Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng – Ôn thi ĐH

Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
Phương pháp toạ ñộ trong mặt phẳng – Ôn thi ðH 2011 
1 
1 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ðỘ TRONG MẶT PHẲNG 
Bài 1: Cho ∆ ABC có ñỉnh A(1;2), ñường trung tuyến BM: 2x y 1 0+ + = và phân giác trong CD: 
x y 1 0+ − = . Viết phương trình ñường thẳng BC. 
 Bài 2 : Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao ñiểm I của hai 
ñường chéo nằm trên ñường thẳng y = x. Tìm tọa ñộ ñỉnh C và D. 
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn (C) và ñường thẳng ∆ ñịnh bởi: 
2 2(C) : x y 4x 2y 0; : x 2y 12 0+ − − = ∆ + − = . Tìm ñiểm M trên ∆ sao cho từ M vẽ ñược với (C) 
hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600. 
Bài 4 : Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc 
ñường thẳng ( )d : x y 3 0− − = và có hoành ñộ I 9x 2= , trung ñiểm của một cạnh là giao ñiểm của 
(d) và trục Ox. Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật. 
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các ñường thẳng 
chứa các cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A nằm 
trên ñường thẳng x + 2y – 6 = 0. Tìm tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC. 
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ñường thẳng d: x – 5y – 2 = 0 và ñường tròn (T): 
2 2
x y 2x 4y 8 0+ + − − = .Xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm A, B của ñường tròn (T) và ñường thẳng d 
(cho biết Ax 0> ). Tìm tọa ñộ C thuộc ñường tròn (T) sao cho tam giác ABC vuông ở B. 
Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy. Viết phương trình ñường thẳng ( )∆ ñi qua ñiểm M(3;1) và cắt trục 
Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;-2). 
Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy. Viết phương trình ñường thẳng ( )∆ ñi qua ñiểm M(4;1) và cắt các tia 
Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA OB+ nhỏ nhất. 
Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có ñỉnh A(2; 7),− phương trình một ñường cao và 
một trung tuyến vẽ từ hai ñỉnh khác nhau lần lượt là 3x + y + 11 = 0, x + 2y + 7 = 0. Viết phương 
trình các cạnh của tam giác ABC. 
Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình ñường thẳng ( )∆ ñi qua ñiểm A(27;1) và cắt các 
tia Ox, Oy lần lượt tại M và N sao cho ñộ dài ñoạn MN nhỏ nhất. 
Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ ABC có ñỉnh A(1; 2), ñường trung tuyến BM: 2x + y + 1 = 0, 
và ñường phân giác trong CD: x + y – 1 = 0. Hãy viết phương trình ñường thẳng BC. 
Bài 12: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai ñường thẳng d1: x – y + 1 = 0, d2: 2x + y + 1 = 0 và ñiểm 
M(2;1). Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua ñiểm M và cắt hai ñường thẳng d1, d2 lần lượt tại 
A và B sao cho M là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB. 
Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình ñường thẳng ( )∆ ñi qua ñiểm M(2;1) và tạo với 
ñường thẳng (d): 2x + 3y + 4 = 0 một góc 045 . 
Bài 14: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai ñường thẳng (d1): 2x – y + 1 = 0, (d2): x + 2y – 7 = 0. Lập 
phương trình ñường thẳng ñi qua gốc tọa ñộ O và tạo với d1, d2 một tam giác cân có ñỉnh là giao 
ñiểm A của d1 và d2 . 
Bài 15: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có diện tích là 3S
2
= , hai ñỉnh là A(2;–3), 
B(3; –2) và trọng tâm G của tam giác thuộc ñường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0. Tìm tọa ñộ ñỉnh C. 
Bài 16: Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình ñường thẳng ( )∆ cách ñiểm A( 2;5)− một khoảng 
bằng 2 và cách ñiểm B(5;4) một khoảng bằng 3. 
Bài 17: Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(6;4);B( 3;1);C(4; 2)− − . Viết phương trình 
ñường phân giác trong của góc A của tam giác ABC. 
Bài 18: Trong mặt phẳng Oxy, cho ñường thẳng ( )d : x 2y 2 0− + = và hai ñiểm A(0;6),B(2;5) . 
Tìm trên (d) ñiểm M sao cho MA MB+ có giá trị nhỏ nhất. 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
Phương pháp toạ ñộ trong mặt phẳng – Ôn thi ðH 2011 
2 
2 
Bài 19: Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 2 2m
1(C ) : x y 2mx 2(m 2)y 2m 4m 0.
2
+ − + + + + − = Chứng 
minh rằng m(C ) luôn là một ñường tròn có bán kính không ñổi. Tìm tập hợp tâm các ñường tròn 
m(C ) suy ra rằng m(C ) luôn luôn tiếp xúc với hai ñường thẳng cố ñịnh. 
Bài 20: Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình ñường thẳng ( )∆ ñi qua gốc tọa ñộ O và cắt 
ñường tròn ( ) ( ) ( )22C : x 1 y 3 25− + + = theo một dây cung có ñộ dài bằng 8. 
Bài 21: Trong mặt phẳng Oxy , cho ñường tròn: ( ) 2 2C : x y 2x 4y 4 0+ − + − = có tâm I và ñiểm 
M( 1; 3)− − . Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua ñiểm M và cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt A 
và B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất. 
Bài 22: Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy, cho ñường thẳng ( )d : x y 3 0− + = và ñường tròn 
( ) 2 2C : x y 2x 2y 1 0+ − − + = . Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm trên (d) sao cho ñường tròn tâm M có bán 
kính gấp ñôi bán kính ñường tròn (C), tiếp xúc ngoài với ñường tròn (C). 
Bài 23: Trong mặt phẳng Oxy , cho ñường tròn ( ) 2 2C : x y 1+ = . ðường tròn (C') tâm I(2;2) cắt 
(C) tại các ñiểm A, B sao cho ñộ dài ñoạn thẳng AB 2= . Viết phương trình ñường thẳng AB. 
Bài 24: Trong mặt phẳng Oxy, cho ñường tròn ( ) 2 2C : x y 2x 4y 20 0+ + − − = và ñiểm A(0;3) . 
Viết phương trình ñường thẳng ( )∆ ñi qua ñiểm A và cắt ñường tròn (C) theo một dây cung MN có 
ñộ dài: a) Lớn nhất; b) Nhỏ nhất. 
Bài 25: Trong mặt phẳng Oxy , cho ñiểm M( 3;1)− và ñường tròn ( ) 2 2C : x y 2x 6y 6 0+ − − + = . 
Gọi 1 2T ,T là các tiếp ñiểm của các tiếp tuyến kẻ từ ñiểm M ñến ñường tròn (C). Viết phương trình 
ñường thẳng 1 1TT . 
Bài 27: Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy, cho ñường thẳng (d): x – y + 1 = 0 và ñường tròn 
(C): x2 + y2 + 2x – 4y = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc ñường thẳng (d) sao cho từ ñó kẻ ñến (C) 
ñược hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc bằng 060 . 
Bài 28: Trong mặt phẳng Oxy , cho ñiểm A(3;4) và ñường tròn ( ) 2 2C : x y 4x 2y 0+ − − = . Viết 
phương trình tiếp tuyến ( )∆ của (C), biết rằng ( )∆ ñi qua ñiểm A. Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc 
với (C) tại M, N. Hãy tính ñộ dài ñoạn MN. 
Bài 29: Trong mặt phẳng Oxy, cho ñường hai ñường tròn 2 21(C ) : x y 2x 2y 2 0,+ − − − = 
2 2
2(C ) : x y 8x 2y 16 0.+ − − + = Chứng minh rằng ( )1C tiếp xúc với ( )2C . Viết phương trình tiếp 
tuyến chung của ( )1C và ( )2C . 
Bài 30: Trong mặt phẳng Oxy , cho ñường tròn ( ) ( ) ( )22C : x 1 y 2 4− + − = . và ñường thẳng 
( )d : x y 1 0− − = . Viết phương trình ñường tròn (C') ñối xứng với ñường tròn (C) qua ñường 
thẳng (d). Tìm tọa ñộ giao ñiểm của (C) và (C’). 
Bài 31: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình ñường tròn (C) có tâm nằm trên ñường thẳng 
( ) : 4x 3y 2 0∆ + − = và tiếp xúc với hai ñường thẳng (d1): x + y + 4 = 0, (d2): 7x – y + 4 = 0. 
Bài 32: Lập phương trình ñường tròn (C) có tâm I trên d1: x – 2y + 3 = 0, tiếp xúc với 
d2: 4x + 3y – 5 = 0 và có bán kính R = 2. 
Bài 33: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x – 2y – 1 = 0, ñường chéo BD: x – 7y + 14 = 0 và 
ñường chéo AC qua ñiểm M(2 ; 1). Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật. 
Bài 34: Viết phương trình ñường thẳng song song với Oy và cắt (E)
2 2
1
25 9
x y
+ = tại hai ñiểm A, B 
sao cho AB = 4. 
Bài 35: Viết phương trình chính tắc của elip (E). Cho biết ñỉnh trên trục lớn của (E) là 2 ( 31;0)A và 
phương trình ñường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật cơ sở là 2 2 41 0x y+ − = . 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
Phương pháp toạ ñộ trong mặt phẳng – Ôn thi ðH 2011 
3 
3 
Bài 36: Tìm toạ ñộ các ñiểm A, B thuộc (E)
2 2
1
4 1
x y
+ = , biết rằng hai ñiểm A, B ñối xứng nhau qua 
trục hoành và tam giác ABClà tam giác ñều, ñiểm C(2; 0) . 
Bài 37: Cho M(2;5), N(9;1). Viết phương trình ñường thẳng d1 ñi qua M và cắt Ox, Oy tại A, B sao 
cho OAB∆ có diện tích nhỏ nhất. Viết phương trình ñường thẳng d2 ñi qua N và cắt Ox, Oy tại P, 
Q sao cho ñộ dài ñoạn PQ nhỏ nhất. Gọi ϕ là góc giữa hai ñường thẳng d1, d2. Tính sin .ϕ 
Bài 38: Viết phương trình ñường thẳng ñi qua M(4;3) và chắn trên hai trục toạ ñộ hai ñoạn thẳng 
bằng nhau. 
Bài 39: Cho (d) : x 2y 2 0, ( ) : x 2y 4 0, A(4;1).− − = ∆ − + = 
a) Tìm hình chiếu H của A trên ( ).∆ 
b) Tìm ñiểm A’ ñối xứng với A qua ( ).∆ 
c) Viết phương trình ñường thẳng d’ ñối xứng với d qua ( ).∆ 
Bài 40: Cho ABC∆ có AB:4x y 12 0,+ − = hai ñường cao BH:5x 4y 15 0, − − = AH: 2x 2y 9 0.+ − = 
Viết phương trình các cạnh AC, BC và ñường cao CH. 
Bài 41: Cho (d) : x y 6 0, A(2;2), B(3;0).− + = 
a) Tìm M (d)∈ ñể MA + MB nhỏ nhất. 
b) Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua A sao cho khoảng cách từ B tới ∆ lớn nhất. 
Bài 42: Viết phương trình ñường tròn có tâm nằm trên ñường thẳng 1(d ) : 4x 3y 2 0+ − = và tiếp 
xúc với hai ñường thẳng 2 3(d ) : x y 4 0, (d ) : 7x y 4 0.+ + = − + = 
Bài 43: Cho A(4;0), B(0;3). Viết phương trình ñường tròn nội tiếp tam giác OAB. 
Bài 44: Cho 2 2(C) : x y 2mx 4(2 m)y 6 m 0.+ − + − + − = 
a) Tìm quĩ tích tâm I của (C). 
b) Tìm ñiểm cố ñịnh mà (C) luôn ñi qua. 
c) Tìm m ñể (C)tiếp xúc với ( ) : x 3y 12 0.∆ + + = 
Bài 45: Cho 2 2 2(C) : x y 2mx 2my m 2m 3 0.+ − + + − + = 
a) Tìm m ñể (C) là một ñường tròn. 
b) Tìm m ñể (C) tiếp xúc với cả hai trục toạ ñộ. 
c) Tìm m ñể (C) cắt Ox tại A, B sao cho AB = 2. 
Bài 46: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai ñường tròn 2 2(C) : x y 2x 3 0, + − − = và 
2 2(C') : x y 8x 8y 28 0.+ − − + = 
Bài 47: Cho 2 2 2 2(C) : x y 2x 4y 4 0, (C') : x y 6x 2y 1 0.+ − − − = + + − + = 
a) Chứng minh (C) cắt (C’) tại hai ñiểm M, N. 
b) Viết phương trình ñường tròn (S) ñi qua ba ñiểm M, N, P(3; –1). 
c) Cho Q(4;1). Viết phương trình ñường thẳng ñi qua Q và tiếp xúc với (C). Giả sử các tiếp ñiểm 
là E, F. Viết phương trình ñường tròn (T) ngoại tiếp tam giác QEF. 
Bài 48: Viết phương trình ñường thẳng ñi qua I(1;2) và cắt 
2 2
x y(E) : 1
16 9
+ = tại A, B sao cho I là 
trung ñiểm của AB. 
Bài 49: Cho ABC∆ có A By 7, x 2, C (d) : x y 7 0,= − = − ∈ + − = trọng tâm G(2;–3), AB 4 2.= 
a) Viết phương trình các cạnh của ABC∆ . 
b) Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp ABC∆ . 
c) Viết phương trình ñường thẳng d’ ñi qua C và cách ñều hai ñiểm A, B. 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
Phương pháp toạ ñộ trong mặt phẳng – Ôn thi ðH 2011 
4 
4 
Bài 50: Cho ABC∆ vuông cân tại A, M(1; –1) là trung ñiểm của BC, 2G( ;0)
3
 là trọng tâm. Tìm 
toạ ñộ các ñỉnh A, B, C. 
Bài 51: Cho ABC∆ vuông ở A, BC : 3x y 3 0,− − = A và B thuộc hoành, bán kính ñường tròn 
nội tiếp r = 2. Tìm toạ ñộ trọng tâm G. 
Bài 52: Hình chữ nhật ABCD có tâm A
1I( ;0), AB : x 2y 2 0, AB 2.AD, x 0.
2
− + = = < Tìm toạ ñộ 
các ñỉnh A, B, C, D. 
Bài 53: Cho A(1;0), B(0;2). Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua hai giao ñiểm của ñường tròn 
ngoại tiếp tam giác OAB và ñường tròn 2 21(C) : (x 1) (y ) 1.
2
− + − = 
Bài 54: Viết phương trình các cạnh của ABC∆ biết C(4;3), ñường phân giác trong và ñường trung 
tuyến cùng xuất phát từ một ñỉnh có phương trình lần lượt là x + 2y – 5 = 0, 4x + 13y – 10 = 0. 
Bài 55: Cho A(3cost; 0), B(0; 2sint), tìm quĩ tích ñiểm M thoả mãn 2AB 3MB 0.+ =
Bài 56: Cho A(–1;2), B(2;0), C(–3;1). 
a) Xác ñịnh tâm và bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
b) Tìm M thuộc ñường thẳng BC sao cho diện tích ABC∆ gấp 3 lần diện tích ABM.∆ 
Bài 57: Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm 
2 2
2 2
(2m 1)x (m 1)y x y
(x 1) y 4y

− − + = +

+ + =
. 
Bài 58: Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ ABC có M(–1; –1), N(2; 0), P(0; 1) lần lượt là trung ñiểm của 
các cạnh AB, BC, CA. Tìm toạ ñộ trực tâm H của ABC.∆ 
Bài 59: Tìm ñiểm M trên 2 2(E) : 4x 9y 36+ = nhìn hai tiêu ñiểm F1, F2 dưới một góc vuông. 
Bài 60: Cho ñường tròn (C) 2 2x y 2x 4y 20 0+ + − − = và ñiểm A(3; 0). Viết phương trình ñường 
tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm A tỉ số 1
2
. 
Bài 61: Tìm m ñể hệ phương trình 
2 2
x y 2x 4y 20 0
mx (2 m)y 2 0
 + − − − =

+ − − =
 có hai nghiệm 1 1 2 2(x ; y ), (x ; y ) 
sao cho biểu thức 2 21 2 1 2F (x x ) + (y y )= − − 
a) ðạt giá trị lớn nhất. 
b) ðạt giá trị nhỏ nhất. 
c) ðạt giá trị bằng 36. 
Bài 62: Viết phương trình ñường tròn ñi qua A(0; 5), B(2; 3) và có bán kính R 10.= 
Bài 63: (kiểm tra bài cũ: 20 phút) 
Giải phương trình sau: 
x x 2
2
2
1) e e 2.ln(x 1 x ).
12) 3.cos x 2 3.sin x.cos x 3(sin x 3.cos x) .
1 cot x
−
− = + +
+ = + −
+