Ôn thi Toán 12: Phương trình và bất phương trình mũ

Phương trình và bất phương trình mũ 
181 
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
1. Phương trình mũ cơ bản: 
( ) ( )
( ) ( )
0 1f x g x aa a f x g x
< ≠
= ⇔ 
=
 ; ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
( )
( )
( ) ( )
1
0
f x g x
A x
A x A x A x
f x g x
 =

= ⇔  >

=
2. Phương trình mũ đưa về cùng một cơ số: 
2.1. Phương trình mũ đưa về cùng 1 cơ số là hằng số: 
Bài mẫu. GPT: ( )2 2 2 21 1 25 3 2 5 3x x x x+ − −− = − (1) 
(1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )22 2 3 25 52 21 5 3 3 3 35 9 3 3xx x x x− = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± 
Bài tập. 
10 5
10 1516 0,125.8
x x
x x
+ +
− −
= ; 1 2 2 13 18 .2 .3x x x x− − += ; 
17
3
5
7 1243 21879
x
x
x
x
+
−
+
−
= ⋅ ; 
1 1 22 3 3 2x x x x− − +− = − ; 3 2 2 37 9.5 5 9.7x x x x+ = + ; ( )
1
1
5 1 51 4 2
2
x
x x x+ +
 
⋅ =   ; 
3 1
2 12 29 2 2 3x xx x+ + −− = − ; ( ) ( )3 11 310 3 10 3x xx x− +− ++ = − ; ( ) 212 .3 3 xx x ++ = ; 
2 1 11 13.4 9 6.4 93 2
x x x x+ + ++ ⋅ = − ⋅ ; 1 2 2 12 2 2 3 3 3x x x x x x− − − −+ + = + − ; 
2.2. Phương trình mũ đưa về cùng 1 cơ số là hàm số: 
Bài mẫu. GPT: 2 3x xx x −= (1) 
(1) ⇔ 
( )
1
2 32
2
1 11
201 2 3 0 62 4 2 3
x x
x xx
x x xx
x x
xx x
−
=
==  
= ⇔ ⇔ ⇔ = > 
= − >   = = −
Bài tập. ( ) 2 42 5 4 1xx x −− + = ; ( ) 2 5 64 1x xx − ++ = ; ( )3 2 xxx x= 
( ) ( )5 1 12 22 21 1x xx x+ −=+ + ; ( ) 29 32 22 2 2 2xx x x x−− + = − + ; 
( ) 242 21 1xx x x x−− + = − + ; ( ) 1cos 2 cos 222 2xx xx x++ = + ; 
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 
182 
3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3: 
Bài mẫu. GPT: 2 2 22 6 9 3 5 2 6 93 4.15 3.5x x x x x x+ − + − + −+ = 
( ) ( )2 2 2 2 2 22 3 5 3 5 2 3 5 3 5 3 5 3 53 3 4.15 15 5 3 9 4.15 15 25x x x x x x x x x x x x+ − + − + − + − + − + −⋅ + = ⋅ ⇔ ⋅ + = ⋅ 
( ) ( ) ( )2 2 23 5 3 5 3 529 3 33 4 15 0 3 4 15 0; 025 5 5x x x x x xu u u+ − + − + −⇔ + − = ⇔ + − = = > 
( ) ( ) ( ) ( )2 3 5 1 2 15 3 33 5 3 0 3 4 03 5 5 4
x x x
u u u x x
x
+ − − =
⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ + − = ⇔ 
 = −
Bài tập. 2 13 9 4x x+ ++ = ; 3 74 2 17 0x x+ ++ − = ; 2 21 15 5 24x x+ −− = ; 
35 5 20 0x x−− − = ; 14 4 3.2x x x x+ +− = ; 
1 1 1
49 35 25x x x− = ; 3 1125 50 2x x x++ = ; 
2 2 22.49 9.14 7.4 0x x x− + = ; 
1 1 1 21225 3.10 2 0x x x+ ++ − = ; 2 22 1 24 5.2x x x x+ − − + −− ; 
2 25 1 54 12.2 8 0x x x x− − − − −− + = ; 
11
1 23.2 8.2 4 0
xx
x
−
−
+
− + = ; 
3 32
8 2 20 0
x
x x
+
+ − = ; 
2 4 2 23 45.6 9.2 0x x x+ ++ − = ; 2 3 1 2 1 4 22 .9 2.6 4 .3 0x x x x x− − −− + = ; 8 18 2.27x x x+ = ; 
( ) 3 5 21 6 126 x x− −= − ; 1 1 12.4 6 9x x x+ = ; 24 9 7xx = + ; 2 22 3.2 32 0x x+− + = ; 
( )3 35 9.5 27 5 5 64x x x x− −+ + + = ; ( )3 3 12 6.2 2 12.2 1x x x x− −− − + = ; 
( ) ( )2 3 2 3 4x x+ + − = ; ( ) ( )4 15 4 15 62x x+ + − = ; 
( ) ( ) ( ) ( )2 3 7 4 3 2 3 4 2 3x x+ + + − = + ; ( ) ( )7 4 3 3 2 3 2 0x x+ − − + = ; 
( ) ( ) 35 21 7 5 21 2x x x+− + + = ; ( ) ( ) 33 5 16 3 5 2x x x++ + − = ; 
( ) ( )3 5 3 5 7.2x x x+ + − = ; ( ) ( ) 13 5 1 5 1 2x x x++ − − = ; 
15 1 3 56 7
14 98
xx
x−
  
− ++ =  
   
; ( ) ( )cos cos7 4 3 7 4 4x xx+ + − = ; 
( ) ( )2 2215 1 2 3 5 1x x x xx x− −+ −+ + = − ; ( )2 23.25 3 10 .5 3 0x xx x− −+ − + − = ; 
( )9 2 2 3 2 5 0x xx x+ − + − = ; ( ) ( )2 3 2 2 1 2 0x xx x− − + − = ; 
( ) ( )2 22 4 4 1 .2 16 0x xx x− −+ + + − = ; 38 .2 2 0x xx x−− + − = ; 
GBL: ( ) ( ) 37 3 5 7 3 5 2x x xm ++ + − = ; 
( ) ( )tg tg5 2 6 5 2 6x x m+ + − = ; ( ) ( )tg tg3 2 2 3 2 2x x m+ + − = ; 
www.VNMATH.com
Phương trình và bất phương trình mũ 
183 
4. Đặt thừa số chung đưa về phương trình tích: 
Bài mẫu. GPT: 12 3 6 2x x x+ + = + (1) 
Đặt 
2
3
x
x
a
b
 =

 =
 thì (1) ⇔ ( ) ( )
3
01
2 2 1 2 0
log 22
xa
a b ab a b
xb
== 
+ = + ⇔ − − = ⇔ ⇔ 
 == 
Bài tập. 15 3.5 3 3x x x− + = ; 1 2 32 3.2 6 2x x x+ + = + ; 12 3 6 2x x x+ + = + ; 
2 1 24 .3 3 2. .3 2 6x x x xx x x++ + = + + ; 2 2 22 5 2 4 8 3 6 13 52 2 1 2x x x x x x− + − + − ++ = + ; 
( )22 3 3 1 12 2 2 2x x x x− + − −+ = + ; 4 3 2 5 73 3 9 3x x x− − −+ = + ; 2 2 23 2 1 1 25 5 5 5x x x x x− + − + −+ = + ; 
2 2 1
.2 6 12 6 .2 2x x xx x x x ++ + = + + ; 3 1 3.3 27 .3 9x xx x x x++ = + ; 
2 1 3 2 2 3 4 1
.2 2 .2 2x x x xx x+ − + − + −+ = + ; ( ) 2 21 2 47 7 7 7x x x x+ − + −+ = + 
5. Phương pháp lôgarit hoá: 
 Dạng 1: ( ) ( ) ( )log log logu x u xa a aa m a m u x m= ⇔ = ⇔ = (0 < a ≠ 1) 
 Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )log log .logu x v x u x v xa a aa b a b u x v x b= ⇔ = ⇔ = (0 < a, b ≠ 1) 
Bài mẫu. GPT: 
1
5 .8 500
x
x x
−
= (1) 
(1) ⇔ 
( )3 1
3 25 .2 5 2
x
x x
−
= ⋅ ⇔ 
3
35 .2 1
x
x x
−
−
= ⇔ ( )332 2log 5 .2 log 1xx x−− = 
( ) ( ) ( )2 23 13 log 5 0 3 log 5 0xx xx x−⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ 53 log 2x x= ∨ = − 
Bài tập. 2 4 33 25.125x x− = ; ( ) 23 28 36.3
x
xx ++
= ; 
2 22 .3 1,5x x x− = ; 24 .6 2.9x x x= ; 
13 .8 36
x
x x+ = ; 
3
2 15 .2 4
x
x x− + = ; 
4 tg 24 1600
x
x = ; 4 tg 100xx = ; ( )
2
25 5log 5 1 log 77 x x− = 
6. Phương trình mũ đơn điệu 
Dạng 1: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 ...
u x u x u x u x
na a a b+ + + = với 0 , 1ka b< ≠ ; { }1 2Max , ,..., na a a b< 
Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 ...
u x u x u x u x
na a a b+ + + = với 0 , 1ka b 
Bài 1. Giải phương trình: 23 1 2
x
x+ = (1) 
(1) ⇔ ( ) ( ) ( )3 13 1 2 12 2
x
xx
x x f x  + = ⇔ = + = 
 
. Do ( )3 1;2 2
x
x
y y
 
= = 
 
 giảm 
nên ( )f x giảm, khi đó ( ) ( ) ( )1 2 2f x f x f x= ⇔ = ⇔ = . 
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 
184 
Bài 2. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )4 15 4 15 2 2x x x+ + − = (1) 
(1) ⇔ ( ) 4 15 4 15 1
2 2 2 2
x x
f x    + −= + =   
   
. Ta có 4 15 4 151;0 1
2 2 2 2
+ −> < < 
nên 4 15
2 2
x
y
 +
=  
 
 tăng và 4 15
2 2
x
y  −=  
 
 giảm. Xét 2 khả năng sau: 
Nếu 0x ≥ thì ( )
0
4 15 4 15 4 15 0 1
2 2 2 2 2 2
x x
f x      + − += + > + =     
     
Nếu 0x ≤ thì ( )
0
4 15 4 15 4 150 1
2 2 2 2 2 2
x x
f x      + − −= + > + =     
     
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
Bài 3. Giải phương trình: 2 2sin cos2009 2009 cos 2x x x− = (1) 
(1) ⇔ 2 2 2 2sin cos 2 2 sin 2 cos 22009 2009 cos sin 2009 sin 2009 cosx x x xx x x x− = − ⇔ + = + 
Đặt ( ) 2009uf u u= + ⇒ ( )f u tăng nên (1) ⇔ ( ) ( )2 2sin cosf x f x= 
2 2 2 2cos sin cos sin 0 cos 2 0 ;
4 2
x x x x x x k kpi pi= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈
 
 Bài tập dành cho bạn đọc tự giải. 
24 9 7
x
x
= + ; 23 4 5
x
x
− = ; 3 4 5 14 8x x x x+ + + = ; 2 28 3 2 39
x x
x
− − = ; 
( ) 12 3 6 0,7 xx x x ++ + = ; 15.2 4.7 23,5.10 6.5 4.3x x x x x+ = − − ; 22 5 29 xx x+ = ; 
( ) ( )2 3 2 3 4x x x− + + = ; ( ) ( ) ( )6 4 2 17 12 2 34 24 2 1x x x− + − + − = ; 
3 21 1 15 4 3 2 2 5 7 17
2 3 6
x x x x
x x x
x x x+ + + = + + − + − + ; 
( ) ( ) ( )3 2 3 2 5x x x− + + = ; 2 2log 3 log 5x x x+ = ; 
( ) ( ) ( )6 4 2 17 12 2 34 24 2 1x x x− + − + − = ; 2 2log 3 log 7 2x x x+ = − ; 
( ) ( )2 3 2 2 1 2 0x xx x− − + − = ; ( ) ( ).2 3 2 2 1x xx x x= − + − ; 38 .2 2 0x xx −− + = ; 
( ) ( )2 22 4 4 1 2 16 0x xx x− −+ + + − = ; ( )2 23.25 3 10 5 3 0x xx x− −+ − + − = 
12 4 1x x x+ − = − ; 2 1 2 2 1 1 22 3 5 2 3 5x x x x x x− + + ++ + = + + ; 
1
22xx = ; 
www.VNMATH.com
Phương trình và bất phương trình mũ 
185 
( )2 21 1 1 0
2 2
x x
a a a
a a
   + −
− = >   
   
; ( )9 2 2 3 2 5 0x xx x+ − + − = ; 
2 3 5 10x x x x+ + = ; ( )5 3 3 12 14xx x x+ + = ; ( ) ( )3 2 2 2 1 3x x+ = − + ; 
( ) ( ) ( )2 3 4 15 2 3 5x x x− + − = − ; 22 2 2log (2 ) log 6 log 44 2.3x xx− = ; 
( ) ( )2 2 2 33 5 7 3 5 2x x x++ + − = ; ( )2 222 2 log 15 2x x x x− ++ = + − ; 
2 23 3 2 4x x x x+ = + ; ( ) ( ) ( )2 2
cos2
sin cos cos2 22 2 2 2 2 2 1
2
x
x x x  
+ − + + − = + 
 
; 
3 3 sin 2tg cotg 2 xx x+ = ; sin cosx xpi = ; ( )12 1 1
2 2
x x x− = + + − ; 
1
22xx = ; 
2
2 2
1 1 2
1 1e e 2
x x
x x
x
− −
− = − ; ( )2 212 2 1x x x x− −− = − ; 2 22 2 2 4 2 25 5 2x mx x mx m x mx m+ + + + +− = + + 
7. Phương trình mũ và phương pháp đánh giá: 
7.1. Sử dụng bất đẳng thức Côsi: 
Bài mẫu. 2 2 2 2 18 7 8 9 8 7 8 9 2
x x
xx x x x x x x x +
   
− + + − − + − + − − − =    
Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có 
( ) ( )2 22 2 2 28 7 8 9 8 7 8 9
x x
VT x x x x x x x x= − + + − − + − + − − − ≥ 
( ) ( )2 22 2 2 22 8 7 8 9 8 7 8 9
x x
x x x x x x x x− + + − − − + − − − 
( ) ( )2 2 12 22 8 7 8 9 2 16 2.2 2
x x
x xx x x x + = − + − − − = = =  
Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ Dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức 
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
8 7 8 9 8 7 8 9
8 7 8 9 8 7 8 9 4
x x x x x x x x
x x x x x x x x

− + + − − = − + − − −
⇔ 

− + + − − − + − − − =
2
2
2
8 7 4 1
8 9 0
98 9 0
x x x
x x
xx x

− + = = −
⇔ ⇔ − − = ⇔ 
= − − =
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 
186 
7.2. Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli: Cho t > 0, khi đó: 
( )
( )
1 1 0 1
1 1 0 1
t t
t t
α
α
 + − α ≥ ∀α ≤ ∨ α ≥

 + − α ≤ ∀ ≤ α ≤
Bài 1. Giải phương trình: 3 2 3 2x x x+ = + 
Giải 
Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có: 
• Nếu 0 1x≤ ≤ thì 
( )
( )
3 1 3 1 3 2 1
2 1 2 1 2 1
x x
x x
x x
x x
 + − ≤ ≤ + 
⇔ 
+ − ≤ ≤ +  
3 2 3 2x x x⇒ + ≤ + . Dấu bằng xảy ra 0; 1x x⇔ = = 
• Nếu 
0
1
x
x
≤
 ≥
 thì 
( )
( )
3 1 3 1 3 2 1
2 1 2 1 2 1
x x
x x
x x
x x
 + − ≥ ≥ + 
⇔ 
+ − ≥ ≥ +  
3 2 3 2x x x⇒ + ≥ + . Dấu bằng xảy ra 0; 1x x⇔ = = 
Kết luận: Phương trình có đúng hai nghiệm 0; 1x x= = 
Bài 3. Giải phương trình: 3 5 6 2x x x+ = + 
Giải 
• Nếu 0 1x≤ ≤ thì 
( )
( )
5 1 5 1 5 4 1
3 1 3 1 3 2 1
x x
x x
x x
x x
 + − ≤ ≤ + 
⇔ 
+ − ≤ ≤ +  
5 3 6 2x x x⇒ + ≤ + . Dấu bằng xảy ra 0; 1x x⇔ = = 
• Nếu 
0
1
x
x
≤
 ≥
 thì 
( )
( )
5 1 5 1 5 4 1
3 1 3 1 3 2 1
x x
x x
x x
x x
 + − ≥ ≥ + 
⇔ 
+ − ≥ ≥ +  
5 3 6 2x x x⇒ + ≥ + . Dấu bằng xảy ra 0; 1x x⇔ = = 
Kết luận: Phương trình có đúng hai nghiệm 0; 1x x= = 
Bài tập. 4 5 6 12 3x x x x+ + = + ; 4 2 4 2x x x+ = + ; ( )2 227 6 4 1 9x xx x= − + 
8. Phương trình mũ sử dụng định lý Lagrange: 
Định lý Lagrange: Nếu f liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên (a, b) thì tồn 
tại x0 ∈ (a, b) sao cho ( ) ( ) ( )0 f b f af x b a
−
′ =
−
Bài tập. 23.2 7 17x x+ − = ; 2004 2007 2005 2006x x x x+ = + ; 3 11 4 10x x x x+ = + ; 
15 2.3x x+ = ; 2 2 22 12 2.7x x x x x x− − −+ = 
www.VNMATH.com
Phương trình và bất phương trình mũ 
187 
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
1. Bất phương trình mũ cơ bản: 
Sử dụng: ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
01 0 1
1 0
x x
aa a
a a
x x x x a x x
α β
>> < <   
> ⇔ ∨ ⇔  
α > β α     
2. Bất phương trình mũ đưa về cùng một cơ số: 
Bài 1. Giải BPT: 
1
1 114 324
x x
x x
−
+ −≤ ⋅ 
( ) ( )3 22 1 5 121 1 2 1 3 22 2 2 2
1 1
xx x
x
x x x x
x x
+
−
−
−+ − − +≤ ⋅ = ⇔ ≤
+ −
 ⇔ 
( )
( ) ( )
9 ; 19 0
1 1 1 0
x xx x
x x x
≤ − >+ ≥ ⇔ 
− + − < ≤
Bài 2. Giải BPT: ( ) 224 2 1 1x xx x −+ + > (1) 
(1) ⇔ 
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
4 2 1 1 2 1 0
10 1 0
12 1 00 4 2 1 1 2
1 00
x x x x
xx x x x
xx xx x
x xx x
 + + >  + > 
  >
− > − >   ⇔ ⇔  < −  + < < + + <   
− <
− <  
Bài tập. 2 3 4 1 22 2 2 5 5x x x x x+ + + + +− − > − ; 1 12 2 3 3x x x x+ −+ ≤ + ; 
( ) ( ) 11 15 2 5 2 xx x−− ++ ≤ − ; ( ) ( )1 12 1 2 1 xx x+ −+ ≥ − ; ( ) ( )3 11 310 3 10 3x xx x− +− ++ < − ; 
( )2 12 13 3 x xx x − −− ≥ ; ( ) 2 232 21 1 x xx x +− ≤ − ; ( ) ( )3 22 21 51 1x xx xx x x x+ −− +− + > − + ; 
22 7 31 1x xx − +− < ; 
2 2 22 13 3 2 5x x x+ ++ ≤ ⋅ ; ( ) ( )72 1 13 13 3x x > ; 23 3log log2 5 400x x⋅ < ; 
( ) 2 5 63 1x xx − ++ > ; ( ) 62 8 16 1xx x −− + ; 
1
lg
.lg 1xx x < ; 2 lg 10xx x≥ ; 2log 2xx ≥ ; 
18 6 9x x−≥ ⋅ ; ( ) ( )6 32 1 11 12 2x x x− + − + − ; 
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 
188 
3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3: 
Bài mẫu. Giải BPT: 
2 2 2
2 49 9 14 7 4 0x x x⋅ − ⋅ + ⋅ ≥ (1) 
(1) ⇔ ( ) ( )2 2 22
2
7 1 149 7 22 9 7 0 2 9 7 04 2 001
x x u x x
u u
xxu
 ≥ ≥  ≥
  − + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ⇔ ⇔
   =≤ ≤
Bài 2. Giải BPT: ( )1 1 1 1
51 2
2 2 2 1 3 2 2x x x x− − − − −
+ <
+ − +
 (1) 
( ) ( )1 1 1 1
52 21
2 1 2 1 3 2 2x x x x− − − −
⇔ + <
+ − +
. Đặt 
1
1
2 1 1 2
02 1 1
x
x
u uv v u
u vv
−
−
 = + > − = − 
⇒ 
+ > = − > − 
(1) ⇔ ( )
( )
( )
( )
( )
22 6 4 56 552 2 0 0
3 3 3
v u uv uvu v uv
u v u v uv u v uv u v
 
− + −+ −  + < ⇔ < ⇔ <
+ + +
( ) ( )2 26 2 4 5 6 5 240 0 0 0 1uv uv uv uv uv uv v x
uv uv
 
− + −
− + ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ < 
Bài tập. 
2 2 22 1 2 1 225 9 34 15x x x x x x− + − + −+ ≥ ⋅ ; 2 10 3 2 5 1 3 25 4 5 5x x x x− − − − + −− ⋅ < ; 
2 2 21 2 6 24 2 52 4x x x− − −+ > + ; 1 2 1 23 2 12 0
x
x x+ +
− − < ; 2 1
4 7 5 2
35 12 5 4
x
x x+
− ⋅ ≤
− ⋅ +
 ; 
4 418 3 9 9x x x x+ +⋅ + ≥ ; 2 4 43 8 3 9 9 0x x x x+ + +− ⋅ − ⋅ > ; 
12 2 1 0
2 1
x x
x
−
− + ≤
−
 ; 
9 3 2 3 9x x x− + > − ; ( )13 5 2 13 12 13 5x x x− ≤ + − + ; 
( )2 5 4 5 3 5 3x x x+ − − ≤ + ; ( ) ( ) ( )26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1x x x+ + + − − < ; 
4. Đặt thừa số chung đưa về phương trình tích: 
Bài mẫu. Giải BPT: ( )
22 21 14 2 2 1x x x x+ − ++ ≥ + (1) 
(1) ⇔ 2 2 22 2 1 2 12 2 2 1x x x x x+ − + ++ ≥ + . Đặt 2 2 22 2 1 2 12 ; 2 2x x x x xa b ab+ − + += = ⇒ = 
(1) ⇔ ( )
1; 1 1
1 0 ( 1) 1 0
1; 1 0
a b x
ab a b a b
a b x
≥ ≤ ≥ 
+ − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ⇔ 
 ≤ ≥ ≤ 
www.VNMATH.com
Phương trình và bất phương trình mũ 
189 
Bài tập. 
2 1 24 3 3 2 3 2 6x x x xx x x++ ⋅ + < ⋅ + + ; 
( )2 2 1 24 8 2 4 2 2 2x xx x x x x x++ − > + − + ⋅ − ; 
2 2 22 5 3 2 2 3 2 5 3 4 3x xx x x x x x x− − + > ⋅ − − + ⋅ ; 
( ) ( )2 2 2 2 22 9 2 2 8 2 2 9 2 8 16x x x xx x x x x x⋅ + + ⋅ + ≤ + + ⋅ + + ; 
5. Bất phương trình mũ đơn điệu 
Bài 1. Giải BPT: 1 12 3 6 1x x x+ ++ < − (1) 
(1) ⇔ ( )f x = ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 3 1 26 3 2x x x f+ + (do ( )f x giảm) 
Bài 2. Giải BPT: ( ) ( ) 15 2922 5 10x x+ > (1) 
Nếu 0x < thì 1
x
 giảm trên ( );0−∞ nên ( ) 125 xy = tăng trên ( );0−∞ , khi đó: 
( ) ( ) ( ) 15 22 5x xf x = + tăng trên ( );0−∞ và (1) ⇔ ( ) ( ) 291 1 010f x f x> − = ⇔ − < < 
Nếu 0x > thì 1
x
 giảm trên ( )0; +∞ nên ( ) 125 xy = tăng trên ( )0; +∞ , khi đó: 
( ) ( ) ( ) 15 22 5x xf x = + tăng trên ( )0; +∞ và (1) ⇔ ( ) ( ) 291 110f x f x> = ⇔ > 
Bài 3. Tìm nghiệm 0x > của BPT: 
16 3 10
2 1
x
x x
+
− >
−
 (1) 
(1) ⇔ ( ) ( )1 1 110 10 2 6 2 66 3 6 3 3
2 1 2 1 2 1 2 1
x x xx x x xf x g x
x x x x
+ + +− −
− > ⇔ − = > ⇔ = > =
− − − −
Nếu 1 3
2
x< ≤ thì ( ) 12 6 0 3
2 1
xxf x
x
+−
= ≤ <
−
 nên (1) vô nghiệm. 
Nếu 10
2
x< < thì dễ thấy ( ) ( ),f x g x tăng trên ( )10; 2 , khi đó ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )10 6 3 3 2f x f g g x> = > = > ⇒ Nghiệm của (1) là 10 2x< < 
Nếu 3x > thì dễ thấy ( ) ( ),f x g x tăng trên ( )3; +∞ , khi đó ta có: 
( ) ( ) ( )2 6 51 1 81 3
2 1 2 1
xf x g g x
x x
−
= = − < < = <
− −
 ⇒ (1) vô nghiệm. 
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 
190 
Bài tập. 
12 2 1 0
2 1
x
x
x− − + ≤
−
 ; 
23 3 2 0
4 2
x
x
x− + − ≥
−
 ; 
1
1
2 5 3 1
2 3
x x
x x
+
+
− ⋅ <
−
 ; ( )23 28 1 33 2 xxx x−⋅ > +− ; 
2 2 2 21 24 2 3 2 2 8 12x x x xx x x++ ⋅ + ⋅ > ⋅ + + ; 
( ) ( ) ( ) ( )22 24 64 6 2 2 4 62 1 1 0 1x xx x x xa a a a− +− + − ++ − ≥ + < < ; 
6. Bất phương trình mũ chứa tham số 
Bài 1. Tìm m để BPT sau có nghiệm: 
2 2 2sin cos sin2 3 3x x xm+ ≥ ⋅ (1) 
(1) ⇔ ( ) ( ) ( )22 22 sinsin sin1 2sin 62 13 33 9 9xx xx m m−+ ≥ ⇔ + ≥ 
Đặt [ ]2sin 0;1u x= ∈ , ycbt ⇔ ( ) ( ) ( )6 139 9u uf u m= + ≥ có nghiệm [ ]0;1u ∈ 
⇔ [ ]
( ) ( )
0;1
Max 0 4
u
f u f m
∈
= = ≥ 
Bài 2. Tìm m để BPT sau đúng ∀x ∈ : ( ) ( )24 1 2 1 0x xm m m+⋅ + − + − > (1) 
Đặt 2 0xu = > , khi đó: (1) ⇔ ( ) ( )2 4 1 1 0mu m u m+ − + − > 
⇔ ( )2 4 1 4 1m u u u+ + > + ⇔ ( ) 2 4 14 1
uf u m
u u
+
= <
+ +
. Ta có 
( )
( )
2
22
4 2 0
4 1
u uf u
u u
− −
′ = <
+ +
 [ )0;u∀ ∈ +∞ ⇒ ( )f u giảm trên [ )0; +∞ 
ycbt ⇔ ( ) 2 4 1 , 04 1
uf u m u
u u
+
= 
+ +
⇔ ( ) ( )
0
Max 0 1
u
f u f m
>
= = ≤ 
Bài tập. 
Tìm m để BPT sau có nghiệm: 49 5 7 0x x m− ⋅ + ≤ ; ( )4 2 3 0x xm m− ⋅ + + ≤ ; 
Tìm m để bất phương trình sau đúng ∀x > 0: ( ) ( )3 1 12 2 6 3 0x x xm m+ + − + < 
Tìm m để BPT sau đúng ∀x ≤ 0: ( ) ( ) ( )12 2 1 3 5 3 5 0x xxm m+⋅ + + − + + < 
Tìm m để BPT sau đúng 1
2
x∀ ≥ : ( )2 2 22 2 29 2 1 6 4 0x x x x x xm m m− − −⋅ − + + ⋅ ≤ 
www.VNMATH.com
Phương trình và bất phương trình mũ 
191 
www.VNMATH.com