Phần I: Các bài toán về đa thức

Phần I: Các bài toán về đa thức
1. Tính giá trị của biểu thức:
Bài 1: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1
 Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P()
H.Dẫn:
- Lập công thức P(x)
- Tính giá trị của đa thức tại các điểm: dùng chức năng 
- Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) = 
 P(-5,1289) = ; P() =
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 tại x = 0,53241
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 tại x = -2,1345
H.Dẫn:
- áp dụng hằng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1). Ta có:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 = 
Từ đó tính P(0,53241) = 
Tương tự: 
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 +...+ x8) = 
Từ đó tính Q(-2,1345) = 
Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25. Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? 
H.Dẫn:
Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:
+ Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x)
+ Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ hơn 5, nghĩa là:
Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e
Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:
 ị a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1
Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2 
Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc của Q(x) bằng 5 có hệ số của x5 bằng 1 nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) 
ị P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2. 
Từ đó tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = 
Bài 4: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11. Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
- Giải tương tự bài 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Từ đó tính được: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = 
Bài 5: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10. Tính 
H.Dẫn:
- Giải tương tự bài 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + . Từ đó tính được: 
Bài 6: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là k, k ẻ Z thoả mãn:
f(1999) = 2000; f(2000) = 2001
Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) là hợp số.
H.Dẫn:
* Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b). Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0
 ị g(x) = f(x) - x - 1
* Tính giá trị của f(x):
- Do bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho:
 (x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)
 ị f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + 1.
Từ đó tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số.
Bài 7: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn:
 f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ?
H.Dẫn:
- Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0 ị a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:
 ị bằng MTBT ta giải được: 
ị g(x) = f(x) - x2 - 2
 - Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) ị f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + 2.
Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) = 
Bài 8: Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức)
 H.Dẫn:
- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nên: 
 lấy 3 phương trình cuối lần lượt trừ cho phương trình đầu và giải hệ gồm 3 phương trình ẩn a, b, c trên MTBT cho ta kết quả: 
ị ị 
Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều được dư là 6 và f(-1) = -18. Tính f(2005) = ?
H.Dẫn:
- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18
- Giải tương tự như bài 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x 
Từ đó tính được f(2005) = Bài 10: Cho đa thức 
a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
Giải:
a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0
b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên 
Vì giữa 9 só nguyên liên tiếp luôn tìm được các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với mọi x nguyên thì tích: chia hết cho 2.5.7.9 (tích của các số nguyên tố cùng nhau). Chứng tỏ P(x) là số nguyên với mọi x nguyên.
Bài 11: Cho hàm số . Hãy tính các tổng sau:
H.Dẫn:
* Với hàm số f(x) đã cho trước hết ta chứng minh bổ đề sau: 
 Nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1
* áp dụng bổ đề trên, ta có: 
a) 
b) Ta có . Do đó:
2. Tìm thương và dư trong phép chia hai đa thức:
Bài toán 1: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax + b)
Cách giải:
 - Ta phân tích: P(x) = (ax + b)Q(x) + r ị ị r = 
Bài 12: Tìm dư trong phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5)
Giải:
- Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r ị ị r = 
Tính trên máy ta được: r = = 
Bài toán 2: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a)
Cách giải:
- Dùng lược đồ Hoocner để tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a)
Bài 13: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5)
H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có:
1
0
-2
-3
0
0
1
-1
-5
1
-5
23
-118
590
-2950
14751
-73756
* Tính trên máy tính các giá trị trên như sau:
 5 
1 0 (-5) : ghi ra giấy -5
 2 (23) : ghi ra giấy 23
 3 (-118) : ghi ra giấy -118
 0 (590) : ghi ra giấy 590
 0 (-2950) : ghi ra giấy -2950
 1 (14751) : ghi ra giấy 14751
 1 (-73756) : ghi ra giấy -73756
x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756
Bài toán 3: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b)
Cách giải:
- Để tìm dư: ta giải như bài toán 1
- Để tìm hệ số của đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương trong phép chia đa thức P(x) cho (x +) sau đó nhân vào thương đó với ta được đa thức thương cần tìm.
Bài 14: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)
Giải:
- Thực hiện phép chia P(x) cho , ta được:
P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = . Từ đó ta phân tích:
P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 2... 
 = (2x - 1). 
Bài 15: Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x +2
H.Dẫn:
- Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi đó: 
P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)
Ta có: 
Tính trên máy giá trị của đa thức P1(x) tại ta được m = 
Bài 16: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n. Tìm m, n để hai đa thức trên có nghiệm chung 
H.Dẫn:
 là nghiệm của P(x) thì m = , với P1(x) = 3x2 - 4x + 5
 là nghiệm của Q(x) thì n = , với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7.
Tính trên máy ta được: m = = ;n = =
Bài 17: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n.
a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)
b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có duy nhất một nghiệm.
H.Dẫn:
a) Giải tương tự bài 16, ta có: m = ;n = 
b) P(x) (x - 2) và Q(x) (x - 2) ị R(x) (x - 2)
Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - 6 = (x - 2)(x2 + x + 3), vì x2 + x + 3 > 0 với mọi x nên R(x) chỉ có một nghiệm x = 2.
Bài 18: Chia x8 cho x + 0,5 được thương q1(x) dư r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 được thương q2(x) dư r2. Tìm r2 ?
H.Dẫn:
- Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1
 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2
- Dùng lược đồ Hoocner, ta tính được hệ số của các đa thức q1(x), q2(x) và các số dư r1, r2:
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
-1
Vậy: 
Phần II: Các bài toán về Dãy số
Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm ưu việt hơn các MTBT khác. Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính các số hạng của một dãy số là một ví dụ. Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý một quy trình bấm phím sẽ cho kết quả nhanh, chính xác. Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, ước đoán về các tính chất của dãy số (tính đơn điệu, bị chặn...), dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số, tính hội tụ, giới hạn của dãy...từ đó giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải bài toán một cách sáng tạo. Việc biết cách lập ra quy trình để tính các số hạng của dãy số còn hình thành cho học sinh những kỹ năng, tư duy thuật toán rất gần với lập trình trong tin học.
Sau đây là một số quy trình tính số hạng của một số dạng dãy số thường gặp trong chương trình, trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT:
I/ Lập quy trình tính số hạng của dãy số:
1) Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát:
un = f(n), n ẻ N* 
 trong đó f(n) là biểu thức của 
 n cho trước.
Cách lập quy trình:
- Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ : 1 
- Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ 1
- Lặp dấu bằng: ... ...
Giải thích: 
1 : ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ 
 1 : tính un = f(n) tại giá trị (khi bấm dấu bằng thứ lần nhất) và thực hiện gán giá trị ô nhớ thêm 1 đơn vị:1 (khi bấm dấu bằng lần thứ hai).
* Công thức được lặp lại mỗi khi ấn dấu 
Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
Giải:
- Ta lập quy trình tính un như sau:
 1 
 1 5 1 5 2 1 5 2 1
- Lặp lại phím: ... ...
Ta được kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, 
u9 = 34, u10 = 55.
2) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
 trong đó f(un) là biểu thức của 
 un cho trước.
Cách lập quy trình:
- Nhập giá trị của số hạng u1: a 
- Nhập biểu thức của un+1 = f(un) : ( trong biểu thức của un+1 chỗ nào có un ta nhập bằng )
- Lặp dấu bằng: 
Giải thích:
- Khi bấm: a màn hình hiện u1 = a và lưu kết quả này 
- Khi nhập biểu thức f(un) bởi phím , bấm dấu lần thứ nhất máy sẽ thực hiện tính u2 = f(u1) và lại lưu kết quả này.
- Tiếp tục bấm dấu ta lần lượt được các số hạng của dãy số u3, u4...
Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau:
1 (u1)
 2 1 (u2)
 ... 
- Ta được các giá trị gần đúng với 9 chữ số thập phân sau dấu phảy:
u1 = 1 u8 = 1,414215686
u2 = 1,5 u9 = 1,414213198
u3 = 1,4 u10 = 1,414213625
u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552
u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564
u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562
u7 = 1,414201183 u14 =...= u20 = 1,414213562
Ví dụ 2: Cho dãy số được xác định bởi:
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên.
Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau:
 3 (u1)
 3 (u2)
 (u4 = 3)
Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u4 = 3 là số nguyên.
3) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
Cách lập quy trình:
* Cách 1:
 Bấm phím: b A B a C 
 Và lặp lại dãy phím:
 A B C 
 A B C 
 Giải thích: Sau khi thực hiện
 b A B a C 
trong ô nhớ là u2 = b, máy tính tổng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C và đẩy vào trong ô nhớ , trên màn hình là: u3 : = Au2 + Bu1 + C
Sau khi thực hiện: A B C máy tính tổng u4 := Au3 + Bu2 + C và đưa vào ô nhớ . Như vậy khi đó ta có u4 trên màn hình và trong ô nhớ (trong ô nhớ vẫn là u3).
Sau khi thực hiện: A B C máy tính tổng u5 := Au4 + Bu3 + C và đưa vào ô nhớ . Như vậy khi đó ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ (trong ô nhớ vẫn là u4).
Tiếp tục vòng lặp ta được dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C
*Nhận xét: Trong  ... diện tích hình vuông cấp 2).
 S1 = 	( là cạnh hình vuông cấp 2).
Tương tự, tính diện tích 4 cánh hoa trắng cấp 2 và cấp 3:
 ( là cạnh hình vuông cấp 3).
 ( là cạnh hình vuông cấp 4).
Rút gọn: S1 = a2(- 2) - 2b2; S2 = b2(- 2) - 2c2; S3 = c2(- 2) - 2d2 ; 
 Strắng=S1+S2+S3 =(a2 + b2 + c2)-4(b2 + c2)-2 (a2 + d2).
b) Ta có: = 300; b = QM = 2MK = 2a.sin150 = a(2sin150).
Tương tự: c = 2b.sin150 = a(2sin150)2; d = 2c.sin150 = a(2sin150)3.
Ký hiệu x = 2sin150, ta có: b = a.x; c = ax2; d = ax3.
Thay vào công thức tính diện tích Strắng ta được:
 Strắng = (a2 + a2 x2 + a2 x4) - 4(a2 x2 + a2 x4) - 2(a2 + a2 x6)
 = (1 + x2 + x4) - 4a2(x2 + x4) - 2a2(1 + x6)
ấn phím: 1524
 140440
 4240
 16(1298.36)
Vậy Strắng 1298,36 cm2.
Bấm tiếp phím: 40(301.64) 
Vậy Sgạch xọc 301,64 cm2.
Bấm tiếp phím: (23.23) 
Vậy 23,23%.
Đáp số: 1298,36 cm2; 23,23%.
B
A'
O
A
B'
C
Bài 14. Cho tam giác đều có cạnh là và tâm là O. Vẽ các cung tròn qua hai đỉnh và trọng tâm O của tam giác được hình 3 lá. Gọi là các trung điểm các cạnh BC, CA và AB. 
Ta lại vẽ các cung tròn qua hai trung điểm và 
điểm O, ta cũng được hình 3 lá nhỏ hơn.
a) Tính diện tích phần cắt bỏ (hình gạch xọc) 
của tam giác ABC để được hình 6 lá còn lại.
b) Tính tỉ số phần trăm giữa phần cắt bỏ 
và diện tích của tam giác ABC.
Giải: cũng là tam giác đều 
nhận O làm tâm (vì cũng là các đường cao, đường trung tuyến của ). 6 chiếc lá chỉ có điểm chung duy nhất là O, nghĩa là không có phần diện tích chung.
Mỗi viên phân có góc ở tâm bằng 600, bán kính bằng đường cao tam giác đều. Gọi S1 là diện tích 1 viên phân. Khi ấy S1 = =(2-3).
Ta có: =.
Gọi S là diện tích 3 lá lớn, S' là diện tích 3 lá nhỏ. Khi ấy:
 S =6S1 =(2-3)=(2-3). 
Gọi cạnh tam giác đều là b, tương tự ta cũng có:
 S'=(2-3) =(2-3).
Tổng diện tích 6 lá là: S + S' = (2-3)().
Diện tích phần gạch xọc (phần cắt bỏ) là S''.
 S''=-(S + S')=- (2-3)(.
Tính : 33.3334(481.0290040)
Tính S'' : 73851233.33(229.4513446)
Vậy S'' 229,45 cm2.
ấn tiếp phím để tính : Kết quả: 47.70 
Đáp số: S'' 229,45 cm2; 47,70 %.
 Phần VI. Hình học không gian
Bài 15. (Sở GD&ĐT Hà Nội, 1996, vòng trường, lớp 10)
 1) Tính thể tích của hình cầu bán kính .
 2) Tính bán kính của hình cầu có thể tích .
Giải: 1) Ta có công thức tính thể tích hình cầu: .
Tính trên máy: 3.173343(133.8131596)
 2) Từ công thức suy ra .
áp dụng: 3137.45413(3.20148673)
Đáp số: ; .
A
B
C
D
I
G
Bài 16. (Sở GD & ĐT TP HCM, 1998, vòng chung kết, PTTH & PTCB)
Tính góc trong phân tử mêtan (: Hydro, : Carbon). 
Giải: Gọi là tâm tứ diện đều cạnh là , là tâm 
tam giác đều. Góc trong phân tử mêtan chính là 
góc của tứ diện . Khi ấy ta có: . 
Suy ra 
 và . Gọi là điểm giữa . Khi ấy .
Tính:232()
Đáp số: .
Bài 17. (Sở GD & ĐT TP HCM, 1998, vòng chung kết, PTTH & PTCB)
Cho hình chóp tứ giác đều , biết trung đoạn , góc giữa cạnh bên và đáy bằng . Tính thể tích.
A
B
C
D
S
H
M
Giải: Gọi cạnh đáy của chóp tứ giác đều là , chiều cao là , là góc giữa cạnh bên và đáy. Khi ấy hay . Mặt khác,
 hay .
Suy ra và .
Thể tích tứ diện được tính theo công thức: 
.
Tính trên máy:
4233.41534217
1232(15.795231442)
Đáp số: .
 Phần VII. Phương pháp lặp giải gần đúng 
 phương trình 
Nội dung phương pháp: Giả sử phương trình có duy nhất nghiệm trong khoảng . Giải phương trình bằng phương pháp lặp gồm các bước sau: 
1. Đưa phương trình về phương trình tương đương . 
2. Chọn làm nghiệm gần đúng ban đầu. 
3.Thay vào vế phải của phương trình ta được nghiệm
gần đúng thứ nhất . Thay vào vế phải của phương 
trình ta được nghiệm gần đúng thứ hai . Lặp lại quá trình trên, ta nhận được dãy các nghiệm gần đúng
, , , ,...,, ...
Nếu dãy các nghiệm gần đúng , hội tụ, nghĩa là tồn tại thì (với giả thiết hàm là liên tục trong khoảng ) ta có:
.
Chứng tỏ là nghiệm đúng của phương trình và do đó cũng là nghiệm đúng của phương trình .
Tính hội tụ: Có nhiều phương trình dạng tương đương với phương trình . Phải chọn hàm số sao cho dãy xây dựng theo phương pháp lặp là dãy hội tụ và hội tụ nhanh tới nghiệm. Ta có tiêu chuẩn sau.
Định lý. Giả sử là khoảng cách ly nghiệm của phương trình và phương trình tương đương với phương trình . Nếu và là những hàm số liên tục sao cho thì từ mọi vị trí ban đầu dãy xây dựng theo phương pháp lặp sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất trong khoảng của phương trình . 
Thí dụ 1. Giải phương trình .
Phương trình này có duy nhất nghiệm trong khoảng và tương đương với
. Do có đạo hàm thỏa mãn điều kiện trong khoảng nên dãy lặp hội tụ tới nghiệm duy nhất từ một điểm bất kỳ trong khoảng . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
Khai báo hàm : 
1
Bắt đầu tính toán bằng máy hiện X? 
Khai báo giá trị ban đầu và bấm phím . 
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : 
Khai báo giá trị ban đầu bằng cách bấm phím . 
Khai báo dãy xấp xỉ : 
1
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến . 
Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là .
Thí dụ 2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình .
Vì có đạo hàm nên nó đồng biến trên 
toàn trục số. Hơn nữa, , nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất nằm trong khoảng . 
Phương trình đã cho tương đương với . 
Đặt thì nên . 
Do đó dãy lặp hội tụ từ mọi điểm bất kỳ trong khoảng . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
Khai báo : 3
Bắt đầu tính toán bằng máy hiện X? 
Khai báo giá trị ban đầu : 12 và bấm phím . 
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến
.
Vậy nghiệm gần đúng là .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : 
Khai báo giá trị ban đầu : 12 và bấm phím . 
Khai báo dãy xấp xỉ : 3
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến . 
Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là 
Nhận xét 1. Nếu chỉ đòi hỏi nghiệm chính xác đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy thì chỉ cần sau 13 bước lặp ta đã đi đến nghiệm là 0,79206.
Nhận xét 2. Nếu ta đưa phương trình về dạng thì có đạo hàm không thỏa mãn điều kiện 
nên ta chưa thể nói gì được về sự hội tụ của dãy lặp.
Nhận xét 3. Chọn điểm xuất phát ([2], trang 62) thì cần nhiều bước lặp hơn.
Dùng lệnh solve để giải phương trình trên Maple:
> solve(exp(x)+x-3,x);
 -LambertW(exp(3)) + 3
Máy cho đáp số thông qua hàm LambertW. 
Ta có thể tính chính xác nghiệm đến 30 chữ số nhờ lệnh:
> evalf(",30);
 .79205996843067700141839587788 
Lời bình: Maple cho ta đáp số đến độ chính xác tuỳ ý.
Thí dụ 3. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình .
Vì là một hàm đồng biến ngặt trên . Hơn nữa và nên phương trình có duy nhất nghiệm trên khoảng . 
Phương trình đã cho tương đương với . 
Vì nên với mọi nên dãy lặp hội tụ.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
Khai báo : 
Bắt đầu tính toán bằng máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu : 
12 và bấm phím . Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến . Vậy nghiệm gần đúng là .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS: 
Khai báo giá trị ban đầu : 12 và bấm phím . 
Khai báo : 
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến . 
Vậy nghiệm gần đúng là .
Thí dụ 4. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình .
Vì có đạo hàm và chỉ bằng tại một số điểm rời rạc nên nó là hàm đồng biến ngặt. Do và nên phương trình có duy nhất nghiệm trong khoảng . 
Hiển nhiên với mọi với đủ nhỏ nên dãy hội tụ trong khoảng .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
ấn phím (tính theo Radian). 
Khai báo : 
Bắt đầu tính toán bằng máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu và bấm phím . Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến .
Dãy lặp trên máy Casio fx-500 MS hoặc Casio fx-570 MS: 
Bấm phím (tính theo Radian) trên Casio fx-570 MS hoặc (tính theo Radian) trên Casio fx-500 MS. 
Khai báo giá trị ban đầu : 1.5 và bấm phím . 
Khai báo : 
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến . 
Thí dụ 5. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình .
Vì , , , và là phương trình là bậc 3 nên nó có đúng 3 nghiệm trong các khoảng , ,. 
Phương trình trên tương đương với . Xét khoảng .
 Đặt . Ta có nên dãy hội tụ trong khoảng .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
ấn phím (tính theo số thực). 
Khai báo : 31
Bắt đầu tính toán bằng máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu và bấm phím . 
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : 
Khai báo giá trị ban đầu : 1 và bấm phím . 
Khai báo : 31
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến . 
Vậy một nghiệm gần đúng là .
Dùng sơ đồ Horner để hạ bậc, sau đó giải phương trình bậc hai ta tìm được hai nghiệm còn lại là: và .
Chú ý: Để tính nghiệm ta không thể dùng phương trình tương đương như trên vì không thỏa mãn điều kiện trong khoảng và dãy lặp không hội tụ (Hãy thử khai báo giá trị ban đầu và thực hiện dãy lặp theo quy trình bấm phím trên, ta sẽ thấy dãy lặp hội tụ tới ). 
Nhận xét 1: Có thể giải phương trình trên Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-570 MS theo chương trình cài sẵn trên máy, quy trình bấm phím sau: 
Vào giải phương trình bậc ba: 
Khai báo hệ số: 
Máy hiện đáp số . 
Bấm tiếp phím , máy hiện .
Bấm tiếp phím , máy hiện .
Vậy phương trình có ba nghiệm thực 
;; .
Thí dụ 6. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành (chính xác đến ). 
Giải: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành chính là nghiệm của phương trình .
Vì , , , và nên phương trình có 3 nghiệm trong các khoảng ,và .
Phương trình tương đương với . 
Đặt thì và . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
Bấm phím (tính theo số thực). 
Khai báo : 31
Bắt đầu tính toán bằng máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu và bấm phím . 
Sau đó thực hiện dãy lặp ta đi đến nghiệm .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : 
Khai báo giá trị ban đầu : 2.7. 
Khai báo : 31
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến . 
Vậy một nghiệm gần đúng là .
Hai nghiệm còn lại có thể tìm bằng phương pháp lặp hoặc phân tích ra thừa số rồi tìm nghiệm của phương trình bậc hai hoặc một lần nữa dùng phương pháp lặp.
Bài tập
Bài tập 1. Tìm khoảng cách ly nghiệm của các phương trình sau đây:
1) ; 	2) ; 	3) .
Bài tập 2 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Tp. HCM, 24.11.1996). 
Giải phương trình (tìm nghiệm gần đúng của phương trình):
1) ;	 2) ;	 3);
4); 	5); 	6); 
7) ; 	8) ; 	9) Cho . 
Tìm một nghiệm gần đúng của ;
(Câu hỏi thêm cho trường chuyên Lê Hồng Phong): 
10a) ; 10b) .
Bài tập 3 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Hà Nội, 18.12.1996). 
Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình: 
1) ; 	 2) ; 	 	 3) ;
4) ; 	5) ; 	6) ;
7) Tìm một nghiệm gần đúng (lấy 3 số lẻ) của phương trình: ;
8) Tìm một nghiệm gần đúng (lấy 2 số lẻ thập phân) của: .
Bài tập 4 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Đồng Nai, 15.2.1998). 
Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình:
1) ;	2) ; 	3) ; 	4) .
Bài tập 5 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Tp. HCM, 15.3.1998). 
Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình:
1) ; 	 2) ;
3) Tìm nghiệm âm gần đúng của phương trình: ;
4) (Câu hỏi thêm cho trường chuyên Lê Hồng Phong):
Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình .
Bài tập 6. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình trên máy tính điện tử bỏ túi: 
; 	2) ; 	3);
4) ; 	5) ; 	 6) ; 
7) ;	8) ; 	9) ;
; 	11) ; 	12); 
13); 	14) ; 	15) 
16) ;	17) ; 	18) ; 	
19) ; 	20) ; 	21); 22) .