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: -10(x - 2) - 6(y - 0) + z - 2 = 0 
 10x + 6y - z - 18 = 0
Dạng 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q).
	Phương pháp
Cách 1. d đi qua M và có vtcp , (Q) có vtpt 
 (P) qua M và có vtpt 
Cách 2. Sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng
	Xác định một vectơ pháp tuyến của mp(Q) 
	Mặt phẳng của chùm vuông góc với mp(Q) 
	Từ đó ta tìm giá trị của m.
Cách 3. (Không sử dụng chùm mặt phẳng)
	Đường thẳng d đi qua M(x0; y0; z0) và có vtcp 
	(P) qua M có dạng: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
	(P) chứa d 
	Xác định một vectơ pháp tuyến của mp(Q) 
	(P)(Q) 
	Từ đó tìm mối liên hệ giữa A, B, C
Ví dụ4: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến d của mặt phẳng (Q) 3x - 2y + z - 3 = 0 và (R) x - 2z = 0 và vuông góc với (): x - 2y + z + 5 = 0.
	Giải
Cách 1. Đường thẳng d đi qua M(2; 2; 1) và có vectơ chỉ phương 
Mặt phẳng () có vectơ pháp tuyến 
	Giả sử (P) có vectơ pháp tuyến 
	Ta có , và 
	Mặt phẳng (P) đi qua M(2; 2; 1) và có vectơ pháp tuyến 
	Vậy phương trình mặt phẳng (P): 11x - 2y - 15z - 3 = 0
Cách 2. (Sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng)
	Mặt phẳng (P) thuộc vào chùm xác định bởi mp(Q) và mp(R)
	Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 
	Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 
Mặt phẳng () có vectơ pháp tuyến 
	(P) 
	Cho thì 
	Vậy phương trình mặt phẳng (P): 11x - 2y - 15z - 3 = 0
Cách 3. Đường thẳng d đi qua M(2; 2; 1) và có vectơ chỉ phương 
	Do mặt phẳng (P) qua M nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng:
	A(x - 2) + B(y - 2) + C(z - 1) = 0 (với )
(P) có vtpt 
(P) chứa d nên 	(1)
Thay A = 4B + C vào phương trình của (P) ta được
(P): (B + 4C)x + By + Cz - 12B - 52 C = 0 
Mặt phẳng () có vectơ pháp tuyến 
	(P) 	
	Thay A = 2B - C vào (1) ta được 15B - 2C = 0
	Thay vào (P) ta được kết quả (P): 11x - 2y - 15z - 3 = 0
Dạng 5: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc cho trước
	Phương pháp
Cách 1. Xác định một vectơ pháp tuyến của mp(Q) 
	Mặt phẳng của chùm tạo với mp(Q) một góc 
	Từ đó ta tìm giá trị của m.
Cách 2. Đường thẳng d đi qua M(x0; y0; z0) và có vtcp 
	(P) qua M có dạng: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
	(P) chứa d nên 
	(P) tạo với (Q) một góc 
	Từ đó tìm mối liên hệ giữa A, B, C.
Ví dụ 5: Viết phương trình mp (P) chứa giao tuyến d của (Q): x + y + z - 3 = 0 và (R):2x + y + z - 4 = 0 và tạo với (Oxy) một góc 600.
	Giải
Cách 1. (Sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng)
	Mặt phẳng (P) thuộc vào chùm xác định bởi mp(Q) và mp(R)
	Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 
	Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 
	Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến 
	Mặt phẳng (P) tạo với mp(Oxy) một góc 600
Vậy tìm được hai mặt phẳng: 
Cách 2. (Không dùng phương pháp chùm mặt phẳng)
d đi qua M(1; 1; 1) và có vtcp 
(P): A(x - 1) + B(y - 1) + C(z - 1) = 0 (với )
(P) có vectơ pháp tuyến 
Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến 
Mà 
Vậy tìm được hai mặt phẳng: 
Dạng 6: Lập phương trình mặt phẳng(P)chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S)
	Phương pháp
Cách 1. (Sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng)
Xác định một vectơ pháp tuyến của mp(Q) 
Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
	Mặt phẳng của chùm tiếp xúc với mặt cầu (S) d(I,(P)) = R
	Từ đó ta tìm giá trị của m.
Cách 2. (Không sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng)
Đường thẳng d đi qua M(x0; y0; z0) và có vtcp 
	(P) qua M có dạng: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
	(P) chứa d nên , và (P) tiếp xúc với (S) d(I,(P)) = R
	Từ đó tìm mối liên hệ giữa A, B, C.
Ví dụ 6. Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng
 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 -2x - 4y - 6z - 67 = 0
Giải
Cách 1. (Sử dụng chùm mặt phẳng)
	Ta có (S): (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 81
	Vậy (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 9
	Ta có d là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y - 12 = 0	và 4x + z - 52 = 0
	Mặt phẳng (P) thuộc vào chùm mặt phẳng xác định bởi d
	Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 
	(P) tiếp xúc với (S) d(I,(P)) = R
	Chọn ta có tìm được và 
Với , có phương trình tiếp diện thứ nhất:
(P1): -2x + 2y - z + 28 = 0
Với, có phương trình tiếp diện thứ hai:
(P2): 8x + 4y + z - 100 = 0
Cách 2. (Phương pháp không dùng chùm mặt phẳng)
	Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 9
	Đường thẳng d có vectơ chỉ phương và đo qua điểm M(13;-1;0)
	Do mặt phẳng (P) qua M nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng:
	A(x - 13) + B(y + 1) + Cz = 0 (với )
(P) có vtpt 
(P) chứa d nên 
Thay A = 4B + C vào phương trình của (P) ta được
(P): (B + 4C)x + By + Cz - 12B - 52 C = 0 
	(P) tiếp xúc với (S) d(I,(P)) = R
	Thay vào (P) ta được kết quả
Phương trình tiếp diện thứ nhất (P1): -2x + 2y - z + 28 = 0
Phương trình tiếp diện thứ hai (P2): 8x + 4y + z - 100 = 0
Bài tập vận dụng
Bài 1: Lập phương trình mp (P) đi qua M(1; 2; 3) và chứa d biết
d là giao tuyến của (Q): 2x - y + 3z - 5 = 0 và (R): x - 2y + z - 1 = 0
Bài 2: Lập phương trình mp(P) chứa d: và song song (vuông góc) với :
Là giao tuyến của (Q): 3x - y + 2z - 7 = 0 và (R): x + 3y - 2z + 3 = 0
Bài 3: Viết phương trình mp(P) chứa d và vuông góc với mp(Q) biết:
d là giao tuyến của mp: x - 2y = 0 và mp: 3x - 2y + z - 3 = 0 và (Q): x - 2y + z - 5 = 0
Bài 4: Lập phương trình mp(P) chứa d:và tạo với (Q):3x+4y+z-6=0
Bài 5: Cho mặt cầu (S): x2+y2 +z2 + 2x - 4y - 6z + 5 = 0. Viết phương trình tiếp diện của (S), biết tiếp diện chứa đường thẳng d: 
Bài 6: Cho đường thẳng d là giao tuyến của mp: 2x - y - 1 = 0 và mp: z - 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cách điểm I(-1; 2; 3) một khoảng bằng 3.