Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng môn Toán - Đề 5

Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 1/10 
GỢI Ý GIẢI ĐỀ 05 
Câu I.1: 
Cho hàm số ( ) ( )3 22 3 2 1 6 1 1y x m x m m x= - + + + + có đồ thị là ( )mC . 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi 0m = . 
Học sinh tự giải 
Câu I.2: 
Tìm m để ( )mC có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng 
( ) : 2d y x= + 
· Tập xác định của hàm số : D = ¡ 
· Đạo hàm : ( ) ( )26 6 2 1 6 1y x m x m m¢ = - + + + ( ) ( )( )26 2 1 1x m x m m= - + + + 
Điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu là tam thức ( ) ( )2 2 1 1x m x m m- + + + có hai 
nghiệm phân biệt ( ) ( )22 1 4 1 0m m mD = + - + > 
2 24 4 1 4 4 1 0,m m m m mÛ + + - - = > " Ρ 
Suy ra 
1
0
x m
y
x m
= +é¢ = Û ê =ë
Tr/hợp này, đã có hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu ta dễ dàng tính được tung độ các 
điểm cực đại, cực tiểu bằng cách thế trực tiếp vào p/trình hàm số 
Với ( ) ( )( ) ( )3 2 2 3 21 2 1 3 2 1 1 6 1 1 2 3x m y m m m m m m m= + Þ = + - + + + + + = + 
Với x m= , ta có ( ) ( )3 2 3 22 3 2 1 6 1 1 2 3 1y m m m m m m m= - + + + + = + + 
Ta có tọa độ hai điểm cực trị là 
( )3 21;2 3A m m m+ + và ( )3 2;2 3 1B m m m+ + 
Trung điểm hai cực trị có tọa độ 3 21 1;2 3
2 2
I m m mæ ö+ + +ç ÷
è ø
· Ta có ( )1;1AB =
uuur
, vecto chỉ phương của ( ) : 2 0d x y- + = là ( )1; 1u = -
r
( ). 1.1 1. 1 0AB u = + - =
uuur r
AB uÞ ^
uuur r
. Suy ra đường thẳng AB luôn vuông góc với ( )d . 
· Vậy điều kiện đủ để hai điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng ( ) : 2d y x= + là 
trung điểm I của hai điểm cực trị nằm trên ( )d . 
Tức là 3 2 1 12 3 2
2 2
m m m+ + = + + 3 22 3 2 0m m mÛ + - - = 
( )( )21 2 2 0m m mÛ + + - =
1
1 17
4
m
m
= -é
êÛ - ±ê =êë
· Tóm lại có ba giá trị của m thỏa đề bài là 1 171;
4
m m
- ±
= = 
Nhận xét: Với bài toán dạng này mà nghiệm của 0y¢ = lẻ thì ta viết ph/trình đường 
thẳng ( )D đi qua hai điểm cực trị. 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 2/10 
Rồi sử dụng điều kiện cần để hai cực trị đối xứng nhau qua ( )d là ( ) ( )dD ^ . 
Ta có tích hệ số góc của ( )D và ( )d bằng 1- . Giải tìm được m. 
Sau đó thử lại bằng cách tính tọa độ các điểm cực trị và kiểm tra xem trung điểm của 
hai cực trị có thuộc ( )d hay không rồi kết luận. 
Còn có cách khác đó, các em hãy tìm thêm nhé ! 
Câu II.1: 
Giải phương trình 2 32 4 5 1x x+ = + (1) 
Biến đổi ph/trình về dạng ( ) ( ) ( ) ( ). . . 0a f x b g x c f x g x+ + = 
Cách giải: Xét ( ) 0g x = kiểm tả xem có thỏa mãn p/tr, rồi kết luận 
Với ( ) 0g x ¹ . Chi hai vế p/trình cho ( )g x và đặt ( )( )
0
f x
t
g x
= ³ . 
Ta có p/trình bậc hai 2 0at ct b+ + = , 0t ³ . 
· Điều kiện xác định: 3 1 0 1x x+ ³ Û ³ - 
· Ta có (1) ( ) ( ) ( )( )2 22 1 2 1 5 1 1x x x x x xÛ - + + + - + - + (2) 
Vì 
2
2 1 31 0,
2 4
x x x xæ ö- + = - + > " Îç ÷
è ø
¡ nên chia hai vế của (2) cho 2 1x x- + ta được 
2 2
1 1
2 2. 5 0
1 1
x x
x x x x
+ -
Û + - =
- + - +
 (3) 
Đặt 2
1
, 0
1
x
t t
x x
-
= ³
- +
, p/trình (3) trở thành 22 5 2 0t t- + = 
Giải ta được hai nghiệm 12;
2
t t= = 
· Với 2t = ta có 2 2
1 1
2 4
1 1
x x
x x x x
- -
= Û =
- + - +
( )2 24 1 1 4 5 3 0x x x x xÛ - + = + Û - + = . P/trình này vô nghiệm. 
· Với 1
2
t = ta có 2 2
1 1 1 1
2 41 1
x x
x x x x
- -
= Û =
- + - +
( )2 21 4 1 5 3 0x x x x xÛ - + = + Û - - = 5 37
2
x
±
Û = (thỏa đ/kiện 1x ³ - ) 
· Tóm lại p/trình (1) có hai nghiệm 5 37
2
x
±
= 
Câu II.2: 
Giải phương trình ( ) ( )1 23 1 3
3
log 2 1 .log 2 2 2log 2 0x x++ + + = (1) 
· Điều kiện xác định xΡ . 
· Ta có (1) ( ) ( )( ) 23 3 3log 2 1 . log 2 2 1 2log 2 0x xé ùÛ + - + + =ê úë û 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 3/10 
( ) ( ) 23 3 3 3log 2 1 log 2 log 2 1 2log 2 0x xé ùÛ - + + + + =ë û (2) 
Đặt ( )3log 2 1xt = + . 
Vì ( )32 0 2 1 1 log 2 1 0x x x> Þ + > Þ + > nên 0t > 
P/trình (2) trở thành ( ) 23 3log 2 2log 2 0t t- + + = ( )2 23 3log 2 2log 2 0t tÛ + - = 
Ph/trình này có hai nghiệm 3log 2 0t = > và 32log 2 0t = - < (loại) 
· Vậy ta có ( )3 3log 2 1 log 2 2 1 2 2 1 0x x x x+ = Û + = Û = Û = 
· Tóm lại, ph/trình (1) có một nghiệm duy nhất 0x = . 
Câu III: 
Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( )
( )
2
7
2
2 1
x
f x
x
+
=
-
Cách 1: 
· Tập xác định của hàm số ( ) ( )
( )
2
7
2
2 1
x
f x
x
+
=
-
 là : 
1
\
2
D ì ü= í ý
î þ
¡ 
Giả sử ( )
( )
2
62 1
ax bx c
F x
x
+ +
=
-
 là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( )
( )
2
7
2
2 1
x
f x
x
+
=
-
. 
Khi đó ta có ( ) ( ) 1,
2
F x f x x¢ = " ¹ 
( )( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
6 5 2 2
12 7
2 2 1 12 2 1 2
2 1 2 1
ax b x x ax bx c x
x x
+ - - - + + +
Û =
- -
, 
1
2
x" ¹ 
( )( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
7 7
2 2 1 12 2
2 1 2 1
ax b x ax bx c x
x x
+ - - + + +
Û =
- -
, 
1
2
x" ¹ 
( )
( ) ( )
2 2
7 7
8 2 10 12 4 4
2 1 2 1
ax a b x b c x x
x x
- - + - - + +
Û =
- -
, 
1
2
x" ¹ 
Đồng nhất hệ số của các lũy thừa của x ở thử thức hai vế ta được: 
( )
8 1
2 10 4
12 4
a
a b
b c
- =ì
ï- + =í
ï- - =î
1
8
3
8
29
96
a
b
c
ì = -
ï
ïÛ = -í
ï
= -ïî
· Vậy nguyên hàm của hàm số ( ) ( )
( )
2
7
2
2 1
x
f x
x
+
=
-
 là ( )
( )
( )
2
6
12 36 29
96 2 1
x x
F x C
x
- + +
= +
-
(C là hằng số tùy ý) 
Cách 2: 
Ta tìm ( ) ( ) ( )
( )
2
7
2
2 1
x
F x f x dx dx
x
+
= =
-ò ò
 bằng PP tích phân từng phần. 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 4/10 
· Đặt ( )22u x= + , 
( )72 1
dx
dv
x
=
-
. Ta có ( )2 2du x dx= + , 
( )6
1 1
.
12 2 1
v
x
= -
-
· Ta có ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
6 6 6 6
2 2 2 2 21 1
.
12 612 2 1 2 1 12 2 1 2 1
x x dx x x dx
F x
x x x x
- + + - + +-
= - = +
- - - -ò ò
Ta có 
( )
( ) ( ) ( ) ( )6 6 5 6
2 1 2 1 5 1 5
2 2 22 1 2 1 2 1 2 1
x dx x dx dx
dx
x x x x
æ ö+ - +ç ÷= = +
ç ÷- - - -è ø
ò ò ò ò 
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )5 6 4 5
2 1 2 11 5 1 1 5 1
. .
4 4 16 202 1 2 1 2 1 2 1
d x d x
C
x x x x
- -
= + = - - +
- - - -ò ò
Vậy ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
6 4 5
2 1 1 1 1 1
. .
6 16 412 2 1 2 1 2 1
x
F x C
x x x
æ ö- +
ç ÷= - + +
ç ÷- - -è ø
( )
( )
( )
2
6
12 36 29
96 2 1
x x
F x C
x
- + +
= +
-
Nhận xét: Có thể tính ( )
( )6
2
2 1
x dx
x
+
-ò
 bằng PP tích phân từng phần. 
Cách 3: PP phân tích 
Ta có ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
7 7 7
2 4 21 1 4 16 16
. .
4 42 1 2 1 2 1
x x x x
f x
x x x
+ + + +
= = =
- - -
( )
( ) ( )
( )
2
7
4 4 1 20 10 251
.
4 2 1
x x x
f x
x
- + + - +
=
-
( ) ( )
( )
2
7
2 1 10 2 1 251
4 2 1
x x
x
- + - +
=
-
( )
( ) ( ) ( )5 6 7
1 1 10 25
4 2 1 2 1 2 1
f x
x x x
é ù
ê ú= + +
ê ú- - -ë û
Suy ra ( ) ( )
( ) ( ) ( )5 6 7
1 1 10 25
4 2 1 2 1 2 1
F x f x dx dx
x x x
é ù
ê ú= = + +
ê ú- - -ë û
ò ò 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )5 6 7
2 1 2 1 2 11
10 25
8 2 1 2 1 2 1
d x d x d x
F x
x x x
é ù- - -
ê ú= + +
ê ú- - -ë û
ò ò ò 
( )
( ) ( ) ( )4 5 6
1 1 1 10 1 25 1
. .
8 4 5 62 1 2 1 2 1
F x C
x x x
é ù
ê ú= - - - +
ê ú- - -ë û
( )
( )
( )
2
6
12 36 29
96 2 1
x x
F x C
x
- + +
= +
-
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 5/10 
Câu IV: 
Cho hình chóp .S ABCD có ( )SA ABCD^ , 3SA a= , đáy ABCD là hình bình hành, 
· 0, 2 , 60AB a BC a ABC= = = . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của BC và SD. Chứng 
minh rằng ( )||MN SAB . Tính thể tích khối tứ diện MNAC theo a . 
· Gọi H là trung điểm của AD. 
Ta có MH là đường trung bình của tam 
giác SAD, MN là đường trung bình của 
hình bình hành ABCD . 
Suy ra || , ||MH SA MH AB 
( ) ( ) ( )|| ||MNH SAB MN SABÞ Þ 
· ( )||MH SA MH ABCDÞ ^ , suy ra 
MH là chiều cao của tứ diện NAMC . 
1 3
2 2
a
MH SA= = 
600
H
N
M C
A
B
D
S
Diện tích tam giác AMC bằng một nữa diện tích tam giác ABC, bằng 
·1 1 1. . .sin
2 2 2AMC ABC
S S BA BC ABC= =
2
01 3. .2 .sin 60
4 4
a
a a= = 
Vậy thể tích khối tứ diện MANC , cũng là khối chóp .N AMC , bằng 
2 31 1 3 3 3
. . .
3 3 4 2 8MANC AMC
a a a
V S NH= = = 
Câu V: 
Cho 0x y³ > . Chứng minh rằng ( )5ln 4ln ln 5 4x y x y- ³ - . (1) 
Ta có ( )5ln 4ln ln 5 4x y x y- ³ - ( )5 4ln ln ln 5 4x y x yÛ - ³ - 
( )
5 5
4 4ln ln 5 4 5 4
x x
x y x y
y y
æ ö
Û ³ - Û ³ -ç ÷
è ø
4
5 4
x y
y x
æ ö
Û ³ -ç ÷
è ø
 (2) 
Đặt ( )1 doxt t x y
y
= Þ ³ ³ . 
Khi đó (2) có dạng 4 545 5 4 0t t t
t
³ - Û - + ³ (3) 
Xét hàm số ( ) ( )5 5 4, 1f t t t t= - + ³ 
Ta có ( ) ( )4 45 5 5 1 0, 1f t t t t¢ = - = - ³ " ³ . Suy ra hàm số ( ) 5 5 4f t t t= - + liên tục và 
đồng biến trên [ )1;+¥ . Suy ra ( ) ( )1 1 5 4 0f t f³ = - + = , 1t" ³ . 
Vậy (3) đúng, do đó (1) đúng. 
Câu VI.a.1 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm ( )1;0A , ( )3; 1B - và đường thẳng 
( ) : 2 1 0d x y- - = . Tìm điểm ( )C dÎ sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6 . 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 6/10 
· Gọi h là chiều cao của tam giác ABC hạ tử đỉnh C . Theo giả thiết ta có 
1 12
. 6
2ABC
S AB h h
AB
= = Þ = . Với ( ) ( )2 23 1 1 0 5AB = - + - - = . Suy ra 12
5
h = . 
· Đường thẳng AB đi qua ( )1;0A và có vecto chỉ phương ( )2; 1AB = -
uuur
 nên có vecto 
pháp tuyến ( )1;2n =
r
. P/trình tổng quát của đường thẳng AB: ( ) ( )1 1 2 0 0x y- + - = 
2 1 0hay x y+ - = . 
· Phương trình tham số của đường thẳng ( ) 1 2: x td
y t
= +ì
í =î
, tΡ . 
Gọi tọa độ của ( )C dÎ là ( )1 2 ; ,C c c c+ Ρ . 
Khoảng cách từ đỉnh C đến đường thẳng AB bằng chiều cao h. 
Do đó ta có 
2 2
1 2 2 1 12
4 12 3
51 2
c c
c c
+ + -
= Û = Û = ±
+
· Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán là ( )7;3C , ( )5; 3C - - . 
Câu VI.a.2 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm ( )3;1;1A , ( )1;2; 1B - và đường thẳng 
( ) 1:
2 2 1
x y z
d
-
= = . Tìm tọa độ hình chiếu ,A B¢ ¢ lần lượt của ,A B trên ( )d và viết 
phương trình của đường thẳng A B¢ ¢ . 
Cách 1: 
· P/trình tham số của ( )d là: ( ) ( )
1 2
: 2 ,
x t
d y t t
z t
= +ì
ï = Îí
ï =î
¡ 
· Các hình chiếu ,A B¢ ¢ lần lượt của ,A B trên ( )d là thuộc ( )d . Gọi tạo độ của chúng là 
( )1 2 ;2 ;A a a a¢ + , ( )1 2 ;2 ;B b b b¢ + , ( ),a bΡ 
Ta có ( )2 2;2 1; 1AA a a a¢ = - - -
uuur
, ( )2 ;2 2; 1BB b b b¢ = - +
uuur
Theo tính chất của hình chiếu ta có ,AA BB¢ ¢
uuur uuur
 vuông góc với vecto chỉ phương 
( )2;2;1u
r
của đường thẳng ( )d . 
Suy ra 
. 0
. 0
AA u
BB u
ì ¢ =ï
í
¢ =ïî
uuur r
uuur r ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 1 1 1 0
2.2 2 2 2 1 1 0
a a a
b b b
ì - + - + - =ïÛ í
+ - + + =ïî
7
9
1
3
a
b
ì =ïÛ í
=ïî
Vậy 23 14 7; ;
9 9 9
A æ ö¢ç ÷
è ø
, 
5 2 1
; ;
3 3 3
B æ ö¢ç ÷
è ø
. 
Vecto 
8 8 4
; ;
9 9 9
A B æ ö¢ ¢ = - - -ç ÷
è ø
uuuur
. Đường thẳng A B¢ ¢ đi qua điểm 5 2 1; ;
3 3 3
B æ ö¢ç ÷
è ø
 và có vecto 
chỉ phương ( )9 2;2;1
4
v A B¢ ¢= - =
r uuuur
 nên có phương trình chính tắc là 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 7/10 
5 2 1
3 3 3
2 2 1
x y z- - -
= = 
Cách 2: 
· Viết p/trình tổng quát của mặt phẳng ( )P qua ( )3;1;1A và ( )P AB^ . 
( )P có vecto pháp tuyến là ( )2;1; 2AB = - -
uuur
. 
P/trình tổng quát của ( )P : ( ) ( ) ( )2 3 1 1 2 1 0x y z- - + - - - = 
hay ( ) : 2 2 7 0P x y z- + + = 
Hình chiếu A¢ của A trên ( )d chính là giao điểm của ( )d và ( )P . Do đó tọa độ của A¢ 
là nghiệm ( ); ;x y z của hệ 
1 2
2
2 2 7 0
x t
y t
z t
x y z
= +ì
ï =ï
í =ï
ï - + + =î
. 
Giải hệ được 23 14 7 7; ; ;
9 9 9 9
x y z t= = = = . Vậy 23 14 7; ;
9 9 9
A æ ö¢ç ÷
è ø
. 
· Tương tự gọi ( )Q là mặt phẳng qua ( )1;2; 1B - và ( )Q AB^ . 
Viết pttq của ( )Q và làm như trên để tính tọa độ B¢ . 
Nhận xét: Cách 1 có ưu điểm là ngắn gọn, dễ trình bày hơn cách 2 
Câu VII.a:: 
Có 7 cái hộp và 10 viên bi (mỗi hộp có khả năng chứa nhiều hơn 10 viên bi). Hỏi có tất cả 
mấy cách đưa 10 viên bi này vào 7 cái hộp đó ? 
Để xếp 10 viên bi này vào 7 cái hộp ta tiến hành theo 7 công đoạn. 
· Công đoạn 1: Xếp bi vào hộp thứ nhất, có 10 cách xếp (xếp 1 viên, 2 viên, hoặc 3,..., 
hoặc 10 viên). Các hộp còn lại có thể trống. 
· Tương tự với các công đoạn 2, công đoạn 3,..., công đoạn 7 (công đoạn i là xếp bi vào 
hộp thứ i, 1 7i£ £ ), mỗi công đoạn có 10 cách xếp. 
· Vậy theo quy tắc nhân ta có tất cả 10.10.10.10.10.10.10=10.000.000 cách xếp 10 viên bi 
này vào 7 cái hộp. 
(Hình như có vấn đề (khi chia công đoạn) thì phải) à Góp ý nhé ! 
Nhận xét: Có thể lập luận gọn: Mỗi hộp có 10 cách xếp nên số cách xếp 10 viên bi này 
vào 7 cái hộp bằng 710 10.000.000= cách. 
Câu VI.b.1 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình chính tắc của hyperbol ( )H , biết 
rằng tam giác có các cạnh nằm trên hai tiệm cận của ( )H và trên đường thẳng vuông góc với 
trục thực tại đỉnh của ( )H là tam giác đều. 
· Giả sử ph/trình của ( )H có dạng ( ) ( )
2 2
2 2: 1 0
x y
H a b
a b
- = > > 
Khi đó hai đường tiệm cận của ( )H có p/trình by x
a
= ± . 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 8/10 
Theo đề bài, tam giác có các cạnh nằm trên hai tiệm cận của ( )H và trên đường thẳng 
vuông góc với trục thực tại đỉnh của ( )H là tam giác đều nên góc giữa hai đường tiệm cận 
b
y x
a
= ± bằng 060 . Hai tiệm cận này đối xứng qua trục hoành nên góc hợp bởi tiệm cận 
b
y x
a
= với trục hoành là 030 , do đó hệ số góc của tiệm cận này bằng 0 1tan 30
3
= . 
Suy ra 
1
3
3
b
a b
a
= Û = . (Tương tự ( )0 1tan 30
3
b
a
- = - = - ) 
· Vậy p/trình hyperbol cần tìm có dạng ( )
2 2
2 2: 13
x y
H
b b
- = với 0b ¹ . 
Câu VI.b.2 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2 0P x y z+ - = và hai đường 
thẳng ( ) 1 1:
2 2 1
x y z
d
+ -
= =
-
, ( ) 1 2 1:
3 4 1
x y z
d
- + -¢ = =
-
. Viết phương trình đường thẳng 
( )D vuông góc với ( )P đồng thời ( )D cắt cả ( )d và ( )d ¢ . 
· Ph/trình tham số của ( ) ( ),d d ¢ là: 
( )
1 2
: 1 2
x t
d y t
z t
= - +ì
ï = +í
ï = -î
, ( )
1 3
: 2 4
1
x t
d y t
z t
¢= +ì
ï¢ ¢= - -í
ï ¢= +î
 , ( ),t t¢Î¡ . 
· Giả sử ( )D cắt cả ( )d và ( )d ¢ lần lượt tại A, B. Ta có ( ) ( ),A d B d ¢Î Î nên tọa độ 
của A, B có dạng ( )1 2 ;1 2 ;A a a a- + + - , ( )1 3 ; 2 4 ;1B b b b+ - - + , ,a bΡ . 
Ta có ( )3 2 2; 4 2 3; 1AB b a b a b a= - + - - - + +
uuur
. 
Vecto pháp tuyến của ( )P là ( )1;2; 1n = -
r
. 
· Theo giả thiết đường thẳng ( ) ( )AB Pº D ^ nên AB
uuur
 và n
r
 cùng phương. 
Suy ra 
3 2 2 4 2 3 1
1 2 1
b a b a b a- + - - - + +
= =
-
3 2 2 4 2 3
1 2
3 2 2 1
1 1
b a b a
b a b a
- + - - -ì =ïïÞ í - + + +ï =
ï -î
10 2 7
4 3
b a
b a
- = -ì
Û í- + =î
1
1
2
a
b
=ì
ïÛ í
= -ïî
Vậy ( )1;3; 1A - , 1 1;0;
2 2
Bæ ö-ç ÷
è ø
 và 
3 3
; 3;
2 2
AB æ ö= - -ç ÷
è ø
uuur
Đường thẳng ( )D đi qua ( )1;3; 1A - và có vecto chỉ phương ( )2 1;2; 1
3
u AB= - = -
r uuur
. 
P/trình chính tắc của đường thẳng ( )D : 1 3 1
1 2 1
x y z- - +
= =
-
. 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 9/10 
Cách 2: 
· Gọi ( )a là mặt phẳng chứa ( )d và ( ) ( )Pa ^ . Đ/thẳng ( )d qua ( )1;1;0M - và có 
vecto chỉ phương ( )2;2; 1du = -
uur
. Vecto pháp tuyến của ( )P là ( )1;2; 1Pn = -
uur
Khi đó ( )a qua ( )1;1;0M - và có vecto pháp tuyến ,d Pn u na é ù= ë û
uur uur uur
( )0;1;2= 
P/tr tổng quát của ( )a : ( ) ( ) ( )0 1 1 1 2 0 0x y z+ + - + - = 
hay ( ) : 2 1 0y za + - = . 
Đường thẳng ( )D vuông góc với ( )P đồng thời ( )D cắt ( )d sẽ chứa trong ( )a . 
· Gọi ( )b là mặt phẳng chứa ( )d ¢ và ( ) ( )Pb ^ . Đ/thẳng ( )d ¢ qua ( )1; 2;1N - và có 
vecto chỉ phương ( )3; 4;1du ¢ = -
uur
. 
Khi đó ( )b qua ( )1; 2;1N - và có vecto pháp tuyến ,d Pn u nb ¢é ù= ë û
uur uur uur
( )2;4;10= 
P/tr tổng quát của ( )b : ( ) ( ) ( )2 1 4 2 10 1 0x y z- + + + - = 
hay ( ) : 2 5 2 0x y zb + + - = 
Đường thẳng ( )D vuông góc với ( )P đồng thời ( )D cắt ( )d ¢ sẽ chứa trong ( )b . 
· Vậy đường thẳng ( )D thỏa đề bài là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ( ),a b . 
· Ta cần kiểm tra lại xem ( )D cắt cả ( )d và ( )d ¢ bằng cách kiểm tra xem vecto chỉ 
phương của ( )D có cùng phương với vecto chỉ phương của ( )d và ( )d ¢ hay không ? 
· Ta có vecto chỉ phương của ( )D là ( ), 2; 4;2u n na bD é ù= = - -ë û
uur uur uur
. 
Vì 
2 2 1
2 4 2
-
¹ =
- -
 nên du
uur
 và uD
uur
 không cùng phương. 
Tương tự , do 3 4 1
2 4 2
-
¹ ¹
- -
 nên du ¢
uur
 và uD
uur
 không cùng phương. 
Vậy ( )D cắt cả ( )d và ( )d ¢ . 
· Chọn điểm ( ); ; 1D x y - thuộc ( )a và ( )b . Ta có 
( )
( )
2 1 1 0
2 5 1 2 0
y
x y
ì + - - =ï
í
+ + - - =ïî
Giải hệ ta được 3; 1y x= = . Suy ra ( ) ( ) ( )1;3; 1D a b- Î Ç . 
Vậy đường thẳng ( )D đi qua điểm ( )1;3; 1D - và có vecto chỉ phương 
( ) ( )1 1 2; 4;2 1;2; 1
2 2
uD- = - - - = -
uur
 nên có ph/trình chính tắc là 
( )D : 1 3 1
1 2 1
x y z- - +
= =
-
Nhận xét: Cách 1 khá gọn và đơn giản. Còn cách 2 đã phức tạp, khó nhớ cách làm 
(cách mà các STK thường dùng) lại phải kiểm tra xem ( )D có cắt ( )d và ( )d ¢ không 
nữa. Như vậy, với các bài toán dạng này, chúng ta nên chọn điểm trên đường thẳng có 
tọa độ theo tham số để làm cho nhanh, khỏe, gọn. 
Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009 
Soạn: Đỗ Cao Long . Tel: 01236012220 . Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) 10/10 
Câu VII.b 
Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 3
2log log log 5 1
log log 0 2
y x x y x
x y
ì + - = -ï
í
+ =ïî
· Điều kiện: 0, 0
5 0
x y
y x
> >ì
í - >î
Ta có ( ) ( ) ( )22 21 log log 5 .x y y x xÛ + = é - ùë û 
( ) ( )2 5x y y x xÛ + = - 2 22 3 0x xy yÛ - + =
2
2 3 1 0
x x
y y
æ ö
Û - + =ç ÷
è ø
Giải p/trình này ta được 11;
2
x x
y y
= = 
· Với 1x x y
y
= Û = , thay ào (2) ta được 2 3log log 0x x+ = 
2
2 2
2 2
log 1
log 0 log 1 0
log 3 log 3
x
x x
æ ö
Û + = Û + =ç ÷
è ø
2log 0 1x xÛ = Û = . 
Tr/hợp này ta có nghiệm 1
1
x
y
=ì
í =î
. 
· Với 1 2
2
x
y x
y
= Û = , thay vào (2) ta được 2 3log log 2 0x x+ = 
2
2
2
log 2
log 0
log 3
x
xÛ + = 2 2 2log 3.log 1 log 0x xÛ + + = 
( )2 21 log 3 log 1xÛ + = - 2 2log 6.log 1xÛ = - 2 6
2
1
log log 2
log 6
xÛ = - = - 
6
1
log
2
2 6
1
log log 2
2
x xÛ = Û = . Suy ra 
6 6
6
1 1
log 1 log log 32 22 2.2 2 2y x
+
= = = = 
Tr/hợp này hệ có nghiệm 
6
6
1
log
2
log 3
2
2
x
y
ì
ï =í
ï =î
. 
Tóm lại, hệ đã cho có hai nghiệm, là 1
1
x
y
=ì
í =î
và 
6
6
1
log
2
log 3
2
2
x
y
ì
ï =í
ï =î
. 
Ôi ! Mệt quá ! 
Các em cho một lời cảm ơn để động viên nhé !