Phương trình lượng giác (trong các kỳ thi đại học toàn quốc )

Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
(Trong các kỳ thi Đại Học Toàn Quốc ) 
-----------–˜&™—------------ 
A- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH: 
1) (ĐHB-02) 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x- = - 
Gợi ý: TXĐ: = D 
Dùng công thức hạ bậc: 
( )
1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12(1) cos6 cos8 cos10 cos12
2 2 2 2
cos 0
 2cos7 .cos 2cos11 .cos 2cos cos11 cos7 0
cos11 cos7
- + - +Û - = - Û + = +
=éÛ = Û - = Û ê =ë
x x x x x x x x
x
x x x x x x x
x x
2) (Dự bị 02) 
4 4sin cos 1 1cot2
5sin2 2 8sin2
x x x
x x
+
= - 
Gợi ý: TXĐ: \
2
pì ü= í ý
î þ
D k 
Dùng kết quả 4 4 21sin cos 1 sin 2
2
x x x+ = - 
( )
2
2
2 2
11 sin 2 cos2 12(1) 8 4sin 2 20cos2 5
5sin2 2sin2 8sin2
 4 1 cos 2 20cos2 13 0 4cos 2 20cos2 9 0
-
Û = - Û - = -
Û - + - = Û - + - =
x x x x
x x x
x x x x
3) (Dự bị 02) 
2
4
4
(2 sin )sin3tan 1
cos
x xx
x
-
+ = 
Gợi ý: TXĐ: \
2
D kp pì ü= +í ý
î þ
 
Sử dụng công thức nhân ba: 3sin3 3sin 4sinx x x= - 
4 2
4 4 2
4 4
4 4 2 3 4 2 2 2 3
sin (2 sin )sin3(1) 1 sin cos (2 sin )sin3
cos cos
sin cos (2 sin )(3sin 4sin ) sin (1 sin ) (2 sin )(3sin 4sin )
-Û + = Û + = -
Û + = - - Û + - = - -
x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x x
4) (Dự bị 02) 2tan cos cos sin (1 tan tan )
2
xx x x x x+ - = + 
Gợi ý: TXĐ: \ ; 2
2
D k kp p p pì ü= + +í ý
î þ
 
2
2
2(1) . .
2
22 . . .
2 2
2
sinsin
tan cos cos sin sin
cos cos
sinsin
tan cos cos sin sin cos
cos cos
Û + - = +
Û + - = +
x
xx x x x x xx
x
x x xx x x x xx
2 2
2 (1 )2
2sin .sin cos sin
 tan cos cos sin tan cos cos sin
cos cos
-Û + - = + Û + - = +
x x x xx x x x x x x x
x x
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
2
2 2
. (1 )
0
0
1
sin cos cos sin
 tan cos cos
cos
cos (lo¹i)
 tan cos cos tan cos cos
cos
+ -Û + - =
=éÛ + - = Û - = Û ê =ë
x x x xx x x
x
x
x x x x x x
x
5) (Dự bị 02) 2
1 sin
8cos
x
x
= 
Gợi ý: TXĐ: \
2
D kp pì ü= +í ý
î þ
 
( )
2
2
0 0 0
(1) 1
8 . 1 (1 ) 1
8
0
1 0
2 2 2 2
4 2
sin sin sin
sin sin cos 8sin sin
cos
sin
8sin 8sin Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm
³ì ³ ³ì ìïÛ Û Ûí í í
= = - =î îïî
³ìïÛ í - + =ïî
x x x
x x x x x
x
x
x x
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
6) (ĐHA-03) 2cos2 1cot 1 sin sin2
1 tan 2
xx x x
x
- = + -
+
Gợi ý: TXĐ: \ ;
2 4
D k kp p pì ü= - +í ý
î þ
 
( ) ( )
( )
2
2
2
cos2 .cos 1(1) cot 1 sin sin2
sin cos 2
cos sin cos sin .coscos sin 1 sin sin2
sin sin cos 2
cos sin 1 cos sin 1 cos sin .cos sin sin2 1 sin .cos sin2
sin 2 sin 2
cos sin 
sin
Û - = + -
+
- +-Û = + -
+
- -Û = - + - Û = - -
-Û
x xx x x
x x
x x x x xx x x x
x x x
x x x xx x x x x x x x
x x
x x
x
( )
( ) ( )
21 sin 2 cos sin cos sin sin
cos sin cos sin sin 1 0
= - Û - = -
Û - é - - ù =ë û
x x x x x x
x x x x x
7) (Dự bị 03) 3 tan (tan 2sin ) 6cos 0x x x x- + + = 
Gợi ý: TXĐ: \ ;
2 4
D k kp p pì ü= - +í ý
î þ
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )2 2
sin 1 2cossin 2sin cos(1) 3 6cos tan . 0 3 1 2cos tan 0
cos cos
1 2cos 0
1 2cos 3 tan 0
3 tan 0
++Û + - = Û + - =
+ =é
Û + - = Û ê - =ë
x xx x xx x x x
x x
x
x x
x
8) (Dự bị 03) 2cos2 cos (2tan 1) 2x x x+ - = 
Gợi ý: TXĐ: \
2
D kp pì ü= +í ý
î þ
 
2 2
2 3 2
1 2(1) cos2 cos 2 1 1 2 cos2 cos 3 2
cos cos
22cos 1 3cos 2 2cos 3cos 3cos 2 0
cos
é ùæ ö æ öÛ + - - = Û + - =ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û
Û - + - = Û - - + =
x x x x
x x
x x x x x
x
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
9) (ĐH B-03) 2cot tan 4sin2
sin2
x x x
x
- + = 
Gợi ý: TXĐ: \
2
D k pì ü= í ý
î þ
 
( )
( )
2 2
2 2
2 cos sin 2(1) cot tan 4sin2 4sin2
sin2 sin cos sin2
cos sin 2 2cos 2 24sin2 4sin2
sin .cos sin2 sin2 sin2
2cos 2 4sin 2 2 cos 2 2 1 cos 2 2 0
æ öÛ - + = Û - + =ç ÷è ø
-Û + = Û + =
Û + = Û + - - =
x xx x x x
x x x x
x x xx x
x x x x x
x x x x
10) (Dự bị 03) 6 23cos4 8cos 2cos 3 0x x x- + + = 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 4 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
(1) 3 1 cos4 2cos 1 4cos 0 6cos 2 2cos 1 2cos 1 2cos 0
6cos 2 2cos 1 2cos cos2 0 2cos2 3cos2 2cos 1 2cos 0
cos2 0 cos2 0
3cos2 2cos 1 2cos 0 3 2cos 1 2cos 1 2cos 0
Û + + - = Û + - + =
é ùÛ - + = Û - + =ë û
= =é é
Û Ûê ê
- + = - - + =ê êë ë
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x x x x x x
11) (Dự bị 03) 
2(2 3)cos 2sin ( )
2 4 1
2cos 1
xx
x
p
- - -
=
-
Gợi ý: ĐK: 
2
32cos 1 0
2
3
x k
x
x k
p p
p p
ì ¹ +ïï- ¹ Û í
ï ¹ - +ïî
(1) (2 3)cos 1 cos 2cos 1 3cos sin 0
2
tan 3
3
p
p p
é ùæ öÛ - - - - = - Û - + =ç ÷ê úè øë û
Û = Û = +
x x x x x
x x k
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: 4 2
3
x kp p= + 
12) (ĐHD-03) 2 2 2sin tan cos 0
2 4 2
pæ ö- - =ç ÷è ø
x xx 
Gợi ý: TXĐ: \
2
D kp pì ü= +í ý
î þ
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
1 1 sin(1) 1 cos tan 1 cos 0 1 sin . 1 cos 0
2 2 2 cos
1 cos 1 cos 1 cos
1 sin . 1 cos 0 1 cos 1 0
1 sin 1 sin 1 sin
1 cos 0
cos 1 cos
1 cos
1 0 1 cos 1 sin
1 sin
pé ùæ öÛ - - - + = Û - - + =ç ÷ê úè øë û
é ù- + -
Û - - + = Û + - =ê ú- + -ë û
+ =é
= - =éêÛ Û Û- êê - = - = -ëê -ë
xx x x x x
x
x x x
x x x
x x x
x
x x
x
x x
x
1
tan 1
-é
ê =ë x
13) (Dự bị 03) 
2cos (cos 1) 2(1 sin )
sin cos
x x x
x x
-
= +
+
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
Gợi ý: TXĐ: \ 2
4
D kp pì ü= - +í ý
î þ
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 1 ( 1) 1 ( 1)
(1) 2(1 ) 0 (1 ) 2 0
1 0 1
1 ( 1) 2 1 2
1
1 0
sin sin cos sin cos
sin sin
sin cos sin cos
sin sin
sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos
sin
sin cos sin cos (P
- + - é - - ù
Û - + = Û + - =ê ú+ +ë û
+ = = -é é
Û Ûê ê- - = + - + + - = +ë ë
= -
Û
+ - + =
x x x x x
x x
x x x x
x x
x x x x x x x x x x
x
x x x x h­¬ng tr×nh ®èi xøng)
é
ê
ë
14) (Dự bị 03) 2cos4cot tan
sin2
xx x
x
= + 
Gợi ý: TXĐ: \
2
D k pì ü= í ý
î þ
 
( )
2 4 2 4(1)
2 2
2 4 2 4 2 4
. 2 . 2 2
2 4 2 1
1
2 1 0
2 2
2
2
cos cos sin cos
cot tan
sin sin cos sin
cos sin cos cos2 cos 2cos2 cos
sin cos sin sin cos sin sin2 sin
cos cos2 cos 2 cos2
cos2 
cos 2 cos2
Û - = Û - =
-Û = Û = Û =
Û = Û - =
=
Û - - = Û
x x x xx x
x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x
x x 1
2
(Tháa ®k)
cos2 (Tháa ®k)
é
ê
ê = -
ë
x
15) (ĐHB-04) 25sin 2 3(1 sin )tanx x x- = - 
Gợi ý: TXĐ: \
2
D kp pì ü= +í ý
î þ
 
( ) ( )
2 2
2
2
2
sin sin(1) 5sin 2 3(1 sin ) 5sin 2 3(1 sin )
cos (1 sin )(1 sin )
sin5sin 2 3 5sin 2 1 sin 3sin
(1 sin )
Û - = - Û - = -
- +
Û - = Û - + =
+
x xx x x x
x x x
xx x x x
x
16) (ĐHD-04) (2cos 1)(2sin cos ) sin2 sinx x x x x- + = - 
Gợi ý: TXĐ: D =  
[ ]
(1) (2cos 1)(2sin cos ) 2sin .cos sin
(2cos 1)(2sin cos ) sin (2cos 1)
(2cos 1) (2sin cos ) sin 0
2cos 1 0
(2cos 1)(sin cos ) 0
sin cos 0
Û - + = -
Û - + = -
Û - + - =
- =éÛ - + = Û ê + =ë
x x x x x x
x x x x x
x x x x
x
x x x
x x
 17) (ĐHA-05) 2 2cos 3 cos2 cos 0x x x- = 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( )
1 1 2(1) . 2 0 . 2 1 0
2 2
1 1 0 2 0
2
cos6 cos
cos cos6 cos
cos8 cos4 cos8 cos4
+ +Û - = Û - =
Û + - = Û + - =
x xx x x
x x x x
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
1
2 1 2 0 2 3 0 3
2
2 2
cos4
cos 4 cos4 cos 4 cos4
cos4 (lo¹i)
=é
êÛ - + - = Û + - = Û ê = -
ë
x
x x x x
x
18) (ĐHB-05) 1 sin cos sin2 cos2 0x x x x+ + + + = 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
(1) 1 sin2 sin cos cos2 0
sin cos sin cos cos sin cos sin 0
sin cos sin cos 1 cos sin 0
sin cos 0
sin cos 2cos 1 0
2cos 1 0
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x
x
Û + + + + =
Û + + + + + - =
Û + é + + + - ù =ë û
+ =éÛ + + = Û ê + =ë
19) (ĐHD-05) 4 4 3( ) (3 ) 0
4 4 2
cos sin cos sinx x x xp p+ + - - - = 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( )
1 3(1) 1 (3 ) ( ) 0
2 4 4 2
1 11 0
2 2 2
1 1 1 1 1 11 0 1 1 2 0
2 2 2 2 2 2
2
2
2 2 2
sin 2 sin cos
sin 2 sin 4 sin2
sin 2 cos4 sin2 sin 2 sin 2 sin2
p p
p
æ öÛ - + - - - =ç ÷è ø
é ùæ ö æ öÛ - + - + =ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û
æ öÛ - - + = Û - - - + =ç ÷è ø
x x x
x x x
x x x x x x
20) (Dự bị 05) 32 2cos ( ) 3cos sin 0
4
x x xp- - - = 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( ) ( )
3
3
(1) 2 ( ) 3 0
4
3 0
cos cos sin
sin cos cos sin Ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 3
x x x
x x x x
pé ùÛ - - - =ê úë û
Û + - - =
21) (Dự bị 05) 2 2 34sin 3cos2 1 2cos ( )
2 4
x x x p- = + - 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( ) 3(1) 2 1 cos 3cos2 1 1 cos 2
2
3cos2 2cos sin2 sin2 3cos2 2cos
1 3sin2 cos2 cos sin 2 cos sin 2 sin
2 2 6 6 2
p
p p p
é ùæ öÛ - - = + + -ç ÷ê úè øë û
Û - = - Û - =
æ ö æ ö æ öÛ - = Û - = Û - = -ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø
x x x
x x x x x x
x x x x x x x
22) (Dự bị 04) sin4 sin7 cos3 cos6x x x x= 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( ) ( )1 1(1) cos11 cos3 cos9 cos3
2 2
cos11 cos3 cos9 cos3 cos11 cos9
x x x x
x x x x x x
Û - = -
Û - = - Û =
23) (Dự bị 04) 1 sin 1 cos 1x x- + - = 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( ) ( )(1) 1 sin 2 1 sin . 1 cos 1 cos 1Û - + - - + - =x x x x 
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
( ) ( ) ( )2 1 sin 1 cos sin cos 1 (*)Û - - = + -x x x x 
Đặt sin cos 2 2t x x t= + Þ - £ £ 
Lúc đó:
( )
2
2
2
1 2
12 1 1 12 4 1 1
2
(*)tt: 
ì £ £
ï-
- - = - Û í æ ö-
- - = -ç ÷ï
è øî
t
tt t tt t
22 2
1 2
1 2 1
3 2 5 04 4 2( 1) 2 1 5
3
1: 1 2 1
4
 (lo¹i)
sin cos sin
p
ì £ £
ïì £ £ï ï =éÛ Ûí í ê+ - = Û- - - = - +ï ïî ê = -ï ëî
æ ö= + = Û + =ç ÷è ø
t
t t
t tt t t t
t
t x x x
24) (Dự bị 05) 2 2
cos2 1tan( ) 3tan
2 cos
xx x
x
p -
+ - = 
Gợi ý: TXĐ: \
2
D k pì ü= í ý
î þ
 
2
2 2 2
2
2 2 3
2sin(1) cot 3tan cot 3tan 2tan
cos
1cot tan tan tan 1 tan 1
tan 4
p p
-Û - - = Û - - = -
Û - = Û - = Û = - Û = - Û = - +
xx x x x x
x
x x x x x x k
x
25) (Dự bị 05) 2 2 3sin cos2 cos (tan 1) 2sin 0x x x x x+ - + = 
Gợi ý: TXĐ: \
2
D kp pì ü= +í ý
î þ
 
( )
( )
2 2
2 2 3
2
2 2 2 2
2
sin cos(1) sin 1 2sin cos . 2sin 0
cos
sin sin cos 0 sin sin 1 sin 0
sin 1
2sin sin 1 0 1sin
2
x xx x x x
x
x x x x x x
x
x x
x
-Û - + + =
Û + - = Û + - - =
= -é
êÛ + - = Û ê =
ë
26) (Dự bị 05) 3 sintan( ) 2
2 1 cos
xx
x
p
- + =
+
Gợi ý: ĐK: 
1 cos 0
sin 0
sin 0
x
x x k
x
p
+ ¹ì Û ¹ Û ¹í ¹î
( ) ( )
( )
2
sin cos sin(1) cot 2 2
1 cos sin 1 cos
cos 1 cos sin 2sin 1 cos
11 cos 2sin 1 cos 2sin 1 sin
2
x x xx
x x x
x x x x x
x x x x x
Û + = Û + =
+ +
Û + + = +
Û + = + Û = Û =
27) (Dự bị 05) sin 2 cos2 3sin cos 2 0x x x x+ + - - = 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( )2(1) 2sin .cos 2cos 1 3sin cos 2 0Û + - + - - =x x x x x 
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2 22
2sin .cos 2cos 3sin cos 3 0
2cos 2sin 1 cos 3sin 3 0 (*)
2sin 1 8 3sin 3 4sin 20sin 25 2sin 5
1 2sin 2sin 5
cos 1
4(*) ... é ùÛ + - + = Û êë û - + + =ë
x x x x x x x
x
x x x
x x
(ĐHB-06) cot sin (1 tan .tan ) 4
2
xx x x+ + = 
Gợi ý: ĐK: 
sin 0
cos 0 sin2 0
2
cos 0
2
p
ì
ï ¹
ï ¹ Û ¹ Û ¹í
ï
ï ¹
î
x
x x x k
x
( )
2
sincos sin 2(1) sin sin . 4
sin cos cos
2
sin .2sin sin . 1 coscos 2sin 4 cot sin 4
sin cos cos
sin sin coscot sin 4 cot sin tan sin 4 cot tan 4
cos
2 14 sin2
sin2 2
Û + + =
-
Û + + = Û + + =
-Û + + = Û + + - = Û + =
Û = Û =
x
x xx x xx x
xx x xx x x x
x x x
x x xx x x x x x x x
x
x
x
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
Hoặc: Biến đổi 
cos .cos +sin .sinsinsin 2 22sin (1 tan .tan ) sin 1 . sin
2 cos cos cos .cos
2 2
æ öæ ö ç ÷ç ÷ è ø+ = + =ç ÷
ç ÷
è ø
x xx x x
x xx x x xx xx x
cos cos sin2 2sin sin
coscos .cos cos .cos
2 2
æ ö-ç ÷è ø= = =
x xx
xx xx x xx x
34) (Dự bị 06) 2 2 2(2sin 1) tan 2 3(2cos 1) 0x x x- + - = 
Gợi ý: TXĐ: \
2
D kp pì ü= +í ý
î þ
 
( )2 2 2
cos2 0
(1) cos2 .tan 2 3cos2 0 cos2 tan 2 3 0
tan 2 3
=é
Û - + = Û - + = Û ê =ë
x
x x x x x
x
35) (Dự bị 06) cos2 (1 2cos )(sin cos ) 0x x x x+ + - = 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( )
[ ] ( )
2 2(1) cos sin (1 2cos )(sin cos ) 0
(cos sin )(cos sin ) (1 2cos )(sin cos ) 0
(cos sin ) (cos sin ) (1 2cos ) 0 (cos sin ) sin cos 1 0
cos sin
sin cos 1
Û - + + - =
Û - + + + - =
Û - + - + = Û - - - =
=éÛ ê - =ë
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x
x x
36) (ĐHD-07) 
2
sin cos 3cos 2
2 2
x x xæ ö+ + =ç ÷è ø
Gợi ý: TXĐ: D =  
2 2(1) sin 2sin .cos cos 3cos 2 1 sin 3cos 2
2 2 2 2
1 3 1 1sin 3cos 1 sin cos sin
2 2 2 3 2
p
Û + + + = Û + + =
æ öÛ + = Û + = Û + =ç ÷è ø
x x x x x x x
x x x x x
37) (ĐHB-07) 22sin 2 sin7 1 sinx x x+ - = 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( )
( )
2(1) sin7 sin 1 2sin 2 0
2cos 4 sin3 cos 4 0 cos 4 2sin3 1 0
cos 4 0
2sin3 1 0
x x x
x x x x x
x
x
Û - - - =
Û - = Û - =
=éÛ ê - =ë
38) (ĐHA-07) 2 2(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin2x x x x x+ + + = + 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2
(1) 1 2 0
0
1 0
0
1 0
cos sin cos sin cos sin sin
sin cos sin cos sin cos sin cos
sin cos sin cos sin cos
sin cos
sin cos sin cos (Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng)
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
Û + + + - + =
Û + + + - + =
Û + é + - + ù =ë û
+ =é
Û ê + - + =ë
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
39) (Dự bị 07) 1 1sin2 sin 2cot2
2sin sin2
x x x
x x
+ - - = . 
40) (Dự bị 07) 
2
x3cos2
42
xcos
42
x5sin =÷
ø
öç
è
æ p--÷
ø
öç
è
æ p- 
Gợi ý: TXĐ: D =  
5 3(1) sin sin 2 cos
2 4 2 2 4 2
5 3 3 5 3 3sin sin 2 cos sin sin 2 cos 0
2 4 4 2 2 2 4 2 4 2
3 3 32sin cos 2 cos 0 2cos cos 2 cos
2 2 4 2 2 4
p p p
p p p p
p p p
é ùæ ö æ öÛ - - - - =ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û
æ ö æ ö æ ö æ öÛ - - - = Û - + - - =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ öÛ - + - = Û - + -ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø
x x x
x x x x x x
x x xx x 3 0
2
3cos 0
23cos 2cos 2 0
2 4 2cos 2 0
4
p
p
=
é =êé ùæ ö êÛ - + + = Ûç ÷ê ú æ öè ø êë û + + =ç ÷ê è øë
x
x
x x
x
41) (Dự bị 07) 1xcos
12
xsin22 =÷
ø
öç
è
æ p- 
42) (Dự bị 07) + + = +22cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos )x x x x x 
Gợi ý: TXĐ: D =  
43) (Dự bị 07) sin 2 cos 2 tan cot
cos sin
x x x x
x x
+ = - 
Gợi ý: TXĐ: \
2
D k pì ü= í ý
î þ
 
2 2sin 2 sin cos 2 cos cos sin(1)
cos sin sin cos
2
cos cos 2 cos 2 cos 2cos sin cos sin
3
2 22 ;
3 3
§èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn ta ®­îc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ:
p
p
p pp
+ -Û =
=é
êÛ = Û = Û ê =
ë
= + = - +
x x x x x x
x x x x
x k
x x x x kx x x x x
x k x k2p
44) (Dự bị 07) ( ) ( )1 tan 1 sin 2 1 tanx x x- + = + 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
cos
cos
2 2 2
2 2
2 2
2
(1) 2 2 3 cos .sin sin cos 3(sin 3 cos )
3 2 3 cos .sin sin 3(sin 3 cos )
3 cos 2 3 cos .sin sin 3(sin 3 cos )
3 cos sin 3(sin 3 cos )
(sin 3 cos )(sin 3 cos 3) 0
sin 3 cos 0
sin 3
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x
x
Û + + + = +
Û + + = +
Û + + = +
Û + = +
Û + + - =
+ =
Û
+ 2 (V« nghiÖm do: 1
2 2cos 3 3 4 3 )x
é
ê
ê = + = <ë
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
Gợi ý: TXĐ: \
2
D kp pì ü= +í ý
î þ
 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2cos sin cos sin(1) sin cos
cos cos
sin cos cos sin sin cos 1 0
sin cos 0
sin cos cos 1 0
cos 1 0
 (Tháa ®k)
 (Tháa ®k)
- +Û + =
Û + é - + - ù =ë û
+ =éÛ + - = Û ê - =ë
x x x xx x
x x
x x x x x x
x x
x x x
x
45) (ĐHA-08) 1 1 74sin
3sin 4sin
2
x
x x
p
p
æ ö+ = -ç ÷æ ö è ø-ç ÷è ø
Gợi ý: TXĐ: \
2
pì ü= í ý
î þ
D k 
( )
( ) ( ) ( )
1 1 4sin 2
sin cos 4
1 1 1 1 14sin 4. sin cos
sin cos 4 sin cos 2
sin cos 2 2 sin cos 0 sin cos 1 2 2 sin .cos 0
sin .cos
tan 1sin cos 0
21 2 2 sin .cos 0 sin 2
2
pp
p
æ öÛ + = - -ç ÷è ø
æ öÛ + = - + Û + = - +ç ÷è ø
+Û + + = Û + + =
= -é+ =é êÛ Ûê ê+ = = -ë êë
x
x x
x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x
xx x
x x x
46) (ĐHB-08) 3 3 2 2sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x- = - 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2
2 2 2 2
2 2
(1) sin 3sin cos 3cos sin cos 0
sin sin 3cos cos 3cos sin 0 sin 3cos sin cos 0
sin 3cos 0 tan 3
cos2 0sin cos 0
Û + - + =
Û + - + = Û + - =
é é+ = = -Û Ûê ê
=- =ê ëë
x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x
xx x
47) (ĐHD-08) ( )2sin 1 cos2 sin2 1 2cosx x x x+ + = + 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2(1) 2sin .2cos 2sin cos 1 2cos 0 2sin cos 2cos 1 1 2cos 0
12cos 1 0 cos
2cos 1 2sin cos 1 0 2
2sin cos 1 0 sin2 1
Û + - + = Û + - + =
é+ = = -é êÛ + - = Û Ûê ê- =ë =ë
x x x x x x x x x
x x
x x x
x x x
48) (Dự bị 08) 2tan cot 4cos 2= +x x x 
Gợi ý: TXĐ: \
2
D k pì ü= í ý
î þ
 
2 2
2 2
2
sin cos sin cos(1) 4cos 2 4cos 2
cos sin cos sin
2cos 2 14cos 2 2cos 2 2cos 2 0
sin 2 sin 2
-Û - = Û =
- æ öÛ = Û + =ç ÷è ø
x x x xx x
x x x x
x x x x
x x
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
cos 2 0 cos 2 0
1 2sin 2 cos 2 12cos 2 0
sin 2
 (Tháa ®k)
 (Tháa ®k)
=é =éêÛ Û êê = -+ = ëë
x x
x xx
x
49) (Dự bị 08) 2sin 2 sin
4 4 2
x xp pæ ö æ ö- = - +ç ÷ ç ÷è ø è ø
Gợi ý: TXĐ: D =  
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22 2
2
(1) 2 sin 2 2 sin 1 sin 2 cos 2 sin cos 1
4 4
cos sin cos 2 1 sin 2 0 cos sin cos sin cos sin 0
cos sin cos sin cos sin cos sin 0
cos sin 1 cos sin cos sin 0
p pæ ö æ öÛ - = - + Û - = - +ç ÷ ç ÷è ø è ø
Û - - - - = Û - - - - - =
Û - - - + - - =
Û - é - + - - ù =ë û
x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
( )( )
tan 1cos sin 0
cos sin 1 2cos 0 11 2cos 0 cos
2
=é- =é êÛ - - = Û Ûê ê- = =ë ë
xx x
x x x
x x
50) (Dự bị 08) 12sin sin 2
3 6 2
p pæ ö æ ö+ - - =ç ÷ ç ÷è ø è ø
x x 
Gợi ý: TXĐ: D =  
1(1) 2sin sin 2 2sin sin 2 sin
3 6 2 3 6 6
2sin 2sin .cos 2sin 2sin .sin
3 6 3 2 6
2 2sin .sin 2si
3
p p p p p
p p p p p
p
æ ö æ ö æ ö æ öÛ + = - + Û + = - +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø
é ùæ ö æ ö æ ö æ öÛ + = - Û + = - -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø è ø è øë û
æ ö= - =ç ÷è ø
x x x x
x x x x x x
x x n .sin 2sin .sin
3 3
p ppé ùæ ö æ ö- + = +ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û
x x x x
51) (Dự bị 08) 23sin cos 2 sin 2 4sin cos
2
+ + =
xx x x x 
52) (Dự bị 08) 4 44(sin cos ) cos4 sin 2 0+ + + =x x x x 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( ) ( )2 2 2 2
2
1(1) 4 1 sin 2 1 2sin 2 sin 2 0 4 2sin 2 1 2sin 2 sin 2 0
2
sin 2 1
4sin 2 sin 2 5 0 5sin 2
4
 (Lo¹i)
æ öÛ - + - + = Û - + - + =ç ÷è ø
= -é
êÛ - + + = Û ê =
ë
x x x x x x
x
x x
x
53) (ĐHA-2009) ( )
( ) ( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sinx
-
=
+ -
x x
x
Gợi ý: ĐK: 
2
6
1 2sin 0 5 2
1 sin 0 6
x k
x
x k
x
x k
p p
p p
p
ì ¹ +ï
ï+ ¹ì ïÛ ¹ +í í- ¹î ï
¹ï
ïî
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
(1) 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin
cos 2sin cos 3 1 sin 2sin 2sin cos sin 2 3 sin 1 2sin
cos sin 2 3 sin cos 2 3sin cos sin 2 3 cos 2
3 1 1 3sin cos sin 2 cos 2 sin sin 2
2 2 2 2 6 3
p p
Û - = + -
Û - = - + - Û - = + -
Û - = + Û - = - -
æ ö æ öÛ - = - - Û - = - +ç ÷ çè ø è ø
x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
sin sin 2
6 3
p p
÷
æ ö æ öÛ - = - -ç ÷ ç ÷è ø è ø
x x
54) (ĐHB-2009) 3sin cos sin 2 3 cos3 2(cos 4 sin )x x x x x x+ + = + 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( )
( )
( )
3
3
2
(1) sin cos sin 2 3 cos3 2(cos 4 sin )
sin 2sin cos sin 2 3 cos3 2cos 4
sin 1 2sin cos sin 2 3 cos3 2cos 4
sin cos 2 cos sin 2 3 cos3 2cos 4 sin 3 3 cos3 2cos 4
1 3sin 3 cos3 cos 4 sin 3
2 2 3
p
Û + + = +
Û - + + =
Û - + + =
Û + + = Û + =
æÛ + = Û +
è
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x cos 4 sin 3 sin 4
3 2
p pö æ ö æ ö= Û + = -ç ÷ ç ÷ ç ÷ø è ø è ø
x x x
55) (ĐHD-2009) 3 cos5 2sin3 cos2 sin 0- - =x x x x 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( )(1) 3 cos5 sin 5 sin sin 0 3 cos5 sin 5 2sin
3 1cos5 sin 5 sin sin 5 sin
2 2 3
p
Û - + - = Û - =
æ öÛ - = Û - =ç ÷è ø
x x x x x x x
x x x x x
56) (ĐH A- 2010)
( )1 sin cos2 sin 14 cos
1 tan 2
x x x
x
x
pæ ö+ + +ç ÷è ø =
+
Gợi ý: TXĐ: \
2
D kp pì ü= +í ý
î þ
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
(1) 1 2 2 1
4
1 2 1 2
1 2 1 0 2 0
tan 10
2 0
sin cos sin cos tan
sin cos
sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos
cos
sin cos sin cos sin cos sin cos
sin cos
sin cos
pæ öÛ + + + = +ç ÷è ø
+Û + + + = Û + + + = +
Û + é + + - ù = Û + + =ë û
= -+ =éÛ Ûê + =ë
x x x x x
x xx x x x x x x x x x x
x
x x x x x x x x
xx x
x x
tan 1
1
2 1 0
1
2
2
 (Tháa)
sin (Lo¹i)
sin sin
sin (Tháa)
é
ê = -
é êÛ =ê ê- + + =ë ê
= -êë
x
x
x x
x
57) (ĐH B- 2010) ( )sin2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x+ + - = 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( ) ( )2
(1) sin2 cos cos2 cos 2cos2 sin 0
2sin cos sin cos2 cos 2cos2 0
Û + + - =
Û - + + =
x x x x x x
x x x x x x
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC Luyện thi Đại học 
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?” 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
sin sin 2 1 cos2 cos 2 0
sin cos sin cos sin cos sin cos 2 0
cos sin sin cos sin cos sin cos 2 0
cos sin sin cos sin cos 2cos sin cos 2sin 0
cos
cos sin 1 cos sin 0
Û - + + =
Û - - + - + + =
Û - é- - + + + ù =ë û
Û - - + + + + + =
Û - é + + ù = Ûë û
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x
tan 1
sin 0
2 sin 1cos sin 1
4
p
=é
- =é êÛ æ öê ê + = -+ = -ë ç ÷ê è øë
x
x x
xx x
58)( ĐH D-2010) sin2 cos2 3sin cos 1 0x x x x- + - - = 
Gợi ý: TXĐ: D =  
( ) ( ) ( )
( ) ( )
22 2sin 1 3 1 0 2 1 2 1 4 2 0
2 1 0
2 1 2 0
2 0
sin cos cos sin cos sin sin sin sin
sin
sin cos sin
cos sin (V« nghiÖm) 
- + - + - = Û - + - + - =
- =éÛ - + + = Û ê + + =ë
x x x x x x x x x x
x
x x x
x x
B- TÌM NGHIỆM THUỘC KHOẢNG: 
1) (ĐHA-02) Tìm nghiệm thuộc khoảng ( )0;2p của: 
cos3 sin35 sin cos2 3
1 2sin2
+æ ö+ = +ç ÷+è ø
x xx x
x
. 
2) (ĐHD-02) Tìm x thuộc đoạn [ ]0;14 nghiệm đúng : 
cos3 4cos2 3cos 4 0- + - =x x x .