Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng các phép toán về vectơ

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ
1. Tọa độ của vectơ và các phép toán của vectơ.
Vectơ với lần lượt là hai vectơ đơn vị nằm trên trục Ox, Oy.
* Cho = (x1 ; y2), = (x2 ; y2) và k R.
 =(x1 x2 ; y1 y2)
k=(kx1 ; ky1)
=
 = 
 cùng phương = k x1y2 – x2y1 = 0
 .=.cos() = x1x2 + y1y2 
.= 0
2. Tọa độ của một điểm – Khoảng cách giữa hai điểm.
Tọa độ của vectơ là tọa độ của điểm M.
Như vậy ta có 
* Cho điểm 
Điểm M(xM ; yM) chia đoạn AB theo tỉ số k 1 () 
 là trung điểm AB 
G(xG ; yG) là trọng tâm DABC 
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Vectơ pháp tuyến – Vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng .
Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu nó nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng .
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng.
Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: 
: Ax + By + C = 0 
* VTPT của đường thẳng là = (A ; B)
* VTCP của đường thẳng là = (–B ; A) hoặc = (B ;–A)
* Hệ số góc của đường thẳng là (với B 0)
 (Khi B = 0, hệ số góc không tồn tại)
Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(x0 ; y0), có vectơ pháp tuyến = (A ; B) là 
3. Phương trình tham số – Phương trình chính tắc của đường thẳng.
Đường thẳng đi qua điểm M(x0 ; y0), nhận = (a ; b) làm vectơ chỉ phương thì ta có : 
Phương trình tham số : (tR) 
Phương trình chính tắc : 
Quy ước: Nếu a = 0 : x – x0 = 0.
 Nếu b = 0 : y – y0 = 0. 
Chú ý: 
Đường thẳng : Ax + By + C = 0 thì nếu :
/ // / : Ax + By + m = 0, (m ¹ C) 
/ / : Bx – Ay + m = 0 
Nếu = (A ; B) là VTPT của VTCP của là =(B ; –A)
Đường thẳng đi qua hai điểm A, B thì nhận làm VTCP.
Đường thẳng AB thì nhận làm VTPT.
Hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTPT và có cùng VTCP.
Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTPT của đường thẳng này là VTCP của đường thẳng kia và ngược lại.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
CHÙM ĐƯỜNG THẲNG
1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng 
Cho 2 đường thẳng 1 : A1x + B1y + C1 = 0 , 2 : A2x + B2y + C2 = 0
1 cắt 2 
1 // 2 
1 2 
2. Chùm đường thẳng:
Tập hợp các đường thẳng trong mặt phẳng cùng đi qua một điểm I gọi là chùm đường thẳng . Điểm I gọi là tâm của chùm.
Cho đường thẳng 1 : A1 x + B1y + C1 = 0 
 và 2 : A2x + B2y + C2 = 0. Mỗi đường thẳng thuộc chùm đều có dạng: m(A1x + B1y +C1) + n(A2x + B2y +C2) = 0 (*)
với m2 + n20 
Chú ý. Phương trình (*) thường được áp dụng để viết phương trình đi qua giao điểm của hai đường thẳng cho trước và thỏa thêm một điều kiện nào đó. 
GÓC – KHOẢNG CÁCH
1. Góc giữa hai đường thẳng .
Đường thẳng 1 : A1 x + B1y + C1 = 0 và 2: A2x + B2y + C2 = 0.
Gọi a là góc tạo bởi 1 và 2 ta có 
1 2 
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Khoảng cách từ điểm M(x0 ;y0) đến đường thẳng : Ax + By + C = 0 là 
3. Phương trình hai đường phân giác (trong và ngoài) của góc tạo bởi hai đường thẳng1: A1x + B1y + C1 = 0 và 2:A2x + B2y + C2 = 0
có phương trình 
HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM – ĐIỂM ĐỐI XỨNG
1. Hình chiếu của một điểm.
Cho điểm M0(x0 ; y0) và đường thẳng : Ax + By + C = 0. 
Hãy tìm hình chiếu của điểm M0 trên đường thẳng .
Cách 1.
Gọi / là đường thẳng đi qua M0 và vuông góc với đường thẳng thì / nhận VTPT của đường thẳng làm VTCP phương trình của đường thẳng / : 
Gọi H là hình chiếu của điểm M0 trên thì H = / H/ H(x0 + At ; y0 + Bt) và H nên thay tọa độ của H vào phương trình giải tìm t tọa đôï của H. 
Cách 2.
Chuyễn phương trình đường thẳngvề dạng tham số 
Gọi H là hình chiếu của M trên H(x1 + at ; y1 + bt) và MH 
Đường thẳng có VTCP 
2. Điểm đối xứng.
Cho điểm M0(x0 ; y0) và đường thẳng : Ax + By + C = 0. 
Hãy tìm điểm đối xứng với điểm M0 qua đường thẳng .
Các bước.
Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M0 trên đường thẳng .
Gọi M/(x/ ; y/) là điểm đối xứng của điểm M qua đường thẳng H là trung điểm của đoạn thẳng MM/ 
ĐƯỜNG TRÒN
1. Đường tròn (C) tâm I(a ; b), bán kính R 
 Có dạng : (C) : (x – a) 2 + (y – b)2 = R2
Đặc biệt: Khi tâm I(a ; b) O(0 ; 0) thì (C) : x2 + y2 = R2
Phương trình đường tròn dạng khai triển : 
 x2 + y2 – 2ax –2by + c = 0 với điều kiện a2 + b2 – c > 0 có tâm 
 I(a ; b), bán kính R =
2. Phương tích của một điểm đối với đường tròn.
Cho đường tròn (C): F(x ; y) = x2 + y2 –2ax –2by + c = 0 
với a2 + b2 – c > 0 và điểm M(x0 ; y0). Phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) là: PM/(C) = F(x0 ; y0) = x02 + y02 –2ax0 –2by0 + c
3. Trục đẳng phương của hai đường tròn.
Cho 2 đường tròn (C1) : x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1 = 0 
và (C2) : x2 + y2 – 2a2x – 2b2y + c2 = 0 thì phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn đó là:2(a1 – a2)x + 2(b1 –b2)y + c2 – c1 = 0
5. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn. 
Điều kiện để đường thẳng : Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của đường tròn (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 tâm I(a ; b), bán kính R là 
Chú ý: 
Nếu điểm M(x0 ; y0) (C) thì phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua (tại) M nhận làm VTPT.
Nếu M0(x0 ; y0)Ï(C) thì tiếp tuyến có dạng : 
(D) : A(x – x0)+ B(y– y0) = 0, (A2 + B2 0)
và , giải tìm A, B.
ELÍP
š«›
1. Định nghĩa. M(x;y)(E)MF1+MF2 =2a > 0
2. Phương trình chính tắc. (a2 = b2 + c2)
Tiêu điểm: F1(–c ; 0), F2(c ; 0). Tiêu cự : F1F2 = 2c. 
Tâm sai e = < 1. Đỉnh A1( –a ; 0), A2(a ; 0), B1(0 ; –b), B2(0 ; b)
Trục lớn A1A2 = 2a, trục nhỏ B1B2 = 2b
Đường chuẩn : x == 
Bán kính qua tiêu: r1= F1M = a+x, r2 = F2M = a –x
 y 
 A1 F1 F2 A2 
 a –c O c a x
3. Hình dạng của elíp
Dạng chính tắc. (a2 = b2 + c2)
Hai tiêu điểm F1(–c ; 0), F2(c ; 0) 
 y
 B2
 F2 c
 A1 O A2 x
 F1 –c
 B1 
nằm trên trục Ox. Tâm sai e =
Dạng không chính tắc. 
(a2 = b2 + c2)
Hai tiêu điểm F1(0 ; –c), F2(0 ; c) 
nằm trên trục Oy. Tâm sai e =
4. Phương trình tiếp tuyến. 
Phương trình tại điểm M(x0,y0)(E) là : 
Điều kiện để đường thẳng : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (E) là: A2a2 + B2b2 = C2.
HYPEBOL
1. Định nghĩa. M(x,y)(H) > 0 
2. Phương trình chính tắc. (c2 = a2 + b2)
Tiêu điểm F1(–c ; 0), F2(c ; 0), tiêu cự F1F2 = 2c
Tâm sai: e =>1. Đỉnh A1(–a ; 0), A2(a ; 0)
Trục thực A1A2 = 2a. Trục ảo B1B2 = 2b
Đường chuẩn : x = . Đường tiệm cận y= x 
3. Bán kính qua tiêu. 
x > 0 : r1 = F1M =x + a, r2 = F2M =x – a
x < 0 : r1 = F1M = – (x + a), r2 = – (x – a)
4. Hình dạng của (H).
5. Phương trình tiếp tuyến. 
Phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm M(x0 ; y0)(H) là: 
Điều kiện để đường thẳng : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (H) là: A2a2 – B2b2 = C2.
PARABOL
1. Định nghĩa. M(x ; y)(P)d(M ;) = MF, với là một đường thẳng cho trước (đường chuẩn), F là một điểm cố định (tiêu điểm). 
2. Phương trình chính tắc. y2 = 2px
Tham số tiêu : p > 0, p = d(F;D). Tiêu điểm: F(; 0)
Tâm sai: e =1 . Đỉnh O(0 ; 0). Đường chuẩn: : x = –
3. Bán kính qua tiêu của điểm M(x ; y) Ỵ (P) là MF = x + 
4. Hình dạng của (P).
 y2 = 2px y2 = – 2px
 y y 
 O F x F O x
 x2 = 2py x2 = –2py
 y y 
 F 
 O x O x
 F(0;–)
5. Phương trình tiếp tuyến.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0,y0)(P) là : y0.y = p(x0 + x) 
Điều kiện để đường thẳng : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với 
 (P) : y2 = 2px là: B2p = 2AC
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
š«›
CÁC PHÉP TOÁN CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ tọa độ trong không gian.
 z 
 x y 
Hệ tọa độ Đêcác vuông góc trong không 
gian là hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một
vuông góc với nhau với , , là các 
vectơ đơn vị tương ứng trên các trục 
Ox, Oy, Oz.
Trục Ox được gọi là trục hoành.
Trục Oy được gọi là trục tung.
Trục Oz được gọi là trục cao.
2. Tọa độ của vectơ trong không gian.
Vectơ 
3. Các phép toán của vectơ.
 Cho hai vectơ , , k Ỵ R khi đó :
 , 
4. Tọa độ của một điểm.
* Tọa độ của vectơ là tọa độ của điểm M. 
Như vậy ta có : 
* Cho ba điểm A(xA ; yA ; zA), B(xB ; yB ; zB), C(xC ; yC ; zC), ta có :
 là trung điểm của AB thì 
 là trọng tâm của D ABC thì 
5. Tích có hướng của hai vectơ .
Cho vectơ , khi đó tích có hướng của hai vectơ , là một vectơ được kí hiệu là [,] và có toạ độ : 
Chú ý.
Hai vectơ và cùng phương khi và chỉ khi 
Ba vectơ , và đồng phẳng khi và chỉ khi 
 và 
 (Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ vuông góc với hai vectơ đó) 
 với là góc giữa hai vectơ 
6. Diện tích tam giác, thể tích của hình hộp, khối tứ diện.
Diện tích tam giác ABC : 
Thể tích của hình hộp ABCD.A/B/C/D/ : 
Thể tích của khối tứ diện ABCD : 
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
š«›
1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 0) với là vectơ pháp tuyến. 
* Nếu D = 0 thì mặt phẳng (a) đi qua gốc toạ độ O(0 ; 0 ; 0)
2. Phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn.
Mặt phẳng (a) cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm có toạ độ: (a ; 0 ; 0),(0 ; b ; 0),(0 ; 0 ; c) 
thì phương trình mặt phẳng (a) : 
3. Phương trình mặt phẳng (a) có vectơ pháp tuyến và đi qua điểm M(x0, y0, z0) có dạng :
(a) : 
4. Nếu , là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (a) thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a) là: 
5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
 Cho hai mặt phẳng: (a) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
 (b) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0
 · (a) cắt (b) Û A1 : B1 : C1 ¹ A2 : B2 : C2 
 · (a) // (b) Û 
 · (a) º (b) Û 
6. Chùm mặt phẳng .
 Cho hai mặt phẳng: (a) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
 (b) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0
 mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của (a) và (b) có dạng:
 m(A1x+ B1y+ C1z+ D1)+ n(A2x+ B2y+ C2z+ D2) = 0 (m2+n2¹0) (*)
 gọi là phương trình chùm mặt phẳng. 
 « Thường sử dụng (*) để viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng (giao tuyến của hai mặt phẳng) và thỏa một điều kiện nào đó»
7. Khoảng cách từ một điểm M(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng 
 (a) : Ax + By + Cz + D = 0 là: 
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
š«›
Phương trình đường thẳng D dạng tổng quát 
 D : (giao tuyến của hai mặt phẳng)
 với A1 :B1 :C1 ¹ A2 :B2 :C2 
Phương trình tham số – Phương trình chính tắc.
Đường thẳng D đi qua M0(x0 ; y0 ; z0), có VTCP thì :
Phương trình tham số D : 
Phương trình chính tắc D : 
Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Đường thẳng D1: đi qua M1(x1 ; y1 ; z1), vectơ chỉ phương 
Đường thẳng D2 : đi qua M1(x2 ; y2 ; z2), vectơ chỉ phương . Khi đó, 
D1 và D2 đồng phẳng Û 
D1 cắt D2 Ûcắt nhau
D1 // D2 Û a1 : b1 : c1 = a2 : b2 : c2 ¹ (x2 – x1) : (y2 – y1) : (z2 – z1)
D1 º D2 Û a1 : b1 : c1 = a2 : b2 : c2 = (x2 – x1) : (y2 – y1) : (z2 – z1)
D1 chéo D2 Û 
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng. 
 Cho đường thẳng D :, đi qua M(x0 ; y0 ; z0) 
 có vectơ chỉ phương 
 Mặt phẳng (a) : Ax + By + Cz + D = 0 có . Khi đó : 
 cắt (a) Û và không vuông góc Û Aa + Bb + Cc ¹ 0 
D // (a) Û và vuông góc và không có điểm chung 
 Û 
D Ì (a) Û ^ và có điểm chung Û 
KHOẢNG CÁCH
š«›
1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D đi qua M0(x0 ; y0 ; z0) có vectơ chỉ phương là: 
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : 
 Cho hai đường thẳng D1 và D2 chéo nhau với 
D1 đi qua M1(x1 ; y1 ; z1), vectơ chỉ phương 
D2 đi qua M2 (x2 ; y2 ; z2), vectơ chỉ phương 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng D1 và D2 kí hiệu và bằng
GÓC
š«›
1. Góc giữa hai đường thẳng.
Đường thẳng D1 có vectơ chỉ phương 
Đường thẳng D2 có vectơ chỉ phương . 
Gọi là góc giữa hai đường thẳng D1 và D2 ta có 
2. Góc giữa hai mặt phẳng.
 Cho hai mặt phẳng: (a) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
 (b) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0
 · Gọi j là góc giữa hai mặt phẳng (a) và (b) thì ta có: 
 cosj 
 · (a) ^ (b) Û = 0 
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Cho đường thẳng D có vectơ chỉ phương (a ; b ; c) và mặt phẳng (a) có VTPT . Gọi là góc giữa đường thẳng D và (). Ta có : 
HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐƯỜNG THẲNG TRÊN MẶT PHẲNG
HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG
VÀ TRÊN ĐƯỜNG THẲNG.
1. Hình chiếu của một đường thẳng trên mặt phẳng.
Cho đường thẳng và mặt phẳng (a). Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng (a).
Các bước.
Đường thẳng đi qua và có VTCP , mặt phẳng (a) co VTPT là 
Gọi () là mặt phẳng chứa và () (a) () nhận hai vectơ làm cặp VTCP VTPT phương trình mặt phẳng ().
Khi đó hình chiếu / của đường thẳng trên mặt phẳng (a) là / = (a) (). 
2. Hình chiếu của điểm trên mặt phẳng.
Cho điểm M0(x0 ; y0 ; z0) và mặt phẳng (a). Tìm tọa độ của hình chiếu của điểm M0 trên mặt phẳng (a).
Các bước.
Viết phương trình đường thẳng đi qua M0 và (a).
Gọi H là hình chiếu của M trên (a) H = (a).
3. Hình chiếu của điểm trên đường thẳng.
Cho điểm M0(x0 ; y0 ; z0) và đường thẳng. Tìm tọa độ của hình chiếu của điểm M0 trên đường thẳng .
Các bước.
Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua M0 và (a) .
Gọi H là hình chiếu của M0 trên H = (a).
4. Tìm điểm đối xứng của M qua đường thẳng (mặt phẳng).
Tìm hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng (mặt phẳng).
Gọi M/ là điểm đối xứng với M qua đường thẳng (mặt phẳng) H là trung điểm của MM/ 
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
š«›
1. Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c) bán kính R có dạng
(S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2.
2. Điều kiện để (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 là phương 
 trình mặt cầu là: a2 + b2 + c2 – d > 0, tâm I(a ; b ; c), bán kính : 
 .
3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu.
 Cho mặt phẳng (a) : Ax + By + Cz + D = 0 
 mặt cầu (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 tâm I(a ; b; c), bkính R
Gọi IH = d(I ; ()) = 
 · Nếu IH > R thì mặt phẳng (a) không cắt mặt cầu.
 · Nếu IH = R thì mặt phẳng (a) tiếp xúc với mặt cầu.
 · Nếu IH < R thì mặt phẳng (a) cắt mặt cầu theo một giao tuyến 
 là đường tròn có phương trình 
 (C) : 
Chú ý: Đường tròn (C) có bán kính tâm của đường tròn (C) là hình chiếu H của I trên mặt phẳng ().