Ôn thi Toán 12: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
1 
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
A. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Bài toán chung: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số ( )f x 
Bước 1: Dự ñoán và chứng minh ( ) ( );f x c f x c≥ ≤ 
Bước 2: Chỉ ra 1 ñiều kiện ñủ ñể ( )f x c= 
2. Các phương pháp thường sử dụng 
Phương pháp 1: Biến ñổi thành tổng các bình phương 
Phương pháp 2: Tam thức bậc hai. 
Phương pháp 3: Sử dụng bất ñẳng thức cổ ñiển: Côsi; Bunhiacôpski 
Phương pháp 4: Sử dụng ñạo hàm. 
Phương pháp 5: Sử dụng ñổi biến lượng giác. 
Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp véctơ và hệ tọa ñộ 
Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học và hệ tọa ñộ. 
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA: 
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x, y) = x2 + 11y2 − 6xy + 8x − 28y + 21 
Giải. Biến ñổi biểu thức dưới dạng P(x, y) = (x − 3y + 4)2 + 2(y − 1)2 + 3 ≥ 3 
Từ ñó suy ra MinP(x, y) = 3 ⇔ 1 0 1
3 4 0 1
y y
x y x
− = = 
⇔ 
− + = = − 
Bài 2. Cho x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: S = 
4 24 2
4 4 2 2
y y yx x x
y xy x y x
+ − − + + 
Giải. 
22 2 22 2
2 2 2 21 1 2
y y yxx xS
y xy x y x
  
= − + − − + + + +  
  
 S
2 22 22
2 21 1 2 2
y y yx xx
y x y xy x
      
= − + − + − + + − +      
      
 S
2 22 2 22
2 2
( )1 1 2 2y y x yxx
y x xyy x
 
−  
= − + − + − + + ≥    
    
 . 
 Với x = y > 0 thì MinS = 2 
www.VNMATH.com
Chương I. Hàm số – Trần Phương 
2
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 2sin sin sin ( )S x y x y= + + + 
Giải . 2 2 2sin sin sin ( )S x y x y= + + + = 21 cos 21 cos 2 1 cos ( )
2 2
yx
x y−− + + − + 
 S 2 29 12 cos( )cos( ) cos ( ) cos( )cos( ) cos ( )
4 4
x y x y x y x y x y x y = − + − − + = − + + − + +
  
 S
2
29 91 1cos( ) cos( ) sin ( )
4 2 4 4
x y x y x y = − − + + − − ≤
  
. 
Với 
3
x y kpi= = + pi , (k∈Z) thì 9Max
4
S = 
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 2 2
1 2 3 8 1 2 2 3 6 7 7 8 8... ( ... )S x x x x x x x x x x x x x= + + + + − + + + + + 
Giải. 
2 2 2 2
1 2 2 3 3 4 4 5
1 3 2 4 3 5 4
2 4 3 6 4 8 5
S x x x x x x x x       = − + − + − + − +      
      
2 2 2 2
5 6 6 7 7 8 8
6 5 7 6 8 7 9 8 4 4
10 6 12 7 14 8 16 9 9 9
x x x x x x x
       
+ − + − + − + − − ≥ −       
       
Với 1 2 2 3 6 7 7 8 8
1 2 6 7 8
; ;...; ; ;
2 3 7 8 9
x x x x x x x x x= = = = = , thì 
4
Min
9
S = − 
Bài 5. Cho , ,x y z ∈ℝ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
S = 19x2+ 54y2 +16z2 −16xz − 24y +36xy 
Giải. Biến ñổi S ⇔ f(x) = 19x2 − 2(8z −18y)x + 54y2 +16z2 − 24y 
Ta có ∆′x = g(y) = (8z −18y)2 − (54y2 +16z2 − 24y) = −702y2 +168zy − 240z2 
⇒ ∆′y = (84z)2 − 702.240z2 = −161424z2 ≤ 0 ∀z∈R ⇒ g(y) ≤ 0 ∀y, z∈R 
Suy ra ∆′x ≤ 0 ∀y, z∈R ⇒ f(x) ≥ 0. Với 0x y z= = = thì 0MinS = 
Bài 6. Cho x2 + xy + y2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: 
S = x2 − xy + y2 
Giải Xét y = 0 ⇒ x2 = 3 ⇒ S = 3 là 1 giá trị của hàm số. 
Xét y ≠ 0, khi ñó biến ñổi biểu thức dưới dạng sau ñây 
( )22 2 2
2 2 2 2
/ ( / ) 1 1
3 ( / ) ( / ) 1 1
x y x yx xy yS t t
u u
x xy y x y x y t t
− +
− + − +
= = = = =
+ + + + + +
 với xt
y
= 
www.VNMATH.com
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
3 
⇔ u(t2 + t + 1) = t2 − t + 1 ⇔ (u − 1)t2 + (u + 1)t + (u − 1) = 0 (*) 
+ Nếu u = 1, thì t = 0 ⇒ x = 0, y = 3± ⇒ u = 1 là 1 giá trị của hàm số 
+ Nếu u ≠ 1, thì u thuộc tập giá trị hàm số ⇔ phương trình (*) có nghiệm t 
 ⇔ ∆ = (3u − 1)(3 − u) ≥ 0 ⇔ 1 1 33 u≤ ≠ ≤ . 
Vậy tập giá trị của u là 1 , 33
 
  
 ⇒ 1Min 3u = ; Max u = 3 
Min S = 1 ⇔ 1Min 3u = ⇔ t = 1 ⇒ 2 2 13
x y
x y
x xy y
=
⇔ = = ±
+ + =
Max S = 9 ⇔ Maxu = 3 ⇔ t = −1 ⇒ 
2 2
3, 3
3 3, 3
x y x y
x xy y x y
= − = = − ⇔
+ + = = − = 
Bài 7. Cho x,y∈R thỏa mãn ñiều kiện ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 1 4 0x y x y x y− + + − + = 
 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức S= 2 2x y+ 
Giải. Biến ñổi ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 2 22 1 4 0x y x y x y x y− + − + + − + = 
⇔ ( ) ( ) 22 2 2 2 23 1 4 0x y x y x+ − + + + = ⇔ ( ) ( ) 22 2 2 2 23 1 4x y x y x+ − + + = − 
Do −4x2 ≤ 0 nên ( ) ( ) 22 2 2 23 1 0x y x y+ − + + ≤ ⇔ 2 23 5 3 5
2 2
x y− +≤ + ≤ 
Với x = 0, y = 3 5
2
−± , thì 2 2 3 5Min( )
2
x y −+ = . 
Với x = 0, y = 3 5
2
+± , thì 2 2 3 5Max( )
2
x y ++ = 
Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 24 2 1f x x x x= + + + 
Giải. Gọi y0 là 1 giá trị của hàm f(x) 
⇒ tồn tại x0 sao cho y0 = 20 0 04 2 1x x x+ + + 
⇔ 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 04 2 1 2 4 2 1y x x x y y x x x x− = + + ⇒ − + = + + 
⇔ g(x0) = 2 20 0 0 03 2(1 ) 1 0x y x y+ + + − = . Ta có g(x) = 0 có nghiệm x0 
⇔ ∆′ = 2 2 20 0 0 0(1 ) 3(1 ) 2(2 1)y y y y+ − − = + − = 0 02( 1)(2 1) 0y y+ − ≥ 
www.VNMATH.com
Chương I. Hàm số – Trần Phương 
4
Do y0 = 2 2 20 0 0 0 0 0 03 ( 1) 3 3 0x x x x x x x+ + + ≥ + = + ≥ nên 
∆′ ≥ 0 ⇔ 2y0 − 1 ≥ 0 ⇔ 0
1
2
y ≥ . Với x = 1
2
− thì Minf(x) = 1
2
Bài 9. Cho ( ) 2 5 4 .y f x x x mx= = − + + Tìm các giá trị của m sao cho Min 1y > 
Giải. Ta có ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1
2
2
5 4 ; x 1 4 :
5 4 ; 1 4 :
x m x x P
f x
x m x x P
 + − + ≤ ∨ ≥
= 
− + + − ≤ ≤
Gọi (P) là ñồ thị của y = f(x) ⇒ (P) = (P1) ∪ (P2) khi ñó (P) có 1 trong các 
hình dạng ñồ thị sau ñây 
 Hoành ñộ của các ñiểm ñặc biệt trong ñồ thị (P): 
Hoành ñộ giao ñiểm (P1), (P2) xA = 1; xB = 4 ; Hoành ñộ ñỉnh (P1): 5 2C
m
x
−
= . 
Nhìn vào ñồ thị ta xét các khả năng sau: 

 Nếu xC ∈[xA, xB] ⇔ m∈[ −3, 3] thì Minf(x) = Min{f(1), f(4)}. 
 Khi ñó Minf(x) > 1 ⇔ 
3 3
(1) 1
(4) 4 1
m
f m
f m
− ≤ ≤

= >

= >
 ⇔ 1 < m ≤ 3 (1) 

 Nếu xC ∉[xA, xB] ⇔ m∉[ −3, 3] thì Minf(x) = ( )1 1 5 2C
mf x f − =  
 
 = 
2 10 9
4
m m− + −
Khi ñó Minf(x) > 1 ⇔ 
2
[ 3,3]
3 5 2 3
10 13 0
m
m
m m
∉ −
⇔ < < +
− + <
 (2) 

 Kết luận: Từ (1) và (2) suy ra Minf(x) > 1 ⇔ 325m1 +<< 
A 
B C 
P2 
P1 A 
B 
C 
P2 
P1 
A 
B 
C 
P1 
P2 
www.VNMATH.com
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
5 
Bài 10. (ðề thi TSðH 2005 khối A) 
Cho , , 0x y z > ; 1 1 1 4
x y z
+ + = . Tìm Min của S 1 1 1
2 2 2x y z x y z x y z
= + +
+ + + + + +
Giải: Sử dụng bất ñẳng thức Côsi cho các số a, b, c, d > 0 ta có: 
( ) ( ) 4 4 161 1 1 1 1 1 1 1 14. .4. 16a b c d abcda b c d abcd a b c d a b c d+ + + + + + ≥ = ⇒ + + + ≥ + + + 
16 161 1 1 1
2
16 161 1 1 1
2
16 161 1 1 1
2
1 1 1 1 1 116 4 16 Min 1
2 2 2
x x y z x x y z x y z
x y y z x y y z x y z
x y z z x y z z x y z
S
x y z x y z x y z x y z
 + + + ≥ =
 + + + + +

+ + + + ≥ = + + + + +

 + + + ≥ =
 + + + + +
   
= + + ≥ + + ⇒ =   + + + + + +   
Bài 11. (ðề thi TSðH 2007 khối B) 
Cho , , 0x y z > . Tìm Min của S 1 1 1
2 2 2
yx zx y z
yz zx xy
    
= + + + + +        
Giải: Sử dụng bất ñẳng thức Côsi cho 9 số ta có 
S 
4 4 4
2 2 2 9
4 4 4
9 9 91
. Min
2 2 2 2
y y x y zx x z zx y z S
yz yz zx zx xy xy x y z
 
= + + + + + + + + ≥ = ⇒ = 
 
Bài 12. Cho 
, 0
1
x y
x y
>

+ =
 Tìm giá trị nhỏ nhất của S = 
1 1
yx
x y
+
− −
Giải: ( ) ( ) ( )2yxS y x x y x y x y x y
y x
  
= + + + − + ≥ + − + = +  
  
Mặt khác, S = 
1 1
yx
x y
+
− −
 = 
1 1y x
y x
− −
+ = ( )1 1 x y
x y
 
+ − + 
 
 
Suy ra 2S ≥ 1 1
x y
+ ≥ 
4
2 2 2 2
2
xy x y
≥ =
+
 ⇒ 2S ≥ ⇒ MinS = 2 . 
Bài 13. Cho x, y, z > 0. Tìm Max của: S = 
( )
( )
2 2 2
2 2 2 ( )
xyz x y z x y z
x y z xy yz zx
+ + + + +
+ + + +
Giải: Sử dụng bất ñẳng thức Côsi và BunhiaCôpski ta có 3 ñánh giá sau: 
www.VNMATH.com
Chương I. Hàm số – Trần Phương 
6
2 2 2 2 2 233x y z x y z+ + ≥ ⋅ ;
2 2 2333. . . 3.xy yz zx xy yz zx x y z+ + ≥ =
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 3.x y z x y z x y z+ + ≤ + + + + = + + . Từ ñó suy ra 
( )
( )
2 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 33
1 3 1 3 1 3 3 3
3 3 93.3.
xyz x y z xyz xyz
S
xyzx y z x y z x y z
+ + + + + +≤ = ⋅ ≤ ⋅ =
+ + + +
Bài 14. (ðề thi TSðH 2003 khối B) 
 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 24y x x= + − 
Cách 1: Tập xác ñịnh [ ]2; 2D = − ; 
2
2
1 ; 0 4
4
xy y x x
x
′ ′= − = ⇔ = −
−
2 2
0
2
4
x
x
x x
≥
⇔ ⇔ =
= −
 ⇒ 
max 2 2
min 2
y
y
 =

= −
Cách 2: ðặt 2sin , ;
2 2
x u u pi pi = ∈ −
  
⇒ ( ) ( )2 sin cos 2 2 sin 2; 2 24y u u u pi  = + = + ∈ −  ; max 2 2 ; min 2y y= = − 
Bài 15. (ðề dự bị TSðH 2003 khối B) 
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của ( )36 24 1y x x= + − trên ñoạn [ ]1;1− 
Cách 1. ðặt [ ]2 0;1u x= ∈ . Ta có ( )33 3 24 1 3 12 12 4y u u u u u= + − = − + − + 
[ ]2 1 229 24 12 0 0;1 ; 2 13y u u u u′ = − + − = ⇔ = ∈ = > 
Nhìn bảng biến thiên ta có 4max 4; min 9y y= = 
Cách 2. ðặt 6 6sin sin 4 cosx u y u u= ⇒ = + . 
( ) ( )6 6 6 2 2sin cos 3cos sin cos 3 4u u u u u= + + ≤ + + = 
Với 0x = thì max 4y = . Sử dụng bất ñẳng thức Côsi ta có: 
6 6 23
6 6 23
8 8 8 8 4sin 3 sin sin
27 27 27 27 3
4 4 4 4 44 cos 3 4cos cos
27 27 27 27 3
u u u
u u u

+ + ≥ ⋅ ⋅ ⋅ =

 + + ≥ ⋅ ⋅ ⋅ =

( )6 6 2 28 4 4 4sin 4cos sin cos9 3 3 9y u u u u y= + + ≥ + = ⇒ ≥ . Với 
2 4min3 9x y= ⇒ = 
x 0 23 1 
y ′ 0 
 − 0 + 0 
y 
4 
4
9 
1 
x − 2 2 2 
y ′ + 0 − 0 
y 
−2 
2 2 
 2 
www.VNMATH.com
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
7 
Bài 16. a) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
2
3
1
xy
x
+
=
+
 b) Cho 1a b c+ + = . Chứng minh rằng: 2 2 21 1 1 10a b c+ + + + + ≥ 
Giải. a) TXð: D = ℝ ; ( ) ( )2 21 3 1 10 103 31 1xy x yx x−′ = = ⇔ = ⇒ =+ + 
( ) ( )
2
22
3 / 3 /lim lim lim lim
11 1
x x x x
x x x x xy
xx
xx
→∞ →∞ →∞ →∞
+ +
= = =
+ +
. 
Suy ra lim 1; lim 1
x x
y y
→+∞ →−∞
= = − . Nhìn BBT 
ta có 
2
3 10 max 10
1
xy y
x
+
= ≤ ⇒ =
+
b) Theo phần a) thì 10 ,y x≤ ∀ ⇔ 23 10. 1 ,x x x+ ≤ + ∀ . 
ðặc biệt hóa bất ñẳng thức này tại các giá trị , ,x a x b x c= = = ta có: 
2
2
2
: 3 10. 1
: 3 10. 1
: 3 10. 1
x a a a
x b b b
x c c c

= + ≤ +

 = + ≤ +

 = + ≤ +
( )2 2 29 10. 1 1 1a b c a b c+ + + ≤ + + + + + ⇔ 2 2 210 1 1 1a b c≤ + + + + + 
Cách 2. Trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy ñặt 
( ) ( ) ( );1 ; ;1 ; ;1OA a AB b BC c= = =   . 
Khi ñó ( ) ; 3OC OA AB BC a b c= + + = + +    . 
Do OA AB BC OA AB BC OC+ + ≥ + + =
      
Từ ñó suy ra 2 2 21 1 1 10a b c+ + + + + ≥ 
Bài 17. (ðề 33 III.2, Bộ ñề thi TSðH 1987 – 1995) 
 Cho 2 2 1x y+ = . Tìm Max, Min của A = 1 1x y y x+ + + . 
Giải. 1. Tìm MaxA: Sử dụng bất ñẳng thức BunhiaCôpski ta có 
 A ≤ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 2 2 2 2 2x y y x x y x y + + + + = + + ≤ + + = +  . 
Với 1
2
x y= = thì Max A = 2 2+ 
x −∞ 1/3 +∞ 
y ′ + 0 − 0 
y 
−1 
10 
1 
a a+b a+b+c 
C 
A 
B 
1 
2 
3 
O x 
1 
y 
www.VNMATH.com
Chương I. Hàm số – Trần Phương 
8
2. Tìm MinA: Xét 2 trường hợp sau ñây 
• Trường hợp 1: Nếu 0xy ≥ , xét 2 khả năng sau: 
+) Nếu 0, 0x y≥ ≥ thì A>0 ⇒ Min 0A > 
+) Nếu x ≤ 0, y ≤ 0 thì 
|A| ≤ [ ]2 2( ) (1 ) (1 ) 2x y x y x y+ + + +  ... 511 4 4x y z OK+ + ≤ = + = 
( ) ( )2 2 2 5cos cos 4x y z⇒ + + ≥ 
Với 11; ; 0
2
z x y= = = thì MinS = 5cos
4
y 
3/ 2 
O 
E 
1 
1 
K 
3/ 2 
J 
M 
z 
x 
I 
L 
N 
3/ 2 
1 
O′ 
www.VNMATH.com
Chương I. Hàm số – Trần Phương 
10
Bài 19. Cho a,b,c 0> thỏa mãn ñiều kiện 3a b c
2
+ + ≤ 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 22 2 2
1 1 1S a b c
b c a
= + + + + +
Giải. Sai lầm thường gặp: 
2 2 2 2 2 23 6
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 13. 3.S a b c a b c
b c a b c a
     ≥ + ⋅ + ⋅ + = + + +     
     
62 2 26
2 2 2
1 1 13. 2 2 2 3. 8 3 2 Min 3 2a b c S
b c a
     
≥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⇒ =          
     
• Nguyên nhân: 
1 1 1 3Min 3 2 1 3
2
S a b c a b c
a b c
= ⇔ = = = = = = ⇒ + + = >
 mâu thuẫn với giả thiết 
• Phân tích và tìm tòi lời giải : 
Do S là một biểu thức ñối xứng với a, b, c nên dự ñoán Min S ñạt tại 1
2
a b c= = = 

 Sơ ñồ ñiểm rơi: 
1
2
a b c= = =
 ⇒ 
2 2 2
2 2 2
1
4
1 1 1 4
a b c
a b c

= = =



= = = αα α α
 ⇒ 
1 4
4
=
α
 ⇒ 16α = 

 Cách 1: Biến ñổi và sử dụng bất ñẳng thức Côsi ta có 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
16 16 16
1 1 1 1 1 1
... ... ...
16 16 16 16 16 16
S a b c
b b c c a a
= + + + + + + + + + + +

 
 

2 2 2
17 17 17 17 17 17
16 32 16 32 16 32 8 16 8 16 8 1617 17 17 1716 16 16 16 16 16
a b c a b c
b c a b c a
 
≥ ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + 
 
3 17 17 17 17
8 16 8 16 8 16 8 5 5 5
117 3 3 17
16 16 16 16
a b c
b c a a b c
 
 ≥ ⋅ ⋅ ⋅ =
  
( )17 5 1517
3 17 3 17 3 17
22 (2 2 2 ) 2 2 22 3
a b c a b c
= ≥ ≥
⋅ + +
⋅
. Với 1
2
a b c= = =
 thì 3 17Min
2
S = 
www.VNMATH.com
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
11

 Cách 2: Biến ñổi và sử dụng bất ñẳng thức BunhiaCôpski ta có 
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 41 4
17 17
1 1 1 1 41 4
17 17
1 1 1 1 41 4
17 17
a a a
bb b
b b b
cc c
c c c
aa a
    
+ = ⋅ + + ≥ ⋅ +    
   

    
+ + = ⋅ + + ≥ ⋅ +    
   

   
+ = ⋅ + + ≥ ⋅ +   
   
⇒ 
1 4 4 4
17
S a b c
a b c
 ≥ ⋅ + + + + + 
 
1 1 1 1 15 1 1 1
4 4 4 417
a b c
a b c a b c
  
= ⋅ + + + + + + + +  
  
6 3
3
1 1 1 1 15 1 1 1 1 45 16 3 3
4 4 4 4 417 17
abc
a b c a b c abc
    ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅    
    
1 45 1 1 45 3 173 3 2
4 4 217 17
3
a b c
   ≥ + ⋅ ≥ + ⋅ =  + +   
 
. Với 1
2
a b c= = =
 thì 3 17Min
2
S = 

 Cách 3: ðặt ( ) ( ) ( )1 1 1 , ; , ; ,u a v b w cb c a= = =   
Do u v w u v w+ + ≥ + +
     
 nên suy ra : 
( )
2
22 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1S a b c a b c
a b cb c a
 
= + + + + + ≥ + + + + + 
 
= ( )
2 2
2 1 1 1 1 15 1 1 1
16 16
a b c
a b c a b c
   
+ + + + + + + +   
   
≥ ( ) ( ) 23151 1 1 1 1 1 12 34 16a b c a b c a b c + + ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅   
≥ ( )
3 3
23
1 135 11 1 13 3
2 16
abc
a b c
abc
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ≥ ( )2
9 135 1
2 16
3
a b c
+ ⋅
+ +
≥ 9 135 18 135 153 3 174
2 16 4 4 4 2
+ ⋅ = + = = . Với 1
2
a b c= = = thì 3 17Min
2
S = 
www.VNMATH.com
Chương I. Hàm số – Trần Phương 
12
B. CÁC ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ 
I. ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
Bài 1. Giải phương trình: 4 42 4 2x x− + − = 
Giải. ðặt ( ) 4 42 4f x x x= − + − với 2 4x≤ ≤ 
( )
( ) ( )3 34 4
1 1 1 0 34 2 4
f x x
x x
 
′ = − = ⇔ =
 
− − 
Nhìn BBT suy ra: ( ) ( ) [ ]3 2 2, 4f x f x≥ = ∀ ∈ 
⇒ Phương trình ( ) 4 42 4 2f x x x= − + − = có nghiệm duy nhất x = 3 
Bài 2. Giải phương trình: 3 5 6 2x x x+ = + 
Giải. PT ⇔ ( ) 3 5 6 2 0x xf x x= + − − = . Ta có: ( ) 3 ln 3 5 ln 5 6x xf x′ = + − 
⇒ ( ) ( ) ( )2 23 ln 3 5 ln 5 0x xf x′′ = + > x∀ ∈ℝ ⇒ ƒ′(x) ñồng biến 
Mặt khác ƒ′(x) liên tục và 
( )0 ln 3 ln 5 6 0f ′ = + − 
⇒ Phương trình ƒ′(x) = 0 có ñúng 1 nghiệm x0 
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
Phương trình ( ) 3 5 6 2 0x xf x x= + − − = có không quá 2 nghiệm. 
Mà ( ) ( )0 1 0f f= = nên phương trình (1) có ñúng 2 nghiệm 0x = và 1x = 
Bài 3. Tìm m ñể BPT: 22 9m x x m+ < + có nghiệm ñúng x∀ ∈ℝ 
Giải. 22 9m x x m+ < + ⇔ ( )22 9 1m x x+ − < ⇔ ( )
22 9 1
xm f x
x
< =
+ −
Ta có: ( ) ( )
2
2
2 2
9 2 9
2 9 2 9 1
xf x
x x
− +
′ =
+ + −
 = 0 ⇔ 22 9 9 6x x+ = ⇔ = ± 
( )
2
1 1lim lim
9 212x x
f x
xx
→+∞ →+∞
= =
+ −
 ; 
( )
2
1 1lim lim
9 212x x
f x
xx
→−∞ →−∞
− −
= =
+ +
Nhìn BBT ta có ( )f x m> , x∀ ∈ℝ ⇔ ( ) ( ) 3 3Min 6 4 4x f x f m m∈
−
= − = − > ⇔ <
ℝ
x −∞ 0 x0 1 +∞ 
f ′ 
 − 
0 + 
f ƒ(x0) 
x −∞ −6 6 +∞ 
f ′ − 0 + 0 − 
ƒ 
1
2
−
 3
4
−
3
4
1
2
x 2 3 4 
ƒ′ − 0 + 
ƒ 
2 
www.VNMATH.com
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
13
Bài 4. Tìm m ñể PT: ( )22 2sin 2 1 cosx m x+ = + (1) có nghiệm ,
2 2
x pi pi ∈ −
  
Giải. Do ,
2 2
x pi pi ∈ −
  
 ⇒ ,
2 4 4
x −pi pi ∈
  
 nên ñặt [ ]tg 1,12
xt = ∈ − 
⇒ 
2
2
1cos
1
tx
t
−
=
+
; 2
2sin
1
tx
t
=
+
. Khi ñó (1) ⇔ ( ) ( )2 22 sin cos 1 cosx x m x+ = + 
⇔ ( ) ( )
2 22 2 22
2 2
2 1 12 1 2 1 2
1 1
t t tm f t t t m
t t
   + − −
= + ⇔ = + − =   
+ +   
 (2) 
Ta có: ( ) ( )( )22 2 1 2 2 0 1; 1 2f t t t t t t′ = + − − = ⇔ = = − ⇒ Bảng biến thiên 
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
ðể (2) có nghiệm [ ]1,1t ∈ − 
thì [ ]
( )
[ ]
( )
1,1 1,1
Min 2 Max
t t
f t m f t
∈ − ∈ −
≤ ≤ 
⇔ 0 2 4 0 2m m≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ . Vậy ñể (1) có nghiệm ,
2 2
x pi pi ∈ −
  
 thì [ ]0; 2m∈ . 
Bài 5. Tìm m ñể hệ BPT: 
2
3 2
3 0
2 2 4 0
x x
x x x m m

− ≤


− − − + ≥
 (1) có nghiệm. 
Giải. (1) ⇔ 
( ) 3 2
0 3
2 2 4
x
f x x x x m m
≤ ≤

= − − ≥ −
 (2). 
Ta có: ( )
[ )
( ]
2
2
3 4 4 0; 2
3 4 4 2;3
x x x
f x
x x x
 + − ∀ ∈
′ = 

− + ∀ ∈
; 
 ƒ′(x) = 0 ⇔ 23x = . Nhìn BBTsuy ra: [ ] ( ) ( )0;3Max 3 21x f x f∈ = = 
ðể (2) có nghiệm thì [ ] ( )
2
0;3
Max 4
x
f x m m
∈
≥ − ⇔ 2 4 21m m− ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ 7 
Bài 6. Tìm m ≥ 0 ñể hệ: 
3 2
2
35sin cos 6
4
33cos sin 6
4
x y m m m
x y m m

= − − +



= − +

 (1) có nghiệm. 
Giải 
x 0 23 2 3 
f ′ − 0 + + 
f 0 
 CT 
8 
21 
t −1 1 2− 1 
ƒ′(t) 
 − 
0 + 
ƒ(t) 
4 
0 
4 
www.VNMATH.com
Chương I. Hàm số – Trần Phương 
14
(1) ⇔ 
3
3 2
sin cos cos sin 12 17
1sin cos cos sin 2 2
x y x y m m
x y x y m m
 + = − +


− = − +

 ⇔ 
( )
( )
3
3 2
sin 12 17
1sin 2
2
x y m m
x y m m
 + = − +


 − = − +

 (2) 
Xét ( ) 3 12 17f m m m= − + . Ta có: ( ) 23 12 0 2 0f m m m′ = − = ⇔ = > 
Nhìn BBT suy ra: ƒ(m) ≥ ƒ(2) = 1,∀m ≥ 0 
kết hợp với ( )sin 1x y+ ≤ suy ra ñểhệ (2) 
có nghiệm thì m = 2, khi ñó hệ (2) trở thành: 
( )
( )
sin 1
1sin
2
x y
x y
 + =


− =

có nghiệm ;3 6x y
pi pi
= = . Vậy (1) có nghiệm ⇔ m = 2. 
II. ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC 
Bài 1. Chứng minh rằng: ( )2 21 ln 1 1x x x x+ + + ≥ + , x∀ ∈ℝ 
BðT ⇔ ( ) ( )2 21 ln 1 1 0f x x x x x= + + + − + ≥ x∀ ∈ℝ 
Ta có: ( ) ( )2ln 1 0 0f x x x x′ = + + = ⇔ = 
⇒ Bảng biến thiên. 
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
( ) ( )0 0f x f≥ = ⇒ (ñpcm) 
Bài 2. Cho 
2 2 2
, , 0
1
a b c
a b c
>

+ + =
 CMR: T = 2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Ta có: T = ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1
a b c a b c
a b c a a b b c c
+ + = + +
− − −
− − −
. 
 Xét hàm số ( ) ( )21f x x x= − với x > 0 
Ta có ( ) 2 11 3 0 0
3
f x x x′ = − = ⇔ = > . 
Nhìn bảng biến thiên ⇒ ( ) 2 0
3 3
f x x≤ ∀ > . 
Khi ñó : ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 23 3 3 3
2 2b
a b cT a b cf a f f c= + + ≥ + + = 
ðẳng thức xảy ra 1
3
a b c⇔ = = = . 
x 
−∞ 0 +∞ 
f ′ 
 − 0 + 
f 
0 
x 
−∞ 
1
3
 +∞ 
f ′ + 0 − 
f 
2
3 3
m 0 2 +∞ 
ƒ′ − 0 + 
ƒ 
17 
1 
+∞ 
www.VNMATH.com
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
15
Bài 3. Cho 3 ≤ n lẻ. Chứng minh rằng: ∀x ≠ 0 ta có: 
 ( ) ( )2 2 31 ... 1 ... 12! ! 2! 3! !n nx x x x xx xn n+ + + + − + − + − < 
ðặt ( ) ( )2 2 31 ... ; 1 ...2! ! 2! 3! !
n nx x x x xu x x v x x
n n
= + + + + = − + − + − . 
Ta cần chứng minh ( ) ( ) ( ).f x u x v x= < 1 
Ta có: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 1
2 1
1 ...
2! !1 !
1 ...2! !1 !
n n
n n
x x xu x x u x
nn
x x xv x x v x
nn
−
−

′ = + + + + = −

−


′ = − + − + − = − −

−
⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). .
! !
n nx xf x u x v x u x v x u x v x u x v x
n n
   
′ ′ ′= + = − − +
      
⇒ ( ) ( ) ( )[ ]!
nxf x u x v x
n
−
′ = + ( )
2 4 12 1 ...! 2! 4! 1 !
n nx x x x
n n
− −
= + + + +
 
− 
Do 3 ≤ n lẻ nên ƒ′(x) cùng dấu với (−2x) 
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
( ) ( )0 1 0f x f x< = ∀ ≠ ⇒ (ñpcm) 
Bài 4. Chứng minh rằng: 
3 3 4 4
3 4
2 2
a b a b+ +≤ ∀a, b > 0. 
( )
( )
4
44 44 4 44 4
3 33 33 3 3 3
3
12 1 2
2 211
a
a b tb
a b ta
b
+
+ +≥ ⇔ = ≥
+ +
+
Xét f(t) = ( )
( )
1
4 4 4 4
13 3 3 3
1 1
1 1
t t
t t
+ +
=
+ +
 với 0at
b
= > 
f′(t) = ( ) ( ) ( ) ( )
( )
13 1 2
4 3 3 4 2 34 4 33
2
3 3
1 1 1 1
1
t t t t t t
t
− −
+ + − + +
+
( ) ( ) ( )
( )
2
32 32 4 43
2
3 3
1 1 1
1
t t t t
t
−
−
+ + −
=
+
f′(t) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ Bảng biến thiên của f(t) 
Từ BBT ⇒ 
4
3
2
2
 ≤ f(t) 0 ⇒ 
4 4 44
3 3 3 3
2
2
a b
a b
+≤
+
 ⇒ 
3 3 4 4
3 4
2 2
a b a b+ +≤ . 
Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b > 0. 
x 
−∞ 0 +∞ 
f ′ + 0 − 
f 1 
t 0 1 +∞ 
f′ − 0 + 
f 
1 
4
3
2
2
1 
www.VNMATH.com
Chương I. Hàm số – Trần Phương 
16
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Bài 1. Cho ∆ABC có A B C> > . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
( ) sin sin 1
sin sin
x A x Bf x
x C x C
− −
= + −
− −
Bài 2. Tìm Max, Min của: y = 6 6sin cos sin cosx x a x x+ + 
Bài 3. Cho ab ≠ 0. Tìm Min của 
4 4 2 2
4 4 2 2
a b a b a by b ab a b a
 
= + − + + + 
 
Bài 4. Cho 2 2 0x y+ > . Tìm Max, Min của 
2 2
2 24
x yS
x xy y
+
=
+ +
Bài 5. Giả sử phương trình 2 2
1 0x px
p
+ + = có nghiệm x1, x2. 
Tìm p ≠ 0 sao cho 4 41 2S x x= + nhỏ nhất. 
Bài 6. Tìm Min của ( ) ( ) ( ) ( )2 22 3 2 3 8 2 3 2 3x x x xy  = + + − − + + −  
Bài 7. Cho x, y ≥ 0 và 1x y+ = . Tìm Max, Min của 3 9x yS = + . 
Bài 8. Cho 2 2 2 1x y z+ + = . Tìm Max, Min của P x y z xy yz zx= + + + + + . 
Bài 9. Tìm m ñể PT: ( ) ( )2 2 2 2x x x x m− + + − − + = có nghiệm. 
Bài 10 Tìm m ñể PT: 29 9x x x x m+ − = − + + có nghiệm. 
Bài 11 Tìm m ñể PT: ( )32 2 22 2 4 2 2 2 4x x x x x x m− + − − + = − + có 4 
nghiệm phân biệt. 
Bài 12 Tìm m ñể PT: 
23 1 2 1
2 1
x x mx
x
−
= − +
−
 có nghiệm duy nhất. 
Bài 13 Tìm m ñể PT: cos 2 4sin cos 2 0m x x x m− + − = có nghiệm ( )0, 4x pi∈ . 
Bài 14 Tìm m ñể PT: sin .cos 2 .sin 3x x x m= có ñúng 2 nghiệm ,
4 2
x pi pi ∈
  
. 
Bài 15 Tìm m ñể hệ BPT: 
2
2
3 2 1 0
3 1 0
x x
x mx
 + − <

 + + <
 có nghiệm. 
Bài 16 a. Tìm m ñể: 2 8 2m x x+ = + có 2 nghiệm phân biệt. 
 b. Cho 12a b c+ + = . CMR: 2 2 28 8 8 6 6a b c+ + + + + ≥ 
Bài 17 Chứng minh: ( ) ( )3 3 3 2 2 22 3x y z x y y z z x+ + − + + ≤ , [ ], , 0,1x y z∀ ∈ 
www.VNMATH.com