Phương pháp giải một số phương trình bậc bốn

Phương pháp giải một số phương trình bậc bốn
 Trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi học kỳ, hoặc ngay cả kiểm tra trên lớp đều có thể xuất hiện các bài toán giải phương trình bậc bốn. Tôi viết bài này mong cung cấp cho các bạn một phương pháp tổng quát để giải các bài toán đó. Ở khuôn khổ bậc THPT, tôi chỉ đề cập đến việc giải ra nghiệm thực của PT. Sau đây là một số dạng PT bậc bốn hay gặp:
1) Phương trình đối xứng 
Là PT có dạng:
Nhận xét rằng  không phải là nghiệm của PT, vì vậy chia 2 vế của PT cho , ta thu được PT:
(1)
Đặt , điều kiện , thay t vào (1) thu được PT: 
Tới đây ta giải PT bậc hai như bình thường.
Chú ý: cách giải tương tự đối với những PT sau:
với , 
2) Phương trình trùng phương (bỏ qua vì trong SGK đã có)
3) Phương trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m, a + b = c + d
Viết lại PT dưới dạng
Đặt 
Điều kiện 
PT tương đương:
Sau đó giải phương trình bậc 2.
4) Phương trình 
Đầu tiên đặt 
Thay vào PT rồi triển khai, ta thu được PT tương đương:
Đặt , điều kiện , ta thu được phương trình trùng phương ẩn u. Từ đó giải tiếp ta tìm được x.
5) Phương trình 
Ý tưởng để giải phương trình này là biến đổi 2 vế về 2 tổng bình phương bằng nhau. Biến đổi như sau:
(2)
Vấn đề là tìm được m sao cho vế phải trở thành một tổng bình phương. Ta nhận thấy nếu vế phải là tổng bình phương thì phương trình Vế phải = 0 có nghiệm kép, khi và chỉ khi , tức là:
Tới đây ta thu được phương trình bậc 3 của m:
Tiếp tục giải ta sẽ thu được nghiệm m. Thay m vào phương trình (2) rồi giải tiếp tìm được x.
6) Kết quả mở rộng cho phương trình bậc bốn tổng quát
(3)
Vế phải là tổng bình phương thì phương trình Vế phải = 0 phải có nghiệm kép, khi và chỉ khi , tức là:
(4)
Giải phương trình (4) ta thu được 3 giá trị của m. Sau đó lại thế m vào PT (3) để giải tiếp.