Ôn thi tốt nghiệp môn toán theo 7 chủ đề

Lưu hành nội bộ
2011
ÔN THI TỐT NGHIỆP
MÔN TOÁN
theo 7 chủ đề
Biên soạn : Hồ Văn Hoàng
KĨ NĂNG CƠ BẢN GIẢI ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Câu I
1. Khảo sát hàm số: Yêu cầu đủ đúng các bước trong bài toán KSHS.
Tập xác định.
Sự biến thiên
Ÿ Giới hạn; đường tiệm cận(nếu có)
Ÿ Tính y’; xét dấu y’
Ÿ Kết luận về sự đồng biến và nghịch biến; cực trị của hàm số (* Chú ý)
Ÿ Lập bảng biến thiên.
Đồ thị
Ÿ Dựa vào bảng biến thiên xác định đơn vị và vẽ hệ trục tọa độ cho hợp lí.
Ÿ Khi vẽ đồ thị phải vẽ hết mặt phẳng tọa độ
2. Bài toán liên quan
2.1 Tiếp tuyến: Biết tọa độ tiếp điểm( hoặc tìm được tọa độ tiếp điểm). Biết hoặc tìm được hệ số góc.
2.2: Tương giao giữa hai đồ thị: Biến đổi phương trình làm xuất hiện hàm số vừa khảo sát.
2.3 Bài toán về sự đồng biến; nghịch biến: Lưu ý định lí mở rộng
2.4 Bài toán về cực trị: Sử dụng dấu hiệu 1 và 2
 Dạng toán: Tìm cực trị; viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị; tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị.
2.5 Các điểm đặc biệt: Điểm có tọa độ nguyên. Điểm cách đều hai trục tọa độ; điiểm cách đều hai đường tiệm cận.
Câu II:
1: Hàm số; phương trình; bất phương trình mũ và lôgarit
Ÿ Hàm số: Tính đồng biến; nghịch biến và dạng của đồ thị
Ÿ Phương trình; bất phương trình mũ và lôgarit
Học sinh cần giải các phương trình; bất phương trình đơn giản; có thể đưa về dạng cơ bản(Bằng các phép biến đổi đã học)
2. GTLN; GTNN của hàm số: Cần nắm vững qui trình tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng; đoạn.
3. Nguyên hàm; tích phân:
Lưu ý : Kĩ năng nhận dạng Þ chọn phương pháp hợp lí.
Chú ý các dạng bài tập tích hợp nhiều phương pháp 
(Sau khi biến đổi ra hai tích phân độc lập và sử dụng hai phương pháp riêng biệt)
Câu III:
Ÿ Kĩ năng vẽ hình. Tính diện tích; khoảng cách; thể tích 
(viết công thức tính; thay các yếu tố đã biết)
Ÿ Kĩ năng tính độ dài đoạn thẳng(ghép vào tam giác; chọn tam giác phù hợp)
Câu IV: Rèn luyện:
Kĩ năng tính tọa độ vectơ; điểm. Kĩ năng viết phương trình mặt cầ; ptđt; ptmp.
Ghi nhớ chính xác công thức tính góc; khoảng cách; thể tích; diện tích.
Câu V 
1. Số phức: Ôn tập như trong SGK 
2. Ứng dụng của tích phân: Ôn tập như trong SGK
Chủ đề 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
	Vấn đề 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ	
 Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (i = 1; 2;;n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến; nghịch biến.
 Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
 Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:
a) y = x3 – 3x2 + 2 b) y = − x4 + 4x2 – 3 c) d) e) y = x – ex 
Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
‚ Chứng minh hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2]
ƒChứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng [3; +).
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến; nghịch biến trên khoảng xác định cho trước 
Phương pháp:	Ÿ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.
 	Ÿ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai.
Ÿ f(x) đồng biến trên K Û f’(x) ≥ 0; "x Î K ( Û )	
Ÿ f(x) nghịch biến trên K Û f’(x) ≤ 0; "x Î K ( Û)
Hàm số bậc 3
Ÿ Tập xác định Ÿ Đạo hàm y/ ( y’ = 0 Û ax2 + bx + c = 0)
Ÿ Hàm số tăng trên ¡ (từng khoảng xác định): y/ ³ 0; "x Î ¡ Û . Giải Tìm m. 
Ÿ Hàm số giảm trên ¡ (từng khoảng xác định): y/ ≤ 0; "x Î ¡ Û . Giải Tìm m.
Chú ý: Nếu hệ số a của y/ có tham số thì phải xét khi a = 0
Hàm số nhất biến : Ÿ Tập xác định Ÿ Đạo hàm y/
Ÿ Hàm số tăng (giảm) trên từng khoảng xác định : y/ > 0 ( y/ 0 (<0) Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0
Tổng quát: “Tìm m để hàm số y = f(x;m) đồng biến trên K”. B1. Tính đạo hàm f’(x;m). 
B2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K Û f’(x;m) ³ 0; "x Î K Û m ³ g(x); "xÎK (m £ g(x)) 
B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
 Tìm giá trị của tham số a để hàm số đồng biến trên R.
‚ Cho hàm số 
a. Định m để hàm số luôn luôn đồng biến;	b. Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến
ƒ Định m để hàm số đồng biến trong từng khoảng xác định .
„ Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên R
… Định m để hàm số: đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT (nâng cao)
Ÿ Đưa BĐT về dạng f(x)>0 (hay f(x)≥ 0);"xÎ(a;b)
Ÿ Tính f’(x); xét dấu f’(x) suy ra f(x) đồng biến (hay nghịch biến trên (a;b)
Ÿ Áp dụng định nghĩa:	
f(x) đồng biến Û x1 f(x2)
Ÿ Kết luận BĐT cần phải chứng minh.
( f(x) đồng biến / [a; b] thì f(a) ≤ f(x) ≤ f(b); f(x) nghịch biến /[a; b] thì f(a) ≥ f(x) ≥ f(b))
1) Chứng minh: sinx + tanx > 2x với mọi x Î K = 
Giải: Xét f(x) = sinx + tanx – 2x liên tục /K ta có . 
"xK ta có 0 cos2x nên f’(x) > cos2x +− 2 = >0
Þ f đồng biến/ Þ f(x) > f(0) "x Þ ĐPCM
2) CMR: a) f(x) = 2sinx + tanx −3x tăng / .b) . 
a) Hàm số liên tục / và f’(x) = Þ Kết quả.
b) Từ câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0; (đpcm).
3) CMR: a) f(x) = tanx − x đồng biến trên . b) .
Vấn đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp: Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó 
f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là xi là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(xi)
B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị
Ÿ f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; 
Ÿ f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực đại tại xi
 Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số 
Qui tắc I
D = R
+∞
− 
 ∞
− 54
71
+
+
−
0
0
2
− 3
+ 
∞
−∞
y
y'
x
 Vậy x = −3 là điểm cực đại và ycđ =71
 x= 2 là điểm cực tiểu và yct = − 54
Qui tắc II
D = R
y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0 
nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yct = − 54
y’’(−3) = −30 < 0 
nên hàm số đạt cực đại tại x = −3 và ycđ =71
Tìm cực trị của các hàm số sau:

‚
ƒ„* 
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị
Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT)
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m − 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
Ta có .
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 
Với m = 1 ta được hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 có : tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực tiểu . Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
 Xác định m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x + 2 đạt cực đại tại x = 2.
‚ Tìm m để hàm số có cực trị tại x =1. Đó là CĐ hay CT
ƒ Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
„ Tìm m để hàm số y = x3 – 2mx2 + m2x – 2 đạt cực tiểu tại x = 1.
… Tìm các hệ số a; b; c sao cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu tại điểm x = 1; f(1) = −3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
Hàm sô y = f(x) có y’ = 0 Û ax2 + bx + c; đồ thị (C).
Ÿ hàm số có 2 cực trị.
Ÿ hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi yCĐ.yCT < 0.
Ÿ hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Oy khi xCĐ.xCT < 0.
Ÿ hai cực trị nằm phía trên trục Ox khi.
Ÿ hai cực trị nằm phía dưới trục Ox khi.
Ÿ đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi yCĐ.yCT = 0
1. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
a) y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + m (−3 < m < 1 và m ≠ 2); b) y = (−1<m<1)
2. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị
a) y = (m − 3)x3 − 2mx2 + 3. b) y =(m=0)
3*. Cho. Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại; cực tiểu . HD Ÿ : 
.KQ: 
Vấn đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT −GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Cách 1 B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
 B2: Xét dấu đạo hàm f’(x); lập bảng biến thiên
Trong đó tại x0 thì f’(x0) bằng 0 hoặc không xác định
Cách 2: Để tìm GTLN; GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]
B1: Tìm caùc giaù trò xi Î [a; b](i = 1; 2; ...; n) laøm cho ñaïo haøm = 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh 
B2: Tính f(a); f(x1); f(x2); ; f(xn); f(b). 
B3: GTLN = Max{ f(a); f(x1); f(x2); ; f(xn); f(b)} 
 GTNN = Min{ f(a); f(x1); f(x2); ; f(xn); f(b)}
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng 
Hướng dẫn: hàm số xác định nên liên tục trên 
. Lập BBT
KL: = 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2. Tính GTLN; GTNN của hàm số trên đoạn [−4; 0]
Hướng dẫn Hàm số xác định nên liên tục trên [−4; 0].
f’(x) = x2 + 4x +3; f’(x)=0 Û.
Vậy: f(x) = f(−3) = f(0) = − 4; f(x) = f(−4) = f(−1) =
Luyện tập. Tìm GTLN; GTNN của hàm số (nếu có):
 a) y = x3 + 3x2 – 9x + 1 trên [−4; 4];	b) y = x3 + 5x – 4 trên [−3; 1]
 c) y = x4 – 8x2 + 16 trên [−1; 3];	d) y = x3 + 3x2 – 9x – 7 trên [−4; 3]
‚ a) y = trên (−2; 4]; b) y = x + 2 +trên (1; +∞); c) y=trên;
 d) y = x;	e) y = x2.ex / [−1;1]; f) y = / [e;e3]. g) y= ln(x2 +x−2) trên [ 3; 6]
ƒ a. trên ( )
b. trên ( )
c. f(x) = x2 ln(1−2 x) trên đoạn [−2;0] ()
d.f(x) = sin3x − cos2x + sinx + 2 (. M = 5;m = )
e. f(x) = cos3x − 6cos2x + 9cosx + 5 ( M = 9;m = −11)
Vấn đề 4. Khảo sát hàm số
Ÿ Tìm tập xác định của hàm số .
Ÿ Tính đạo hàm y’; tìm nghiệm của phương trình y’= 0.
Ÿ Tìm các giới hạn tại vô cực; các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
Ÿ Lập bảng biến thiên.
Ÿ Tìm điểm đặc biệt và tính đối xứng của đồ thị. Vẽ đồ thị.
Ÿ Hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
− Xét y’ = 0 : D ≤ 0 luôn đồng biến ( a > 0) hoặc nghịch biến (a < 0) trên R
 D > 0 có 2 điểm cực trị.
− Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn I(xo; yo) với xo là nghiệm của phương trình 
Ÿ Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
− Có 1 cực trị ( a.b ≥ 0) hoặc có 3 cực trị (a. b < 0)
− Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Ÿ Hàm nhất biến: y = (c ≠ 0; ad – bc ≠ 0)
− Luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên (−∞; −) và (−; +∞).
− Tiệm cận đứng: x = −; tiệm cận ngang y = .
− Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 
Vấn đề 5. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: Sự tương giao giữa 2 đồ thị:
a) Bài toán 1: Tìm số giao điểm của hai đường : và : 
Ÿ Lập phương trình hoành độ giao điểm của và : .
Ÿ Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm của hai đường.
b) Bài toán 2: Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
Ÿ Biến đổi phương trình đã cho về phương trình hoành độ giao điểm (một vế là phương trình của hàm số đã có đồ thị (C); một vế là phần còn lại)
Ÿ Lập luận: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C) và (d).
Ÿ Dựa vào đồ thị; ta tìm các giá trị m ảnh hưởng đến số giao điểm của (C) và (d) 
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x)
 Phương trình có dạng: y – yo = k (x – xo) ( hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo) )
a) Tại Mo(xo; yo): tìm hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo).
b) Biết hệ số góc k của tiếp tuyến: sử dụng tìm x0 ; tìm y0.
Ÿ Tiếp tuyến D // d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = a Û f’(x0 ... g phẳng.
Bài 2 : Cho tứ diện ABCD với 
a) Viết PT của các mặt phẳng (ABC); (BCD).
b) Viết PT mp(a) chứa AB và song song CD.
c) Viết PT đt D qua A & vuông góc với (BCD).Tìm tọa độ giao điểm của chúng.
a) Ta có ; 
* Phương trình mặt phẳng (ABC)
mp(ABC) có VTPT : .Do đó phương trình tổng quát mp(ABC) là:
* Tương tự mặt phẳng (BCD): 3x + 8y – 2z – 8 = 0.
b) Ta có . Vì (a) chứa AB và song song CD nên có cặp VTCP là ; do đó có một VTPT là: 
Do đó (a):
c) Vì D ^ (BCD) nên nhận làm VTCP; do đó PTTS của đường thẳng D : ; Thay x; y; z vào phương trình (BCD); ta được:
Vậy giao điểm của D với (BCD) là :
Bài 3: Trong KG hệ tọa độ Oxyz; cho (S):
a) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính (S).
b) Xét vị trí tương đối của (S) và mp(a): x + y − z + k = 0 tuỳ theo k.
c) Tìm tọa độ giao điểm của (S) với D đi qua . Viết PT mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại các giao điểm đó.
a) Ta có .Vậy (S) có tâm I(1; 2; 3) ; bán kính R = .
b) Ta có 
m Þ (a) và (S) cắt nhau.
m Þ (a) và (S) tiếp xúc nhau.
m Þ (a) và (S) không có điểm chung.
c) Đường thẳng D qua M; N có VTCP 
Phương trình là:
Thay x; y; z vào phương trình (S); ta được: .
m t = 1: 	D cắt (S) tại A(2; −1; 5)
* Phương trình tiếp diện tại A: Ta có 
Mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A nhận làm VTPT nên có PTTQ:
(P):
m :	D cắt (S) tại .
* Phương trình tiếp diện tại B: Ta có 
Tương tự: (Q): 
BÀI 4: (Đề thi kỳ 2 của sở) 
Trong không gian Oxyz cho A(3;2;6);B(3; −1; 0); C(0;−7;0); D(−2; 1; −1).
a/ Viết phưong trình măt phẳng (ABC).
b/ Tính góc giữa đường thẳng (d) đi qua hai điểm A; D và mp(ABC)
a/ Ta có: 
Vậy Phưong trình mp(ABC): 5(x − 3) − 2(y − 2) +(z − 6) = 05x–2y+z –17 = 0
b/ Ta có là vtcp của đường thẳng AD 
Gọi là góc giữa đường thẳng AD và mp(ABC) ; 
Khi đó: sin Þ j » arcsin.
BÀI 5(TN 05+06)
Trong không gian Oxyz; cho mặt cầu (S): và hai đthẳng 
1.Chứng minh: (D1) và (D2) chéo nhau.
2.Viết pt tiếp diện của mặt cầu (S); biết tiếp diện đó song song với (D1) và (D2)
1/ Xét qua điểm A(0;1;0) và có vtcp ;
 qua điểm B(1;0;0) và có vtcp ;
 Þ (D1) và (D2) chéo nhau.
2/ Gọi (P) là tiếp diện cần tìm. Vì (P) // với (D1) và (D2) nên có 
vtpt .Phưong trình mặt phẳng (P) có dạng y + z +m = 0
Mặt cầu (S) có tâm I(1;−1;−2)và có bán kính R = 3.
(P) tiếp xúc (S) Û d[I;(P)] = R 
+Với 
+ Với 
Tự luyện
A. Tọa độ điểm, vectơ
 Cho = ( −2 ;1; 0 ); = ( 1; 3;−2 ); = (2;4;3 )
1/ Tìm toạ độ = .	Đáp số : 
2/ Cm ; không cùng phương 	HD: −2: 1: 0 ≠ 1: 3: −2 
3/ Tìm toạ độ/ = ( 2; yo; zo ); biết / cùng phương 	Đáp số :	
‚ Cho A( 0 −2; 4 ) ; B( 5;−1;2 ); 
1/ Cm: A; B; C không thẳng hàng.
2/ Tìm toạ độ M là giao điểm của đường thẳng BC với (0xy); M chia đoạn BC theo 
tỉ số nào? 	Đáp số : M( −11;9;0 )	 Þ k = 2
3/ Tìm toạ độ D ; biết = ( 1;−2; −4 )	Đáp số : D ( −2;2;−3 )
4/ Tìm toạ độ A/ đối xứng với A qua B	Đáp số : A/ ( 10;0; 0 )
5/ Tìm toạ độ E để ABED là hình bình hành	Đáp số : E( 2;5;−1 )
ƒ Cho M( x; y; z ); tìm toạ độ các điểm: 
1/ M1 ; M2 ; M3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên mp ( 0xy ) ;( 0yz) ;( 0xz )
Đáp số : M1 ( x; y; 0) ; M2 ( 0; y; z ) ; M3 ( x; 0; z )
2/ M/1 ; M/2 ; M/3 lần lượt là hình chiếu của M trên Ox; Oy; Oz
Đáp số : M/1 ( x;0;0 ); M/2 ( 0;y;0 );M/3( 0;0;z )
3/ A; B; C lần lượt đối xứng với M qua Ox; Oy; Oz
Đáp số : A( x;−y; –z ); B( −x; y;−z ); C( −x;−y;z )
4/ D; E; F. lần lượt đối xứng với M qua mp ( Oxy ); ( Oyz ); ( Oxz )
Đáp số : D( x; y; −z ); E (−x ; y; z ); F ( x; −y; z )
„ Cho hình hộp chữ nhật OABC. O’A’B’C’ biết A( 2; 0; 0); C( 0; 3; 0); 0’( 0; 0; 4) . Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật
Hướng dẫn: ( vẽ hình )
 ; tương tự B/( 2;3;4 ) ; C/ ( 0;3;4 )
B. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
 Cho A(3;−2;−2) ; B(3;2;0) ; C(0;2;1) ; D( −1;1;2)
1/. Viết phương trình mp(BCD) . Suy ra ABCD là tứ diện. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Đáp số : (BCD) :x + 2y + 3z −7 = 0
2/. Viết ptmpqua A và // (BCD).	Đáp số :x + 2y + 3z + 7= 0
3/. Viết pt mp qua A và vuông góc với BC	Đáp số : −3x + z + 11= 0
‚ Cho A(5;1;3) ; B(1;6;2) ;C(5;0;4) ; D(4;0;6)
1/. Viết pt mp qua A ; B và // CD.	Đáp số :10x+9y+5z−74=0
2/. Viết ptmp trung trực của CD ; tìm toạ độ giao điểm E của với Ox.
Đáp số :−2x+4z−11=0 ; E(−11/2 ; 0 ;0)
3/. Viết ptmp qua A và // (Oxy)	Đáp số :Z – 3= 0
ƒ Cho A(4;−1;1) ; B(3;1;−1)
1/. Viết phương trình mp qua A và chứa trục Oy. Đáp số : 	x−4z=0
2/. Viết ptmp qua A và vuông góc với trục Oy. Đáp số :	y+1=0
3/. Viết ptmp qua A ; // Oy ; 	Đáp số :	4x+z−17=0
4/. Viết pt mp (P) qua B ; (P) ; (P) (Oxz) 	Đáp số :	4x+z−11=0
„ Cho A(−1;6;0) ; B(3;0;−8) ; C(2;−3;0)
1/. Viết ptmp qua A ; B ;C.	Đáp số :	12x+4y+3z−12=0
2/. cắt Ox ; Oy ; Oz lần lượt tại M ; N; P . Tính thể tích khối chóp OMNP . Viết ptmp (MNP).	Đáp số :	V= 2 ;	 (MNP) : 12x+4y+3z−12=0
… Lập phương trình mp qua G( 2 ; −1 ; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A ; B ;C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
† Lập phương trình mp qua H( 1 ; −1 ; −3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A; B ; C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
‡ Xác định n và m để các cặp mp sau song song nhau :
1/. Cho 	: 2x + ny + 3z −5 =0;	 : mx −6y −6z +2 =0	Đáp số :	m =4 ; n =3
2/. Cho 	: 3x − y + nz −9 =0;	 : 2x +my +2z −3 =0	Đáp số :	m = −2/3 ; n = 3
ˆ Cho 2 mp : (a1): 2x – y + 3z + 1 = 0; (`a2): x + y – z + 5 = 0
1/. Viết pt mp (P) qua giao tuyến của (a1), (a2) và (P) ^ (a3): 3x – y + 1 = 0
Đáp số :	−3x−9y+13z−33=0
2/. Viết pt mp (Q) qua giao tuyến của (a1), (a2) và (Q) song song với đường thẳng 
AB với A(−1;2;0) và B(0;−2;−4).	Đáp số :	8x+5y−3z+31=0
C. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
 Ghi nhớ : d ^ (a) Þ vtcp của d là vtpt của (a) ; vtpt của (a) là vtcp của d.
 Viết phương trình tham số ; pt chính tắc (nếu có ) của d biết :
1/. d qua M (2;3;−1) và d vuông góc với mp: −x−y+5z+7=0
2/. d qua N(−2;5;0) và d// d / : 
3/. d qua A(1;2;−7) và B(1;2;4)
‚ Viết phương trình tham số ; pt chính tắc (nếu có ) của đt d là giao tuyến của 2 mp :
ƒ 1/. Viết pt mp() qua A(0;1;−1) và ()
2/. Tìm toạ độ giao điểm M của (a) với trục Ox.
3/. Viết pt tham số của giao tuyến d / của (a) với (Oxy).
„ Tìm toạ độ hchiếu vuông góc H của M( 2; −3; 1 )trên mp(a) : −x+ 2y +z+ 1= 0 .
Tìm toạ độ M/ đxứng M qua ()	Đáp số : H (1; −1 ; 2 ) ; M/( 0; 1; 3)
… Tìm toạ độ M/ đxứng với M( 2; −1; 3) qua đt d : Đáp số :M/ (4;−3;5)
LẬP PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC D’ CỦA D TRÊN MP (P) 
Phương pháp :
Cách 1 : 	Ÿ Tìm 2 điểm A và B thuộc D
	Ÿ Tìm A/ và B/ lần lượt là hình chiếu của A và B trên mp(P) 
	Ÿ Lập pt đường thẳng A/B/ chính là đường thẳng D/
Cách 2 :	Ÿ Lập pt mp (Q) chứa D và vuông góc với mp(P)
	Ÿ Vì d/ = (P) Ç (Q) nên ta lập được pt của D/ 
† Viết pt hình chiếu vuông góc d’ của đt d : trên mp : x+y+2z−5=0
‡ Viết pt hình chiếu vuông góc d/ của d : trên mp:x−y+z+10=0
‡ Xét vị trí tương đối của 2 đt : 
a) d1: ;	d2 : 	Đáp số :	 d1 // d2
b) d1:;	d2 : 	Đáp số :	d1 chéo d2
c) d1:;	d2 : 	Đáp số :	d1 chéo d2
ˆCho 2 đt d1 : 	d2 : 
a/. Tìm toạ độ giao điểm của d1 và d2 .	Đáp số :	A(1;−2;5)
b/. Viết pt mp (P) chứa d1 và d2.	Đáp số : (P) : 2x−16y−13z+31=0
‰ Tìm toạ độ giao điểm của d1: và d2:Đáp số : A(3;7;18)
Š Xét vị trí tương đối của đt d : 	Và mp: x+2y+3z+3=0. Đáp số :	d //
⑪ Cho đt d : và mp:x+3y−2z−5=0
a/. Tìm m để d cắt .	 m1.	b/. Tìm m để d //. m = 1
c/. Tìm m để d vuông góc với.	 Đáp số :	m = −1
Bài 3: Xét vị trí tương đối của đt d : với mp: 2x+y+z−1=0
Đáp số :	d cắt tại A(2;1/2;−7/2)
Bài 4: Xét vị trí tương đối của đt d : với mp: 2x+y+z−1=0
Đáp số :	d cắt tại A(1; 0;−1)
Bài 5: Xét vị trí tương đối của đt d : với mp: 5x−y+4z+3=0. (d Ì a)
D. KHOẢNG CÁCH − GÓC
1/. Khoảng cách từ 1 điểm M đến mp (a): 
2/. Khoảng cách từ 1 điểm M đến đt D:
Ÿ qua M0 và có vtcp : 
3/. Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau :
Ÿ D1 qua M1 và có vtcp ; D2 qua M2 và có vtcp :
*Chú ý: Ÿ mp(P) // mp (Q) có d[(P), (Q)] = d[A, (Q)] với điểm A Î (P)
 Ÿ đt d // d’ có d[d, d’] = d[A, d’] với điểm A Î d
 Ÿ đt d // mp (Q) có d[d, (Q)] = d[A, (Q)] với điểm A Î d.
4/. Góc giữa 2 vectơ : 
 Tìm góc giữa 2 đt: Tìm 2 vtcp và của và có 
Tìm góc giữa 2 mp:
Ÿ Tìm 2 vtpt : và của a và b có . Chú ý : a ^ b Û ^ 
Tìm góc giữa đường thẳng d và mp a:
Ÿ Tìm vtcp của d.; tìm vtpt của a có 
Cách viết PT đường vuông góc chung của hai đường thẳng CHÉO NHAU d1 ; d2
Ÿ d1 có vtcp ;d2 có vtcp 
Ÿ Lấy điếm A Î d1 Þ tọa độ điểm A theo t1
Ÿ Lấy điếm B Î d2 Þ tọa độ điểm B theo t2
¯ AB là đường vuông góc chung Û 
Ÿ Giải hệ trên ta tìm được t1 và t2 Þ tọa độ A và B. Viết phương trình đường thẳng AB.
 Cho A(1;1;3) ; B(−1;3;2) C(−1;2;3) . Viết pt mp (a) qua 3 điểm A; B; C .Tính diện
 tích DABC ; thể tích khối tứ diện OABC. ĐS (a): x+2y+2z−9=0 ; SDABC = ; VOABC= 
‚ Tính khoảng cách từ điểm M (1;2;−1) đến đt : . ĐS 
ƒ Cho 2 đt : :	:. 
a) CMR: D1 và D2 chéo nhau . b) Tính khoảng cách giữa D1 và D2 . ĐS: 7/3
„ Cho 2 đt : và : Đáp số :	
Chứng minh chéo . Tính khoảng cách giữa và .
… Tính góc giữa đt d : và trục Ox. Đáp số :	=450
† Tính góc giữa đt d : và mp (a): Đáp số :	 =300
‡ Tính góc giữa 2 mp: (a): 3y – z – 9 = 0; (b): 2y + z + 1 = 0 Đáp số :	 =450
ˆ Tìm m để góc giữa 2 đt sau bằng 600 :
 : và : 	Đáp số :	m = −1.
‰ Cho 2 đường thẳng : d1: và d2 : 
Viết pt đường vuông góc chung của d1 và d2.
Š Cho 2 đường thẳng : d1: và d2 : 
1/. Chứng minh : và d1 chéo d2. 2/. Viết pt đường vuông góc chung của d1 và d2.
E. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.
 Cho A(1;−1;2) ; B(1;3;2) ; C(4;3;2) ; D(4;−1;2)
1/. Chứng minh : A;B;C;D đồng phẳng .
2/. Gọi A/ là hình chiếu vuông góc của A trên mp(Oxy) ; Viết pt mặt cầu (S) qua A/ ;B;C;D
Đáp số :	A/(1;−1;0) ; 	ptmc(S) : x2+y2+z2 −5x −2y −2z +1 = 0
3/. Viết pt tiếp diện của (S) tại A/. Đáp số :	(a): 3x+4y+2z+1=0
‚ Cho 4 điểm : A;B;C;D biết A(2;4;−1) ; ; C(2;4;3) ; 
1/. Chứng minh : . Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
2/. Viết pt tham số của đường vuông góc chung D của 2 đt AB và CD . Tính góc j giữa D và (ABD). Đáp số :	1/ V = 4/3; 2/ ; 
3/. Viết pt mc (S) qua A ; B; C; D . Viết pt tiếp diện của (S) song song với (ABD)
Đáp số :	(S) : x2+y2+z2 −3x −6y −2z +7 = 0 ; 1: z + =0 ; 2: z − =0
ƒCho mp(a): x + y + z – 1 = 0 và đt d : 
1/ Tính Vtứ diện ABCD với A;B;C là giao điểm của (a) với Ox ;Oy ;Oz và D = d Ç Oxy
2/. Viết pt mc (S) qua A;B;C;D ; tìm toạ độ tâm I/ và bán kính R/ của đường tròn giao tuyến của (S) với mp (ACD).
Đáp số :	1/ 1/6; 2/ (S) : x2+y2+z2 −x −y −z = 0 ; I/ 
Bài 4: cho A(3;−2;−2) và mp (a): x + 2y + 3z − 7 = 0
1/. Viết pt mc (S) tâm A và tiếp xúc với (a); tìm toạ độ tiếp điểm H của (S) và (a).
2/. Xét vị trí tương đối của (S) với mp(Oyz) .
Đáp số : 1/ (S) : (x−3)2+(y+2)2+(z+2)2 = 14	; H(4;0;1). 2/ (S) cắt mp(Oyz)
Bài 5: Cho mp(a): 2x−2y−z+9=0 và mc(S) : x2+y2+z2 −6x +4y −2z−86 = 0
1/. Tìm toạ độ tâm I ; tính bán kính R của (S) . 	Đáp số :	I(3;−2;1) ; R = 10
2/. Chứng minh (a) cắt (S) ; viết pt đường tròn giao tuyến (C) của (a) và (S).Tìm toạ độ tâm I/ ; bán kính R/ của ( C ) . 	Đáp số :	R/ =8 ; I/ (−1;2;3)
Bài 6: Cho mc(S) : (x − 5)2 + (y + 1)2 + (z + 13)2 = 77 và 2 đt
d1: ; d2: . Viết pt mp (a) tiếp xúc với (S) và (a) song song với d1 và d2. 	Đáp số :	
-----------------------------------------------------------------------------