Ôn thi Toán 12: Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba

Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 
245 
BÀI 3. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC, GÓC NHÂN ĐÔI 
I. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC 
2 1 cos 2sin ;2
xx −= 
2 1 cos 2cos 2
xx += ; 1sin cos sin 22x x x= ; 
2 1 cos 2tan ;1 cos 2
xx
x
−
=
+
3 sin 3 3sinsin 4
x xx − += ; 3 cos3 3coscos 4
x xx += ; 3 sin 3 3sintan ;
cos3 3cos
x xx
x x
− +
=
+
CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA 
Bài 1. Giải phương trình: 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − (1) 
Giải 
( ) 1 cos 6 1 cos8 1 cos10 1 cos121
2 2 2 2
x x x x− + − +⇔ − = − 
cos 6 cos8 cos10 cos12 2 cos 7 cos 2 cos11 cosx x x x x x x x⇔ + = + ⇔ = 
( ) cos 0cos cos11 cos 7 0
cos11 cos 7
x
x x x
x x
=
⇔ − = ⇔ 
=
( )
2 9
k kx x kpi pi⇔ = ∨ = ∈
 
Bài 2. a. Giải phương trình: 2 2 2 2cos cos 2 cos 3 cos 4 2x x x x+ + + = (1) 
 b. Giải phương trình: 2 2 2 2 3cos cos 2 cos 3 cos 4
2
x x x x+ + + = (2) 
Giải 
a. ( ) 1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 1 cos81 2
2 2 2 2
x x x x+ + + +⇔ + + + = 
( ) ( )cos 2 cos8 cos 4 cos 6 0 2cos 5 cos 3 2cos5 cos 0x x x x x x x x⇔ + + + = ⇔ + = 
( )2cos5 cos3 cos 0 4 cos5 cos 2 cos 0x x x x x x⇔ + = ⇔ = 
{ } ( )cos 0 cos 2 0 cos5 0 ;4 2 10 5k kx x x x kpi pi pi pi⇔ = ∨ = ∨ = ⇔ ∈ + + ∈
 
b. ( ) 21 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 32 cos 4
2 2 2 2
x x x x+ + +⇔ + + + = 
( ) 2 2cos 2 cos 6 cos 4 cos 4 0 2cos 4 cos 2 cos 4 2cos 4 0
2
x x x
x x x x x
+ +⇔ + = ⇔ + + = 
( ) ( )2cos 4 2cos 4 2 cos 2 1 0 cos 4 4 cos 2 2cos 2 1 0x x x x x x⇔ + + = ⇔ + − = 
( )
cos 4 coscos 4 0 8 42
1 5 2cos 2 cos 2 cos
4 5 5
4 21 5 cos 2 coscos 2 5 54
kxxx
x x x k k
x x kx
pi pipi 
= +== 
 
− + pi pi⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + pi ∈
 
 pi pi
− − = = ± + pi =   

 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
246 
Bài 3. a. Giải phương trình: 2 4cos cos 3
xx = (1) 
 b. Giải phương trình: 2 3 41 2cos 3cos5 5
x x+ = (2) 
Giải 
a. ( ) 1 cos 2 4 41 cos 1 cos 2 2cos
2 3 3
x x xx+⇔ = ⇔ + = . Đặt 23
xt = 
Khi đó: ( )3 21 cos3 2cos 2 1 4cos 3cos 2 2 cos 1t t t t t+ = ⇔ + − = − 
( ) ( )3 2 24cos 4cos 3cos 3 0 cos 1 4cos 3 0t t t t t⇔ − − + = ⇔ − − = 
2
cos 1 cos 1
3 1cos 2cos 24
t t
tt
= = 
 ⇔ ⇔
== 

( )
2 2 33
342 2 4 23 3
xt k x k
kkxxt k

= = pi = pi ⇔ ⇔ ∈pi pi
= ± +pi 
= = ± + pi 

 
b. ( ) ( )6 42 1 1 cos 3cos5 5x x⇔ + + = . Đặt 25xt = 
Khi đó: ( )3 22 cos 3 3cos 2 2 cos 3cos 3 2cos 1t t t t t+ = ⇔ + − = − 
( ) ( )3 2 24cos 6cos 3cos 5 0 cos 1 4cos 2cos 5 0t t t t t t⇔ − − + = ⇔ − − − = 
( )
2cos 1 cos 0 2 55
51 21 52cos cos 2 24 5
xt t k x k
k
x kxt t k
= = = = pi = pi ⇔ ⇔ ⇔ ∈α− = ± + pi= = α
= = ±α + pi  

 
Bài 4. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )
4 4
4sin 2 cos 2 cos 4 1
tan tan4 4
x x x
x x
+
=
pi pi
− +
Giải 
Điều kiện: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2sin cos sin 2 cos 2 0
4 4 2 2
4 22sin cos sin 2 cos 2 04 4 2
x x x x
kx
x x x x
 pi pi pi
− − = − = ≠
 pi pi⇔ ≠ +
pi pi pi + + = + = ≠

Để ý rằng: ( ) ( ) ( ) ( )tan tan tan cot 14 4 4 4x x x xpi pi pi pi− + = − − = 
Do đó với điều kiện (2) thì ( ) 4 4 41 sin 2 sin 2 cos 4x x x⇔ + = 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 24 41 cos 4 1 cos 4 cos 4 1 cos 4 1 cos 4 4 cos 42 2x x x x x x− +⇔ + = ⇔ − + + = 
4 2 22cos 4 cos 4 1 0 cos 4 1 sin 4 0
2
kx x x x x pi⇔ − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
www.VNMATH.com
Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 
247 
Bài 5. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )4 4 7sin cos cot cot 18 3 6x x xpi pi+ = + − 
Giải 
Điều kiện: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22sin sin 2sin cos sin 2 03 6 3 3 3x x x x xpi pi pi pi pi+ − = + + = + ≠ 
Để ý rằng: ( ) ( ) ( ) ( )cot cot cot tan 13 6 3 3x x x xpi pi pi pi+ − = + ⋅ + = nên 
( ) ( ) ( )24 4 7 1 cos 2 1 cos 2 71 sin cos 8 2 2 8x xx x − +⇔ + = ⇔ + = 
( ) ( ) ( )2 2 27 71 cos 2 1 cos 2 2 1 cos 2
2 2
x x x⇔ − + + = ⇔ + = 
( )1 cos 4 7 11 cos 4
2 4 2 12 2
x nx x n+ pi pi⇔ + = ⇔ = ⇔ = ± + ∈
 
Bài 6. Giải phương trình: ( ) ( )4 4 4 9sin sin sin4 4 8x x xpi pi+ + + − = 
Giải 
( ) ( )( ) ( )( )2 221 cos 2 91 11 cos 2 1 cos 22 2 2 2 2 8x x x   − pi pi⇔ + − + + − − =       
( ) ( ) ( )2 2 2 91 cos 2 1 sin 2 1 sin 2
2
x x x⇔ − + + + − = 
2 294 cos 2 sin 2 2cos 2 4 cos 2 1 0
2
x x x x⇔ − + = ⇔ + − = 
( )2 6cos 2 cos 2 22 2x x k x k k
− + α⇔ = = α ⇔ = ±α + pi ⇔ = ± + pi ∈
 
Bài 7. Giải phương trình: 8 8 217sin cos cos 216x x x+ = (1) 
Giải 
( ) ( ) ( )4 4 21 cos 2 1 cos 2 171 cos 22 2 16x x x− +⇔ + = 
( ) ( )4 4 2cos 2 1 cos 2 1 17 cos 2x x x⇔ + + − = 
Đặt cos 2t x= . Khi đó phương trình ( ) ( )4 4 21 1 17t t t⇔ + + − = 
( ) ( )4 3 2 4 3 2 2 4 24 6 4 1 4 6 4 1 17 2 5 2 0t t t t t t t t t t t+ + + + + − + − + = ⇔ − + = 
( )2 2 1 cos 41 1cos 2 cos 4 0 4
2 2 2 2 8 4
x kt x x x k x k+ pi pi pi⇔ = = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + pi ⇔ = + ∈

www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
248 
Bài 8. a. Giải phương trình: ( )3 3 2cos cos 3 sin sin 3 14x x x x+ = 
 b. Giải phương trình: 3 3 3cos cos 3 sin sin 3 cos 4x x x x x+ = (2) 
Giải 
3 cos3 3cos sin 3 3sincos cos3 sin sin 3 cos 3 sin 34 4
x x x xx x x x x x+ − ++ = ⋅ + ⋅ 
( ) ( )2 2 31 cos 3 sin 3 cos3 cos sin 3 sin4 4x x x x x x= − + + 
( ) ( )3 33 31 1cos 6 cos 3 4 cos 2 3cos 2 cos 2 cos 24 4 4 4x x x x x x x= + − = − + = 
a. ( ) ( )
3
3 2 2 2 2 21 cos 2 cos 2
4 8 2 2 8x x x k k
  pi⇔ = = = ⇔ = ⇔ = ± + pi ∈ 
 

 
b. ( ) ( )3 3 4 2 22 cos 2 cos 4 cos 4 cos 2 34 2 2
x x k kx x x x x k
x x k
= − + pi pi⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ = ∈
= + pi

 
Bài 9. Giải phương trình: 3 3 3 1cos .cos3 sin .sin 3 cos 4 4x x x x x− = + 
Giải 
3 3 cos 3 3cos sin 3 3sincos .cos3 sin sin 3 cos3 sin 34 4
x x x xx x x x x x+ − +− = ⋅ − ⋅ 
( ) ( )2 2 3 31 1cos 3 sin 3 cos3 cos sin 3 sin cos 44 4 4 4x x x x x x x= + + − = + 
3 331 1cos 4 cos 4 4cos 4 3cos 4 0 cos12 04 4 4 24 12
kx x x x x x pi pi+ = + ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + 
Bài 10. Giải phương trình: ( )3 34sin .sin 3 4sin .cos3 3 3 cos 4 3 1x x x x x+ + = 
Giải 
VT (1) ( ) ( )cos3 3cos sin 3 sin 3 3sin cos3 3 3 cos 4x x x x x x x= + + − + + 
( )3 sin 3 cos sin cos3 3 3 cos 4 3sin 4 3 3 cos 4x x x x x x x= + + = + 
Khi đó ( ) 31 11 sin 4 3 cos 4 1 sin 4 cos 42 2 2x x x x⇔ + = ⇔ + = 
( )1cos sin 4 sin cos 4 sin 4 sin3 3 2 3 6x x xpi pi pi pi⇔ + = ⇔ + = 
( )
4 23 6 24 2
54 2 8 23 6
kx k x
k
kxx k
pi pi pi pi + = + pi = − +
 
⇔ ⇔ ∈  pi pipi pi
= ++ = + pi 


 
www.VNMATH.com
Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 
249 
II. SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI 
1. CÔNG THỨC SỬ DỤNG 
( )
( )
2 2
2 2
2 2
sin 2 2sin cos cos 2 cos sin
sin 2 sin cos 1 cos 2 2cos 1
cos 2 1 2sinsin 2 1 sin cos
x x x x x x
x x x x x
x xx x x
=  = −

= + − = −

= −= − − 
22
22
2 2
22 tan tan , sintan 2 2 11 tan
2 1cot 1 tan , coscot 2
2cot 1 1
x tx t xx
tx
t tx x xx
x t t

= ==  +
−
 
−
−  = ==

− +
2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA 
Bài 1. Giải phương trình: 4 6cos sin cos 2x x x+ = (1) 
Giải 
( ) ( ) ( )4 6 2 2 4 6 2 2 2 21 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sinx x x x x x x x x x⇔ + = − ⇔ + = − +
4 6 4 4 6 4cos sin cos sin sin sin 0x x x x x x⇔ + = − ⇔ + = 
( ) ( )4 2sin sin 1 0 sin 0x x x x k k⇔ + = ⇔ = ⇔ = pi ∈
 
Bài 2. Giải phương trình: cos 2 5sin 2 0x x+ + = (1) 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2sin 5sin 2 0 2sin 5sin 3 0 2sin 1 sin 3 0x x x x x x⇔ − + + = ⇔ − − = ⇔ + − =
{ } ( )512sin 1 0 sin 2 ; 22 6 6x x x k k k−pi − pi−⇔ + = ⇔ = ⇔ ∈ + pi + pi ∈
 
Bài 3. Giải phương trình: 32sin cos 2 cos 0x x x− + = (1) 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( )3 2 21 2sin 1 2sin cos 0 2sin 1 sin 1 cos 0x x x x x x⇔ − − + = ⇔ + − − = 
( ) ( )[ ]1 cos 1 2sin cos 2 sin cos 0x x x x x⇔ − + + + = 
( ) ( ) ( )21 cos sin cos 2 sin cos 0x x x x x ⇔ − + + + =  
( ) ( ) ( )1 cos sin cos sin cos 2 0x x x x x⇔ − + + + = 
( )
( )
1 cos 0 cos 1 2
sin cos 0 tg 1
2
4sin cos 2
sin 2
4
x x x k
x x x k
x k
x x
x
− = = 
= pi
  ⇔ + = ⇔ = − ⇔ ∈
−pi 
= + pi
  + = − pi + = −

 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
250 
Bài 4. Giải phương trình: 4 6cos cos 2 2sin 0x x x− + = (1) 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 6 2 2 2 41 cos 1 2sin 2sin 0 cos 1 cos 1 2sin 1 sin 0x x x x x x x⇔ − − + = ⇔ − + + + =
( ) ( ) ( )2 4 2 2 4 2sin 2 1 sin cos 1 0 sin 2sin sin 0x x x x x x ⇔ + − + = ⇔ + =  
( ) ( )4 2 4sin 2sin 1 0 sin 0 sin 0x x x x x k k⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = pi ∈
 
Bài 5. Giải phương trình: 4 cos 2 cos 2 cos 4 1x x x− − = (1) 
Giải 
( ) ( )1 4 cos 2cos 2 cos 4 1 0x x x⇔ − − + = ( )2cos 2 2 cos 2 .cos 0x x x⇔ − = 
( )[ ]
cos 0
2cos 2 cos3 cos 0 cos 1
cos 3 1
x
x x x x
x
=

⇔ − + = ⇔ = =
cos 0
2
cos 1 2
x kx
x x
pi
= + pi=
⇔ ⇔
=  = pi
Bài 6. Giải phương trình: 3 3sin cos cos 2x x x+ = (1) 
Giải 
(1) ( ) ( ) ( ) ( )2 2cos sin cos sin cos sin cos sin cos sinx x x x x x x x x x⇔ + + − = + − 
( ) ( )[ ]cos sin 1 cos sin cos sin 0x x x x x x⇔ + − − − = 
a) Xét ( )cos sin 0 tg 1
4
x x x x k k−pi+ = ⇔ = − ⇔ = + pi ∈
 
b) Xét sin cos cos sin 1 0x x x x− − + = (2) 
Đặt ( ) 21sin cos 2 sin 2, 2 sin cos4 2tt x x x x xpi − = − = − ∈ − ⇒ =  . Khi đó 
(2) ( )22 1 2 0t t⇔ − − + = ( ) { }311 sin 2 ; 24 22t x x k kpi pi−⇔ = − ⇔ − = ⇔ ∈ pi + pi 
Bài 7. Giải phương trình: ( ) ( )2 21 sin sin cos sin 2 cos 12 2 4 2x x xx x pi+ − = − 
Giải 
( ) ( )21 1 sin sin cos sin 1 cos 1 sin2 2 2x xx x x xpi⇔ + − = + − = + 
( ) ( )sin sin cos sin 1 0 sin sin cos 2sin cos 1 02 2 2 2 2 2x x x x x xx x x  ⇔ − − = ⇔ − − =   
( ) ( ) ( )2 2sin sin 2sin 1 sin 1 0 sin sin 1 2sin 2sin 1 02 2 2 2 2 2x x x x x xx x x ⇔ − − − = ⇔ − + + =  
( ) ( ) 22sin sin 1 sin sin 1 02 2 2x x xx  ⇔ − + + =   ( )x k k⇔ = pi ∈
 
www.VNMATH.com
Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 
251 
Bài 8. Giải phương trình: ( )sin 4 cos 4 1 4 sin cosx x x x− = + − (1) 
Giải 
( ) ( ) ( )21 sin 4 1 cos 4 4 sin cos 2sin 2 cos2 2cos 2 4 cos sinx x x x x x x x x⇔ = + + − ⇔ = − −
( ) ( ) ( )2 22 cos sin cos 2 sin 2 4 cos sin 0x x x x x x⇔ − − − − = 
( ) ( ) ( )[ ]2 cos sin cos sin cos 2 sin 2 2 0x x x x x x⇔ − + − − = 
Xét cos sin 0 tg 1
4
x x x x kpi− = ⇔ = ⇔ = + pi 
Xét ( ) ( ) ( ) ( )cos sin cos 2 sin 2 2 0 2cos cos 2 2 04 4x x x x x xpi pi+ − − = ⇔ − + − = 
( ) ( )cos3 cos 2 cos3 sin 22x x x xpi⇔ + + = ⇔ + − = 
( )2
sin 1 cos 0sin 1
cos3 1 cos 4cos 3 1
x xx
x x x
= − ⇒ =− =
⇔ ⇔ ⇒ 
=
− = 
 Vô lý 
Kết luận: Phương trình chỉ có nghiệm 
4
x kpi= + pi ( )k ∈
 
Bài 9. Giải phương trình: 2 cos 2 tan
2
xx+ = (1) 
Giải 
Sử dụng công thức 
2
2
1cos
1
tx
t
−
=
+
 với tan
2
xt = , khi đó ta có 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 221 tan 21 2 2 tan 2 1 tan 1 tan 2 tan 1 tan2 2 2 2 21 tan
2
x
x x x x x
x
−
⇔ + = ⇔ + + − = +
+
( ) ( )3 2 22 tan tan 2 tan 3 0 tan 1 2 tan tan 3 02 2 2 2 2 2x x x x x x⇔ − + − = ⇔ − + + = 
( ) ( )2 21 11tan 1 tan tan 0 tan 1 0 tan 1 22 2 2 2 4 2 2 2x x x x x x k  pi⇔ − + + + = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + pi   
Bài 10. Giải phương trình: ( ) ( )1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = + (1) 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
2
2tan1 1 tan 1 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan
1 tan
xx x x x x x
x
 ⇔ − + = + ⇔ − + = + + 
+ 
( )22 tan 1 tan 0x x⇔ + = { }tan 0 tan 1 ; 4x x x k k−pi⇔ = ∨ = − ⇔ ∈ pi + pi 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
252 
Bài 11. Giải phương trình: ( )1 3 tan 2sin 2 1x x+ = 
Giải 
( ) ( ) ( )2
2
2 tan1 1 3 tan 2 1 3 tan 1 tan 4 tan
1 tan
xx x x x
x
⇔ + = ⋅ ⇔ + + =
+
( ) ( )2tan 1 3 tan 2 tan 1 0x x x⇔ + − + = tan 1 0 tan 1
4
x x x k−pi⇔ + = ⇔ = − ⇔ = + pi 
Bài 12. Giải phương trình: cot tan 2 tan 2x x x= + (1) 
Giải 
( ) ( )2 22 2
2 2
2 tan 1 tan 4 tan11 tan 2 1 tan 4 tan
tan tan1 tan 1 tan
x x xx x x
x xx x
−⇔ = + ⋅ ⇔ = ⇔ − =
− −
2
1,2
2
1,2
tan 1 2 tantan 2 tan 1 0
tan 2 tan 1 0 tan 1 2 tan
xx x
x x x
 = − ± = α + − =
⇔ ⇔

− − = = ± = β 
( )1,2
1,2
x k
k
x k
= α + pi
⇔ ∈
= β + pi

 
Bài 13. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )2 2 21 tan 1 tan 2 1 tan 4 8x x x− − − = (1) 
Giải 
ĐK: cos cos 2 cos 4 0x x x ≠ ; ( ) 2 2 22 tan tan1 11 41 tan 1 tan 1 tan 4
x x
x x x
   ⇔ =   
− − −   
2 2
tan1 1tan 2 tan8 tan 8
4 71 tan 2 1 tan 4
xx x x x x k x k
x x
pi  ⇔ = ⇔ = ⇔ = + pi ⇔ =  
− −  
Bài 14. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )2 2 2cot 1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8x x x x− − − = 
Giải 
ĐK: sin 8 0x ≠ khi đó biến đổi ( ) ( ) ( )2 2 2cot 1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8x x x x− − − = 
 2 2 2
tan82 2 2cot cot
tan1 tan 1 tan 2 1 tan 4
x
x x
xx x x
   ⇔ = ⇔ =   
− − −   
( )tan 8 1 8
4 32 8x x k x k k
pi pi pi⇔ = ⇔ = + pi ⇔ = + ∈
 
Bài 15. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )2 2 21 tan 1 tan 2 1 tan 4 8cot 8x x x x− − − = (1) 
Giải 
ĐK: sin 8 0x ≠ . ( ) 2 2 22 tan 2 21 cot 8 tan1 tan 1 tan 2 1 tan 4
xx x
x x x
     ⇔ =     
− − −     
( )cot 8 tan 8 tan tan 1
4
x x x x x k kpi⇔ = ⇔ = ⇔ = + pi ∈
 
www.VNMATH.com
Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 
253 
III. SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN BA 
1. CÔNG THỨC SỬ DỤNG 
2 3sin 3 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cosx x x x x x= − = − 
2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA 
Bài 1. Giải phương trình: sin 3 sin 2 5sinx x x+ = (1) 
Giải 
( ) ( )3 21 3sin 4sin 2sin cos 5sin sin 3 4sin 2cos 5 0x x x x x x x x⇔ − + = ⇔ − + − = 
( ) ( )2sin 2 cos cos 3 0 sin 0 cos 1x x x x x x k k⇔ + − = ⇔ = ∨ = ⇔ = pi ∈
 
Bài 2. Giải phương trình: sin 3 sin 2 2sin 0x x x+ + = (1) 
Giải 
( ) ( )3 21 3sin 4sin 2sin cos 2sin 0 sin 4sin 2 cos 5 0x x x x x x x x⇔ − + + = ⇔ − + + = 
( )2sin 4cos 2 cos 1 0 sin 0x x x x x k⇔ + + = ⇔ = ⇔ = pi 
Bài 3. Giải phương trình: 2cos3 cos 2 sin 2x x x+ + = (1) 
Giải 
( ) ( ) ( )3 2 21 4 cos 3cos 2 cos 1 1 cos 2x x x x⇔ − + − + − = 
( ) ( )2cos 1 4cos 5cos 2 0 cos 1 2x x x x x k⇔ − + + = ⇔ = ⇔ = pi 
Bài 4. Giải phương trình: 2sin 3 sin 2 cos 0x x x+ − = (1) 
Giải 
( ) ( ) ( )3 21 3sin 4sin sin 2 1 sin 0x x x x⇔ − + − − = 
( ) ( )3 2 22sin sin 2sin 1 0 sin 1 2sin sin 1 0x x x x x x⇔ − − + = ⇔ − + − = 
{ } ( )51sin 1 sin ; 2 ; 22 2 6 6x x x k k k kpi pi pi⇔ = ± ∨ = ⇔ ∈ + pi + pi + pi ∈
 
Bài 5. Giải phương trình: 2 3cos10 2cos 4 6cos3 cos cos 8cos cos 3x x x x x x x+ + = + 
Giải 
( )3cos10 cos8 1 cos 8cos cos 3 6cos3 cosx x x x x x x⇔ + + = + − 
( )3cos10 cos8 1 cos 2cos 4 cos 3cos 3x x x x x x⇔ + + = + − 
( )2cos9 cos 1 cos 2 cos .cos9 cos 1 2x x x x x x x k k⇔ + = + ⇔ = ⇔ = pi ∈
 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
254 
Bài 6. Giải phương trình: 632 cos cos 6 1x x− = (1) 
Giải 
( ) ( ) ( )3 31 4 1 cos 2 4 cos 2 3cos 2 1x x x⇔ + − − = 
( ) ( )24cos 2 5cos 2 1 0 cos 2 1 4cos 2 1 0x x x x⇔ + + = ⇔ + + = 
( )1cos 2 1 cos 2 cos
4 2 2
x x x k x k kpi α⇔ = − ∨ = − = α ⇔ = + pi ∨ = ± + pi ∈
 
Bài 7. Giải phương trình: ( )22sin 3 1 4sin 1x x− = (1) 
Giải 
Nếu cos 0x = là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra 
( )
2
3
cos 0 sin 1 sin 1
6 16 3sin 4sin 1
x x x
x x
 = ⇔ = = ±
⇔ ⇒ ± =
− − = 
 Vô lý 
Nhân 2 vế của (1) với cos 0x ≠ ta có: 
( ) ( ) ( )2 31 2sin 3 1 4 1 cos cos cos 2sin 3 4cos 3cos cosx x x x x x x x ⇔ − − = ⇔ − =  
( )2sin 3 .cos 3 cos sin 6 sin 2x x x x xpi⇔ = ⇔ = − { }2 2;14 7 10 5k kx pi pi pi pi⇔ ∈ + + 
Bài 8. Giải phương trình: 1 12sin 3 2cos3
sin cosx xx x− = + (1) 
Giải 
Điều kiện: ( )sin .cos 0 sin 2 0 2
2
kx x x x pi≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ 
( ) ( ) 1 11 2 sin 3 cos3
sin cosx x x x⇔ − = + 
( ) ( )2 3 sin cos2 3sin 4sin 4cos 3cos
sin cos
x xx x x x
x x
+ ⇔ − − − =  
( ) ( ) ( )2 2 sin cos2 3 sin cos 4 sin cos sin cos sin cos
sin cos
x xx x x x x x x x
x x
+ ⇔ + − + + − =  
a) Xét sin cos 0 tg 1
4
x x x x kpi+ = ⇔ = − ⇔ = − + pi (thỏa mãn (2)) 
b) Xét ( )[ ]2sin cos 3 4 1 sin cos 1x x x x− − = ( )sin 2 2sin 2 1 1x x⇔ − = 
22sin 2 sin 2 1 0x x⇔ − − = { }7; ;4 12 12x k k kpi pi pi⇔ ∈ + pi − + pi + pi 
Kết luận: { }; ; |4 2 12 12kx k k kpi pi pi pi∈ + − + pi + pi ∈
 
www.VNMATH.com
Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 
255 
Bài 9. Giải phương trình: ( ) ( )3 31sin sin10 2 2 10 2x xpi pi− = + 
Giải 
Đặt 3 33
10 2 10 2
xt tpi pi pi= − ⇒ pi − = + . Khi đó phương trình 
( ) 32sin sin 3 sin 3 2sin 3sin 4sint t t t t t⇔ = pi − = ⇔ = − ( )2sin 1 4sin 0t t⇔ − = 
( )sin 2cos 2 1 0t t⇔ − = { }3 14 42 ; 2 ; 25 5 5x k k kpi pi pi⇔ ∈ − pi + pi + pi 
Bài 10. Giải phương trình: ( ) ( )sin 3 sin 2 .sin4 4x x xpi pi− = + 
Giải 
Đặt 
4
t x pi= + thì phương trình ( ) ( )sin 3 sin 2 sin2t t tpi⇔ − pi = − 
( ) ( )sin 3 sin 2 sin sin 3 cos 2 sint2t t t t tpi⇔ − pi − = − − ⇔ = 
( )3 23sin 4sin cos 2 .sin sin 3 4sin cos 2 0t t t t t t t⇔ − = ⇔ − − = 
( ) ( )2sin 1 2 1 2sin cos 2 0 sin 1 cos 2 0t t t t t ⇔ + − − = ⇔ + =  
sin 0 4 4
cos 2 1 2 2 2
2 4
t x k x kt
t t x k x k
pi −pi 
= + = pi = + pi
=  
⇔ ⇔ ⇔  
= − pi pi = + = pi + pi = + pi 
 
Bài 11. Giải phương trình: ( )38cos cos33x xpi+ = 
Giải 
Đặt 3 3 cos 3 cos 33 3t x x t x t x t
pi pi
= + ⇒ = − ⇒ = − pi⇒ = − 
Khi đó phương trình 3 38cos cos 3 3cos 4 cost t t t⇔ = − = − 
( )3 212 cos 3cos 0 3cos 4cos 1 0t t t t⇔ − = ⇔ − = 
{ }2cos 0 cos 0 2; ;1 1 6 3cos cos 2
4 2
t t
x k k k
t
= = 
pi − pi ⇔ ⇔ ⇔ ∈ + pi + pi pi
= = − 
 
Bài 12. Tìm a để: 2 2cos 4 cos 3 sinx x a x= + (1) có nghiệm ( )0,12x pi∈ 
Giải 
Biến đổi ( ) ( )1 cos 21 cos 61 cos 4
2 2
a xxx
−+⇔ = + 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
256 
( ) ( )2 32 2 cos 2 1 1 4cos 2 3cos 2 1 cos 2x x x a x⇔ − = + − + − 
( ) ( )3 24cos 2 4cos 2 3 cos 2 3 0x x a x a⇔ − − + + + =
( ) ( )( )2cos 2 1 4 cos 2 3 0x x a⇔ − − + = . Với ( )0,12x pi∈ thì ( )3 cos2 1, 2 0,2 6x x pi< < ∀ ∈ 
Do đó yêu cầu bài toán 
2
23 3cos 2 1 3 3 4 0 1
2 4
ax a a
  +⇔ < = < ⇔ < + < ⇔ < < 
 
Bài 13. Giải phương trình: 4cos 6 cos 4 cos 2 3 4sinx x x x+ + = + (1) 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( )23 21 4cos 2 3cos 2 2cos 2 1 cos 2 3 1 cos 2x x x x x⇔ − + − + = + − 
( ) ( )3 2 24cos 2 cos 2 5 0 cos 2 1 4 cos 2 5cos 2 5 0x x x x x⇔ + − = ⇔ − + + = 
2cos 2 1 4 cos 2 5cos 2 5 0x x x⇔ = ∨ + + = (vô nghiệm) ( )x k k⇔ = pi ∈
 
Bài 14. Giải phương trình: 4 2cos 6 1 8sin sin 2x x x= + + (1) 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( )23 21 4 cos 2 3cos 2 1 2 1 cos 2 1 cos 2x x x x⇔ − = + − + − 
( ) ( )3 2 24cos 2 cos 2 cos 2 4 0 cos 2 1 4cos 2 3cos 2 4 0x x x x x x⇔ − + − = ⇔ − + + = 
2cos 2 1 4 cos 2 3cos 2 4 0x x x⇔ = ∨ + + = (vô nghiệm) ( )x k k⇔ = pi ∈
 . 
Bài 15. Giải phương trình: ( )sin 3 cos 3 2 sin cos 1x x x x− + + = (1) 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( )3 31 3sin 4sin 4cos 3cos 2 sin cos 1x x x x x x⇔ − − − + + = 
( ) ( ) ( )4 sin cos 1 sin cos 5 sin cos 1x x x x x x⇔ − + − + + = . Đặt sin cos , 2t x x t= + ≤ 
( ) ( ) ( ) { }2 22 1 1 1 2 2 1 0 1 2 ; 22t t t t t t t x k kpi⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ ∈ pi + pi 
Bài 16. Giải phương trình: 2 cos3 sin 2 cos 0x x x+ + = (1) 
Giải 
( ) ( )3 31 2 4cos 3cos 2sin cos cos 0 8cos 2sin cos 5cos 0x x x x x x x x x⇔ − + + = ⇔ + − =
( ) ( )2 2cos 8cos 2sin 5 0 cos 8sin 2sin 3 0x x x x x x⇔ + − = ⇔ − − = 
( ) ( ) 31cos 4sin 3 2sin 1 0 cos 0 sin sin sin
2 4
x x x x x x⇔ − + = ⇔ = ∨ = − ∨ = = α 
{ } ( )5; 2 ; 2 ; 2 ; 22 6 6x k k k k k kpi pi pi⇔ ∈ + pi − + pi − + pi α + pi pi − α + pi ∈
 
www.VNMATH.com
Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 
257 
www.VNMATH.com