Ôn thi Toán 12: Xác suất của một biến cố

Xác suất của một biến cố 
265 
XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
Xét thí nghiệm gieo quân xúc sắc 6 mặt (có thể gieo một con, hai con hoặc 
nhiều quân xúc sắc) và xét số chấm xuất hiện, ta có các khái niệm sau đây: 
1. Phép thử ngẫu nhiên 
Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm có kết quả mang tính chất ngẫu nhiên 
mà ta không thể biết chắc được kết quả sẽ xảy ra nhưng có thể xác định được 
tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử. 
Ví dụ: Việc gieo quân xúc sắc là một phép thử ngẫu nhiên. 
2. Không gian mẫu 
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử ngẫu nhiên gọi là không 
gian mẫu. Không gian mẫu thường được kí hiệu là E hoặc Ω 
Ví dụ: Nếu gieo một quân xúc sắc thì không gian mẫu E là {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Nếu gieo lần lượt hai quân xúc sắc thì không gian mẫu E là 
{(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6), 
(3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6), (4;1), (4;2), (4;3), (4;4), (4;5), (4;6), (5;1), 
(5;2), (5;3), (5;4), (5;5), (5;6), (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6) } 
3. Biến cố 
Mỗi tập hợp con của không gian mẫu là một biến cố. Mỗi phần tử của biến cố 
A gọi là một kết quả thuận lợi cho A. 
Ví dụ: Biến cố để gieo lần lượt 2 quân xúc sắc có tổng bằng 5 là 
 {(1;4), (4;1), (2;3), (3;2)} 
4. Các loại biến cố 
4.1. Biến cố sơ cấp 
Mỗi phần tử của không gian mẫu là một biến cố sơ cấp. 
Ví dụ: (1;2) là biến cố sơ cấp 
www.VNMATH.com
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
266 
4.2. Biến cố chắc chắn 
Không gian mẫu E còn gọi là biến cố chắc chắn, tức là biến cố luôn luôn xảy ra 
khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên. 
Ví dụ: Biến cố để gieo 2 quân xúc sắc có tổng lớn hơn hoặc bằng 2 và nhỏ hơn 
hoặc bằng 12 là biến cố chắc chắn. 
4.3. Biến cố không thể 
Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu 
nhiên. Biến cố không thể kí hiệu là ∅. 
Ví dụ: Biến cố để gieo 2 quân xúc sắc có tổng lớn hơn 12 là biến cố không thể. 
4.4. Biến cố hợp 
Biến cố A∪B là biến cố "ít nhất có A hoặc B xảy ra" gọi là hợp của hai biến 
cố A và B. 
Biến cố 1 2 ... kA B A∪ ∪ ∪ gọi là hợp của k biến cố 1 2, , ..., kA A A 
Ví dụ: Gọi A là biến cố để gieo lần lượt 2 quân xúc sắc có tổng lớn hơn 10 và 
B là biến cố để gieo 2 quân xúc sắc có tổng nhỏ hơn 4. 
Khi đó biến cố A B∪ là {(6;5), (5;6), (6;6), (1;1), (1;2), (2;1)} 
4.5. Biến cố giao 
Biến cố A ∩ B là biến cố "cả A và B cùng xảy ra". 
Biến cố 1 1 ... kA B A∩ ∩ ∩ là biến cố " 1 2, , ..., kA A A cùng xảy ra", gọi là giao của 
biến cố 1 2, , ..., kA A A . 
Ví dụ: Gọi A là biến cố để gieo 2 quân xúc sắc có tổng lớn hơn 7 và B là biến 
cố để gieo 2 quân xúc sắc có tổng nhỏ hơn 10. 
Khi đó biến cố A B∩ là {(2;6), (6;2), (3;5), (5;3) (4;4), (4;5), (5;4)} 
4.6. Biến cố xung khắc 
Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu khi biến cố này xảy ra thì biến cố kia 
không xảy ra, tức là 0A B ≠∩ . 
Ví dụ: Biến cố A gieo 2 quân xúc sắc có tổng lớn hơn 10 và biến cố B gieo 2 
quân xúc sắc có tổng nhỏ hơn 4 là hai biến cố xung khắc. 
www.VNMATH.com
Xác suất của một biến cố 
267 
4.7. Biến cố đối. Biến cố đối của biến cố A trong không gian mẫu E, kí hiệu 
A , là biến cố "không xảy ra A". 
Ví dụ: Biến cố A gieo 2 quân xúc sắc có tổng là một số chẵn, khi đó biến cố A 
là biến cố gieo 2 quân xúc sắc có tổng là một số lẻ. 
4.8. Biến cố độc lập 
Hai biến cố A và B của một phép thử ngẫu nhiên gọi là độc lập với nhau nếu 
sự xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới sự xảy ra hay 
không xảy ra của biến cố kia. 
Ví dụ: Khi gieo 2 quân xúc sắc, gọi A, B là biến cố tương ứng để quân xúc sắc 
đầu tiên và thứ hai nhận được mặt 3. Khi đó A, B độc lập với nhau. 
5. Tần số của một biến cố 
Số m lần xuất hiện của biến cố A trong n lần thực hiện phép thử ngẫu nhiên gọi 
là tần số của biến cố A ( )0 m n≤ ≤ . 
Ví dụ: Khi gieo 16 lần một quân xúc sắc ta thấy có 2 lần xuất hiện mặt lục thì 
tần số của biến cố quân xúc sắc xuất hiện mặt lục là 2 trong 16 phép thử. 
6. Tần suất của một biến cố 
Tỉ số giữa tần số m của biến cố A và số n lần thực hiện phép thử ngẫu nhiên 
gọi là tần suất của biến cố A. Kí hiệu mf
n
= . 
Ví dụ: Khi gieo 16 lần một quân xúc sắc ta thấy có 2 lần xuất hiện mặt lục thì 
tần suất của biến cố quân xúc sắc xuất hiện mặt lục là 2 0,125
16
f = = . 
7. Định nghĩa xác suất 
Xác suất của biến cố A là tỉ số giữa số trường hợp thuận lợi cho A và tổng số 
trường hợp có thể xảy ra trong phép thử ngẫu nhiên: 
Nếu biến cố A có m phần tử trong không gian mẫu E có n phần tử ( )0 m n≤ ≤ 
thì xác suất của biến cố A là : 
Số trường hợp thuận lợi cho A 
Tổng số trường hợp có thể xảy ra 
P(A) = 
Số phần tử của A 
Số phần tử của E 
( ) AmP A
n E
= = = 
www.VNMATH.com
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
268 
8. Tính chất 
Cho một thí nghiệm ngẫu nhiên có không gian mẫu E và A, B là hai biến cố. 
Khi đó ( ) ( ) ( )0 1; 1; 0;P A P E P≤ ≤ = ∅ = A và B xung khắc ⇔ ( ) 0A B =∩ 
9. Quy tắc tính xác suất 
9.1. Quy tắc cộng xác suất 
9.1.1. Biến cố xung khắc 
Cho A và B là hai biến cố xung khắc. Ta có: P(A∪B) = P(A) + P(B) 
Cho k biến cố xung khắc 1 2, , ..., kA A A . Ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2... ...k kP A A A P A P A P A= + + +∪ ∪ ∪ 
9.1.2. Biến cố đối 
Cho A là biến cố đối của biến cố A. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )1 1P A P A P A P A+ = ⇔ = − 
9.2. Quy tắc nhân xác suất: 
9.2.1. Biến cố độc lập: 
Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. Ta có: P(A ∩ B) = P(A).P(B) 
Cho k biến cố 1 2, , ..., kA A A độc lập với nhau. Ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2... , , ...,k kP A A A P A P A P A=∩ ∩ ∩ 
9.2.2. Biến cố xung khắc: 
Cho A và B là hai biến cố xung khắc. 
Ta có (A ∩ B) luôn không xảy ra, nên: P(A∩B) = 0 
Ta có A và B xung khắc thì A và B không độc lập, nên: 
( ) ( ) ( ).P A B P A P B≠∩ với ( ) 0P A > và ( ) 0P B > 
9.3. Liên hệ giữa quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất 
Cho A và B là hai biến cố bất kì. Ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B p A B= + −∪ ∩ 
Chú ý: Có sách kí hiệu giao của hai biến cố A và B là AB thay cho A ∩ B. 
Giao của k biến cố 1 2, , ..., kA A A là 1 2 ... kA A A . 
www.VNMATH.com
Xác suất của một biến cố 
269 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 
DẠNG 1. TÍNH XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ 
Phương pháp: Dùng định nghĩa xác suất của một biến cố 
Bài 1. Cho 9 quả cân trọng lượng 1kg, 2kg, , 8kg, 9kg. Chọn ngẫu nhiên 3 
quả cân. Tính xác suất để tổng trọng lượng 3 quả cân được chọn không vượt 
quá 8 kg. 
Giải 
Gọi E là tập hợp tất cả các cách chọn 3 quả cân trong 9 quả cân ⇒ 39 84E C= = . 
Gọi A là biến cố "lấy 3 quả cân có tổng trọng lượng không vượt quá 8kg". 
Xét các khả năng xảy ra: 1 + 2 + 3 = 6; 1 + 2 + 4 = 7; 1 + 2 + 5 = 8; 1 + 3 + 4 = 8. 
Như vậy chỉ có 4 cách chọn ra 3 quả cân có tổng trọng lượng không vượt quá 
8kg, tức là 4A = . Vậy xác suất cần tìm là ( ) 4 184 21P A = = . 
Bài 2. Gieo lần lượt ba đồng xu. Gọi A là biến cố có ít nhất hai mặt sấp xuất 
hiện liên tiếp; B là biến cố có ba mặt giống nhau. 
1. Tính xác suất của A và B. 
2. Tính xác suất của A B∪ và của A B∩ . 
Giải 
1. Không gian mẫu có 1 1 1 32 2 2. . 2 8C C C = = phần tử: 
{ }; ; ; ; ; ; ;E NNN NNS NSN NSS SNN SNS SSN SSS= 
Biến cố { }; ; ;A SSS SSN NSS SNS= ; biến cố B = { };NNN SSS 
Xác suất của A: ( ) 4 18 2P A = = ; xác suất của B: P(B) 
2 1
8 4= = 
2. Ta có: { }; ; ; ;A B SSS SSN NSS SNS NNN=∪ và { }A B SSS=∩ 
Xác suất của ( ) 5: 8A B P A B =∪ ∪ ; Xác suất của ( )
1: 8A B P A B =∩ ∩ 
Bài 3. Gieo lần lượt hai quân xúc sắc. Tính xác suất của các biến cố sau đây: 
1. A: "Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện của hai quân xúc sắc ≤ 6". 
2. B: "Có đúng một quân xúc sắc xuất hiện số chấm là số lẻ". 
3. C: "Số chấm xuất hiện trên hai quân xúc sắc hơn kém nhau 2". 
www.VNMATH.com
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
270 
Giải 
Không gian mẫu ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 ; 1, 2 ; 1,3 ; ... 6,6E = : có 6.6 = 36 phần tử. 
1. Biến cố: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ 1,1 ; 1, 2 ; 1,3 ; 1, 4 ; (1,5); 2, 1 ; 2, 2 ; 2,3 ; (2, 4); 3,1 ;A = 
( ) ( ) }3, 2 ; (3,3); 4,1 ; (4, 2); (5,1) có 15 phần tử. Xác suất của A: ( ) 15 536 12P A = = . 
2. Biến cố: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ 1,2 ; 1,4 ; 1,6 ; 2, 1 ; 2,3 ; 2,5 ; 3,2 ; 3,4 ; 3,6 ;B = 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}4,1 ; 4,3 ; 4,5 ; 5, 2 ; 5, 4 ; 5,6 ; 6, 1 ; 6,3 ; 6,5 có 18 phần tử 
Xác suất của B: ( ) 18 136 2P B = = . 
3. Biến cố ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 3 ; 3, 1 ; 2, 4 ; 4, 2 ; 3, 5 ; 5, 3 ;(4,6); (6, 4)C = có 8 phần tử 
Xác suất của C: ( ) 8 236 9P C = = . 
Chú ý: Nếu gieo đồng thời 2 quân xúc sắc thì hai khả năng xảy ra (p;q) và 
(q;p) với p ≠ q là như nhau nên không gian mẫu E chỉ có 21 phần tử, biến cố A 
có 9 phần tử, biến cố B có 9 phần tử và biến cố C có 4 phần tử. 
Bài 4. Gieo lần lượt một đồng xu và một quân xúc sắc. 
1. Tính xác suất của một biến cố A có một mặt sấp và một quân xúc sắc xuất 
hiện là một số chẵn. 
2. Tính xác suất của biến cố B có mặt quân xúc sắc xuất hiện là một số nguyên tố. 
3. Tính xác suất của biến cố C có một mặt ngửa và mặt quân xúc sắc xuất hiện 
là một số lẻ. 
4. Tính xác suất của A B∪ , của A B∩ và của A B C∩ ∩ . 
Giải 
1. Không gian mẫu có 1 12 6 12C C = phần tử: 
{ }1; 2; 3; 4; 5; 6; 1; 2; 3; 4; 5; 6E N N N N N N S S S S S S= 
Biến cố { }2; 4; 6A S S S= . Xác suất của A: ( ) 3 112 4P A = = . 
2. Biến cố { }2; 3; 5; 2; 3; 5B N N N S S S= . Xác suất của B: ( ) 6 112 2P B = = . 
3. Biến cố { }1; 3; 5C N N N= . Xác suất của C: ( ) 3 112 4P C = = . 
4. Biến cố { }2; 3; 4; 5; 6; 2; 3; 5A B S S S S S N N N=∪ 
Xác suất của ( ) 8 2:
12 3A B P A B = =∪ ∪ . 
www.VNMATH.com
Xác suất của một biến cố 
271 
Biến cố { }2A B S=∩ . Xác suất của ( ) 1:
2
A B P A B =∩ ∩ 
Biến cố A B C = ∅∩ ∩ . Xác suất ( ) 0P A B C =∩ ∩ . 
Bài 5. Một bình đựng 5 viên bi xanh, 7 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Lấy ngẫu 
nhiêu 4 viên bi. 
1. Tính xác suất để được 1 viên bi xanh và 3 viên bi vàng. 
2. Tính xác suất để được đủ 3 màu. 
3. Tính xác suất để được 4 viên bi cùng màu. 
Giải 
Không gian mẫu có 416 1820C = phần tử. 
1. Biến cố A lấy được 1 viên bi xanh và 3 viên bi vàng có 1 35 4. 20C C = phần tử. 
Vậy xác suất là: ( ) 120
1820 91
P A = = . 
2. Biến cố B lấy được đủ 3 màu 1 1 2 1 2 1 2 1 15 7 4 5 7 4 5 7 4. . . . . . 910C C C C C C C C C+ + = phần tử 
Vậy xác suất là ( ) 910 1
1820 2P B = = . 
3. Biến cố C lấy được 4 viên bi cùng màu có: 4 4 45 7 4 41C C C+ + = phần tử. 
Vậy xác suất là: ( ) 41
1820P C = . 
Bài 6. Một hộp đựng 5 tờ bạc 50000đ và 10 tờ bạc 20000đ. 
1. Lấy ngẫu nhiên 2 tờ bạc. Tính xác suất để được 70000đ. 
2. Lấy ngẫu nhiên 4 tờ bac. Tính xác suất để được 140000đ. 
Giải 
1. Gọi A là biến cố lấy được 150000đ. Ta có: 
700000đ = 50000đ + 20000đ nên 2 tờ bạc phải khác nhau. 
A có 1 15 10. 5.10 50C C = = phần tử. Không gian mẫu có 
2
15 105C = phần tử. 
Vậy xác suất là: ( ) 50 10
105 21P A = = . 
2. Gọi B là biến cố lấy được 140000đ. Ta có: 140000đ = 100000đ + 40000đ 
Nên B có 2 tờ bạc 50000đ và 2 tờ bạc 20000đ. 
B có: 2 25 10. 10.45 450C C = = p ... a 3 và 2 người mua vé toa 4 
Xét đại diện khả năng có 2 người mua vé toa 1 và 2 người mua vé toa 2 
Điều này có nghĩa trong dãy 1 2 3 4 5 6, , , , ,x x x x x x số 1 và 2 xuất hiện 2 lần, số 
3 và 4 xuất hiện 1 lần. Khi đó số khả năng xảy ra là: 2 26 4. .2! 15.6.2 180C C = = 
Suy ra 2 6.180 1080A = = và 1 2 1320A A A= + = nên ( ) 1320 1654096 512
AP A
E
= = = . 
www.VNMATH.com
Xác suất của một biến cố 
273 
DẠNG 2: XÁC SUẤT CỦA NHIỀU BIẾN CỐ 
Phương pháp: Sử dụng công thức cộng xác suất và công thức nhân xác suất: 
( ) ( ) 1P A P A+ = 
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B= + −∪ ∩ (A, B bất kỳ) 
( ) ( ) ( )P A B P A P B= +∪ (A, B xung khắc) 
( ) ( ) ( ).P A B P A P B=∩ (A, B độc lập). 
Bài 1. Lớp 12C có 30 học sinh, trong đó có 5 em giỏi, 17 em khá và 8 em 
trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em. Tính xác suất để: 
1. Có 3 em giỏi. 2. Có ít nhất 1 em giỏi. 3. Không có em trung bình. 
Giải 
1. ( )
3
5
3
30
10 1
4064060
C
P A
C
= = = . 
2. Gọi B là biến cố chọn được ít nhất một em giỏi thì B là biến cố chọn không 
có học sinh giỏi. Do ( )
3
25
3
30
2300 115
4060 203
C
P B
C
= = = nên ( ) ( ) 881
203P B P B= − = 
3. Có 322C cách chọn 3 học sinh không trung bình nên ( )
3
22
3
30
1540 11
4060 29
C
P C
C
= = = . 
Bài 2. Công ty Samsung phát hành 25 vé khuyến mại trong đó có 5 vé trúng 
thưởng. Một đại lý được phân phối 3 vé. Tính xác suất để đại lý đó có: 
1. Một vé trúng. 2. Ít nhất một vé trúng. 
Giải 
1. Gọi A là biến cố có 1 vé trúng. Xác suất của A là: ( )
1 2
5 20
3
25
. 19
46
C C
P A
C
= = . 
2. Gọi B là biến cố không có vé nào trúng thì ( )
3
20
3
25
57
115
C
P B
C
= = . 
Biến cố B là biến cố có ít nhất một vé trúng thì ( ) ( ) 581 115P B P B= − = . 
Bài 3. Một bình đựng 5 viên bi xanh và 4 viên bi màu đỏ. Lấy lần lượt 2 viên 
bi. Tính xác suất để được viên bi thứ hai màu đỏ. 
www.VNMATH.com
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
274 
Giải 
Gọi A là biến cố lấy được viên bi xanh lần thứ nhất; B là biến cố lấy được viên 
bi đỏ lần thứ nhất; C là biến cố lấy được viên bi đỏ lần thứ hai. 
Biến cố lấy được viên bi đỏ lần thứ hai là tập hợp của hai biến cố: A∩C và 
B∩C, trong đó A và C; B và C là hai cặp biến cố độc lập. 
Ta có: ( ) 5 549 8 18P A C = ⋅ =∩ và ( )
3 34
9 8 18P B C = ⋅ =∩ 
Vậy xác suất phải tính là: 5 3 418 18 9P = + = . 
Bài 4. Hai xạ thủ A và B cùng nhắm bắn một con thỏ. Xác suất để xạ thủ A 
bắn trúng là 27 ; xác suất để xạ thủ B bắn trúng là 
1
8 . Tính xác suất để: 
1. Cả hai xạ thủ đều bắn trúng. 2. Chỉ một trong hai người bắn trúng. 
3. Ít nhất một trong hai người bắn trúng. 4. Cả hai xạ thủ đều bắn trượt. 
Giải 
1. Gọi A là biến cố xạ thủ A bắn trúng. Xác suất là ( ) 27P A = ; B là biến cố xạ 
thủ B bắn trúng. Xác suất là ( ) 18P B = . Hai biến cố A và B độc lập. 
Vậy xác suất để hai xạ thủ cùng bắn trúng là ( ) ( ) ( ) 2 1 1. 7 8 28P A B P A P B= = ⋅ =∩ 
2. Gọi A là biến cố xạ thủ A bắn trật, ta có ( ) ( ) 51 7P A P A= − = ; 
B là biến cố xạ thủ B bắn trật, ta có ( ) ( ) 71 8P B P B= − = . 
Biến cố một người bắn trúng là hợp của hai biến cố A B∩ và A B∩ . 
Vậy xác suất để một người bắn trúng là: 
( ) ( ) 5 7 5 191 2 14
7 8 7 8 56 56 56P P A B P A B= + = ⋅ + ⋅ = + =∩ ∩ . 
3. Đó là biến cố A B∪ : ( ) ( ) ( ) ( ) 32 1 17 8 28 8P A B P A P B P A B= + − = + − =∪ ∩ . 
4. Xác suất phải tìm là ( )P A B∩ . Mà A và B độc lập nên A và B độc lập. 
Do đó: ( ) ( ) ( ) 5 7 5. 7 8 8P A B P A P B= = ⋅ =∩ 
Cách khác: ( ) ( ) ( ) 3 51 1 8 8P A B P A B P A B= = − = − =∩ ∪ ∪ 
www.VNMATH.com
Xác suất của một biến cố 
275 
Bài 5. Hai người A, B cùng bắn một con chim. Xác suất của A bắn trúng là 0,7 
của 2 người cùng bắn trúng 0,42 và của con chim bị bắn trúng là 0,88. 
1. Tính xác suất để B bắn trúng? 
2. Kiểm chứng rằng hai biến cố A và B là độc lập. 
Giải 
1. Gọi A là biến cố người A bắn trúng 
A ∩ B là biến cố hai người cùng bắn trúng, thì A B∪ là biến cố con chim bị bắn 
trúng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,88 0,7 0, 42 0,6P A B P A P B P A B P B P B= + − ⇔ = + − ⇔ =∪ ∩ 
2. Ta có P(A).P(B) = 0,7.0,6 = 0,42 = P(A∩B). Vậy A và B độc lập nhau. 
Bài 6. Ba ông và ba bà ngồi trên một dãy 6 ghế. 
1. Tính xác suất để người cùng phái ngồi gần nhau. 
2. Tính xác suất để ba bà ngồi gần nhau. 
3. Tính xác suất để họ ngồi nam nữ xen kẽ nhau 
Giải 
1. Kí hiệu tắt ông là M và bà là W. Không gian mẫu E có 6! = 720 phần tử. 
Có 2 cách xếp người cùng phái ngồi gần nhau: MMMWWW, WWWMMM 
Có 3! = 6 cách ngồi của 3 ông và có 3! = 6 cách ngồi của 3 bà. 
Vậy xác suất phải tính là: 2.3!3! 2.6.6 16! 720 10P = = = 
2. Có 4 cách sắp xếp ba bà ngồi gần nhau: MMMWWW, MMWWWM, 
MWWWMM,WWWMMM. Có 3! = 6 cách sắp xếp 3 ông và có 3! = 6 cách 
sắp xếp 3 bà. Vậy xác suất phải tính là: 4.3!3! 16! 5P = = 
3. Có 2 cách sắp xếp ba ông và ba bà ngồi xen kẽ nhau: MWMWMW, 
WMWMWM. Có 3! = 6 cách sắp xếp ba ông và có 3! = 6 cách sắp xếp ba bà. 
Vậy xác suất phải tính là: 2.3!3! 16! 10P = = 
Bài 7. Một hộp đựng 4 bi vàng, 3 bi xanh, 2 bi trắng và 1 bi đỏ, các bi này chỉ 
khác nhau về màu sắc. Lấy ngẫu nhiên 3 bi cùng một lúc. Tính xác suất để có 3 
viên bi khác màu trong đó phải có bi vàng. 
Giải 
Gọi 1A là biến cố lấy được 1 bi vàng, 1 bi xanh, 1 bi trắng: 
1 1 1
4 3 2C C C 
Gọi 2A là biến cố lấy được 1 bi vàng, 1 bi xanh, 1 bi đỏ: 
1 1 1
4 3 1C C C 
Gọi 3A là biến cố lấy được 1 bi vàng, 1 bi trắng, 1 bi đỏ: 
1 1 1
4 2 1C C C 
www.VNMATH.com
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
276 
Ta có: 1 2 3A A A A= ∪ ∪ với 1 2 3, ,A A A xung khắc nhau, nên 
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 3 2 4 3 1 4 2 1
1 2 3 3
10
11
30
C C C C C C C C C
P A P A P A P A
C
+ +
= + + = = 
Bài 8. a. Gieo một quân xúc sắc liên tiếp 6 lần. Tính xác suất để ít nhất có một 
lần ra mặt "lục". 
b. Gieo một cặp hai quân xúc sắc 2009 lần. Tính xác suất để ít nhất có một lần 
cả hai con đều ra mặt "lục". 
Giải 
a. Gọi iA là biến cố "lần thứ i xuất hiện mặt lục". 1, 6i = . Ta có ( ) 16iP A = 
1,6i∀ = . Khi đó biến cố đối iA "lần thứ i không xuất hiện mặt lục" có xác 
suất ( ) 5 , 1,66iP A i= = 
Gọi A là biến cố "ít nhất có một lần ra mặt lục", thì biến cố đối A là biến cố 
"cả 6 lần đều không xuất hiện mặt lục". 
Rõ ràng 1 2 3 4 5 6. . . . .A A A A A A A= . Rõ ràng các biến cố iA là độc lập. 
Theo quy tắc nhân, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )61 2 6 5... 6P A P A P A P A= = . 
Theo công thức xác suất của biến cố đối, ta có ( ) ( ) ( )651 1 6P A P A= − = − 
Vậy xác suất để có ít nhất một lần ra lục là ( )651 6− . 
b. Nếu iA là biến cố "Lần thứ i cả hai mặt đều ra lục" thì ( ) ( )21 1 , 1,246 36iP A i= = = 
Khi đó biến cố đối iA , "lần thứ i không xuất hiện cả hai mặt lục", có xác suất 
là ( ) ( ) 3511 1 , 1, 2436 36i iP A P A i= − = − = = 
Gọi A là biến cố "Có ít nhất một lần cả hai mặt đều ra mặt lục", thì A là biến 
cố" cả 2009 lần, không có lần nào ra cả hai mặt lục". 
Theo quy tắc nhân ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20091 2 2009 35... 36P A P A P A P A= = 
 Theo công thức tính xác suất của biến cố đối, thì ( ) ( ) ( ) 2009351 1 36P A P A= − = − 
www.VNMATH.com
Xác suất của một biến cố 
277 
Bài 9. Gieo đồng thời 3 quân xúc sắc. Anh là người thắng cuộc nếu có xuất 
hiện ít nhất "2 mặt lục". Tính xác suất để trong 5 ván chơi anh thắng ít nhất là ba ván. 
Giải 
Gọi iA là biến cố "Lần thứ i thắng". Rõ ràng khi tung 1 quân xúc sắc, xác suất 
xuất hiện mặt lục là 16 (và do đó xác suất không xuất hiện mặt lục là 
5
6 ). 
Lần thứ i thắng khi 
– Hoặc là cả 3 quân xúc sắc ra mặt lục. Điều này xảy ra với xác suất ( )31 16 216= 
Theo quy tắc cộng xác suất, ta có ( ) 1 15 2 , 1,7216 27iP A i+= = = 
Vậy biến cố đối iA "Lần thứ i thua" là ( ) ( ) 251 27i iP A P A= − = 
Gọi A là biến cố "ít nhất thắng ba ván". 
Rõ ràng để ít nhất thắng ba ván, ta cần có 
– Cả năm ván đều thắng. Điều này xảy ra với xác suất ( )5227 . 
– Có 4 ván thắng, 1 ván thua thì xác suất là ( ) ( ) ( ) ( )4 445 25 252 2. 5.27 27 27 27C = 
– Có 3 ván thắng, 2 ván thua thì xác suất là ( ) ( ) ( ) ( )2 23 335 25 252 2. 10.27 27 27 27C = 
Theo quy tắc cộng, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 525 25 520322 2 25 1027 27 27 27 27 27P A = + + = 
Bài 10. Bắn liên tiếp vào mục tiêu cho đến khi có một viên đạn đầu tiên trúng 
mục tiêu thì ngừng bắn. Tìm xác suất sao cho phải bắn đến viên đạn thứ 3, biết 
rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi lần bắn là như nhau và bằng 0,4. 
Giải 
Gọi A i là biến cố "bắn đến viên thứ i mới trúng mục tiêu" 
A là biến cố "bắn đến viên thứ 3 thì ngừng lại", suy ra A = 1 2 3A A A 
Các biến cố 1 2 3A , A , A không độc lập nhau vì việc xảy ra biến cố A i sẽ ảnh 
hưởng đến khả năng xảy ra 1A i+ : ( ) ( )1 1A / A 0; A / A 0, 4i i i iP P+ += = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2. / . / 1 1 / /P A P A P A A P A A A P A P A A P A A A = =  −  −   
Mặt khác 2 1A A⊂ nên 1 2 2A A A= suy ra ( ) ( ) ( )1 0, 4 1 0, 4 .0, 4 0,144P A = − − = 
www.VNMATH.com
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
278 
Bài 11. Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật), hay do 
hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có 
cùng một giới tính; các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa trẻ độc lập 
với nhau và có xác suất là 0,5 con trai. Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi 
đều là trai, 30% cặp sinh đôi là gái và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. 
1. Tính xác suất cặp sinh đôi thật. 
2. Giả sử khi chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi thì được cặp có cùng giới tính. 
Tính xác suất để cặp sinh đôi đó là cặp sinh đôi thật. 
Giải 
1. Gọi A là biến cố "cặp sinh đôi cùng giới"; 1B là biến cố "cặp sinh đôi thật" 
và 2B là biến cố "cặp sinh đôi giả". Từ giả thiết ⇒ ( ) 0,34 0,30 0,64P A = + = 
Nếu có cặp sinh đôi thật thì chúng luôn có cùng giới tính nên ta có 
1
1AP
B
 
= 
 
Nếu có cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa trẻ độc lập với nhau và có 
xác suất là 0,5 con trai nên ta có 
2
1
2
AP
B
 
= 
 
. 
Đặt ( )1P B x= , thì ( )2 1P B x= − . Ta có: ( ) ( ) ( )1 2
1 2
A AP A P P B P P B
B B
   
= +   
   
( )10,64 1 1, 28 2 1 0, 28
2
x x x x x⇔ = + − ⇔ = + − ⇔ = 
Vậy xác suất để có được cặp sinh đôi thật là 0,28. 
2. Trong các cặp sinh đôi có cùng giới tính thì xác suất xảy ra cặp sinh đôi thật 
là 
( )
( )
11 P B ABP
A P A
 
= 
 
. Vì một biến cố sinh đôi thật cũng là biến cố sinh đôi cùng 
giới nên ( ) ( )1 1 0, 28P B A P B= = . Từ đó suy ra 1 0, 28 7 0, 43750, 64 16
B
P
A
 
= = = 
 
Nhận xét. Có thể sử dụng biến đổi sau đây: 
( ) ( ) ( )( ) ( )
1
1 1 1
1 1
P ABAP B P P B P AB
B P B
 
= = 
 
( ) ( )
( )
1 11 / 0,28.1 0,43750,64
P B P A BB
P
A P A
 
⇒ = = = 
 
. 
Bài 12. Một chuồng gà có 9 con mái và 1 con trống. Chuồng gà kia có 1 con 
mái và 5 con trống. Từ mỗi chuồng ta bắt ra ngẫu nhiên một con làm thịt. Các 
con gà còn lại được dồn vào một chuồng thứ ba. Từ chuồng thứ ba này lại bắt 
ngẫu nhiên một con gà. Tính xác suất để ta bắt được gà trống từ chuồng thứ ba. 
www.VNMATH.com