Phương pháp tính Tích phân từng phần

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT : 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN 
TRAO ĐỔI PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
****************************************************************************** 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT: 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN 
***************************************************************************************** (1) 
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
Chú ý : 
Ký hiệu P(x) là đa thức biến số x . 
Nguyên hàm I = .Tìm cách phân chia biểu thức dƣới dấu tích phân thành hai phần : u 
và dv một cách thích hợp.Ta phải tính du và v (Hai phép toán ngƣợc nhau). 
Sau đó áp dụng : = uv - . 
Một số dạng bài tập điển hình : 
1. I = ; I = ; I = 
 -Đều đặt u = P(x) ,phần còn lại là dv 
2. I = Đặt u = lnx , phần còn lại là dv 
 (Trƣờng hợp này :Kể cả khi P(x) là hằng số) 
3. I = .Đặt u = lnx , phần còn lại là dv 
 4. I = , I = - Đặt u = , phần còn lại là dv 
Nhiều bài không thuộc dạng điển hình vẫn có thể giải phƣơng pháp tích phân từng phần 
Ví dụ 1: Chứng minh: .cos6x.dx = .sinx.sin6x.dx và tính J = .cos7x.dx 
Hƣớng dẫn : Tính VT theo phƣơng pháp tích phân từng phần ( Đặt u = cos6x và dv = cos6xdx ) 
Ta có : VT = .cos6x.dx = .d(sin6x) 
 = + .sinx.sin6x.dx = 0 + .sinx.sin6x.dx = VP 
 Tính : J = .cos7x.dx 
Có J = .cos7x.dx = cos dx 
 = .cos6x.dx - .sinx.sin6x.dx = 0 (Theo kết quả trên ) 
Ví dụ 2: Tính I = 
 Bài giải 1: Đặt : thì : Ta có : 
I = + d(x-1) = + = 
 Bài giải 2: Dùng phƣơng pháp đổi biến số ,( đặt t = x-1).Hoặc làm gộp nhƣ sau để 
 không phải đổi cận .Ta viết : 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT : 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN 
TRAO ĐỔI PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
****************************************************************************** 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT: 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN 
***************************************************************************************** (2) 
I = = 
 = - = - = 
Lƣu ý : (1- = (x - và (1- = - (x - 
Bài tập 1: Tính : I = dx 
 Bài giải 1: Tính I = dx .Tích phân từng phần 
Đặt Thì : áp dụng : = uv - 
Ta có : I = dx = - = - I1 (*) 
Ta tính I1 = để thay vào (*). 
Ta có: I1 = = = 
–
 Đổi biến số. 
Đặt – = t Thì x = – t .Khi x = 0 , t = ; Khi x = , t = 0 và dx = - dt .Do đó : 
I1= 
–
 = 
–
–
 = 
–
 - 
–
 = 
(Đã đổi cận và đổi dấu; - tích phân không phụ thuộc biến số) 
I1 = 
–
 - 
–
 = - = 
 = - = - 
 = - I1 
Vậy, 2.I1 = Do đó :I1 = = . ln2 
Thay I1 = .ln2 vào (*) Ta đƣợc : I = - = 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT : 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN 
TRAO ĐỔI PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
****************************************************************************** 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT: 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN 
***************************************************************************************** (3) 
Ở bài toán trên ta đã vận dụng hai phƣơng pháp :Tích phân từng phần và đổi biến số.Tùy cơ ứng 
biến trong giải bài tạp .Không có khuôn mẫu cho cách giải mọi bài toán. 
Có thể giải bài toán trên bằng phƣơng pháp đổi biến số nhƣ sau 
 Bài tập 2: Tính I = dx . 
 Lời Giaỉ : Đặt t = – x. 
Ta có:dx = - dt Khi x = 0, t = ,khi x = , t = 0 , = ln 
Do đó : I = dx = dt = dt 
= .dt = dt = .dt - dt = ln2 - I 
Suy ra : 2I = ln2 = ln2 . = . Vậy I = 
( Đừng nhầm tƣởng rằng:Tích phân có chứa logarit là phải tính theo tích phân từng phần ) 
Bài tập 3: Tính In = . (Lập công thức tính truy hồi) 
 Lời Giaỉ : Viết : In = = 
 Đặt Thì : 
 In= - cosx.sin
n-1
x + (n-1) .co x.dx = - cosx.sin
n-1
x + (n-1) (1- si x)dx 
 = - cosx.sin
n-1
x + (n-1) .dx – (n-1) .dx . 
Tức là ta có công thức truy hồi: n.In= - cosx.sin
n-1
x + (n- 1).In-2 
Bài tập 4: Tính In = . (Lập công thức tính truy hồi) 
 Lời Giaỉ :Viết : In = = 
 Đặt Thì : 
 In= sinx.cos
n-1
x + (n-1) . x.dx = sinx.cos
n-1
x + (n-1) (1- x)dx 
 = sinx.cos
n-1
x + (n-1) .dx - (n-1) .dx . 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT : 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN 
TRAO ĐỔI PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
****************************************************************************** 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT: 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN 
***************************************************************************************** (4) 
Tức là ta có công thức truy hồi: n.In= sinx.cos
n-1
x + (n- 1).In-2 
Bài tập 5: Tính In = . (Lập công thức tính truy hồi) 
 Lời Giaỉ :Viết : In = = = 
 = - = ta x - 
Tức là ta có công thức truy hồi: In = ta x – In-2 
Bài tập 6: Tính : In = (Lập công thức tính truy hồi) 
Đặt : Ta có : Dođó: 
In = + 2n = + 2n .dx 
 = + 2n - 2n .Tức là có : 2nIn+1 = + (2n-1)In . 
Tức là ta có công thức truy hồi: In+1 = + .In 
Bài tập 7: Tính In = .dx Với n -1 
 - Đặt : -Thì : 
Do đó In = .dx = x. - n .dx Vậy: In = x. - n.In-1 
Bài tập 8: Tính In = Với m 1 
 - Đặt : -Thì : . 
Vậy ta có : In = - = - + C 
Bài tập : 1/Tính tích phân : (Hdẫn:đặt u = , dv = cosxdx) 
 2/Tính tích phân : I= 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT : 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN 
TRAO ĐỔI PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
****************************************************************************** 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT: 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN 
***************************************************************************************** (5) 
Hdẫn : I = = I1+I2+I3 
Tính I2 = 2 : Đặt u = x và dv = sinx.dx - (Tích phân từng phần) 
 3/ Tính tích phân : I= 
Hdẫn : I = = 
 = + + - 
 = + + - = I1+I2+I3+I4 
Tính I2= : Đặt u = x và dv = - (Tích phân từng phần) 
 4/ Tính tích phân: I = 
 5/ Tính tích phân: I = 
Hdẫn : I = = I = - 
 = + - = I1 + I2 - I3 
Đặt t = - x , ta có I1 = = = = I3 
Do đó : I = I2 = = = ,( t = 1+sinx) 
-Đặt : thì : Do đó : I = = (t.lnt – t ) = 2ln2 – 1 
 6/ Tính tích phân : I = .dx Ta có : I= 
-Đặt : thì : . 
Do đó : I = - = - J (*) 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT : 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN 
TRAO ĐỔI PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
****************************************************************************** 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT: 0985128747 * YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN 
***************************************************************************************** (6) 
Tính J = = = = 
 = )d(sinx) = )d(sinx) 
 = Thay J = vào (*) 
Ta có : I = - =  = - ln = - 2ln(2+ 
 7/ Tính tích phân : I = 
Hdẫn : I = = + = I1 + I2 
 - Tính I1 = ( Đặt u = và dv = sinx.dx ) 
 -Tính I2 = (Đặt u = và dv = ) 
 8/ Cho : In = .dx Hãy tính I0 và tính tổng In + In+1 
Lời giải : Tính I0 = = = .Đặt Ta có : 
I0 = = dt = = ln = ln 
Tính I0 có thể đặt t = , dt = 2 dx nên dx = , Ta có I0 = = 
 Tính tổng I1+I2 : Vì In = nên In+1 = = 
Ta có : In + In+1 = + = = .dx 
 = .d(2nx) = =