Phương pháp giải phương trình vô tỉ

 1 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 
GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088- 01256813579 
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 
1. Bình phương 2 vế của phương trình 
a) Phương pháp 
 Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : A B C D   , ta thường bình 
phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn 
 Khi gặp phương trình dạng: 3 3 3A B C  Ta lập phương 2 vế phương trình 
 3 333 .A B A B A B C     và sử dụng phép thế : 3 3A B C  ta được phương trình 
: 33 . .A B A B C C   
Ví dụ 
Ví dụ 1) Giải phương trình sau : 3 3 1 2 2 2x x x x      
Giải: Đk 0x  
Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:     1 3 3 1 2 2 1x x x x x      , 
để giải phương trình này là không khó nhưng 
Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 
3 1 2 2 4 3x x x x      
Bình phương hai vế ta có : 2 26 8 2 4 12 1x x x x x      
Thử lại x=1 thỏa mãn. 
Nhận xét : Nếu phương trình :        f x g x h x k x   
Mà có :        f x h x g x k x   , thì ta biến đổi phương trình về dạng : 
       f x h x k x g x   sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả khi giải 
xong nhớ kiểm tra lại nghệm xem có thỏa mãn hay không? 
Ví dụ 2) . Giải phương trình sau : 
3
21 1 1 3
3
x x x x x
x

      

Giải: 
Điều kiện : 1x   
Bình phương 2 vế phương trình ? 
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? 
Ta có nhận xét : 
3
21. 3 1. 1
3
x x x x x
x

    

, từ nhận xét này ta có lời giải như sau : 
3
21(2) 3 1 1
3
x x x x x
x

       

 2 
Bình phương 2 vế ta được: 
3
2 2 1 31 1 2 2 0
3 1 3
xx x x x x
x x
  
        
  
Thử lại : 1 3, 1 3x x    l nghiệm 
Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình :        f x g x h x k x   
 Mà có :        . .f x h x k x g x thì ta biến đổi        f x h x k x g x   
2. Trục căn thức 
2.1) Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung 
Phương pháp 
Khi gặp các phương trình vô tỉ mà ta có thể nhẩm được nghiệm 0x thì phương trình luôn đưa 
về được dạng tích    0 0x x A x  ta có thể giải phương trình   0A x  hoặc chứng minh 
  0A x  vô nghiệm , 
Để giải quyết triệt để ta cần chú ý điều kiện nghiệm của phương trình để có thể đánh giá 
phương trình   0A x  bằng phương pháp đạo hàm hoặc sử dụng các bất đẳng thức. 
Ví dụ 1) Giải phương trình sau :  2 2 2 23 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x          
Giải: 
Ta nhận thấy :      2 23 5 1 3 3 3 2 2x x x x x        v 
     2 22 3 4 3 2x x x x      
Ta có thể trục căn thức 2 vế : 
  2 22 2
2 4 3 6
2 3 43 5 1 3 1
x x
x x xx x x x
  

       
  2 22 2
2 3( 2) 0
2 3 43 5 1 3 1
x
x x xx x x x
 
    
          
Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình . 
Ví dụ 2) Giải phương trình sau : 2 212 5 3 5x x x     
Giải: Để phương trình có nghiệm thì : 2 2
512 5 3 5 0
3
x x x x        
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng 
   2 0x A x  , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau : 
 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
4 412 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 12 3 0 2
12 4 5 3
x xx x x x
x x
x xx x
x x
 
          
   
  
       
    
 3 
Dễ dàng chứng minh được : 
2 2
2 2 53 0,
312 4 5 3
x x x
x x
 
    
   
Ví dụ 3) Giải phương trình : 2 33 1 1x x x    
Giải :Đk 3 2x  
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình 
 
 
  22 33
2 32 233
3 3 931 2 3 2 5 3 1
2 51 2 1 4
x x xxx x x x
xx x
 
                     
Ta chứng minh : 
   
222 2 23 33
3 31 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
 
   
      
2
3
3 9
2 5
x x
x
 

 
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 
Ví dụ 4) Giải phương trình: 22 4 2 5 1x x x x      
Giải: 
Điều kiện: 2 4x  . Nhận thấy phương trình trên có nghiệm 3x  nên ta nghĩ đến cách giải 
phương trình trên bằng phương pháp nhân lượng liên hợp 
PT   2 3 32 1 4 1 2 5 3 3 2 1
2 1 4 1
x xx x x x x x
x x
 
             
   
3
1 1 2 1(*)
2 1 4 1
x
x
x x


   
    
Ta có: 1 1 11; 2 1 (*) 2 2
2 1 4 1 2 1
VT
x x
      
    
Mặt khác 2 (*) 2 1 5 (*)x VP x      vô nghiệm 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=3. 
Ví dụ 5) Giải phương trình:  2 21 2 2 2x x x x x      
   2 22 7 3 2 2 2 2 0PT x x x x x x          
      
       
 
2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
2
2 2 7
2 7 2 3 2 2 0 2 7 0
2 2 3
1 1 122 7 1 0 2 7 0
2 2 3 2 2 3
1 7
2 7 0
1 7
x x x
x x x x x x x
x x
x xxx x x x
x x x x
x
x x
x
  
             
  
                          
  
     
 
Tại sao ta phát hiện ra lượng 2 2 7x x  
 4 
Ta thấy x=-2 không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho x+2 ta có 
2
2 12 2
2
x xx x
x
 
  

. Giả sử ta cần thêm vào hai vế phương trình một lượng mx+n khi đó ta 
có    
2
2
2 2 2 2
2
12 2 ( ) ( )
2
1 2(1 ) 2 1 (1 2 ) 1 2
22 2 ( )
x xx x mx n mx n
x
m x mn x n m x m n x n
xx x mx n
 
       

          

   
Ta cần chọn m, n sao cho 
2 21 2(1 ) 2
1 2 1 2 1
m mn n
m m n n
  
 
   
 Từ đó ta có m=0, n=3 
Ví dụ 6) Giải phương trình: 22 4 2 5 2 5x x x x x       
Giải: Điều kiện xác định: 5 4
2
x  
     
     
    
22 1 4 1 2 5 1 2 5 3
2 33 3 2 1 3
2 1 4 1 2 5 1
1 1 23 2 1 3
2 1 4 1 2 5 1
PT x x x x x
xx x x x
x x x
x x x
x x x
           
 
     
     
 
       
      
* Với 3 0 3x x    (thỏa mãn điều kiện) 
* Nếu 3 0x   thì suy ra: 1 2 1 2 1
2 1 2 5 1 4 1
x
x x x
   
     
 (2) 
Với điều kiện 5 4
2
x  , ta có: VP của (2)  52 1 2. 1 6; 2 1 2 3
2
x VT        
Do đó pt(2) vô nghiệm. Hay pt(1) không có nghiệm khác 3. Vậy pt(1) có nghiệm duy nhất 3x  
Ví dụ 7) Giải phương trình sau: 3 2 3 2 4 332 4 4 16 12 6 3 4 2 2 1x x x x x x x x x          
Giải: Điều kiện:  3 2 22 4 4 0 2 4 4 0 0x x x x x x x         
Phương trình được viết lại như sau: 
  2 3 3 3 332( 1) 2 1 (2 1) (2 1) (2 1) 4(2 1) 2 1 2 1x x x x x x x x                     
      
33
3 3
4 2 12 1 1 42 1 2 1 2 1 (2 1) 0
xx x x x x
A B A B
            
 
Với 2 32( 1) 2 1 (2 1)A x x x     
22 3 3 3 33 3(2 1) (2 1) (2 1) 4(2 1) (2 1) 4(2 1)B x x x x x x             
Vì 1 40 1; 0 2 1 0x A B x
A B
         
Suy ra PT 3 3 12 1 0
2
x x     
 5 
2.2) Đưa về “hệ tạm “ 
a) Phương pháp 
 Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C  , mà : A B C  
ở dây C có thể là hằng số ,có thể là biểu thức của x . Ta có thể giải như sau : 
A B C A B
A B


   

, khi đó ta có hệ: 2
A B C
A C
A B


  
  
 
b) Ví dụ 
Ví dụ 1) Giải phương trình sau : 2 22 9 2 1 4x x x x x       
Giải: 
Ta thấy :      2 22 9 2 1 2 4x x x x x       
4x   không phải là nghiệm 
Xét 4x   
Trục căn thức ta có : 2 2
2 2
2 8 4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
x x x x x x
x x x x

        
    
Vậy ta có hệ: 
2 2
2
2 2
02 9 2 1 2
2 2 9 6 8
2 9 2 1 4 7
xx x x x
x x x
xx x x x x
                     
Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=
8
7
Ví dụ 2) Giải phương trình : 2 22 1 1 3x x x x x      
Ta thấy :    2 2 22 1 1 2x x x x x x       , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên.Tuy 
nhiên 
Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt 
1t
x
 thì bài toán trở nên đơn giản hơn 
Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm, chia hai vế pt cho x ta có 2 2
1 1 1 12 1 3
x x x x
      
Đặt 
1t
x
 ta có phương trình mới là 2 22 1 3t t t t      việc giải phương trìn.h này là 
hoàn toàn đơn giản. 
Ta có   2 2 2 2 2 2 2 12 1 2 1 2 1 2 1 3
tt t t t t t t t t t t t t                    
Từ đó ta có hệ sau : 
2 2
2
2 2
1 12 1 3 2 102 2 7 82 1 32 1 8 73
t xt t t t tt tt t xt t t t
                             
 6 
Ví dụ 3) Giải phương trình: 2 29 24 6 59 149 5x x x x x       
Giải: 
Phương trình xác định với mọi x thuộc R 
Phương trình có dạng: 
 
2
2 2 2 2
5(5 ) 5(5 )5 5 1 0
9 24 6 59 149 9 24 6 59 149
x xx x
x x x x x x x x
   
      
          
2 2
5
5(5 )1 0
9 24 6 59 149
x
x
x x x x

   
     
(*)
2 2(*) 9 24 6 59 149 5( 5)x x x x x        . Kết hợp với phương trình ở đề bài ta có hệ : 
2 2
2
2 2
9 24 6 59 149 5( 5)
9 24 2 10
9 24 6 59 149 5
x x x x x
x x x
x x x x x
       
    
      
2 2
4( )5
19 ( )9 24 (2 10)
3
x Lx
x TMx x x
        
Vậy phương trình có 2 nghiệm là : 195;
3
x x  
3. Phương trình biến đổi về tích 
 Sử dụng đẳng thức 
*)   1 1 1 0u v uv u v       
*)    0au bv ab vu u b v a       
*) 2 2A B 
Ví dụ 1) Giải phương trình : 233 31 2 1 3 2x x x x       
Giải:   3 3 01 1 2 1 0 1
x
PT x x
x

         
Ví dụ 2) Giải phương trình : 2 23 33 31x x x x x     
Giải: 
+ 0x  , không phải là nghiệm 
+ 0x  , ta chia hai vế cho x:  3 3 33 31 11 1 1 1 0 1x xx x x xx x
  
          
 
Ví dụ 3) Giải phương trình: 23 2 1 2 4 3x x x x x x       
Giải:Điều kiện: 1x   
PT    13 2 1 1 0 0
x
x x x
x

        
 7 
Ví dụ 4) Giải phương trình : 43 4
3
xx x
x
  

Giải: 
Đk: 0x  
Chia cả hai vế cho 3x  : 
2
4 4 41 2 1 0 1
3 3 3
x x x x
x x x
 
       
   
Ví dụ 5) Giải phương trình: 22 7 2 1 8 7 1x x x x x        
Giải: Điều kiện 1 7x  . 
Đặt 27 , 1; , 0 8 7a x b x a b ab x x          
Phương trình đã cho trở thành:   2 2 2 2 0 2b a b ab a b b a b b           
- Nếu a=b thì 7 1 7 1 3x x x x x         thỏa mãn điều kiện đề bài 
- Nếu b=2 thì 1 2 3x x    
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=3. 
 Dùng hằng đẳng thức 
Biến đổi phương trình về dạng : k kA B 
Ví dụ 1) Giải phương trình : 3 3x x x   
Giải: 
Đk: 0 3x  khi đó pt đ cho tương đương 
: 3 23 3 0x x x   
3 31 10 10 1
3 3 3 3
x x       
 
Ví dụ 2) Giải phương trình sau : 22 3 9 4x x x    
Giải: 
Đk: 3x   phương trình tương đương : 
 2 2
1
3 1 3
1 3 9 5 97
3 1 3
18
x
x x
x x
xx x
               
Ví dụ 3) Giải phương trình sau :    22 332 3 9 2 2 3 3 2x x x x x     
Giải : PT  33 32 3 0 1x x x      
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ 
1. ... 2; 1 , ; , ;
2 22 135 2 135
x y
   
          
   
VI) GIẢI HỆ BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC. 
Ví dụ 1) Giải hệ phương trình với nghiệm là số thực: 
3 2
3 2
3 1
3 3
x xy
y x y
   

  
Giải: Đây là hệ đẳng cấp bậc ba. Tuy nhiên, nếu giải bằng phương pháp thông thường ta 
sẽ đi đến giải phương trình bậc ba: 3 23 3 3 3 1 0t t t    . Phương trình này không có 
nghiệm đặc biệt 
Xét số phức .z x iy  Vì  3 3 2 2 33 3z x xy i x y y    , nên từ hệ đã cho ta có: 
3 2 21 3 2 cos sin
3 3
z i i       
 
, ta tìm được 3 giá trị của z là: 
3 3 32 2 8 8 14 142 cos sin , 2 cos sin , 2 cos sin
9 9 9 9 9 9
i i i                 
     
Từ đó suy ra hệ đã cho có 3 nghiệm là:x  
3 3 3
3 3 3
2 8 142 cos 2 cos 2 cos
9 9 9; ;
2 8 142 sin 2 sin 2 sin
9 9 9
x x x
y y y
  
  
        
  
    
    
Ví dụ 2) Giải hệ phương trình trong tập số phức: 
4 2 2 4
3 3
6 3
1
4
x x y y
x y y x
   


 
Giải: Xét số phức .z x iy  Vì  4 4 2 2 4 3 36 4 3z x x y y i x y y x     , nên từ hệ đã cho 
suy ra: 
 4 3 2 cos sin
6 6
z i i      
 
 (*) 
Các số phức thỏa mãn (*): 
4 4 4 413 13 25 25 37 372 cos sin , 2 cos sin , 2 cos sin , 2 cos sin
24 24 24 24 24 24 24 24
i i i i                        
       
vậy các nghiệm cần tìm của hệ là: 
4 4 4 4
4 4 4 4
13 25 372 cos 2 cos 2 cos 2 cos
24 24 24 24; ; ;
13 25 372 sin 2 sin 2 sin 2 sin
24 24 24 24
x x x x
y y y y
   
   
            
   
      
      
 80 
Ví dụ 3) Giải hệ phương trình với nghiệm với 
2 2
2 2
16 11 7
, :
11 16 1
x yx
x y
x y
x yy
x y
   
 
   
 
 
Giải: ĐK: 2 2 0x y  . Đặt .z x iy  Ta có: 2 2
1 x yi
z x y



Vì hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau, nên 
hệ đã cho tương đương với: 
 
2 2 2 2 2 2 2 2
2
16 11 11 16 7 16 11 7
16 11 7 7 16 11 0
x y x y x iy x iyx i y i x yi i i
x y x y x y x y
iz i z i z i
z
    
               

         
Phương trình  2 7 16 11 0z i z i     có 2 nghiệm 2 3 , 5 2z i z i    nên hệ đã cho có 
các nghiệm:    ; 2; 3x y   hoặc    ; 5;2x y  
Chú ý: Muốn giải được các hệ phương trình bằng phương pháp sử dụng số phức, cần nhớ 
một công thức cơ bản của số phức, đặc biệt là với mỗi số phức z x iy  thì ta có 
2 2x y là phương trình môđun và 2 2
1 z x iy
z zz x y

 

Ví dụ 4) Giải hệ phương trình với nghiệm với 
310 1 3
5
, :
31 1
5
x
x y
x y
y
x y
  
     
 
       
 
Giải: Từ hệ suy ra 0, 0x y  . 
Bài hệ này không có ngay dạng như trên, tuy nhiên với mục đích chuyển mẫu về dạng 
bình phương môđun của số phức, chỉ cần đặt 5 ,u x v y  với , 0u v  . 
Hệ đã cho có dạng: 
2 2
2 2
3 31
2
31 1
u
u v
v
u v
       

       
Đặt z u iv  . Ta có: 2 2
1 u vi
z u v



. Hệ đã cho tương đương với: 
 
2 2 2 2 2 2
2
3 3 3 31 1 3
2 2
3 3 2 2 2 3 2 2 6 0(*)
2
u ivu iv i u iv i
u v u v u v
iz z i z
z
                    

       
 81 
Giải pt(*), ta có:  2' 34 12 2 2 6i i      , suy ra các nghiệm là 
2 22 2 ,
2
iz i z    
Vì , 0u v  nên 2 2
2
iz  , do đó 2 1, 1 , 1
2 10
u v x y     
Vậy nghiệm cần tìm là   1; ;1
10
x y    
 
Ví dụ 5) Giải hệ phương trình với nghiệm với 
121 2
3
, :
121 6
3
x
x y
x y
y
x y
  
     
 
      
 
Giải: Từ hệ suy ra 0, 0x y  . Đặt  3 , , 0u x v y u v   . 
Hệ đã cho có dạng: 
2 2
2 2
121 2 3
121 6
u
u v
v
u v
       

      
. 
Đặt z u iv  . Ta có: 2 2
1 u vi
z u v



. Hệ đã cho tương đương với: 
Từ đó hệ đã cho ta có 2 2 2 2
12 121 1 2 3 6u iv
u v u v
              
 
2 2
2
1212 2 3 6 2 3 6
2 3 3 12 0(*)
u ivu iv i z i
u v z
z i z

        

    
Giải pt(*), ta có  2' 6 6 3 3 3i i     
 suy ra các nghiệm    3 3 3 3 , 3 3 3 3z i z i        
Vì , 0u v  nên ta có 3 3, 3 3u v    , suy ra nghiệm của hệ 
là:    ; 4 2 3;12 6 3x y    . 
MỘT SỐ BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 
1) 
 







4
521
4
5
24
232
xxyyx
xyxyyxyx
 2)






662
922
2
2234
xxyx
xyxyxx
 82 
3)






yxxyyx
yxyxxy
2212
2 22
 4)
   




211
422
yyyxx
yxyx
5)






21
7
2244
22
yxyx
xyyx
 6)






22
333
6
191
xxyy
xyx
7) 
 
 




















4911
511
22
22
yx
yx
xy
yx
 8)






01222
743
2
2
yxyxy
yxyxy
9) 






4
2
2222 yxyx
yxyx
 10)






128
0122
22
23
xy
yxyx
11) 
 












524
4
17
2
22
22
22
22
xyxyxx
yxx
yxx
yxx
yxx
12)






01012124
01252
22
22
yxxyyx
yxyxyx
13) 






1122
22
22
22
yxyx
yxyx
 14)
2 2
2( )
3
x y xy
x y
  

 
15)
2 2
2
2 1xyx y
x y
x y x y
    
   
 16) 
2 2
2 2
48
24
y x y
x y x y
  

   
17)
2 2
2 3 4 6
4 4 12 3
xy x y
x y x y
   

   
 18)
2
2 2
2 2 0
yx y
x
xy y x
    

   
19) 
2 2
2
3
2 7 5 9
x y xy
x xy x y
   

   
 20)
2 2 3 6
3 5
x y x y
xy x y
   

  
21)
2 2
2
3
5 4 9
x y xy
y xy x y
   

   
 22) 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 1
x y x x
x y x y xy
   

  
23)
2 2
2
2 2 1 2
2 2 1 6
x y x y
y x y xy
    

   
 24) 
2 2 4 2
2
1 3
2
x y y y
xy x y
   

 
25)
22 6 2 0
2 3 2
y x y y x y
x x y x y
     

    
 26)
2
5 3
x y x y y
x y
    

 
27)
2 0
1 2 1 1
x y xy
x y
   

   
 28) 
2
2 2
12 2
2 2
x x
y
y y x y
   

    
 83 
29)
2
2 2 2
2
2
1 3
x y y
x x y
x
  


  
 30) 
3 2 2 2
3 2 2
3 3 2 1 0
2 3 3 0
x y x x y x y
y xy y x
       

    
31)
33 (1)
3(2)
yx y x
x
x y x x
    

    
 32) 
2 21 (1)
1(2)
x y x y x y
x y
      

 
33)  
2 2
2
34 4( ) 7
12 3
xy x y
x y
x
x y
     

   
 34)
2
2
2 4
1 1 3
x y y x xy
x
x xy y
   


  

35)
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y


     

    
 36 )
2
3 2
2
23
2
2 9
2
2 9
xyx x y
x x
xyy y x
y y
   
 

   
  
37)
 
 
2 5
3 4
x y xy x y xy
x y xy x y xy
    

   
 38) 
 
4 4 2 2
2 2
6 41
10
x y x y
xy x y
   

 
39) 
2 3 4 6
2( 2) 1 ( 1)
x y y x x
x y x
   

   
 40) 
3 3
2 2
4 16
1 5( 1)
x y y x
y x
   

  
41) 
2 2
2 2
1 4
( ) 2( 1) 7
x y xy y
y x y x y
    

   
 42)
2 2 2 2
2 2
1 2
1
x y x y xy
x x y xy y xy
    

    
43) 
 2
2 2
4 ( 3) 5 2 0
4 2 3 4 7
x x x y y
x y x
     

   
44) 
 
3 2 3
3
3 3 2
2 1log log 3
1 2y x
x x y y
x y x
y x
    

             
45) 
2 2
sin
sin , 0;
4
3 8 3 1 6 2 2 1 8
x y xe
y x y
x y y y

     
       
46) 
 
 
2 1 2 2 1
3 2
1 4 5 1 2
4 1 ln 2 0
x y x y x y
y x y x
       

    
 47) 
2
2
1
2 2 2
32 2
2
( 2 ) 2 1 4 0
x
yx xy
x y x x y x

    

     
48) 
2
2
2
181 2
( )
2 4 3(2 )
3 72
2 2
yx
x y
y x
x y



  

   

 49) 
2 2
2 2
2 2
2 2 2
x y xy y x
x y y
     

  
 84 
50) 
2 2
2
2 2 8 6 0
4 1 0
x y x y
x xy y x
     

    
 51) 
2 2
3 3
3
2 2
x xy y
x y y x
   

  
52) 
2 2
3 3 2 2 2
2 3
2( ) 6 5 3( )
x y x
x y x x y
   

    
 53) 
2 2
5 5
3 3
3
31
7
x y xy
x y
x y
   

 
 
54) 
2 2
4 4 2 2
5
6 20 81
x y
x y x y xy
  

   
 55) 
2 3
2
8 9 12 6 1
2( ) 10 6 12 2
x x xy x
x y x y y x
      

      
56) 
2 2 3
2
(4 1) 4 (8 1)
40 14 1
y x x x
x x y x
    

  
 57) 
 
6 3 2 2 2
23 3 2
2
14 2 1 2
2
y y x xy x y
xy y x x y
    


     

58) 
13 1 2
17 1 4 2
x
x y
y
x y
  
     

      
59)
  
 
3
2
2 2 1 20 28
2 2
x y x y
x y y x x
     

   
60) 
 
2
4
,
16 2 3
x y x y x y
x y
x y x
     

    

61) 
6 2 3 3
2 3 3 6 3 4
x x y y
y
x x y x y
    

     
62) 
 
2 2 4 1
46 16 6 4 4 8 4
x y x y
y x y y x y y
    

      
63) 
 
3
2 4 3
1 1 2
9 9
x y
x y y x y y
    

    
64) 
3 3 2
2 2 2
3 3 2
1 3 2 2
x y y x
x x y y
    

     
65) 
2
2 3 2 3 2
1 4 8 0
x y y x
y x x
     

     
66)
 3 2 3
3
2 4 3 1 2 2 3 2
2 14 3 2 1
x x x x y y
x x y
      

    
67) 
   2
2
2 1 2 1 2 2
4 1 17 0
x y x x x y
y x x
       

    
68)  
2 21 1 1 2 1
2 2
x x y
x y x y x y
     

     
69)   
2 21 1 1
3 2 1 4 3 1
x x y y
x x xy xy x
     

     
70)  
2 3 4 6
3
2
1
2 1
1
x y y x x
y
x y
x
   

 
   

 85 
72) 
2 4 2 4 2
2
2 2 1 2(3 2 )
3
x y xy y x y
x y x
       

   
73)
2 2 3
2 2 2
5 4 3 2( ) 0
( , )
( ) 2 ( )
x y xy y x y
x y
xy x y x y
      
   

74) 
2 3
2 2
6 2 35 0
5 5 2 5 13 0
x y y
x y xy x y
   

    
75) 
2
2 2
2 6 1
7
x x y
x xy y
    

   
76) 
2 2
2
2 2 3 0
3 1 0
x xy y x
xy y y
    

   
77) 
 
   
2
2 2
1 1 4 3 3
12 2 3 7 1 12 3 5
x y x y x y
x x y xy y x
       

     
78)
 3 2 3
3
2 4 3 1 2 2 3 2
2 14 3 2 1
x x x x y y
x x y
      

    
79)   
2 2
2 2
72 1 2 1
2
7 6 14 0
x y xy
x y xy x y
   

      
80) 
 2 2
2 3 2
2 112 1 17
3 12
2
8 3 3 4 2
y x y x
x x x x y
y y
     


    

 71)
2
3
1 2 2 1
3 3 6
x y xy x
x x xy
    

  
 86 
Tài liệu tham khảo: 
Toán học và tuổi trẻ. 
Diễn đàn math.vn 
Phương pháp giải hệ phương trình: Thầy Nguyễn Minh Nhiên 
Tài liệu trên internet