Phương pháp tọa độ trong không gian (An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo)

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Tọa độ của điểm: O(0; 0; 0)
 đặcbiệt:
Toạ độ vectơ:	 	
Các công thức tính toạ độ vectơ:
Cho và 
Tích vô hướng: 	
TÍCH HỮU HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ
Công thức tích có hướng
Cho và ; 
 Nhận xét:
+) cùng phương thì Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi 
+) +) 
SD TÍCH HỮU HƯỚNG ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH - THỂ TÍCH:
+) Vectơ tích hữu hướng vuông góc vơi hai vectơ và .
+) . +) .
+) VHộpABCDA’B’C’D’ =. +) VTứdiện ABCD =.
Các công thức tính độ dài và góc
+) 	
+) 	
BÀI TẬP
Trong Oxyz, cho 4 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1).
 Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ sau: .
Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm tọa độ của M, N, P, Q.
Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng G tâm của ∆ABC.
Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. Tính diện tích của hình bình hành ABCE.
 Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Tính thể tích của tứ diện ABCD.
Tính tính độ dài đường cao hạ từ các đỉnh tương ứng của tứ diện ABCD.
Tìm côsin góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện.
Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua điểm D.
Tìm tọa độ của điểm K nằm trên trục Oz để ∆ADK vuông tại K.
Cho 3 điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) và C(x; y; 6). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng.
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm . 
Tìm tọa độ hình chiếu của các điểm A, B, C trên các trục tọa độ, trên các mặt tọa độ.
Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với A (B, C) qua các mp tọa độ. 
Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với A (B, C) qua các trục tọa độ.
Tìm tọa độ của điểm đối xứng với A (B, C) qua gốc tọa độ. 
Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua C.
Trong kg Oxyz, cho 3 điểm .
CMr: ∆ABC vuông tại B.
Tính diện tích của ∆ABC .
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC .
Trong kg Oxyz, cho 3 điểm . Tính các góc của ∆ABC .
Trong kg Oxyz, cho 4 điểm .
Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là các đỉnh của một hình chữ nhật
Tính độ dài các đường chéo, xác định toạ độ của tâm hình chữ nhật đó.
Tính côsin của góc giữa hai vectơ và .
Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết 
Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Tính diện tích toàn phần của hình hộp.
Tính thể tích V của hình hộp.
Tính độ dài đườngcao của hình hộp kẻ từ A’.
Trong kg Oxyz, cho 4 điểm 
CMr: 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc.
Hình chóp D.ABC là hình chóp đều.
Tìm tọa độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC .
Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3), C’(1;2;3).
Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Tính thể tích hình hộp.
Bài 10 : Trong kg Oxyz, cho 3 điểm .
CMr: ∆ABC vuông tại B.
Tính diện tích của ∆ABC .
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC .
Bài 11/ Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết 
Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Tính diện tích toàn phần của hình hộp.
Tính thể tích V của hình hộp.
Tính độ dài đườngcao của hình hộp kẻ từ A’.
Bài 2: MẶT CẦU
Phương trình mặt cầu:
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R : (1)
 Phương trình mặt cầu dạng khai triển: x2 +y2 +z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0, (2)
 đk: A2 + B2 + C2 – D >0	 (*)
 Tâm I1(-A; -B; -C) và bán kính R1= 
Chú ý: 
Mặt cầu có tâm I và qua A thì R = IA = 
Mặt cầu có đường kính AB thì R = và tâm I là trung điểm AB
Mặt cầu qua 4 điểm A, B,C, D thì viết phương trình mặt cầu ở dạng (2) rồi thay tọa độ từng điểm vào phương trình và giải hệ để tìm A, B, C, D.
Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu:
x2 + y2 + z2 -6x +4y -2z – 86 = 0
x2 +y2 +z2 +3x + 4y – 5z +6 = 0
x2 +y2 +z2 –6x + 4y + 2z – 11 = 0
(x - 1)2 +(y +3 )2 +(z – 2)2 = 49
x2 +y2 +z2 –2x +2z – 2 = 0
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu biết:
mặt cầu có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
mặt cầu đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
mặt cầu qua 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
mặt cầu qua 4 điểm A(1 ; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; 0 ; 3)
Bài 3: ( TN03-04)Trong khoâng gian Oxyz cho A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2)Goïi A’ laø hình chieáu cuûa A leân Oxy. Vieát phöông trình maët caàu (S) qua A’, B, C, D.
Bài 4: Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp (Oxy)
Bài 5: Viết phương trình mặt cầu
a/ đi qua 3 điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy).
b/ đi qua 2 điểm A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) và có tâm thuộc trục Oz.
c/ đi qua 4 điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1).
Bài 3 : MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình mặt phẳng:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
B1: Tìm toạ độ vectơ pháp tuyến ( là vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng)
B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc mặt phẳng
B3: Thế vàp pt: A(x –x0) + B(y-y0) +C(z-z0) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0
Chú ý:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
VTPT của (P) 
Nếu điểm M(x1; y1; z1)(P) thì Ax1+By1+Cz1+D=0
Trong trường hợp chưa tìm được vectơ pháp tuyến thì tìm hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mp . Khi đó VTPT của mp là: 
Các trường hợp đặc biệt:
Phương trình mp tọa độ: mp(Oxy): z = 0, mp(Oyz): x = 0, mp(Oxz): y = 0
Mp song song với các mặt tọa độ: 
song song với (Oxy): Cz + D = 0,	
song song với (Oyz): Ax + D = 0 , 
song song với (Oxz): By + D = 0
Mp song song hoặc chứa các trục tọa độ:
song song với Ox: By + Cz + D = 0
song song với Oy: Ax + Cz + D = 0
song song với Oz: Ax + By + D = 0
chứa trục Ox: By + Cz = 0
chứa trục Oy: Ax + Cz = 0
chứa trục Oz: Ax + By = 0
Mp chứa gốc tọa độ O(0; 0; 0): Ax + By + Cz = 0
Đặc biệt mp(P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), với a.b.c0 có p/trình dạng: 
Bài tập:
 Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a) Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến
b) Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song mp đó là 
c) Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB
d) Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e) Viết phương trình mp (ABC)
Viết phương trình mặt phẳng (a) trong các trường hợp sau:
a) (a) vuông góc với AB tại A, biết A(1;0;-2), B(2;1;1).	
b) (a) qua ba điểm M(2;-1;3), N(4;2;1), P(-1;2;3).
Trong không gian cho A(-1;2;1), , .
Chứng minh ABC là tam giác vuông.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).
 Viết phương trình mặt phẳng (ABC).Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. 
Viết phương trình mặt phẳng:
 a) chứa trục Ox và điểm A(1; 2; 3)	b) chứa trục Oy và điểm B(- 2 ; 3 ; 5)
 c) chứa trục Oz và điểm C(2 ; -1 ; 2)
 Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
Viết phương trình mp (ACD) và (BCD)
Viết phương trình mp chứa AB và song song CD
viết phương trình mp chứa CD và song song AB.
 Viết phương trình các mp qua M(1; 3; -5) và lần lượt song song các mp tọa độ.
Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết ptmp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các trục toạ độ.
Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết ptmp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các mp toạ độ.
 ( TN 07 -08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), 
 B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1). Viết phương trình mp đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC
( ĐH kB năm 07 -08) Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0 1)
Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C ( đs: x + 2y – 4z + 6 = 0)
Tìm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. ( Đáp án: M(2; 3; -7)
Trong kg Oxyz, cho M(1;-3;1).
a) Viết pt mặt phẳng (a) qua M và có VTPT .
b) Viết pt mặt phẳng (b) qua M và vtpt của mp (b) vuông góc với 2 véctơ và .
Trong Oxyz, cho A(3;2;1), B(-1;0;2), C(1;-3;1).
a) Viết pt mặt phẳng (ABC).
b) Viết pt mặt trung trực của đoạn AB.
c) Viết pt mp qua A và vuông góc với BC.
d) Viết pt mp qua B và vuông góc với Oz.
e) Gọi A1, A2, A3 lần lượt là hình chiếu của A trên các trục Ox, Oy,Oz. Viết pt mp (P) qua A1, A2, A3.
Trong kg Oxyz, cho 3 điểm . 
a) CMr: A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c) Tìm M sao cho .
d) Viết pt mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng BC.
Trong kg Oxyz, cho A(0; 2; 0) và mặt phẳng (a): . 
a) Viết pt mp (b) qua A và song song với mặt phẳng (a).
b) Viết pt mp qua OA và vuông góc với mặt phẳng (a).
Trong kg Oxyz, cho A(-1;1;2), B(0;-1;3) và mặt phẳng 
 (a): . Viết pt mặt phẳng (b) qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (a).
Trong Oxyz, cho A(2;3;0). Viết pt mặt phẳng (a) qua A, song song Oy và vuông góc với mặt phẳng (b): 
Trong Oxyz, cho A(1; -1;-2), B(3; 1; 1) và (a): x – 2y + 3z -5 = 0. Viết pt mặt phẳng (β) qua A, B và (β) ^(a).
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (3; 0; 1), B (2; 1; -1), C (0; -7; 0) và D (2; -1; 3).
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với CD
CMr bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và song song với CD.
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó .
Tính thể tích khối tứ diện ABCD .
Tính góc giữa các vectơ và .
Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) và D(-1; 1; -2).
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC.
Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 
Viết phương trình mặt phẳng (β) qua B và song song với (a): 3x – 2y + z +7 = 0. 
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua AC và song song với BD.
Tính S∆ABC.
Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Tính VABCD.
Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD.
Trong k/gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; -1; 1), B (-2; 1; 3), C (4; -5; -2) và D (-1; 1; -2).
Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua B.
Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Suy ra ABCD là một tứ diện. 
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó 
Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD
Tính góc giữa AB và CD.
 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; -1; -2), B(3; 1; 1) và mp .
Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng và cách một khoảng bằng 5.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng.
Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) và D(-1; 1; -2).
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC.
Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 
Viết phương trình mặt phẳng (β) qua B và song song với (a): 3x – 2y + z +7 = 0. 
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua AC và song song với BD.
Tính S∆ABC.
Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Tính VABCD.
Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD.
Bài 24. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm 
a/ CMr: 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b/ Tìm tọa độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC .
II. Vị trí tương đối giữa hai mp:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Khi đó (P) và (P’) lần lượt có các vecto pháp tuyến là 
(P) // (P’) 
(P) cắt (P’) 
Trong trường hợp này nếu AA’ +BB’ +CC’ = 0 h ... ông góc Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x - y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + y + 2z + 1 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại M(1; - 1; -1).
Bài tập 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) : và mặt phẳng (P) : .
 a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
 b. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
 c. Viết phương trình đường thẳng () là hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P).
Bài tập 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đ/t , 
 a. Chứng minh rằng đường thẳng và đường thẳng chéo nhau .
 b. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng và song song với đường thẳng . 
Bài tập 10 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với gốc của hệ toạ độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; b) 
(a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC'.
 a) Tính thể tích khối tứ diện BDA'M theo a và b.
 b) Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A'BD) và (MBD) vuông góc với nhau. 
Bài tập 11 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0) B(0; 0; 8) và điểm C sao cho . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. 
Bài tập 12 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho đ/thẳng dk: 
 Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P): x - y - 2z + 5 = 0.
Bài tập 13 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0) 
S(0; 0; 2). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
	a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
	b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN. 
Bài tập 14 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đ/t d: . 
Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. 
Bài tập 15 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1. Biết A(a; 0; 0); B(-a; 0; 0); C(0; 1; 0); B1(-a; 0; b) a > 0, b > 0.
	a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a, b.
	b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 lớn nhất.
Bài tập 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0. 
a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (P), biết D đi qua A và vuông góc với d.
Bài tập 17 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; -3; 0) B(4; 0; 0) C(0; 3; 0) B1(4; 0; 4)
a) Tìm toạ độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1).
b) Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết phương trình mặt phẳng P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1. mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN
Bài tập 18 Trong k/gian Oxyz cho hai đ/t: d1: và d2: 
a) Chứng minh rằng: d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d2.
b) Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích DOAB (O là gốc toạ độ)
Bài tập 19 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0) B(1; 0; 0) D(0; 1; 0) A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc a biết cosa = 
Bài tập 20 Trong k/gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đ/t d1: 
 d2: 
a) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1
b) Viết phương trình đường thẳng D đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2
Bài tập 21 Trong k/gian Oxyz cho hai đ/t d1: và d2: 
a) Chứng minh rằng: d1 và d2 chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đ/td1, d2
Bài tập 22 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất.
Bài tập 23 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2 B(-1 2; 4) và đường thẳng
 D: 
a) Viết p/trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mp (OAB).
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất
Bài tập 24 Trong k/gian Oxyz cho đ/t d: và m/cầu (S): x2 + y2 +z2 + 4x- 6y +m= 0.
 Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho k/cách giữa hai điểm đó bằng 9.
Bài tập 25 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 2), B(6; -1; -2), C(-1; -4; 3), D(1; 6; -5). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho DABM có chu vi nhỏ nhất.
Bài tập 26 Trong k/gian Oxyz cho tứ diện OABC với A(0; 0; ), B(0; 0; 0), C(0; a; 0) (a > 0). Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM. 
Bài tập 27 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai điểm I(0; 0; 1), K(3; 0; 0). Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm I, K và tạo với với mặt phẳng xOy một góc bằng 300
Bài tập 28 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đường thẳng D1 và D2 có phương trình: D1: D2: 
 a) Chứng minh (D1) và (D2) chéo nhau.
 b) Viết phương trình đường thẳng (D) song song với trục Oz và cắt các đường thẳng (D1) và (D2). 
Bài tập 29 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với các cạnh bằng a. Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của BC, DD'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và MN theo a.
Bài tập 30 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho tứ diện OABC có O là gốc tọa độ, A Î Ox, B Î Oy, C Î Oz và mặt phẳng (ABC) có phương trình: 6x + 3y + 2z - 6 = 0.
 a) Tính thể tích khối tứ diện OABC. b) Xác định mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC.
Bài tập 31 Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng: D1: và D2: 
 a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D1 và song song với đường thẳng D2.
 b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đ/t D2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. 
Bài tập 32 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x - y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + y + 2z + 1 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại M(1; - 1; -1).
Bài tập 33 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0) B(0; 0; 8) và điểm C sao cho . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. 
Bài tập 34 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0) 
S(0; 0; 2). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
	a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
	b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN. 
Bài tập 35 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1. Biết A(a; 0; 0); B(-a; 0; 0); C(0; 1; 0); B1(-a; 0; b) a > 0, b > 0.
	a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a, b.
	b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 lớn nhất.
Bài tập 36 Trong k/gian Oxyz cho đ/t d: và mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (P), biết D đi qua A và vuông góc với d.
Bài tập 37 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; -3; 0) B(4; 0; 0) C(0; 3; 0) B1(4; 0; 4)
a) Tìm toạ độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với m/p (BCC1B1).
b) Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết phương trình mặt phẳng P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1. mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN
Bài tập 38 Trong k/gian Oxyz cho hai đ/t: d1: và d2: 
Chứng minh rằng: d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d2
mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích DOAB (O là gốc toạ độ)
Bài tập 39 Trong k/gian Oxyz cho điểm A(0; 1; 2) và hai đ/t 	d1: d2: 
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2.
b) Tìm toạ độ các điểm M Î d1, N Î d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng
Bài tập 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
Bài tập 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất
Bài tập 42 Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng: D1: và D2: 
 a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D1 và song song với đường thẳng D2.
 b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đ/t D2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. 
Bài tập 43 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng 
 (P): 2x - y + 2 = 0 và đường thẳng dm: 
 Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) . 
Bài tập 44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)
Bài tập 45 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Bài tập 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Bài tập 47 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D: và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng D.
Bài tập 48 Trong k/gian Oxyz, cho điểm A ( 2 ; 5 ; 3) và đường thẳng 
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất.
Bài tập 49 Trong k/gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0 ; 3), C(0 ; 3; 3), D(3; 3; 3).
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
2. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.