Phương pháp giải một số dạng bài tập khảo sát hàm số trong kỳ thi tuyển sinh đại học

 2 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP 
KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH 
Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu 
A) Cực đại cực tiểu hàm số bậc 3: 3 2axy bx cx d    
* ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt 
* ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu là 1 2,x x khi đó 1 2,x x là 2 nghiệm của phương trình 
y’=0 
* ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương 
trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 
+ Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại cực tiểu tại 1 2,x x thì 
1 2'( ) '( ) 0f x f x  
+ Phân tích '( ). ( ) ( )y f x p x h x  . Từ đó ta suy ra tại 1 2,x x thì 1 1 2 2( ); ( ) ( )y h x y h x y h x    
là đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 
+ Kí hiệu k là hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 
* ) Các câu hỏi thường gặp liên quan đến điểm cực đại cực tiểu hàm số bậc 3 là: 
1) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của hàm số song song với 
đường thẳng y=ax+b 
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 
+ Giải điều kiện k=a 
2) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng 
y=ax+b 
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 
+ Giải điều kiện k= 1
a
 
Ví dụ 1) Tìm m để   3 2 7 3f x x mx x    có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông 
góc với đường thẳng y=3x-7. 
Giải: hàm số có cực đại, cực tiểu  2'( ) 3 2 7 0f x x mx    có 2 nghiệm phân biệt 
2 21 0 21m m       . Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có: 
    21 1 2 7. 21 3
3 9 9 9
mf x x m f x m x            
. Với 21m  thì f’(x)=0 có 2 nghiệm x1, x2 
phân biệt và hàm số f(x) đạt cực trị tại x1,x2. 
www.VNMATH.com
 3 
Do 1
2
( ) 0
( ) 0
f x
f x
 
  
 nên 
 
 
2
1 1
2
2 2
2 7(21 ) 3
9 9
2 7(21 ) 3
9 9
mf x m x
mf x m x
    

    

. 
Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình    22 7: 21 39 9
my m x     
Ta có  
 2 2 2
21 21 21
3 7 2 3 4521 .3 1 21
9 2 2
m m m
y x
m m m
    
  
        
       
 
3 10
2
m   
3) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với trục Ox một góc  
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 
+ Giải điều kiện tank  
Ví dụ 1) Cho hàm số 23 23  mxxxy (1) với m là tham số thực 
Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị 
hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. 
Giải: 
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 
' 9 3 0 3m m       3 2 1 23 2 ( 1). ' ( 2) 2
3 3 3
m my x x mx x y x           
Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình 
3
2)2
3
2( mxmy  
Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai 




 








3
6;0,0;
)3(2
6 mB
m
mA 
Tam giác OAB cân khi và chỉ khi OA OB 
6 6
2( 3) 3
9 36; ;
2 2
m m
m
m m m
 
 

     
Với m = 6 thì OBA  so với điều kiện ta nhận 
2
3
m 
Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với 2 trục tọa độ 
tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng là 
9 ( )
2 2tan 45 1 2 1
33 ( )
2
m Lmk
m TM
  
         
  

www.VNMATH.com
 4 
4) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y=ax+b 
một góc  
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 
+ Giải điều kiện tan
1
k a
ka




Ví dụ ) Tìm m để   3 2 23( 1) (2 3 2) ( 1)f x x m x m m x m m        có đường thẳng đi qua 
CĐ, CT tạo với 
1 5
4
y x  một góc 450. 
Giải: Gọi hệ số góc của đường thẳng đi qua CĐ, CT là k, khi đó từ điêu kiện bài toán suy ra: 
0
1 1 5 31
14 4 4 4 445 1 1
1 1 3 54 41 . 1
4 4 4 4 4
k kk kktg k
k kk k
                     
             
3
5
5
3
k
k
 
 
 

Hàm số có CĐ, CT 2 2( ) 3 6( 1) (2 3 2) 0f x x m x m m        có 2 nghiệm phân biệt 
2 3 5 3 53( 3 1) 0
2 2
m m m m
    
              
   
 (*) 
Thực hiện phép chia f(x) cho) f’(x ta có     21 2( ) ( 1) . ( ) 3 1 ( 1)3 3f x x m f x m m x m        
với m thoả mãn điều kiện (*) thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt ccực trị tại 
x1,x2. 
Do 1
2
( ) 0
( ) 0
f x
f x
 
  
 nên 
   
     
2
1 1
2
2 2
2 ( 3 1) 1
3
2 3 1 1
3
f x m m x m
f x m m x m
       

       
Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình      22: 3 1 13y m m x m

        
Ta có   tạo với 1 5
4
y x  góc 450  22 3 1 13 m m

     
kết hợp với điều kiện (*) ta có 3 15
2
m  
5) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại A,B sao 
cho tam giác OAB có diện tích cho trước 
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 
+ Tìm các giao điểm với các trục toạ độ: Với trục Ox:Giải y=0 tìm x.Với trục Oy giải x=0 tìm y. 
+ /
1 .
2MAB M AB
S d AB 
Từ đó tính toạ độ A, B sau đó giải điều kiện theo giả thiết 
www.VNMATH.com
 5 
Ví dụ 1) Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số 3 3 2y x mx   cắt 
đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhât. 
Giải: Có: 2' 3 3y x m  có 2 nghiệm phân biệt khi 0m  . Khi đó tọa độ hai điểm cực trị của đồ 
thị hàm số là    ;2 2 , ; 2 2M m m x N m m x   
- Phương trình đường thẳng MN là: 2 2 0mx y   
- Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I tại A,B mà tam giác IAB có ˆ2. . .sin 1IABS IA IB AIB  , 
dấu bằng xảy ra khi 0ˆ 90AIB  , lúc đó khoảng cách từ I đến MN bằng 1
2
Do vậy ta có pt:  
2
2 11 1 3 3, 1 ; 1
2 22 24 1
m
d I MN m m
m

       

 Ví dụ 2) Cho hàm số 3 3 2y x mx   
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác IAB có diện 
tích bằng 18 , trong đó  1;1I 
Lời giải: Ta có  2 2' 3 3 3y x m x m    . Để hàm số có CĐ và CT 0m  
Gọi A, B là 2 cực trị thì    ;2 2 ; ;2 2A m m m B m m m   
PT đường thẳng đi qua AB là:    42 2 2 2
2
m my m m x m y mx
m

       
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB là  
2
2 1
;
4 1
m
d I AB
m



 độ dài đoạn 34 16AB m m  
Mà diện tích tam giác IAB là 3
2
2 1118 4 16 18
2 4 1
m
S m m
m

   

      
  
2 23 2
3 2 2
4 16 2 1 4 1 4.18 2 1 18
4 4 18 0 2 4 4 9 0 2
m m m m m m
m m m m m m m
       
           
6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách đều điểm M cho trước: 
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính 
giá trị 1 2;y y ) 
+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là MA=MB 
7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=ax+b 
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính 
giá trị 1 2;y y ) 
+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là: Đường thẳng đi qua điểm cực đại 
cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b và trung điểm của AB thuộc đường thẳng y=ax+b 
www.VNMATH.com
 6 
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 2 2( ) 3f x x x m x m    có CĐ và CT đối xứng nhau qua 
  1 5:
2 2
y x   . 
Giải: Hàm số có CĐ, CT   3 26 0f x x x m     có 2 nghiệm phân biệt 
2 29 3 0 3 3m m m         . 
thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có:    
2
21 2( ) 1 ( ) 3
3 3 3
mf x x f x m x m      
với 3m  thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f(x) đạt cực trị tại x1, x2. 
Do 
 
 
1
2
0
0
f x
f x
 

 
 nên 
   
   
2
2
1 1 1
2
2
2 2 2
2 3
3 3
2 3
3 3
my f x m x m
my f x m x m

    

     
. Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT 
có phương trình    
2
22: 3
3 3
md y m x m    
Các điểm cực trị    1 1 2 2; , ;A x y B x y đối xứng nhau qua    
1 5:
2 2
y x d      và trung 
điểm I của AB phải thuộc (d) 
 
 
2
2
2
2 3 2; 1 03 0
( 1) 02 1 53 .1 .1
3 3 2 2
Im x m
m
m mmm m
     
    
      

 Ví dụ 2) Cho hàm số  3 23 2 my x x mx C    
Tìm m để hàm số(Cm) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số 
cách đều đường thẳng : 1 0d x y   
Giải: 
Ta có 2 2' 3 6 ; ' 0 3 6 0y x x m y x x m        (1) 
Hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 3m  
Giả sử    1 1 2 2; , ;A x y B x y là hai điểm cực trị của hàm số (Cm), ( 1 2,x x là 2 nghiệm của (1)). 
Vì 1'. 2 1 2
3 3 3 3
x m my y x           
   
 và    1 2' ' 0y x y x  nên phương trình đường thẳng đi 
qua A,B là  2 1 2 '
3 3
m my x d     
 
. Do đó các điểm A,B cách đều đường thẳng (d) trong 2 
trường hợp sau: 
TH1: (d’) cùng phương với (d)
92 1 1
3 2
m m      
 
 (không thỏa mãn) 
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên (d). Do I là trung điểm của AB nên tọa độ I là: 
www.VNMATH.com
 7 
1 2
1 2
1
2
2
x xx
y yy m
  

  

. Vì I nằm trên (d) nên ta có 1 1 0 0m m     (thỏa mãn). 
Chú ý: Cần phân biệt rõ 2 khái niệm cách đều và đối xứng qua một đường thẳng. 
8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa điểm cực đại cực tiểu max, 
min 
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính 
giá trị 1 2;y y ) 
+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B. Tính độ dài AB theo tham số. Dùng phương pháp 
đạo hàm để tìm max, min 
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 21( ) 1
3
f x x mx x m     có khoảng cách giữa các điểm CĐ, 
CT là nhỏ nhất. 
Giải: Do   2 2 1 0f x x mx     có 2 1 0m    nên f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và 
hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với các điểm cực trị là .    1 1 2 2; , ;A x y B x y 
Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có:    21 2 2( ) . ( ) 1 13 3 3f x x m f x m x m
       
 
Do 1
2
( ) 0
( ) 0
f x
f x
 
  
 nên 
 
 
2
1 1 1
2
2 2 2
2 2( ) 1 1
3 3
2 2( ) 1 1
3 3
y f x m x m
y f x m x m
        
  

          
Ta có          22 2 2 22 22 1 2 1 2 1 2 14 19AB x x y y x x m x x         
   
 
22 2
2 1 1 2
22 2
44 1 1
9
4 4 2 134 4 1 1 4 1
9 9 3
x x x x m
m m AB
          
             ...  khi m=1/4 
b) Biện luận số nghiệm 04634 23  axxx 
Câu 5) Cho hàm số xxy 34 3  (C ) 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C ) 
www.VNMATH.com
 45 
b) Tìm m để phương trình mmxx 4434 33  có 4 nghiệm phân biệt 
Câu 6) Cho hàm số )1()1(33 2223  mxmmxxy 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1 
b) Tìm m để hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương 
Câu 7) Cho hàm số )5(2)75()21(2 23  mxmxmxy 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 5/7 
b) Tìm m để đồ thị hs cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ nhỏ hơn 1. 
Câu 8) Tìm m để đồ thị hs mmxmmmxxy  223 9)4(23 cắt trục Ox tại 3 điểm tạo 
thành 1 cấp số cộng 
Câu 9) Tìm m để hàm số 8)45()13( 23  xmxmxy cắt Ox tại 3 điểm lập thành cấp số 
nhân 
Câu 10) Tìm m để hàm số 12)1(2 24  mxmxy Cắt Ox tại 4 điểm tạo thành cấp số cộng 
Câu 11) Chứng minh rằng đồ thị hs 
1
12



x
xy có 2 trục đối xứng 
Câu 12) Tìm m để hàm số 818)3(32 23  mxxmxy có đồ thị tiếp xúc với trục Ox 
Câu 13) Cho hàm số 23 24  xxy 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hs 
b) Biện luận số nghiệm phương trình mxx  )1(2 22 
Câu 14) Cho hàm số 33 23  xxxy 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình 12)
3
3(12  mxx 
Phần bốn: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH 
Câu 1) Tìm M thuộc (H) 
2
53



x
xy để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của H là 
nhỏ nhất 
www.VNMATH.com
 46 
Câu 2) Tìm M thuộc (H) :
1
1



x
xy để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục toạ độ là nhỏ nhất 
Câu 3) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số (H): 
3
94



x
xy các điểm M1, M2 để 21MM nhỏ 
nhất 
Câu 4) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số 
1
522



x
xxy các điểm M, N để độ dài MN 
nhỏ nhất 
Câu 5) Tìm trên đồ thị hàm số 
1
222



x
xxy điểm M sao cho MI nhỏ nhất với I là giao điểm 
2 đường tiệm cận 
Câu 6) Tìm m để hàm số y=-x+m cắt đồ thị hàm số 
2
12



x
xy tại 2 điểm A,B mà độ dài AB 
nhỏ nhất 
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP KHÁC 
Câu 1) Cho hàm số 4 22 1y x mx m    (1) , với m là tham số thực. 
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m   . 
2)Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành 
một tam giác có diện tích bằng 4 2 . 
Câu 2) Cho hàm số 4 22 1y x mx m    (1) , với m là tham số thực. 
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m  . 
2)Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị 
 tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. 
 Câu 3) Cho hàm số 4 2 22y x mx m m    (1) , với m là tham số thực. 
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 2m   . 
2) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành 
một tam giác có góc bằng 120 . 
Câu 4) Cho hàm số 4 22y x mx  (1), với m là tham số thực. 
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m   . 
2)Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực tiểu và hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và 
đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu ấy có diện tích bằng 1. 
Câu 5) Cho hàm số    4 2 22 2 5 5y f x x m x m m       
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1 
2/ Tìm các giá trị của m để ®å thÞ hµm sè có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác 
vuông cân. 
Câu 6) Cho hàm số 3 21 2 3
3
y x x x   (1) 
www.VNMATH.com
 47 
1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) . 
2)Gọi ,A B lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M thuộc trục 
hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2. 
Câu 7) Cho hàm số 3 26 9 4y x x x    (1) 
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 
2)Xác định k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) có cùng hệ số góc k . Gọi hai 
tiếp điểm là 1 2,M M . Viết phương trình đường thẳng qua 1M và 2M theo k . 
Câu 8) Cho hàm số 3 23 4y x x    (1) 
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 
2. Giả sử , ,A B C là ba điểm thẳng hàng thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến với (C) tại , ,A B C tương 
ứng cắt lại (C) tại ' ' ', ,A B C . Chứng minh rằng ba điểm ' ' ', ,A B C thẳng hàng. 
Câu 9) Cho hàm số 3 3 1y x x   (1) 
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 
2)Đường thẳng ( ): 1y mx  cắt (C) tại ba điểm. Gọi A và B là hai điểm có hoành độ khác 0 
trong ba điểm nói ở trên; gọi D là điểm cực tiểu của (C). Tìm m để góc ADB là góc vuông. 
Câu 10) Cho hàm số  3 2 2 23 3 1 3 1y x x m x m       (1), với m là tham số thực. 
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m  . 
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với 
gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O . 
Câu 11) Cho hàm số    22 2 1y x x   (1) 
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 
2.Tìm m để đồ thị (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng y mx . Giả sử ,M N là các 
tiếp điểm. Hãy chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng MN là một điểm cố định (khi m 
biến thiên) 
Câu 12) Cho hàm số 3 23 4y x x   (1) 
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 
2)Gọi kd là đường thẳng đi qua điểm  1;0A  với hệ số góc k  k R . Tìm k để đường thẳng 
kd cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm ,B C ( B và C khác A ) cùng với gốc toạ 
độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. 
 Câu 13) Cho hàm số 3 23 4y x x   (1) 
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 
2)Cho điểm  1;0I  . Xác định giá trị của tham số thực m để đường thẳng :d y mx m  cắt đồ 
thị (C) tại ba điểm phân biệt , ,I A B sao cho 2 2AB  . 
Câu 14) Cho hàm số: 3 2 2 22( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m        
1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0 
2.Tìm m để hàm số có cực trị , đồng thời các điểm cực trị 1 2;x x thoả mãn : 
 1 2
1 2
1 1 1 ( )
2
x x
x x
   
Câu 15) Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong đó m là tham số. 
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = - 1. 
www.VNMATH.com
 48 
2)Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CĐ= xCT. 
Câu 16 
Cho hàm số 3 2y (m 2)x 3x mx 5     , m là tham số 
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 0 
2)Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là 
các số dương. 
Câu 17) Cho hàm số 2 1
2
xy
x



 (1) 
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  H của hàm số (1) . 
2.Chứng minh rằng đồ thị  H có vô số cặp tiếp tuyến song song, đồng thời các đường thẳng 
nối tiếp điểm của các cặp tiếp tuyến này luôn đi qua một điểm cố định. 
Câu 18) Cho hàm số  
x
xxf



1
12 ( H ) 
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số 
2/ Gọi (∆) là tiếp tuyến tại điểm M( 0; 1 ) với đồ thị (H). Hãy tìm trên (H) những điểm có hoành 
độ x > 1 mà khoảng cách từ đó đến (∆) là ngắn nhất. 
Câu 19) Cho hàm số 
2
m xy
x



 (Hm). Tìm m để đường thẳng d:2x+2y-1=0 cắt (Hm) tại 2 điểm 
phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3
8
Câu 20) Cho hàm số 2 3
2
xy
x



. Tìm những điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại M cắt 
hai tiệm cận tại A, B sao cho vòng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất. Với I là 
giao điểm của hai đường tiệm cận 
Câu 21) Tìm m để hàm số 3 2y x mx   cắt Ox tại một điểm duy nhất 
Câu 22) Cho hàm số 2 1
2
xy
x



 (C). Tìm hai điểm M, N thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M, N 
song song với nhau và khoảng cách giữa hai tiếp tuyến là lớn nhất 
Câu 23) Cho hàm số 2 4
1
xy
x



 (H). Gọi d là đường thẳng có hệ số góc k đi qua M(1;1). Tìm k 
để d cắt (H) tại A, B mà 3 10AB  
Câu 24) Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 2y x mx m   cắt trục Ox tại một điểm duy nhất 
 Câu 25) Cho hàm số: 2
1
xy
x



(C) 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số 
2) Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương 
ứng nằm về 2 phía của trục hoành 
Câu 26) Cho hàm số 3 3 2y x x   (C) 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) 
2) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) ở N mà 2 6MN  
www.VNMATH.com
 49 
Câu 27) Cho hàm số 2 ( )m xy H
x m



 và A(0;1) 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1 
2) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận . Tìm m để trên đồ thị tồn tại điểm B sao cho tam 
giác IAB vuông cân tại A. 
Câu 28) Cho hàm số 4 22y x x  (C) 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
2) Lấy trên đồ thị hai điểm A, B có hoành độ lần lươt là a, b.Tìm điều kiện a và b để tiếp tuyến 
tại A và B song song với nhau. 
Câu 29) Cho hàm số 2
2 2
xy
x



 (H) 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H). 
2) Tìm m để đường thẳng (d): y=x+m cắt đồ thị hàm số (H) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 
2 2 37
2
OA OB  
Câu 30) Cho hàm số y  3 22 (1 )y x x m x m     (1), m là tham số thực. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1. 
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3; ;x x x thoả 
mãn điều kiện 2 2 21 2 3 4x x x   
Câu 31) Cho hàm số 2 1
1
xy
x



 Tìm m để đường thẳng y=-2x+m cắt đồ thị tại hai điểm phân 
biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 
Câu 32) Cho hàm số 
1
23



x
xy (1) 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1;3) cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B 
sao cho 32AB . 
Câu 33) Cho hàm số 3 23 3(1 ) 1 3y x x m x m      (Cm). Tìm m để hàm số có cực đại cực 
tiểu đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 4 
Câu 34) Cho hàm số 3 1( )
1
xy H
x



 và đường thẳng ( 1) 2y m x m    (d) Tìm m để đường 
thẳng (d) cắt (H) tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3
2
Câu 35) Cho hàm số 1( )
1
xy H
x



. Tìm điểm M thuộc (H) để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục 
toạ độ là nhỏ nhất. 
Câu 36) Cho hàm số y = 
1
2
x
x (H)Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx – m + 2 cắt đồ 
thị ( H ) tại hai điểm phân biệt A,B và đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. 
Câu 37) Cho hàm số 
1
12



x
xy viết phương trình tiếp tuyến cuả HS biết tiếp tuyến tạo với 2 
trục tọa độ tam giác có diện tích bằng 8 
www.VNMATH.com
 50 
Câu 38) Cho hàm số xmmxxy )3(
2
1
3
1 223  
1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 
2) Tìm m để hàm số có CĐ, CT và hoành độ CĐ, CT là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác 
vuông có cạnh huyền bằng 
2
5 
Câu 39) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số 3 23 1y x x   sao cho tiếp tuyến tại A, B song 
song với nhau và 4 2AB  
Câu 40) Tìm m để hàm số 3 2 (2 1) 2y x mx m x m      cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành 
độ dương 
Câu 41) Tìm m để đường thẳng y=x+4 cắt đồ thị hàm số 3 22 ( 3) 4y x mx m x     tại 3 điểm 
phân biệt A, B,C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (Điểm B, C có hoành độ khác 0, 
M(1;3)) 
www.VNMATH.com