Ôn thi Toán 12: Phương trình và bất phương trình lôgarit

 Phương trình và bất phương trình Lôgarit 
191 
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
I. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
1. PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA: ( )
( )
0 1
log
a
m
a
f x m
f x a
< ≠
= ⇔ 
=
Bài mẫu. GPT: ( )23 1log 3 2 1 2x x x+ − − + = (1) 
(1) ⇔ ( )3 3log 3 1 log 3x xx x+ +− − = + . Điều kiện: 
0 3 1
2 4
3 1 0
x
x
x
< + ≠
⇔ − < <
− − >
(1) ⇔ ( )2 23 1 3 3 7 6 1 0x x x x x− − = + ⇔ − + − − = . Xét hai khả năng: 
Nếu 2 1x− < ≤ thì (1) ⇔ ( ]2 3 53 1 0 2;12x x x
− ++ + = ⇔ = ∈ − 
Nếu 1 4x< < thì (1) ⇔ ( )2 9 299 13 0 1; 42x x x
−
− + = ⇔ = ∈ 
Bài tập. ( )22log 4 7 2x x− + = ; ( )2log 2 3 4 2x x x− − = ; ( )2log 2 4 3 2x x x− + = ; 
( )( )2 2 26 8 2 2 3log log 2 0x x x x x x+ + + + − = ; ( ) ( )2 43 4 22
1log 9 16 2
log 3 4x
x
x
−
− = +
−
2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ: ( ) ( ) ( ) ( )
0 1
log log
0a a
af x g x f x g x
< ≠
= ⇔ 
= >
Bài mẫu. GPT: ( ) ( )32 2log 4 1 log 2 6x xx ++ = + − (1) 
Điều kiện: 3 23 32 6 0 2 log4 4
x x x+ − > ⇔ > ⇔ > 
(1) ⇔ ( ) ( ) ( )3 32 2 2 2log 4 1 log 2 log 2 6 log 2 2 6x x x x x+ ++ = + − = − ⇔ 
( ) ( )( )3 24 1 2 2 6 7 2 6 2 1 0 2 1 7 2 1 0 2 1 0 0x x x x x x x x x++ = − ⇔ ⋅ − ⋅ − = ⇔ − ⋅ + = ⇔ − = ⇔ = 
Bài tập. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 4 2 4 22 2 2 2log 1 log 1 log 1 log 1x x x x x x x x+ + + − + = + + + − + ; 
( ) ( ) ( )23 1 9
3
log 2 54 log 3 2 log 4x x x− + + = − ; 2 12
2
2 log log log 9x x x+ + = ; 
2
2 12
2
log 3log log 2x x x+ + = ; 25 5
5log log 1
x
x
x
+ = ; 2 4 1
2
log log log 3x x+ = ; 
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình – Trần Phương 
192 
2
2 4log 1 2 2 logx x x x+ = + ; 3 273 log 2 4 logx x x x+ = + ; 5 1
13
log 5 log 5
x
x
+ −
+
= ; 
( ) ( )2 3 212 lg 36 lg 3 3 1 lg 6 2 lg 3 lg 23x x x x x− + + + + = + + + ; ( )
2 lg 1
lg 5 4
x
x
=
−
 ; 
3 13
3
log log log 6x x x+ + = ; ( ) ( )3 9log 1 log 4 3 4 1x x x x+ − = − + − ; 
( )2 2 2 2
6 1
6
log 5 2 3 log 5 2 3 2x x x x x x x x− − − − − = + ; 4 lg 3 lgx x− = ; 
( ) ( )lg 5 1 lg 2 1 lg 6xx − = + − ; ( ) ( )1 lg lg 2 lg 1 2 lg 62 x x+ + + = ; 
( ) ( )
2 2log 4.3 6 log 9 6 1
x x
− − − = ; ( )3 1
3
log 2 log 2 1 0x x− + − = ; 
2 4 8
11log log log
2
x x x+ + = ; ( )2 1
8
log 2 2 6 log 3 5x x− = + − ; 
( ) ( )
3 2
2 2
4 6
log 4 log 4
x x x
x x
+ −
− = − ; ( ) ( )3 22 24 6log 3 log 3x x xx x+ −− = − ; 
3. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ: 
Công thức đổi cơ số: log logloglog .log log ; log ;
log
m mb am
a b a a
m
bb c c b a b
a
= = = 
Bài mẫu. GPT: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 3 6log 1 log 1 log 1 *x x x x x x− − + − = − − 
Giải 
ĐK: Tập các giá trị của x thỏa mãn 
2
2
1 0 1
1 0
x x
x
x

− − >
⇔ ≥
− ≥
Với 1x ≥ thì ( ) ( ) ( ) ( )1 12 2 22 3 6* log 1 log 1 log 1x x x x x x− −⇔ + − + − = + − 
( ) ( ) ( )2 2 2
2 3 6log 1 log 1 log 1x x x x x x⇔ + − + − = + − 
( ) ( ) ( )2 2 2
2 6 3 6log 6 log 1 log 1 log 1x x x x x x⇔ ⋅ + − ⋅ + − = + − 
Xét ( )26log 1 0x x+ − = ⇔ ( )
2
22
1 0
1 1 1
1 1
x
x x x
x x
− ≥
+ − = ⇔ ⇔ =
 − = −
www.VNMATH.com
 Phương trình và bất phương trình Lôgarit 
193 
Xét ( ) ( ) 6log 22 2 22 3 3 6log 6.log 1 1 log 1 log 2 1 3x x x x x x+ − = ⇔ + − = ⇔ + − = 
Để ý 6
6
log 22
log 22
1 11 3
31
x x
x x
−
− − = = =
+ −
 nên ( )6 6log 2 log 21 3 3 1
2
x
−
= + ≥ 
Bài tập. 2 3log log 1x x+ = ; 3 5log log lg15x x+ = ; 4
7log 2 log 06x x− + = ; 
2
3 3 2 2
1log 2 log .log log
4
xx x
x
− = + ; 2 316 4
2
log 14 log 40 log 0
x x x
x x x− + = ; 
2
2 4
2 2
2log log log 1
x
x x
x
⋅ + = ; ( ) 223 4 4log 8 14 log 9 1x xx x + +− − − = ; 
2
3 2
9 9
9
5log log 9 log 2
x x
x
x x x+ + = ; 
3
3 3 2
31 1log log loglog 2 23x
x x
x
⋅ − = + ; 
( )5log 20 log 5 1xx + = ; ( ) ( )2 21 2 1 3log 6 5 1 log 4 4 1 2x xx x x x− −− + − − + = ; 
( ) ( )2 2
3 7 2 3log 4 12 9 log 6 23 21 4x xx x x x+ ++ + + + + = ; 2 2log 16 log 64 3xx + = ; 
( )2log 2.log 6 1x x + = ; 2 3 3 2log log log logx x= ; 2 2 5 5log log log logx x= ; 
( ) ( )4 2 2 4log log log log 2x x+ = ; 2 3 4 4 3 2log log log log log logx x= ; 
3 5 7 3 5 7log log log log .log .logx x x x x x+ + = 
4. ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐƠN ĐIỆU: 
Bài mẫu. GPT: ( )2 5log 1 logx x− = (1) 
Đặt ( )
( )5 2
2
log 5
5 2 1 4 2.2 1 5
log 1 1 2
u
u u u u u u
u
x u x
x u x
=  = 
⇔ ⇒ = + ⇔ + + = 
 − = − = 
( ) ( ) ( ) ( )4 2 12 15 5 5u u uf u⇔ = + + = . Ta có: ( )f u giảm và ( )2 1f = nên 
( ) ( ) ( )1 2 2f u f u f u= ⇔ = ⇔ = ⇔ 25x = 
Bài tập. ( ) ( )2 2
2 38 4 3
log 8 7 log 8 8x x x x
++
− − = − − 
( )2
4 3log 8 log 3x x x− − = ; ( )23 2log 3 13 logx x x− − = ; 
( ) ( )33 2log 5 log 4x x+ = − ; ( )32 7log 1 logx x+ = ; 3 22 log cot log cosx x= ; 
( )33 23log 1 2 logx x x+ + = ; ( ) ( ) ( )2 32 log 3 log 2 1x x x x − − + − = +  
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình – Trần Phương 
194 
5. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 
Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )2 32 log 3 log 2 1x x x x − − + − = +  
Giải 
Điều kiện: 3x > . Biến đổi phương trình ( ) ( )2 3 1log 3 log 2 2
xx x
x
+⇔ − + − =
−
Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3
1 1log 3 log 2 0 3
3 ln 2 2 ln 3
f x x x f x x
x x
′= − + − ⇒ = + > ∀ >
− −
( ) ( )
( )2
1 3 0
2 2
xg x g x
x x
+
′= ⇒ = − <
−
−
. Như vậy ( )f x đồng biến và ( )g x nghịch 
biến nên phương trình ( ) ( )f x g x= có không quá một nghiệm. 
Mặt khác ( ) ( )5 2; 5 2f g= = nên ( ) ( )f x g x= có nghiệm duy nhất 5x = . 
Bài 2. Giải phương trình: ( ) ( )2 22 3log 1 5 5 log 5 7 2x x x x+ − + + − + = 
Giải 
Đặt 2 2 25 5 0 2 5 7u x x u x x= − + ≥ ⇒ + = − + . Khi đó phương trình 
( ) ( ) ( )2
2 3log 1 log 2 2f u u u⇔ = + + + = . 
Ta có ( ) ( ) ( )2
21 0
1 ln 2 2 ln 3
uf u
u u
′ = + >
+ +
( )f u⇒ đồng biến. Khi đó 
( ) ( ) ( ) 2 22 1 1 5 5 1 5 4 0f u f u f u x x x x= ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − + = 1
4
x
x
=
⇔ 
=
Bài 3. Tìm m để phương trình ( ) ( )2 1 21 ln 1 02 2 1m mxx mx m+ −− − =− + có nghiệm. 
Giải 
Nếu 0m = thì hiển nhiên phương trình vô nghiệm. 
Xét 0m ≠ . Đặt ( )2 1 1
2
uu m x x
m
= − ⇔ − = . Khi đó phương trình trở thành 
( ) ( )1 1ln 1 0 ln 22 1 1u u uu mm u u+ +− = ⇔ =− − . Xét hàm số ( ) ( )1ln ; 1 11 uf u u uu+= − < <− 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2 2 2 22 2
2 11 2 12 4ln ; 0
1 11 1 1 1
uu u uf u f u
u uu u u u
++ −
′ ′′= + = ⋅ + = >
− +
−
−
− −
( )f u′⇒ tăng mà ( )0 0f ′ = nên phương trình ( ) 0f u′ = có nghiệm duy nhất 
0u = và hàm ( )y f u= đạt cực tiểu tại 0x = . Lập bảng biến thiên suy ra 
phương trình có nghiệm 0m⇔ > 
www.VNMATH.com
 Phương trình và bất phương trình Lôgarit 
195 
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
1. ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 
Bài mẫu. GBPT: ( )1
3
2
1
3
1 1
log 1log 2 3 1 xx x
>
+
− +
 (1) 
(1) ⇔
( )
( )
( )
2
1 1 2
3 3
2 2
1 1
3 3
2
2
1 1
3 3
1log 2 3 1 0 log 1 02 3 1 1 1 2
30 log 2 3 1 log 1 1 2 3 1 1 1
2
2 3 1 1 1 5log 2 3 1 log 1 0
x x x x
x x x
x x x x x x x
x x x x
x x x
 
− + > > + < <
− + < < + 
 
  − + > + ⇔ < < 
 

− + > + > > 
− + < + <

Bài tập. 22log 64 log 16 3x x+ ≥ ; ( )
( )
( )
2
2 2
2 2
log 31 1
log 1 log 1
x
x x x x
+
+ >
− + − +
 ; 
( ) ( )1 5
5
log 1 log 2x x+ ≤ − ; ( )log 3 2 1
x
x− > ; 3log 28 2x x > −− ; 2
2 1log
23x
x
x
≤
−
 ; 
( )2log 9 1 1
x
x x− − − ≥ ; ( ) ( )22 1
4
log 2 8log 2 5x x− − − ≥ ; 3 9log 2 log 2x x− > 
; 7 72 log log 4x x− > ; 
3
2 43log 4 log 2x x− > ; 2 24
1 11 log log
4
x
x
+ − > ; 
( )
( ) ( )
2
2 2
log 3 1 2
1 log 3 1 3 log 3 1
x
x x
−
<
+ − + −
 ; 
2 2
1 1
4log 3 log 1
2
x
x
>
− −
( )23 1 1
3 3
1log 5 6 log 2 log 3
2
x x x x− + + − > + 
2. SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ 
Bài mẫu. Giải BPT: ( )2 3 3 2log .log 2 log .log 3 0 1x x x x+ ≥ 
Nếu 1x ≥ thì 2 3 3 2log 0, log 2 0; log 0; log 3 0x x x x≥ > ≥ > nên (1) thỏa mãn 
Nếu 2 3 2 30 1 log 0, log 0 log log 0x x x x x . Khi đó biến đổi (1) ta có 
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình – Trần Phương 
196 
( ) 2 3 3 2
2 3 3 2
log log 2 log log 3
1 0 log 2 log 3 0
log log log log x x
x x x x
x x
x x x x
⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ 
1 log 2 1 log 3 0 log 6 2
x x x
+ + + ≥ ⇔ ≥ −
2 610 06 6x x⇔ < ≤ ⇔ < ≤ (do 0 1x< < ) 
Vậy nghiệm của (1) là ( ) 61 0 6x x
 
≥ ∨ < ≤ 
 
Bài tập. 4 163log 4 2 log 4 3log 4 0x x x+ + ≤ ; ( ) ( )3 2 2 3log log log logx x< ; 
2 4log 2 log 2 log 2x x x⋅ > ; 1 4
5
log log 1x x+ ≥ ; 2 2log 16 log 64 3xx + ≤ ; 
( ) ( )2 32 3
2
log 1 log 1
0
3 4
x x
x x
+ − +
>
− −
 ; 
( ) ( )2 32 2
5 11
2
log 4 11 log 4 11
0
2 5 3
x x x x
x x
− − − − −
≥
− −
( ) ( )5 82 2
2 3
2
log 2 7 log 2 7
0
3 13 4
x x x x
x x
− − − − −
≤
− +
 ; 39
1 5 1log 3.log 6 4 6x
x
x
− ≤
−
3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM HỢP: 
Bài mẫu. Giải BPT: ( ) ( )2log log 4 6 1 1xx  − ≤  
Từ điều kiện 4 6 0 1x x− > ⇒ > nên ( )
( )
( )
2
2
log 4 6 0 4 6 1
1
4 6 2log 4 6
x x
x xx x
 − >
− > 
⇔ ⇔ 
− ≤
− ≤  
( ) 2
2 7
2 2 6 0
x
x x
 >
⇔ 
− − ≤
 2 2
2 7 17 2 3 log 7 log 322 2 3
x
x
x
x
 >
⇔ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤
− ≤ ≤
. 
Bài tập. ( )2log log 4 6 1xx − ≥ ; 2
2 log 1
3 1
32
log log 2 3 0
2
xx −  + + ≤    
 ; 
3 4 1 1
3 4
3 1 1log log log log
1 3 1
x x
x x
− +≤
+ −
 ; 2 3
3
log log 3 0x − ≥ ; 1 3
2
1log log 01
x
x
+ ≥
−
 ; 
( )2
3 9
16
log log 4 3 0x x− + ≤ ; ( )28 1
23
log log 6 0x x− − ≥ ; 1 2
2
2 1log log 03x
x
x+
− <
+
 ; 
( )
2
2
log
2
log 10 22 0
x
x x− + > ; ( )
5
2
loglog 5 7 0x x x− + > ; 4 2
2
2 1log log 03x
x
x+
− <
+
 ; 
( )27 11
16
1311log log 032 8 x x− − < ; 
( ) ( )2 2
1 5 3 1
3 5
log log 1 log log 1x x x x+ + > + − 
www.VNMATH.com
 Phương trình và bất phương trình Lôgarit 
197 
4. SỬ DỤNG PHÉP LOGARIT HÓA 
Bài mẫu. Giải bất phương trình ( ) ( )42 1
4
log log 3 1 1xx x − + + ≥
  
Điều kiện là 0x > . Khi đó 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 21 4 log log log 3 log 1 4 log log 0 23
xx x x x
x
 ⇔ − − + ≥ ⇔ − ≥ 
+
Nếu 4x = thì (2) được nghiệm đúng nên 4x = là 1 nghiệm của (1) 
Nếu 4x > thì (1) ⇔ 
2 2 2
4 4 4
6log log 0 log 1 2
3 3 3
x x x
xx x x
x x x
> > >  
  
⇔ ⇔ ⇔ ≥  ≥ ≥ ≥
  + + +  
Nếu 4x < , thì (1) ⇔ 
2 2 2
4 4 4
1 13 4log log 0 0 log 1 1 2 2
3 3 3
x x x
xx x x
x x x
< < <  
   +
⇔ ⇔ ⇔ < <  ≤ < ≤ < ≤
  + + +  
Vậy nghiệm của (1) là 1 13 42 x
+
< ≤ hoặc 6x ≥ . 
5. ĐƯA VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐƠN ĐIỆU: 
Bài mẫu. Giải BPT: ( )7 3log log 2x x< + (1) 
Đặt 7logu x= ⇒ 7
ux = . Ta có: (1) ⇔ ( ) ( )3log 2 3 2 7 uuu x< + ⇔ < + 
( ) ( ) 712 13 3
u
u
f u  ⇔ = + > 
 
. Do ( )f u giảm và ( )2 1f = nên bất phương trình 
( ) ( ) ( ) 71 2 2 log 2 0 49f u f u f u x x> ⇔ > ⇔ < ⇔ < ⇔ < < 
Bài tập. ( )5 16log 1 logx x+ > ; ( ) ( )233 5log 7 log 2 3x x+ > − 
6. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP 
( )2 2
5
11 4 3 log 1 8 2 6 05
xx x x x
x
 + − + + + − − ≤  ; ( ) ( )3log 2 log 2x xx x≤ ; 
2 2
4
35 6 10 2 12 3log 3x x x x x
x
− + + + − − + ≥ ; 3log 3log 3 2 0xx − − ≤ ; 
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình – Trần Phương 
198 
2 2
47 10 9.log 2 14 20 2 138
xx x x x x− + + ≥ + − − − ; 
4 5 6 2 2 3 4
2 412 3 4 4 .log 3 3 4 4 4 logx x x x x x x x x+ + − > + − + 
( )2 3 4 2 2
2 25 6 .log log 5 5 6x x x x x x x x x x+ + − > − + + + − ; 
( )5 3
5
3
log 2 log
log log
3 logx
x xx
x
x
−
+ < ; 23 3 3log 4 log 9 2 log 3x x x− + ≥ − ; 
( ) ( )2 34 16 7 log 3 0x x x− + − > ; ( ) ( )2 22 3log 1 5 5 log 5 7 2x x x x+ − + + − + ≤ ; 
( )2
26log 2.log 2 1x x x+ − − ≥ ; ( ) ( )2 29 3log 3 4 2 1 log 3 4 2x x x x− + + > − + ; 
 ( ) ( )
2
2
2 2 2 24 log log 4 log 1 log8 1
xx x x
x
+ ≤ − − −
−
 ; 
( )2
3 12 2 3
27log 3 log 3 9
9 5 2
x x
x x x
− < + −
− + − +
 ; 
( )2
2 1 22
2log 4 3 log 1
4 1 1
x x
x x x
− + > +
− + + +
( )2
5 1 25
25log 4 2 log 2
2 1 2
x x
x x x
+ + − > +
+ − + − +
 ; 
( )2
1 4 2 24
16log 3 2 3 1 log 2
3 2 1 1
x x
x x x
− + + + < −
− + + − +
 ; 
( ) ( )24 12 2 32 log 2 1 0x x x− ⋅ − − ≤ ; ( )2 2 22 1 4
2
log log 3 5 log 3x x x+ − > − ; 
( ) ( ) ( )22 1
2
2 log 4 4 2 1 log 2x x x x x+ − + > − + − ; ( ) ( )2 3log 2 1 log 4 2 2x x+ + + ≤ ; 
( ) ( )2 2
9 3log 3 4 2 1 log 3 4 2x x x x+ + + > + + ; 
( ) ( )2 32 3
2
log 1 log 1
0
3 4
x x
x x
+ − +
>
− −
( ) ( )2 2
4log 2 3 2 1 2 3 2x x x x+ + + > + + ; 
3
4 2 2
2 1 2 12
2 2
32log log 9 log 4 log8
xx x
x
− + < ; 
Tìm m để BPT sau đúng ∀x: ( ) ( )
2
2
2 2 2 2
4 1 12
.log 2 .log log 0
1 4
m mmx x
m m m
+ ++ + >
+
Chứng minh rằng: ( ) ( )1log 1 log 2n nn n++ > + ; ( ) ( )2 3log 1 2 log 1 3x x+ > + 
www.VNMATH.com
 Phương trình và bất phương trình Lôgarit 
199 
www.VNMATH.com