Ôn thi Toán 12: Số phức

Số phức 
287 
SỐ PHỨC 
I. TRƯỜNG SỐ PHỨC VÀ SỐ PHỨC 
1. Trường số phức 
Trường số phức ( ){ }, ,a b a b= ∈
  là tập hợp 2× =   mà trên đó xác lập 
các quan hệ bằng nhau và các phép toán tương ứng sau đây: 
i) Phép cộng: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 
ii) Phép nhân: (a, b). (c, d) = (ac − bd, ad + bc) 
iii) Quan hệ bằng nhau: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c và b = d 
iv) Phép đồng nhất: (a, 0) ≡ a ; (0, 1) ≡ i 
2. Số phức 
Giả sử ( ),z a b= ∈
 , với a, b∈R. Sử dụng phép cộng và phép nhân ta có: 
z = (a, b) = (a, 0) + (b, 0). (0, 1) = a + bi; i2 = (0, 1). (0, 1) = (−1, 0) ≡ −1 
iz a b= + là dạng đại số của số phức, trong đó i gọi là đơn vị ảo. 
3. Phần thực và phần ảo của số phức 

 Giả sử iz a b= + ∈
 , a, b∈R, khi đó a gọi là phần thực, b là phần ảo của z. 

 Kí hiệu: Re(z) = a ; Im(z) = b. 

 Tính chất: 
 Nếu iz a b= + ; z1 = a1 + b1i ; z2 = a2 + b2i , a, b, a1, b1, a2, b2∈R 
 +) z1 = z2 ⇔ a1 = a2 và b1 = b2 ⇔ Re(z1) = Re(z2) và Im(z1) = Im(z2) 
 +) Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2) ; Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2) 
 +) Re(λz) = λRe(z), ∀λ ∈ R ; Im(λz) = λIm(z), ∀λ∈R. 
4. Các phép toán về số phức 
Cho z1 = a1 + b1i ; z2 = a2 + b2i , với a1, b1, a2, b2∈R. Khi đó ta có: 

 z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i 

 z1 − z2 = (a1 + b1i) − (a2 + b2i) = (a1 − a2) + (b1 − b2)i 

 z1. z2 = (a1 + b1i). (a2 + b2i) = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i 

 
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 21 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
i i
i
i i
a b a bz a a b b a b a b
z a b a b a b a b
+ − + −
= = +
+ − + +
, ∀z2 ≠ 0 
www.VNMATH.com
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
288 
5. Số phức liên hợp 

 Cho iz a b= + , với a,b∈R, khi đó iz a b= − gọi là số phức liên hợp với z. 

 Tính chất: 
 +) ,z z z= ∀ ∈
 ; z z z= ⇔ ∈ ; iz z z= − ⇔ ∈  
 +) ( )2 Rez z z+ = ; ( )2 Im iz z z− = ; ( ) ( )2 2Re Imz z z z⋅ = + 
 +) 1 2,z z∀ ∈
 : 1 2 1 2z z z z+ = + ; 1 2 1 2z z z z⋅ = ⋅ ; 1 1
2 2
z z
z z
 
= 
 
, ∀z2 ≠ 0 
6. Môđun của số phức 

 ĐN: Cho iz a b= + ∈
 , với a, b∈R, khi đó môđun của z là 2 2z a b= + 

 Tính chất: 
 +) 2 ; ; 0z z z z z z= ⋅ = ≥ ; 0 0z z= ⇔ = 
 +) 1 2,z z∀ ∈
 : 1 2 1 2z z z z⋅ = ⋅ ; 11
2 2
zz
z z
= , ∀z2 ≠ 0 
 +) 1 2,z z∀ ∈
 : 1 2 1 2z z z z+ ≤ + ; 1 2 1 2z z z z− ≤ − 
7. Dạng lượng giác của số phức 

 Ta thấy tồn tại phép tương ứng 1−1 giữa các 
phần tử của 
 và các điểm nằm trên mặt phẳng 
2
 nên có thể đồng nhất 
 với 2 . 
Khi đó tất cả các số phức z = a + bi được tương 
ứng với điểm z = (a, b) trên mặt phẳng tọa độ 
Đềcác Oxy. 

 Với z = a + bi ≠ 0 (a, b ∈  ), kí hiệu 2 2r z a b= = + 
Góc ϕ là góc định hướng tạo bởi Oz



 với chiều dương trục Ox được gọi là 
Argument của z. Nếu ϕ là một Argument của z, thì tập hợp tất cả các 
Arguments của z là Argz = {ϕ + k2pi, k ∈ }. Nếu ϕ là một Argument của z 
thoả mãn 0 2≤ ϕ < pi , thì ϕ được gọi là Argument chính của z và được kí hiệu là 
argz, khi đó ta có: arg 2 ,Arg z z k k= + pi ∈ . 
Vì a = r cosϕ ; b = r sinϕ, nên dạng lượng giác của z là z = r(cosϕ + i sin ϕ) 
z 
O 
y 
x 
b 
a 
ϕ 
www.VNMATH.com
Số phức 
289 

 Tính chất: z = r(cosϕ + i sinϕ) ; z1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1) ; z2 = r2(cosϕ2 + i sinϕ2) 
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2z z r r cos i sin = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ  ; ( ) ( )1 1 1 2 1 2
2 2
z r
cos isin
z r
 = ϕ −ϕ + ϕ −ϕ  ,z2 ≠0 
( )cos i sinn nz r n n= ϕ + ϕ ; 2 2cos sin , 0, 1n nz r k i k k n
n n n n
 ϕ ϕ   pi pi
= + + + = −        

 Hệ quả (Công thức Moivre): 
 ( )cos sin cos sinni n i nϕ + ϕ = ϕ + ϕ , n∀ ∈ 
8. Hàm số mũ phức 

 Định nghĩa: ∀z = x + yi ∈
 , (x, y∈R), thì ( ) ( )e e cos i sinz xf z y y= = + 

 Tính chất: e z ≠ 0, ∀z∈C ; 1 2 1 2 1 2 1 2e e e ; e / e ez z z z z z z z+ −= = , ∀z1, z2∈C 
9. Hàm lượng giác phức 

 Từ định nghĩa hàm số mũ phức suy ra: 
Công thức Euler: i ie cos i sin ; e cos i sinx xx x x x−= + = − , ∀x∈R 
Hệ quả: 
( ) ( ) ( )i i i i1 1cos e e ; sin e e , *2 2i
x x x x
x x x
− −
= + = − ∀ ∈
Do các vế phải của các đẳng thức (*) cũng xác định khi thay thế x∈ bởi 
z ∈
 , nên ta có các định nghĩa tương ứng của các hàm số phức sin, cosin, 
tang, cotang: ( )i i1cos e e2
z zz −= + ; ( )i i1sin e e2i
z zz −= − 
i i
i i
sin e e1tan
cos i e e
z z
z z
zz
z
−
−
−
= = ⋅
+
 ; 
i i
i i
cos e ecot i
sin e e
z z
z z
zz
z
−
−
+
= = ⋅
−
10. Hàm Hypebolic phức 
( )1ch e e2
z zz −= + ; ( )1sh e e2
z zz −= − 
sh e eth
ch e e
z z
z z
zz
z
−
−
−
= =
+
 ; ch e ecoth
sh e e
z z
z z
zz
z
−
−
+
= =
−
www.VNMATH.com
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
290 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC 
1. Dạng 1. Biểu diễn một số phức dưới dạng lượng giác 
Dạng lượng giác ( )cos sinz r i= ϕ + ϕ , với 0r > . 
Bài mẫu. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác 
( ) ( ) 1 3 11 3 1 sin cos1 2 2
ii i z i
i i
−
− + = ϕ + ϕ
+ +
1. 2. 3. 4. 
( ) ( )1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin1 cos sin
i i i
i
− ϕ − ϕ
− ϕ − ϕ + ϕ + ϕ
+ ϕ + ϕ5. 6. 
Giải 
1. Ta có: ( ) ( )1 3 2 cos sin ;3 3i ipi pi − = − + −   1 2 cos sin4 4i pi pi + = +   suy ra: 
Sử dụng z1. z2 = (a1 + b1i). (a2 + b2i) = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 2 2 cos sin12 12i i i pi pi − + = − + −   
2. Sử dụng 
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 21 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
i i
i
i i
a b a bz a a b b a b a b
z a b a b a b a b
+ − + −
= = +
+ − + +
, ∀z2 ≠ 0 
suy ra ( ) ( )1 3 7 72 cos sin1 12 12i ii−  pi pi = − + − +   
3. Ta có 11
2 2 4
i
i
−
=
+ ( ) ( ) ( ) ( )2 2cos sin cos sin4 4 4 4 4 4i i pi pi   pi pi = − = − + −       
4. Biến đổi sin cosz i= ϕ + ϕ thành dạng lượng giác ( ) ( )cos sin2 2z ipi pi= − ϕ + − ϕ 
5. Xét 1 cos sin
1 cos sin
i
z
i
− ϕ − ϕ
= =
+ ϕ + ϕ 
2sin sin .cos
2 2 2
2cos cos .sin
2 2 2
i
i
ϕ ϕ ϕ 
− 
 
ϕ ϕ ϕ 
+ 
 
tg
2
iϕ = − 
 
− Nếu tg 0
2
ϕ
> , thì dạng lượng giác là ( ) ( )tg cos .sin2 2 2z iϕ  pi pi = − + −   
− Nếu tg 0
2
ϕ
< , thì dạng lượng giác là ( )tg cos .sin2 2 2z iϕ pi pi= − + . 
− Nếu tg 0
2
ϕ
= , thì số phức z không có dạng lượng giác xác định. 
www.VNMATH.com
Số phức 
291 
6. Xét số phức ( ) ( )1 cos sin 1 cos sinz i i= − ϕ − ϕ + ϕ + ϕ 
4sin cos sin cos cos sin
2 2 2 2 2 2
z i iϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ   = − +   
   
( )2 22sin sin cos sin cos cos sin 2sin sin cos2 2 2 2 2 2i i
 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 
= ϕ + − − = ϕ ϕ − ϕ    
− Nếu sin 0ϕ > thì dạng lượng giác là ( ) ( )2sin cos .sin2 2z i pi pi = ϕ ϕ − + ϕ −   
− Nếu sin 0ϕ < thì dạng lượng giác là ( ) ( )2sin cos .sin2 2z i pi pi = − ϕ ϕ + + ϕ +   
− Nếu sin 0ϕ = , thì do 0z = , nên không có dạng lượng giác xác định. 
2. Dạng 2. Các bài tập về argument của số phức 
Bài mẫu. Tìm một argument của mỗi số phức sau: 1. 5 5 3z i= − + 
2. ( )1 sin cos ; 0 2z i pi= − ϕ + ϕ < ϕ < 3. ( ) ( )2cos sin cos sinz i i= ϕ + ϕ + ϕ + ϕ 
Giải 
1. Số phức 5 5 3z i= − + biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm M ( )5; 5 3− 
Gọi MOx = ϕ là một argument của z thì 5 3tg 35
M
M
y
x
ϕ = = = −
−
 ⇒ 23
piϕ = 
2. Xét số phức ( )1 sin cos , 0 2z i pi= − ϕ + ϕ < ϕ < 
( ) ( ) 21 cos sin 2sin 2sin cos2 2 4 2 4 2 4 2z i iϕ ϕ ϕ     pi pi pi pi pi= − − ϕ + − ϕ = − + − −           
2sin sin cos 2sin cos sin
4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2
i i   ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ           pi pi pi pi pi pi= − − + − = − + + +                            
Do 0
2
pi< ϕ < nên 2sin 0
4 2
ϕ pi
− > 
 
 ⇒ ( ) ( ) ( )2sin cos sin4 2 4 2 4 2z iϕ ϕ ϕ pi pi pi= − + + +   
là dạng lượng giác của số phức z. Vậy 
4 2
ϕpi + là một argument của số phức z. 
3. Xét số phức ( ) ( )2cos sin cos sinz i i= ϕ + ϕ + ϕ + ϕ 
( )2 2cos sin 2sin cos cos sini= ϕ− ϕ + ϕ ϕ+ ϕ+ ϕ ( ) ( )cos2 cos 2sin cos sin i= ϕ + ϕ + ϕ ϕ + ϕ 
3 3 3 32 cos cos 2sin cos 2cos cos sin
2 2 2 2 2 2 2
i iϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + = + 
 
 (1) 
www.VNMATH.com
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
292 
i Nếu cos 0
2
ϕ
> thì z = 3 32 cos cos sin
2 2 2
iϕ ϕ ϕ + 
 
là dạng lượng giác của số 
phức z. Vậy 3
2
ϕ
 là một argument của số phức z. 
i Nếu cos 0
2
ϕ
< , thì từ (1) ta có 3 32cos cos sin
2 2 2
z i ϕ ϕ ϕ   = − + pi + + pi        
là dạng 
lượng giác của số phức z. Vậy 3
2
ϕ
+ pi là một argument của số phức z. 
i Nếu cos 0 0
2
z
ϕ
= ⇒ = ⇒ argument của số phức z không xác định. 
3. Dạng 3. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ 
Bài 1. Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn: 
a. 3 5z z+ + = b. 1 2z z i− + − = 
c. ( ) ( )2 z i z− + là số thực tùy ý d. ( ) ( )2 z i z− + là số ảo tùy ý 
e. 2 2z i z z i− = − + f. ( )22 4z z− = 
Giải 
Đặt z x iy z x iy= + ⇒ = − 
a. 3 5 2 3 5 1; 4z z x x x+ + = ⇔ + = ⇔ = = − (hai đường thẳng 1; 4x x= = − ) 
b. ( ) ( ) 21 3 1 2 1 3 1 2 1 3 2 1 2 2z z i i y y y− + − = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ − = ± 
⇔ 1 2 2
2
y ±= . Vậy tập hợp là hai đường thẳng 1 2 2
2
y −= và 1 2 2
2
y += 
c. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1z z i z x iy x i y x x y y i x y xy′  = − + = − − + − = − + − + − − −  
( ) ( ) 12 1 0 2 2 0 12z x y xy x y y x
−
′∈ ⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ = + 
d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 512 2 1 0 1 2 4z z i z i x x y y x y′ = − + ∈ ⇔ − + − = ⇔ − + − = 
⇒ Tập hợp điểm là đường tròn tâm ( )11; 2I bán kính 52 . 
e. 2 2z i z z i− = − + ⇔ ( ) ( ) ( )222 1 2 1 1 1x i y i y x y y+ − = + ⇔ + − = + 
( ) ( )2 22 1 1 4x y y y⇔ = + − − = ⇒ Tập hợp điểm là đường parabol 24
xy = . 
f. ( )22 4z z− = ⇔ ( ) ( )2 2 2 22 2 4x y ixy x y ixy− + − − − = ⇔ 4 4ixy = 
⇔ 1xy = ⇒ Tập hợp điểm là hai đường hypebol 1y
x
= và 1y
x
= − 
www.VNMATH.com
Số phức 
293 
Bài 2. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn các số phức z sao 
cho 2
2
z
z
−
+
 có một argument bằng 3
pi
. 
Giải 
Giả sử z x yi= + . Sử dụng công thức 1 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 2
2 2 2 2 2
z a a b b a b a b
i
z a b a b
+ −
= +
+ +
 suy ra: 
( )
( )
22
2 2
x yiz
z x yi
− +
−
=
+ + + ( ) ( )
2 2
2 22 2
4 4
2 2
x y y i
x y x y
+ −
= +
− + − +
. Để 2
2
z
z
−
+
 có một argument 
3
piϕ = thì ( ) ( ) ( )2 22 22 24 4 cos sin3 32 2x y y i r ix y x y+ − pi pi− = +− + − + với 0r > 
( )
( )
2 2
2 2
2 2
4
cos 3 22
4 3
sin 3 22
x y rr
x y
y
r r
x y
 + − pi
= =
− +
⇒ 
pi
= =

− +
 ⇒ 
( )
2 2
0 1
4 3
4
y
y
x y
 >


=
+ −
2 2 44
3
y
x y⇒ + − = 
2 2
2 2 4
3 3
x y   ⇒ + − =   
   
 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra tập hợp các điểm M là phần đường tròn tâm I 20;
3
 
 
 
 bán 
kính 4
3
R = nằm phía trên trục thực (trục Ox). 
Bài 3 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z 
thỏa mãn z k
z i
=
−
, (k là số thực dương cho trước). 
Giải 
Giả sử ( ),z x yi x y= + ∈ ⇒ ( ) ( )
2 2
2
221 1
x yi x yz k k
z i x y i x y
+ +
= = ⇔ =
− + − + −
 (1) 
Nếu 1k = thì (1) ⇔ 1
2
y = và tập hợp điểm là đường thẳng 1
2
y = 
Nếu 1k ≠ thì (1) ⇔ 
2 2
2 2
2 22 01 1
k kx y y
k k
+ − + =
− −
 ⇔ ( )
2 2
2
2 221 1
k kx y
k k
 + − = 
− 
−
Tập hợp cần tìm là đường tròn có tâm I
2
20; 1
k
k
 
 
− 
 và bán kính bằng 2 1
k
k −
x 
y 
6 3 
 2 3 
2 3− 
www.VNMATH.com
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
294 
Bài 4 Trong mặt phẳng phức cho 4 điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức 
( ) ( )4 3 3 ; 2 3 3 ; 1 3 ; 3i i i i+ + + + + + . CMR: A, B, C, D ∈ một đường tròn. 
Giải 
Từ giả thiết ta suy ra ( ) ( ) ( )4;3 3 ; 2; 3 3 ; 1;3A B C= + = + = và ( )3; 1D = 
Ta có ( )3; 3CA =


 biểu diễn số phức 3 3i+ , 
( )1; 3CB =


 biểu diễn số phức 1 3i+ , 
⇒ Số đo góc ( ),CA CB


 


 là một argument của số phức 1 1 33 3
i
z
i
+
=
+
. 
Sử dụng 1 1 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b i a a b b a b a b
i
a b i a b a b
+ + −
= +
+ + +
 ⇒ 1
2 3 36
12 12 2 3
i
z i += + = 
Vậy số đo góc ( ),CA CB


 


 cũng là một argument của số phức 3 i+ . 
Mặt khác ( )1; 2 3DA = +


 biểu diễn số phức ( )1 2 3 i+ + , 
( )1; 2 3DB = − +


 biểu diễn số phức ( )1 2 3 i− + + . 
⇒ Số đo góc ( ),DA DB


 


 là một argument của số phức ( )( )2
1 2 3
1 2 3
i
z
i
− + +
=
+ +
 =
3
2
i+
Vậy số đo góc ( ),DA DB


 


 cũng là một argument của số phức 3 i+ . 
Vì các argument của một số phức sai khác nhau 2 ,k kpi ∈ nên  ACB ADB= . 
Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp. 
4. Dạng 4. Phần thực, phần ảo của một số phức 
Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: 
1. ( )( )
50
49
1
3
i
i
+
+
 2. ( ) ( )75cos sin 1 33 3i i ipi pi− + 3. 10 101z z+ , nếu 1 1z z+ = 
Giải 
1. ( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )
50
25
50
1 49 49 2449
25 252 cos sin 2 cos sin4 41 2 2 1 cos sin
3 349 49 22 cos sin3 2 cos sin 6 66 6
i ii
z i
ii i
pi pi  pi pi+ + +   pi pi
= = = = +
pi pipi pi  ++ +
  
www.VNMATH.com
Số phức 
295 
Vậy ( )1 24 251 1Re cos 32 2z
pi
= = , ( )1 24 2531Im sin 32 2z
pi
= = 
2. ( ) ( ) ( ) 9962 cos sin 1 3 cos sin 2cos 2 sin3 3 6 6 3 3z i i i i ipi pi pi pi pi pi = + + = − + +   
( ) ( ) ( ) ( )9 9 99 9 19 192 cos sin cos sin 2 cos sin 2 cos sin6 6 3 3 6 6 6 6i i i ipi pi pi pi pi pi pi pi= − + + = − + = + 
Vậy ( ) 92 83Re 2 cos 6 2z
pi
= = , ( ) 92 81Im 2 sin 6 2z
pi
= = 
3. Xét số phức 103 10
1z z
z
= + , với 1 1z
z
+ = 
Từ ( ) ( )
2
1 3
cos sin
2 3 31 1 1 0
1 3
cos sin
2 3 3
i
z i
z z z
z i
z i
 + pi pi
= = +
+ = ⇒ − + = ⇒ 
− pi pi
= = − + −
i Với ( )10 103 1cos sin cos sin3 3 3 3 cos sin3 3z i z i i
pi pi pi pi  
= + ⇒ = + +
 pi pi+ 
 
( ) ( ) ( ) 1010cos sin cos sin3 3 3 3i ipi pi pi pi = + + − + −   
( ) ( )10 10 10 10cos sin cos sin3 3 3 3i ipi pi − pi − pi= + + + 102 cos 13pi= = − . 
i Tương tự với cos sin3 3z i
−pi −pi
= + ta cũng có 3 1z = − 
Vậy ( )3Re 1z = − , ( )3Im 0z = 
Bài 2. Cho cos sinz i= ϕ + ϕ . Giả sử 1n ≥ là số nguyên dương. 
 Chứng minh rằng: 1 12 cos ; 2 sinn n
n n
z n z i n
z z
+ = ϕ − = ϕ . 
Giải 
( )cos sin cos sinnnz i n i n= ϕ + ϕ = ϕ + ϕ ; 1 1 cos sin
cos sinn
n i n
n i nz
= = ϕ − ϕϕ + ϕ 
www.VNMATH.com
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
296 
5. Dạng 5. Giải phương trình trên trường số phức 
Bài 1. Tìm các căn bậc hai của số phức 11 4 3w i= − + ; ( )2 1
2
i− 
Giải 
1. Giả sử z x yi= + là căn bậc hai của số phức 11 4 3w i= − + 
Khi đó ( ) ( )22 2 211 4 3 2 11 4 3z w x yi i x y xyi i= ⇔ + = − + ⇔ − + = − + 
2 2
2 2
2
2
2 31111 1; 2 3
2 3 122 3 1; 2 311
x y yx y x yx
xy y x yxx x

− = − =  
− = − = =  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔   
= = = − = −   − = − 
Vậy số phức 11 4 3w i= − + có hai căn bậc hai là 1 21 2 3 ; 1 2 3z i z i= + = − − 
2. Theo công thức Moivre ta có ( )2cos sin cos 2 sin 2i iϕ + ϕ = ϕ + ϕ . 
suy ra cos siniϕ + ϕ và cos sini− ϕ − ϕ là các căn bậc hai của cos 2 sin 2iϕ + ϕ . 
Ta có ( ) ( ) ( )2 1 cos sin cos sin2 4 4 4 4i i ipi pi pi pi− = − = − + − . Từ đó suy ra ( )2 12 i− 
có hai căn bậc hai là: ( ) ( )1 cos sin8 8z ipi pi= − + − và ( ) ( )2 cos sin8 8z ipi pi= − − − − 
Bài 2. Giải các phương trình bậc hai ( ) ( )2 1 3 2 1 0z i z i+ − − + = 
Giải 
Ta có: ( ) ( )2 21 3 8 1 1 6 9 8 8 2i i i i i i∆ = − + + = − + + + = 
Giả sử ( )22 2z x yi i= + = ⇔ 
2 2
4
1 1; 10
1; 11 1
y x yx y
x
x yxy x

= = =− = 
⇔ ⇔  
= − = −=   =
Do đó 1 i+ và 1 i− − là các căn bậc hai của 2i ⇒ nghiệm 1 22 ; 1z i z i= = − + 
Bài 3. Giải phương trình: 4 3 21 1 0
2
z z z z− + + + = (1) 
Giải 
Do 0z = không là nghiệm của (1), nên ( ) 2 21 1 11 02z z z z⇔ − + + + = 
( ) ( )2 51 1 02z zz z⇔ − − − + = ⇔ 2 25 0 2 2 5 02u u u u− + = ⇔ − + = ; với 1u z z= − 
www.VNMATH.com
Số phức 
297 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 3 1 31
2 1 3 2 0 ; 8 6 22 2
1 3 1 31 2 1 3 2 0 ; 8 6 3
2 2
i iu z z i z iz
i i z i z iu z
z
+ + 
= − = 
− + − = ∆ = + 
⇔ ⇔ ⇔  
− −
− − − = ∆ = −= − = 
 
Giả sử ( ) 22 8 6z x yi i= + = + ⇔ 
2 2
4 2
3 3; 18
3; 13 8 9 0
y x yx y
x
x yxy x x

= = =− = 
⇔ ⇔  
= − = −=  
− − =
Do đó 3 i+ và 3 i− − là các căn bậc hai của 8+6i ⇒ 1 2
1 11 ;
2 2
z i z i= + = − + 
Tương tự 3 ; 3i i− − + là các căn bậc hai của 8−6i ⇒ 3 4
1 11 ;
2 2
z i z i= − = − − 
Vậy phương trình có 4 nghiệm 1 2 3 4, , ,z z z z . 
Bài 4. Giải phương trình: 5 4 3 2 1 0z z z z z+ + + + + = (1) 
Giải 
( ) ( ) ( )4 21 1 1 1 0z z z z z⇔ + + + + + = ( ) ( )4 2 4 2
1
1 1 0
1 0
z
z z z
z z
= −
⇔ + + + = ⇔ 
+ + =
4 2 2 1 31 0
2
i
z z z
− ±+ + = ⇔ = ( ) ( )
2
2
3 2 21 cos sin
2 2 3 3
3 2 21 cos sin
2 2 3 3
z i i
z i i
 pi pi
= − + = +
⇔ 
 pi pi
= − − = − + −
Từ 2 2 3
2 2cos sin cos sin cos sin3 3 3 3 3 3z i z i z i
pi pi pi pi pi pi
= + ⇔ = + ∨ = − − 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 52 2cos sin cos sin cos sin3 3 3 3 3 3z i z i z ipi pi pi pi pi pi= − + − ⇔ = − + − ∨ = − − − − 
Vậy (1) ⇔ 1 2 33 31 11; ;2 2 2 2z z i z i= − = + = − − ; 4 5
3 31 1;
2 2 2 2
z i z i= − = − + . 
Bài 5. Giải hệ phương trình hai ẩn phức 1 2,z z sau: 
1 2
2 2
1 2
4
5 2
z z i
z z i
+ = +

+ = −
Giải 
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 2 1 2 1 21 1 4 5 2 5 12 2z z z z z z i i i   = + − + = + − + = +   
⇒ 1 2,z z là các nghiệm của phương trình ( ) ( )2 4 5 1 0z i z i− + + + = 
Vậy nghiệm của hệ là ( )3 ; 1 2i i− + và ( )1 2 ; 3i i+ − 
www.VNMATH.com
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
298 
6. Dạng 6. Các bài toán về môđun số phức 
Bài 1. Chứng minh rằng: ( )2 2 221 2 1 21 2 2z z z zz z+ + = +− , ∀ z1, z2∈
 
Giải 
( )2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 22z z z z z z z z z z z z z z z z z z+ + − = + + + + − − + = + 
Bài 2. a. CMR: ( ) ( )2 2 2 21 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z+ + − = + + , ∀ z1, z2∈
 
 b. CMR: ( ) ( )2 2 2 21 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z− − − = − − , ∀ z1, z2∈
 
Giải 
( ) ( )2 22 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 21 1 1 1z z z z z z z z z z z z z z z z z z+ + − = + + + + − − + = + + 
( )( )2 22 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 21 1 1 1z z z z z z z z z z z z z z z z z z− − − = − − + − + + − = − − 
Bài 3. CMR: ( )2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 21 i i i i4z z z z z z z z z z= + − − + + − − ∀ z1, z2∈
 
Giải 
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2i i i iz z z z z z z z+ − − + + − − 
= ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z z z z z z z z z+ + + − − − + 
 ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2i i i i 4z z z z z z z z z z z z z z z z z z+ + − + − − − + + = 
Bài 4. CMR: ( ) ( )2 2 21 2
1
Re ... Re
n
n k
k
z z z z
=
+ + + ≤∑ , ∀z1, z2, ... , zn∈
 
Giải 
Đặt 2 2 21 2i ; ... ik k k nz x y z z z a b= + + + + = + trong đó , , ,k kx y a b∈ 
⇒ 2 2 2 2
1 1
n n
k k
k k
a b x y
= =
− = −∑ ∑ ; 
1
n
k k
k
ab x y
=
=∑ .Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski 
ta có: 2 2
1 1 1
n n n
k k k k
k k k
x y x y
= = =
≤ ⋅∑ ∑ ∑ ⇔ 2 2
1 1
n n
k k
k k
ab x y
= =
≤ ⋅∑ ∑ . Từ bất đẳng thức 
www.VNMATH.com
Số phức 
299 
này suy ra nếu 2
1
n
k
k
a x
=
> ∑ thì 2
1
n
k
k
b y
=
≤ ∑ ⇒ 2 2 2 2
1 1
n n
k k
k k
a b x y
= =
− > −∑ ∑ . Điều 
này mâu thuẫn với 2 2 2 2
1 1
n n
k k
k k
a b x y
= =
− = −∑ ∑ . 
Vậy 2
1
n
k
k
a x
=
≤ ∑ ⇔ ( ) ( )2 2 21 2
1
Re ... Re
n
n k
k
z z z z
=
+ + + ≤∑ 
Bài 5. Cho a, b, c, d∈
 với ac ≠ 0. Chứng minh rằng: 
{ }
{ } { }
Max ; ; 5 1
2Max ; Max ;
ac ad bc bd
a b c d
+
−≥
⋅
 (1) 
Giải 
Đặt 2
5 1
, , 1
2
b d
x y k k k
a c
−
= = = ⇒ = − , khi đó: 
(1) ⇔ { } { } { }Max 1; ; .Max 1; .Max 1;x y xy k x y+ ≥ (2) 

 Nếu |x| ≥ 1, | y| ≥ 1 thì (2) đúng vì |xy| ≥ k.|x|.|y| (k <1) 

 Nếu |x| ≤ 1, | y| ≤ 1 thì (2) đúng vì k < 1 

 Xét |x| 1. Ta sẽ chứng minh: { }Max 1; ; .x y xy k y+ ≥ (3) 
Giả sử { }Max 1; ;x y xy k y+ < ⇒ 1y
k
>
 và x y k y+ < 
Ta có: ( ) 21x x y y x y x y y k y k y k y+ + ≥ ⇒ ≥ − + > − = − = 
⇒ 
22x y k y k y≥ >
 ⇒ Mâu thuẫn. 
Do (3) được chứng minh ⇒ (2) đúng ⇒ (1) đúng. 

 Chứng minh tương tự với |x| > 1, |y| < 1 thì { }1; ;Max x y xy k x+ ≥ (4) 
Do (4) đúng ⇒ (2) đúng ⇒ (1) đúng 
Bài 6. Cho z1, z2, z3, z4∈
. Chứng minh: 1 2 3 4
1 4
i j
i j
z z z z z z
≤ ≤ ≤
+ + + ≤ +∑ 
Giải 
www.VNMATH.com
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
300 
Sử dụng bất đẳng thức: |a + b| ≤ |a| + |b| ∀a, b∈ 
 
Ta có: 1 2 3 1 2 3 1 2 1 32 2z z z z z z z z z z− + ≤ + + ≤ + + + 
 Từ đó suy ra: 1 1 2 1 3 2 312z z z z z z z
 ≤ + + + + +  
Tương tự ta có: 2 2 3 2 4 3 412z z z z z z z
 ≤ + + + + +  
3 3 4 3 1 4 1
1
2
z z z z z z z ≤ + + + + +  
4 4 1 4 2 1 2
1
2
z z z z z z z ≤ + + + + +  
Cộng các bất đẳng thức ⇒ 1 2 3 4
1 4
i j
i j
z z z z z z
≤ ≤ ≤
+ + + ≤ +∑ 
Đẳng thức xảy ra ⇔ (z1, z2, z3, z4) là một hoán vị của (a, a, −a, −a) với a∈
 
Bài 7. Cho , , 0a b c
a b c abc
≥

+ + =
Chứng minh: T = 2 2 2
1 111 1 1 2 3
a b c
+ + + + + ≥ 
Giải 
Từ giả thiết 1 1 11 1a b ca b c abc
abc ab bc ca
+ ++ + = ⇒ = ⇔ + + = 
Coi các biểu thức chứa căn là môđun của các số phức, khi đó ta có 
2
, ,
i 1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 i 9 9 3 2 3
a b c
T
a a b c a b c ab bc ca
     
= + ≥ + + + = + + + ≥ + + + =     
     
∑ 
Bài 8. Cho đa thức ( )
2
21 ...4 4 4
n
n
z z zf z = + + + + . Chứng minh rằng: 
 ∀z1 ≠ z2∈
 thỏa mãn | z1|, | z2| ≤ 1 thì ( ) ( ) 1 21 2 8
z zf z f z −− > 
Bài 9. Giả sử z1, z2, ..., zn là các nghiệm phức của đa thức 
 P(z) = [ ]11 1...n n n nz a z a z a z− −+ + + + ∈
 
a. Chứng minh rằng: 2 2 21 2 2... 2nz z z a+ + + ≥ 
b. Chứng minh rằng: Nếu t1, t2, ..., tn −1 là các nghiệm phức của đa 
thức P′(z) thì ta có bất đẳng thức sau luôn đúng 
( )2 2 2 2 2 21 2 1 1 22... ...n nnt t t z z z
n
−
−
+ + + ≤ + + +
www.VNMATH.com