Ôn thi Toán 12: Hệ phương trình đại số

Hệ phương trình đại số 
199 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 
I. HỆ BẬC NHẤT 2 ẨN: 
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =

+ =
1 1
2 2 1 2 1 2
1 2 2 11 1
2 2
x
c b
c bD c b b c
x
D a b a ba b
a b
−
= = =
−
 ; 
1 1
2 2 1 2 2 1
1 2 2 11 1
2 2
y
a c
D a c a c a c
y
D a b a ba b
a b
−
= = =
−
 ( ( )0D ≠ 
Bài mẫu: Giải biện luận hệ phương trình: 
( ) ( )
( ) ( )2 2
a b x a b y a
a b c a b y b
 + + − =

− + + =
2 2 2 26 ; 2 ; 2 2
2 2 2 2x y
a b a b a a b a b a
D ab D a b D b ab a
a b a b b a b a b b
+ − − +
= = = = + = = + −
− + + −
• Nếu 0ab ≠ thì 0D ≠ nên hệ có nghiệm 
2 2 2 22 2 2;6 6
a b b ab ax y
ab ab
+ + −
= = 
• Nếu 2 20 ; 0ab a b= + > thì hệ vô nghiệm 
• Nếu 0a b= = thì hệ có vô số nghiệm ( , ) ,x y x y∀ ∈
 
Bài tập: 
3 1 1
25 3
x y
x y

− =



+ =

; 
62 4
1 2
5 4 9
1 2
x y
x y

− = −

− −


− =
 − −
; 
( )
( )
22 3 1 3
2 2
a x a y
a x y y
 + − =

+ − =
; 
( )
( )
6 2 3
1 2
ax a y
a x ay
 − − =

− − =
II. HỆ BẬC NHẤT 3 ẨN: 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =

+ + =

+ + =
Nếu 0D ≠ thì hệ có nghiệm duy nhất ; ;yx z
DD D
x y z
D D D
= = = trong đó 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
; ; ;
x y z
a b c d b c a d c a b d
D a b c D d b c D a d c D a b d
a b c d b c a d c a b d
= = = = 
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 
200 
Bài mầu: Giải hệ phương trình: 
31 2 1 03 2 1
3 51 11
2( 3) 3 32 2 1
5 13 1 123 2 1
y
x z
y
x z
y
x z
 + + − =

−
−


− + + = −
−
−

− + − = −
−
−
1 2 3 0 2 3 1 0 3 1 2 0
3 55 5 55 3 5 110 3 5 551 1 1 1 1 1; ; ;
2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3
5 3 1 12 3 1 5 12 1 5 3 12
x y zD D D D
− − −
= − = = − − =− = − = = − − =
− − − − − − − − −
Vậy hệ có nghiệm 1 11; 1 2 ; 13 2 1
y
x z
= − + = =
−
−
 ⇔ 2 ; 3 ; 1x y z= = = 
Bài tập: 
2 2 1
1
1
x y z
y z
x y z
− − = −

+ =

− + + = −
;
1
2 2
3 2 0
x y z
x y z
x y z
− + =

+ + =

+ + =
; 
2 4
3 4 2 11
3 2 4 11
x y z
x y z
x y z
− − =

+ − =

− + =
 ; 
3 2 5
2 3 1
2 3 11
x y z
x y z
x y z
+ + =

+ + =

+ + =
III. HỆ CHỨA MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT: ( )
( )
( )( )
1
1,
,
y c ax
ax by c b
f x y d f x c ax db

= −+ =  
⇔ 
= 
− =

Bài mẫu: Giải hệ phương trình: ( )3 3
1
3
x y
x y x y
+ = −

− = −
 (1) 
(1) ⇔ 
( ) ( )2 2
2
11 221
1; 21
3 0
2 ; 12 0
x y
x y
x y
x yy x
x y x xy y
x yx x
−
= =
−
= = 
+ = −  ⇔ ⇔ = = −= − −  
− + + − =    = − =+ − =
Bài tập: 
2 2 2 2
x y m
x y x
+ =

− + =
;
2 2
2 7
2 7
x y m
x y n
+ =

+ =
;
4 4
5
97
x y
x y
+ =

+ =
;
2 2
2 7
2 2 4
x y
x y x
− =

− = + +
Tìm a để hệ có nghiệm (x; y) với xy nhỏ nhất 
2 2 2
2 1
2 3
x y a
x y a a
+ = −

+ = + −
www.VNMATH.com
Hệ phương trình đại số 
201 
IV. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1: 
( )
( )
, 0
, 0
f x y
g x y
 =

=
 với 
( ) ( )
( ) ( )
, ,
, ,
f x y f y x
g x y g y x
 =

=
. 
Phương pháp: Đặt 
u x y
v xy
= +

=
 với 2 4u v≥ 
Bài mẫu: Giải hệ phương trình: 
2 2
3 3
3
2
x y xy
xy yx
 + + =

 + =
 (1) 
Đặt 
u x y
v xy
= +

=
 với 2 4u v≥ , khi đó: (1) ⇔ ( )
2 2
2 2
3
2
x y xy
xy x y
 + + =

 + =
 ⇔ 
( )
2
2
3
2 2
u v
v u v

− =


− =
( )
2 2 2 2 13 3 4
1 11 2 13 2
x y x yu v u v u
xy x yv v vv v
   + = ± = = −= +  = + =   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔    
= = == ∨ = =   − =   
Bài tập: 
11
1
x xy y
x xy y
+ + =

− + =
 ; 
2 2 4
2
x xy y
x xy y
 + + =

+ + =
 ; 
2 2
2 3 2
14
x xy y
x y
 + + = +

 + =
 ; 
2 2
4 2 2 4
7
21
x xy y
x x y y
 + + =

 + + =
 ; 
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y
 + =


− + =
 ; 
2 2 20
51 1
4
x y y x
x y
 + =


+ =

 ; 
2 2
26
5
24
yx
y x
x y

+ =


− =
 ; 
2 2 2 2
2
2
1 3
x y x y
x y x
 + =

 + + =
; 
22
4
4
yxx y
y x
yxx y
y x

+ + + =



+ + + =

; 
2 2 3
1 1 1
x y x y xy
xy
x y
 + + =


+ − =

; 
2
4
0
xx y
y
x xy y
 + + =



+ − =
; 
2 2 2 2
2 2 2 2
3x y xy x y
x y xy x y
 + + =

 + − =
 ; 
11
6 6 11
x y xy
xy
x y
+ + =


+ + =

;
2 2
5
13
x y xy
x y xy
− + =

+ + =
; 
2
2 6
2 6 0
xx y
y
x xy y

− + =



− − =
; 
( ) ( )
2 2 2 2 1 2
1 1
x y x y xy
x y xy xy
 + + = +

− + = −
 ; 
( ) ( )
2 2 18
1 1 72
x y x y
xy x y
 + + + =

+ + =
 ; 
( )
3 3 2 2 3
1 11 1 4
1 4
x x
y y
x y x y xy y
  + + + =   

+ + + =
Tìm m để hệ có nghiệm: 
2 2
x xy y m
x y m
+ + =

+ =
 ; 
2 2
1
3 8
x xy y m
x y xy m
+ + = +

+ = −
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 
202 
V. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2: 
( )
( )
, 0
, 0
f x y
g x y
 =

=
 với 
( ) ( )
( ) ( )
, ,
, ,
f y x g x y
g y x f x y
 =

=
. 
Phương pháp: 
( )
( ) ( )
, 0
, , 0
f x y
f x y g x y
 =

− =
Bài mẫu: Giải hệ phương trình: 
3 2 2
3 2 2
3 2
3 2
x x y
y y x
 = +

 = +
 (1) 
ĐK: 
0
0
x
y
≥
 ≥
; (1) ⇔ 
( ) ( ) ( )3 3 2 2 2 2
3 2 2 3 2 2
3 3 0
3 2 3 2
x y y x x y x xy y x y
y y x y y x
  
− = − − + + + + =  
⇔ 
 = + = + 
⇔ 
( )2 2
3 2 3 2 2
3 0
3 0 3 2
x y x xy y x y
x x y y x
= + + + + = 
∨ 
+ =  = + 
 ⇔ 
0
1
3
x y
x y
= =

 −
= =
 (Chú ý: 0
0
x
y
≥
 ≥
) 
Bài tập: Tìm m để các hệ phương trình sau đều có nghiệm duy nhất: 
2
2
1
1
x y mxy
y x mxy
 + = +

 + = +
 ; 
2
2
2
2
2
2
mx y
y
my x
x

= +



= +
 ; 
2 3 2
2 3 2
4
4
y x x mx
x y y my
 = − +

 = − +
VI. HỆ ĐẲNG CẤP BẬC 2: 
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
 + + =

 + + =
Phương pháp: Xét 0y = ; xét 0y ≠ , khi đó đặt x ty= và GPT bậc 2 ẩn t 
Bài mẫu: Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15
x xy y
x xy y
 + − =


− − =
 (1) 
Do 0y = không là nghiệm của (1) nên đặt x ty= , khi đó (1) ⇔ 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
(3 5 4) 38 (3 5 4) 38 (3 5 4) 38
(5 9 3) 15 15(3 5 4) 38(5 9 3) 145 417 54 0
t t y t t y t t y
t t y t t t t t t
  + − = + − = + − =  
⇔ ⇔  
  
− − = + − = − − − − =  
2 2
2(3 5 4) 38 1; 338 38
18 1; 33 3145
t t y y xy
y xt t t
 + − =  = == 
⇔ ⇔ ⇔  
= − = −= ∨ = − = 
www.VNMATH.com
Hệ phương trình đại số 
203 
Bài tập: 
2 2
2 2
2 3 9
2 2 2
x xy y
x xy y
 + + =

 + + =
 ; 
2 2
2 2
6 2 56
5 49
x xy y
x xy y

− − =


− − =
 ; 
2 2 5
2 52
2
x xy y
y x
x y xy
 + − =


−
− + =

 ; 
2 22 3 0
2
x xy y
x x y y
 + − =

+ = −
 ; 
2 2
2 2
3
1
x y xy
x y xy
 + + =


− + =
 ; 
( )
( )
2 2
2 2
2
2 1
x x y
y
y
x y
x
 + =



− =
 ; 
2 2
2
2 1
2 2
x y xy
x xy

− − =

 + =
 ; 
Tìm m để hệ 
2 2
2 2 4 3 2
2 3 8
2 4 5 4 4 12 105
x xy y
x xy y m m m

− − =

 + + = − + − +
 có nghiệm. 
VII. HỆ BẬC 2 MỞ RỘNG 
( )
( )
, 0
, 0
f x y
g x y
 =

=
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
, 0 , 0
, , 0 0
f x y f x y
f x y g x y ax by c px qy r
 = = 
⇔ ⇔ 
α + β = + + + + =  
Bài tập. 
2
2
2 4 2 2 0
3 6 3 0
x xy x y
x xy x y
 + − − + =

 + − + =
 ; 
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 6
1 3 2 2 3
x y x y
x y x y
 + + + − =

− + + + =
 ; 
2 2
2 3 4 6
4 4 12 3
xy x y
x y x y
+ + = −

+ + + =
 ;
2 2
2
2 2 3 0
3 1 0
x xy y x
xy y y
 + + + =

 + + + =
 ; 
2 2
2
2 2 8 6 0
4 1 0
x y x y
x xy x
 + + + + =

 + + + =
 ; 
2 2
2 2
2 5 2 1 0
4 12 12 10 0
x xy y x y
x xy y x y
 + + + + + =

 + + + + + =
 ; 
2 2
2 2
2 4 2 3 3 2 0
3 32 5 0
x xy y x y
x y
 + + + + − =


− + =
 ; 
VIII. HỆ ĐỒNG BẬC 
Bài mẫu: Giải hệ phương trình: 
3 3
2 2 3
1
2 2
x y
x y xy y
 + =

 + + =
 (1) 
(1) ⇔ ( )
3 3
3 3
3 2
2 2 3 3 3
11
2 2 1 02 2
x y
x y
x x x
x y xy y x y y y y
 + = + =  
⇔ 
     
− − + = + + = +             
⇔ { } ( )
3 3
33
3 3
1
2. 331 1; ; , ;1 3 32 21; 1;
2
x y
x y
x
y
 + =
     ⇔ ∈         ∈ −  

www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 
204 
Bài tập. 
3 3
5 5 2 2
1x y
x y x y
 + =

 + = +
;
2 2
8 8 10 10
1x y
x y x y
 + =

 + = +
 ; 
( ) ( )3 3
2 2
2 9 2 3
3
x y x y xy
x xy y

− = − +


− + =
( )
2 2
5 5
5
11
x y
x y x y
 + =

 + = +
 ; 
3 2
3 2
3 4
3 4
x x y
y y x
 + =

 + =
 ; 
( )
3 3 9
6
x y
xy x y
 + =

+ =
 ; 
3 2
3 2
3 20
3 7
x x y
y y x
 + =

 + =
 ; 
IX. SỬ DỤNG PHÉP CỘNG VÀ PHÉP THẾ 
Bài mẫu: Giải hệ phương trình: 
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
 + + = +

+ = +
 (TSĐH 2008) 
⇔ 
( )
( )
( )
( ) ( )
22 22
22 2
1 40; 46 6 2 92 9 4
1711 6 616 6 6 6 2 42 2
xx xx x xx xy x
xy x x yxy x x xy x x
 = −= = −+ + = + + = +   
⇔ ⇔ ⇔   
= + − =
= + −   = + −   
Bài tập. 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
7
175
x y x y
x y x y

− − =

 + + =
 ; 
2
2
4 2 3
2 2
x xy
y xy
 + =

 + = −
 ; 
3 3 3
2
2
1 2
2
x y y
x x
y y
 + =


+ =

 ; 
( )3 3
5 5
2 6
30 32
x y xy x y
x y xy
 + + + =

 + + =
 ; 
( )
3 3
6
18 27
x x y
x y y
 + =

 + + =
 ; 
2 2
3 3 2
2
2
x y
x y xy x y
 + =

 + + = +
 ; 
2 2
3
1
2
x y xy
x x y
 + − =

 = +
 ; 
2 2
3 3
3
2 2
x y xy
x y y x
 + + =

 + = +
 ; 
3 3
5 5
1
0
y x
x y xy

− =


− + =
 ; 
2 4 3
2 2
2 0
2 2 1
x y xy
x y xy
 + − =

 + − =
X. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 
Bài mẫu: Giải hệ phương trình: 
( )
3 3 2 2 3
1 11 1 4
1 4
x x
y y
x y xy x y y
  + + + = 
 
 + + + =
 (1) 
2 2
2 2
2 223
223 2
1 1 1 1 14 4 2
1
1 11 11 244
x x x x xy yy yy x
yx x xx xx y yy yy y
         + + + = + + + = + =            =    
⇔ ⇔ ⇔ ⇔   
=    + =  + + =+ + + =           
Bài tập: 
2
2
3 0
2 0
xy y x y
x xy y
 + + − =

 + − =
 ; 
( ) ( )5 5 3 3
2 2
7 31
3
x y x y
x xy y
 + = +

 + + =
 ; 
2 2
2 2
2 3
1
x x y
x y
 + − =

 + =
; 
www.VNMATH.com
Hệ phương trình đại số 
205 
1 3
1 3
1 2
1 2
x y x
xy x
x y y
xy y
−
−
=
− −

+ −
= + −
 ; 
( )
2 2
11 4
1 4
x y
xy
x y
xy
xy xy
  + + =   

+
+ + =

; 
1 13
1 12
yxxy
xy y x
yxxy
xy y x

+ + + =



− − + =
 ; 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 1
x y x x
x y x y xy
 +  ...  hệ có 2 nghiệm ( ) ( )0; 1 , 1;0− (loại) 
Với 0a = thì hệ ⇔ 
( )
( )
2
2 2
2 1
1 2
x x y x
x y
 + = +

 + =
 Từ (2) suy ra: 1; 1x y≤ ≤ , khi đó: 
0 22 2 1x x x x y x+ ≥ + = + ≥ + , từ đó hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( ); 0;1x y = 
Bài tập: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: 
2
2 2 2
2
4
xyz z a
xyz b
x y z
+ =


+ =

 + + =
; 
2
2 2
1 sin
tan 1
ax a y x
x y
 + − = −

 + =
; 
3
2 2
2log
3
y a
x y a
x a
x y
−
− + =
−

+ =
 ; 
Tìm a để hệ có nghiệm b∀ : 
( ) ( )2 2
2
1 1 2
1
a y
x b
a bxy x y
 + + + =

 + + =
 ; 
( )
( )
5 5
4 2
1 1
e 1bx
a x y
a by a

− + =

 + + =
 ; 
( )
( )
2 2
3 2
2 1
1 1
bx a by a
a x y
 + + =


− + =
www.VNMATH.com
Hệ phương trình đại số 
213 
XVI. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 
Bài 1. Giải hệ phương trình 
4 2
1 1
x x y
y y x
 + + + =

 + + + =
Từ điều kiện 0, 0x y≥ ≥ ⇒ 4 2 ; 1 1y x+ ≥ + ≥ và hệ ⇔ 0x y= = 
Bài 2. Giải hệ phương trình 
2 2 2
2 3
2 0
2 4 3 0
x y x y
x x y

− + =

− + + =
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 23 3
2 21 1 1 1 11 1
0
2 1 1 0 0 2 1 1 2 1 0
x xy y y y y
x x
x
x y x y x
 
= ≤ ⇒ − ≤ = ≤ ⇒ − ≤
= − + +⇔ ⇔  
= 
− + + = = − + + ≥ − ≥ 
Bài tập: 
2 4
2 4
2 1 4 3
2 1 4 3
x x y
y y x
 = − ⋅ −

 = − ⋅ −
 ; 
4 4 4
1x y z
x y z xyz
+ + =

+ + =
 ; 
( ) ( )
2 2
441 1 1
xy x y
x y
 = +


 + + − =
 ; 
2
2
2
2
1
2
1
2
1
zx
z
xy
x
y
z
y

=
 +


= +

 =
 +
 ; 
2
2
3
4 2
4
6 4 2
2
1
3
1
4
1
x y
x
y
z
y y
z x
z z z

= +


=
+ +

= + + +
; 
2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
yz x z
zx y x
xy z y
 = − −


= − −


= − −
; 
2
4
2
4
12 3
12 3
x
y
y
x
 + =



 + =

 ; 
2
2
2
2 1
2 1
2 1
x y
y z
z x
 = +


= +

 = +
 ; 
( )
( )
22
4
22
4
11 1 8
11 1 8
x
y
y
x
  + + = 
 

  + + =   
 ; 
2 2 2 2 2 2
3
1
3
x y z
xyz
x y y z z x
+ + =

=

 + + =
 ; 
3 9
3 6
x y
x y
 =

+ =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 4 7
2 4 7
1 1 1 1
1 1 1 1
x x x y
y y y x
 + + + = +

 + + + = +
 ; 
1 2 3
1 2 3
x y
y x
 + = + +

 + = + +
; 
2 2
2
4 6
2 8 3 7
x y xy
x y x
 + + =

 + = +
; 
2
2
2
2
2
2
xy
x x
y
z
y y
zx
z z

=
 + −


=
+ −

=
 + −
 ; 
4
4
4
1
1
1
xy
x x
y
z
y y
zx
z z

=
 + −


=
+ −

= + −
 ; 
4
6
4
6
4
6
23 5
23 5
23 5
x
y
y
z
z
x
 + =


+ =

 + =

 ; 
2
2
2
2 1
2 1
2 1
xy
x
y
z
y
zx
z

=
−

=
−

=
−
; 
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 
214 
XVII. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 
Bài 1. Tìm a để hệ phương trình 
1 2
3
x y a
x y a
 + + + =

+ =
 có nghiệm. 
Nếu a < 0 thì hệ vô nghiệm. Xét a ≥ 0: 
Đặt 
1 0
2 0
u x
v y
 = + ≥

= + ≥
. Hệ ⇔ 
( )2 2
, 0
3 1
u v
u v a
u v a
≥

+ =

+ = +
( ) ( )2 2: 3 1C u v a+ = + là họ các đường tròn tâm O(0, 0) bán kính ( )3 1R a= + 
( ) :d u v a+ = là họ các đường thẳng // với nhau tạo với Ou


 góc 135° 
Xét đường thẳng ( )1( ) : 3 1d u v a+ = + đi qua A(R, 0); B(0, R) ∈(C) 
và đường thẳng ( )2( ) : 6 1d u v a+ = + tiếp xúc với (C) tại M 
Nhìn vào đồ thị ⇒ để hệ có nghiệm thì (d) cắt (C) tại điểm có tọa độ dương 
⇔ (d) nằm giữa (d1) và (d2) ⇔ ( ) ( )3 1 6 1a a a+ ≤ ≤ + 
⇔ 
2
2
3 3 0 3 21 3 15
26 6 0
a a
a
a a
 − − ≥ +⇔ ≤ ≤ +
− − ≤
Bài 2. Cho hệ bất phương trình: 
2
2
2 0
4 6 0
x x a
x x a
 + + ≤

− − ≤
 a. Tìm a để hệ có nghiệm. b. Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. 
( )
( )
2
2
2
2
22 0
44 6 0 6
a f x x xx x a
x xa g xx x a
 ≤ = − − + + ≤ 
⇔ 
−≥ =− − ≤  
(P1): y = f (x) là 1 parabol quay bề lõm 
xuống dưới và có đỉnh là (−1, 1) 
(P2): y = g(x) là 1 parabol quay bề lõm lên trên và cắt (P1) tại 80; 7x x
−
= = 
a. Hệ đã cho có nghiệm ⇔ Đường thẳng y = a đi qua miền gạch chéo tạo bởi 
(P1) và (P2) ⇔ 0 ≤ a ≤ 1. 
b. Hệ đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ Đường thẳng y = a cắt miền gạch chéo tại 
một điểm duy nhất ⇔ a = 0 hoặc a = 1. 
3a+3
v
O u
3a+3
6a+6
6a+6
y
O
x-1
-2 2 4
1
-2/3
www.VNMATH.com
Hệ phương trình đại số 
215 
XVIII. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 
Bài 1. Giải hệ phương trình ( ) ( )
2 21 1 1
1 1 2
x y y x
x y

− + − =

− + =
Điều kiện: 1 ; 1x y− ≤ ≤ . Đặt [ ]cos ; cos ; , 0;x y= α = β α β∈ pi thì hệ 
( )
( ) ( )
sin 1 02 2
11 cos 1 cos 2 sin cos sin cos 1 0 0
x
y
pi pi  α + β = α + β = α = =  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔   
=
− α + β =   α − α − α α − = β = 
Bài 2. Giải hệ phương trình: { }2 2 22 ; 2 ; 2x x y y y y z z z z x x+ = + = + = (1) 
Dễ thấy 0x y z= = = là một nghiệm của hệ (1) và 1; 1; 1x y z= ± = ± = ± không là 
nghiệm của (1). Khi đó biến đổi (1) ⇔ 2 2 2
22 2; ;
1 1 1
yx zy z x
x y z
 
= = = 
− − − 
Đặt ( )tan , ; ;2 2 4x pi pi pi= α α∈ − α ≠ ± suy ra tan 2 ; tan 4 ; tan 8 tany z x= α = α = α = α 
⇒ 8 7
kk piα = α + pi ⇔ α =
 ⇒ ( ) 2 4; ; tan ; tan ; tan ; 0; 1; 2; 3
7 7 7
k k k
x y z kpi pi pi = = ± ± ± 
 
XIX. GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
Bài 1. Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm 
( )
( )
2
2
2 2 0
7 7 0
x m x m
x m x m

− + + <

+ + + <
 (1) 
(1) ⇔ 
( ) ( )
( ) ( )
2 0
7 0
x x m
x x m
 − − <

+ + <
. Gọi 
{ } { }
{ } { }
1 2
3 4
min 2; , max 2;
min 7; , max 7;
x m x m
x m x m
 = =

= − − = − −
, khi đó: 
(1) có nghiệm ⇔ 2; 7m m≠ ≠ và ( ) ( )1 2 3 4; ;x x x x ≠ ∅∩ ⇒ 0m < 
Ngược lại với 0m < thì dễ thấy hệ luôn có nghiệm 0x = . Vậy ycbt ⇔ 0m < 
Bài 2. Giải hệ bất phương trình: 
( )
( )
2
3 2
5 4 0 1
3 9 10 0 2
x x
x x x
 + + <

+ − − >
(1) ⇔ 4 1x− < < − . Đặt ( ) 3 23 9 10f x x x x= + − − . Ta có ( ) ( )23 2 3f x x x′ = + − 
( ) 0 3; 1f x x x′ = ⇔ = − = . Lập bảng biến thiên với chú ý ( ) ( )4 10; 3 17;f f− = − = 
( )1 1f − = suy ra ( ) ( )0 , 4; 1f x x> ∀ ∈ − − . Vậy nghiệm của hệ (1), (2) là ( )4; 1− − 
Bài tập: Tìm a để hệ có nghiệm 
2
2
2 1 0
4 2 3 0
x x a
x x a

− + − ≤

+ + − ≤
 ; ( )
2
2
7 8 0
1 3 3 2
x x
a x a x
 + − <

+ > + −
( )
( )
2 2 2
2 2
2 3 6 0
2 5 5 6 0
x a x a
x a x a a
 + − − <

− + + + + ≥ ( )
2
2 2
2 1 0
2 1 0
x x a
x a x a a

− + − ≤

− + + + ≤
2
3 2
3 4 0
3 15
x x
x x x a a

− − ≤

− ≥ +
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 
216 
XX. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC & CAO ĐẲNG 
Bài 1. (TSĐH 2008 – khối A) Giải hệ PT: 
( )
2 3 2
4 2
5
4
51 2
4
x y x y xy xy
x y xy x
 + + + + = −


 + + + = −

 (1) 
Đặt 
2u x y
v xy
 = +

=
 thì hệ (1) ⇔ 
2
22
5 0 04
55 1
44
u uv v u u uv u
v uu vu v
 + + = − 
− − =
= 
⇔ ⇒  
= −+ = −  + = − 
Xét ( )
2 2
3 3
3
0 0 5 25; ;5 5 5 4 16
4 4 4
u x y y x
x y
v xy x
 = + = = −
    
⇔ ⇔ ⇔ = −   
= −  = − =    
Xét ( )
2
2 2
1 11 11 2 2
5 33 32 1 04 22 2
u x yv u xv u
u v yu v xy
 
= − + = −= − = = −    
⇔ ⇔ ⇔ ⇔    
+ = − = −+ =    = − = −  
Bài 2. (TSĐH 2008 – Khối D) Giải hệ PT: 
2 22
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y
 + + = −

− − = −
Giải 
Điều kiện: 1, 0x y≥ ≥ . Hệ phương trình ⇔ 
( ) ( ) ( )
( )
2 1 0 1
2 1 2 2 2
x y x y
x y y x x y
 + − − =

− − = −
Từ điều kiện suy ra 0x y+ > nên ( ) ( )1 2 1 0 2 1 3x y x y⇔ − − = ⇔ = + 
Thay (3) vào (2) ta được ( ) ( )1 2 2 1 2y y y y+ = + ⇔ = (do 1 0y + > ) 5x⇒ = 
Vậy nghiệm của hệ là ( ) ( ); 5; 2x y = . 
Bài 3. (TSĐH 2003 – Khối B) Giải hệ phương trình 
2
2
2
2
23
23
yy
x
xx
y
 +
=

+ =

Giải 
Hệ ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 2 3 2 3 2
3 2 3 3 0
, 0 , 0 , 0
yx y yx y yx y
xy x xy x y y x x y xy x y
x y x y x y
  = + = + = +
  
⇔ = + ⇔ − = − ⇔ − + + = 
  > > >  
3 23 2 0
x y
x x
=
⇔ 
− − =
 ( ) ( )2 11 3 2 2 0
x y
x y
x x x
=
⇔ ⇔ = =
− + + =
www.VNMATH.com
Hệ phương trình đại số 
217 
Bài 4. (TSĐH 2003 – Khối A) Giải hệ phương trình 
3
1 1
2 1
x y
x y
y x

− = −


= +
 (1) 
Giải 
Điều kiện 0 , 0x y≠ ≠ . 
(1) ⇔ 
3
1 1
2 1
x y
x y
y x

− = −


= +
( )
3
33
1 11 0 1 0
2 1 0 2 12 1
x y x y
xy xy
x x y xy x
   
− + = + ==   
 ⇔ ⇔ ∨  
− + = 
= += + 
• Ta có ( ) ( )3 2
1
1 52 1 0 1 0
2
x yx yx y
x x x y x x x y
= =
==   ⇔ ⇔ 
− ±
− + = − + − = = =   
• Xét hệ 
3 43
11 11 0
21 2 02 1
y yxxy x
x x xy x
x
 = − + = = − 
⇔ ⇔  
−  + = + + == +  
Xét hàm số ( ) ( )4 3
3
12 4 1 0
4
f x x x f x x x′= + + ⇒ = + = ⇔ = − . 
Lập BBT ta có: ( )
3
1Min 0
4
f x f  = − > 
 
 nên hệ này vô nghiệm. 
Kết luận: Vậy hệ có 3 nghiệm ( ) 1 5 1 5 1 5 1 51,1 , , , ,
2 2 2 2
   
− + − + − − − −
   
   
Bài 5. (TSĐH 2004 – Khối D) Tìm m để hệ 1
1 3
x y
x x y y m
 + =

+ = −
 có nghiệm. 
Giải 
Đặt 0; 0u x v y= ≥ = ≥ . Sử dụng ( ) ( )33 3 3u v u v uv u v+ = + − + thì 
YCBT 3 3
1
1 3
0, 0
u v
u v m
u v
+ =

⇔ + = −
 ≥ ≥
 có nghiệm 
1
0, 0
u v
uv m
u v
+ =

⇔ =
 ≥ ≥
có nghiệm. 
2 0u u m⇔ − + = có 2 nghiệm , 0u v ≥ ⇔
1 4 0
1
. 1 0 0
4
0
m
P u v m
S u v m
∆ = − ≥

= = ≥ ⇔ ≤ ≤

= + = ≥
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 
218 
Bài 6. (TSĐH 2006 – Khối A) Giải hệ PT 3
1 1 4
x y xy
x y
 + − =

+ + + =
Giải 
Điều kiện: 1, 1, 0x y xy≥ − ≥ − ≥ . Đặt t xy= ( 0t ≥ ) thì 2t xy= . Ta có: 
( )2
3 33
2 2 1 161 1 4 1 1 16
x y xy x y tx y xy
x y xy x yx y x y
 + = + + = ++ − =   
⇔ ⇔  
+ + + + + + =+ + + = + + + =   
Thay 2 , 3xy t x y t= + = + vào phương trình thứ hai ta nhận được: 
2 23 2 2 3 1 16 2 4 11t t t t t t+ + + + + + = ⇔ + + = − 
( ) ( ) 22 2
0 11 0 11
3
3 26 105 04 4 11
t t
t
t tt t t
≤ ≤ ≤ ≤  
⇔ ⇔ ⇔ = 
+ − =+ + = −  
Với 3t = ta có 6, 9x y xy+ = = . Suy ra, nghiệm của hệ là ( ) ( ); 3; 3x y = . 
Bài 7. (TSĐH 2005 – Khối B) 
 Giải hệ phương trình 
( )
( ) ( )2 3
9 3
1 2 1 1
3log 9 log 3 2
x y
x y

− + − =

− =
Giải 
Điều kiện: 
1
0 2
x
y
≥

< ≤
; ( ) ( )3 3 3 32 3 1 log 3log log logx y x y x y⇔ + − ⇔ = ⇔ = 
Thay y x= vào (1) ta có ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1x x x x x x− + − = ⇔ − + − + − − = 
( ) ( )1 2 0 1, 2x x x x⇔ − − = ⇔ = = 
Vậy hệ có hai nghiệm là ( ) ( ); 1; 1x y = và ( ) ( ); 2; 2x y = 
Bài 8. (TSĐH 2002 − khối D) Giải hệ phương trình: 
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+
 = −

 +
=
+
Hệ ⇔
3 2 3 2 22 5 4 5 4 0 5 4 0
2 2 0 2
x
x x x
y y y y y y y
y y y
  = − − + = − + =  
⇔ ⇔  
  = = > =  
1 4
0 2
y y
x x
= =  
⇔ ∨ 
= =  
www.VNMATH.com