Ôn thi Toán 12: Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 
169 
BÀI 5. CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 
I. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN 
• Đặt vấn đề: 
Xét tích phân dạng ( )I R sin x,cos x dx= ∫ 
1. Đổi biến số tổng quát: 
Đặt 
2
2 2 2
2 2 12
2 1 1 1
x dt t t
t tg x arctg t ;dx ; sin x ; cos x
t t t
−
= ⇒ = = = =
+ + +
Khi đó: ( ) 22 2 2
22 1
1 1 1
dtt tI R sin x,cos x dx R ,
t t t
 
−
= =  
+ + + ∫ ∫
Ta xét 3 trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây mà có thể đổi biến số bằng 
cách khác để hàm số dưới dấu tích phân nhận được đơn giản hơn. 
2. Nếu ( )R sinx,cosx là hàm lẻ theo sin: ( ) ( )− −R sinx,cosx = R sinx,cosx 
thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t = cosx. 
3. Nếu ( )R sinx,cosx là hàm lẻ theo cosin: ( ) ( )− −R sinx, cosx = R sinx,cosx 
thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t = sinx. 
4. Nếu ( )R sinx,cosx thoả mãn điều kiện: ( ) ( )− −R sinx, cosx =R sinx,cosx 
thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t = tgx. 
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA 
1. Dạng 1: Đổi biến số tổng quát 
− −
∫
3sin2x 2cos2x 1I = dx
3cos2x + 4sin2x + 5
Đặt 
2
2 2 2
dt 2t 1 t
t tg x x arctg t ;dx ; sin 2x ; cos 2x
1 t 1 t 1 t
−
= ⇒ = = = =
+ + +
⇒ 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 22 2 2
3.2t 2 1 t 1 t dt 1 t 6t 3 dt 1 t 6t 3 dtI
2 21 t t 4t 4 1 t3 1 t 4.2t 5 1 t t 2 1 t
− − − + + − + −
= ⋅ = ⋅ =
+ + + +
− + + + + +
∫ ∫ ∫ 
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
170 
Giả sử ( ) ( ) ( )
2
2 2 22
6 3
2 12 1 2
t t A B Ct D
, t
t tt t t
+ − +
= + + ∀
+ ++ + +
⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2t 6t 3 A t 2 1 t B 1 t Ct D t 2 , t+ − = + + + + + + + ∀ (*) 
( ) ( ) ( ) ( )2 3 2t 6t 3 A C t 2A B 4C D t A 4C 4D t 2A B 4D⇔ + − = + + + + + + + + + + +
Thay t = −2 vào (*) thì −11 = 5B ⇒ B = −11/5 
(*) 
A C 0 A C 0 A 34 25
2A B 4C D 1 2A 4C D 16 5 B 11 5
A 4C 4D 6 A 4C 4D 6 C 34 25
2A B 4D 3 2A 4D 4 5 D 12 25
+ = + = = −  
  
+ + + = + + = = −  
⇔ ⇔ ⇔  
+ + = + + = =  
  + + = − + = − =  
( ) ( ) ( )
2
2 2 22
1 t 6t 3 34 dt 11 dt 1 24t 12I dt dt
2 25 t 2 5 25 1 tt 2 1 t t 2
+ − +
= = − − +
+ ++ + +
∫ ∫ ∫ ∫ 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
2
34 dt 11 dt 12 d t 12 dt
25 t 2 5 25 251 t 1 tt 2
34 11 12 12ln t 2 ln 1 t arctg t c
25 5 t 2 25 25
34 11 12 12ln tg x 2 ln 1 tg x x c
25 5 tg x 2 25 25
= − − + +
+ + ++
= − + + + + + +
+
= − + + + + + +
+
∫ ∫ ∫ ∫
2. Dạng 2: ( ) ( )− −R sinx,cosx = R sinx,cosx 
• 3 2
2
2
=
− − + −∫ ∫1 3 2
sin2xdxJ =
cos x sin x 1
sin x cos xdx
cos x cos x
( ) ( ) ( )3 22sin x cos xR sin x, cos x R sin x, cos x R sin x, cos x
cos x cos x 2
= ⇒ − = −
+ −
Đặt t = cos x ⇒ ( ) ( )1 3 2 22
2t dt 2t dt A Bt CJ 2 dt
t 1t t 2 t 2t 2t 1 t 2t 2
− − + 
= = = − + 
−+ − + + − + +
∫ ∫ ∫ 
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
22
t A Bt C
t A t 2t 2 Bt C t 1
t 1 t 2t 2t 1 t 2t 2
+
= + ⇔ = + + + + −
− + +
− + +
( ) ( ) ( )2
A B 0 A 1 5
t A B t 2A B C t 2A C 2A B C 1 B 1 5
2A C 0 C 2 5
+ = = 
 
⇔ = + + − + + − ⇔ − + = ⇔ = − 
 
− = = 
www.VNMATH.com
Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 
171 
( )
( )
( )
( ) ( )
1 2 2
2
2 2
2
2
2 1 t 2 2 dt 1 2t 2 6J dt dt
5 t 1 5 t 1 5t 2t 2 t 2t 2
2 dt 1 d t 2t 2 6 dt
5 t 1 5 5t 2t 2 t 1 1
2 1 6ln t 1 ln t 2t 2 arctg t 1 c
5 5 5
2 1 6ln 1 cos x ln cos x 2 cos x 2 arctg 1 cos x c
5 5 5
− + − 
= − − = − + 
− −+ + + + 
+ +
= − + −
− + + + +
= − − + + + − + +
= − − + + + − + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
•
( )
( ) ( )2 6 2 6 6 21 1
sin x dx d cos x dt
sin x cos x cos x cos x t t
−
= = =
− −
∫ ∫ ∫ ∫2 6
dxJ =
sinxcos x
( )
( )
6 6 4 2
2 6 3 56 2
3 5
t t 1 1 t t 1 t 1 1 1 1dt dt ln c
t 1 tt 1 t 3t 5tt t 1
1 cos x 1 1 1ln c
1 cos x cos x 3cos x 5cos x
 
− − + + −
= = − = + + + + 
+
− −
−
= + + + +
+
∫ ∫
•
2
2
2 2 4
2 2 1
sin x cos x sin x cos xdx dx
cos x cos x
= =
−
∫ ∫ ∫3
sinx + sin3xJ = dx
cos2x
( )2 2
2 2 2 2
4cos xd cos x 4t dt 2 dt2 dt 2 dt
11 2cos x 1 2t 1 2t t
2
1 1 2t 1 1 2 cos xln 2t c ln 2 cos x c
2 1 2t 2 1 2 cos x
 
= = = − = − 
− − − 
−
+ +
= − + = − +
− −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
•
( ) ( )
2 22 2
0 0
4 4 1
1 1
sin x cos x
sin x dx d cos x
cos x cos x
pi pi
−
= −
+ +∫ ∫ ∫
pi 2 3
4
0
4sin xJ = dx =
1 + cosx
( ) ( ) ( )0 12 12 0
1 0
4 1 t dt 4 1 t dt 4t 2t 4 2 2
1 t
−
= − = − = − = − =
+∫ ∫ 
•
2 2 22
3 2 2
6 6 63 4 3 4 4 1
sin x dx sin x dx sin x dx
sin x sin x sin x cos x
pi pi pi
pi pi pi
= = =
− − −
∫ ∫ ∫ ∫
pi 2 2
5
pi 6
sin xJ = dx
sin3x
( ) ( )
( )
( )
3 26 3 2 3 2
2 2 2
02 0 0
d cosx dt 1 d 2t 1 2t 1 1ln ln 2 3
2 4 2t 1 44cos x 1 4t 1 2t 1
pi
pi
−
= = = = = −
+
− −
−
∫ ∫ ∫ 
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
172 
3. Dạng 3: ( ) ( )− −R sinx, cosx = R sinx,cosx 
•
( ) ( ) ( )
4 48 2 2
20 20 20
1 1cos x sin x t
cos x dx d sin x dt
sin x sin x t
− −
= = =∫ ∫ ∫ ∫
9
1 20
cos xK = dx
sin x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8
20 19 17 15 13 11
19 17 15 13 11
1 4t 6t 4t t 1 4 6 4 1dt c
t 19t 17t 15t 13t 11t
1 4 6 4 1
c
19 sin x 17 sin x 15 sin x 13 sin x 11 sin x
− + − + −
= = + − + − +
−
= + − + − +
∫
•
( ) ( ) ( )2 4 2 4
2 4 2 4
cos x cos x cos x cos x
cos x dx d sin x
sin x sin x sin x sin x
+ +
= =
+ +∫ ∫ ∫
3 5
2 2 4
cos x + cos xK = dx
sin x + sin x
( )
( )
( )
22 2 4 2
2 4 2 22 2
1 t 1 t t 3t 2 2 6dt dt 1 dt
t t t 1 tt 1 t
2 2
t 6arctg t c sin x 6arctg sin x c
t sin x
− + − − +  
= = = + − 
+ + +
= − − + = − − +
∫ ∫ ∫
4. Dạng 4: ( ) ( )− −R sinx, cosx =R sinx,cosx 
• ( ) ( )
( )6 6 6
02
0 0
3 31
1 31
−
= = = − =
−−
−
∫ ∫ ∫
pi 6
1
0
L
dx
=
cosx sinx cosx
d tg xdx ln tg x ln
tg xcos x tg x
pi pi
pi
•
( )
( )
3 3 3
33 8 2 34 4 44 4 4
d tg xdx dx
tg x cos x cos x . tg x tg x
pi pi pi
pi pi pi
= = =∫ ∫ ∫ ∫
pi 3
2 4 3 5
pi 4
dxL =
sin xcos x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 33 1 1 4 844
4
4
tg x d tg x 4 tg x 4 3 1 4 3 1
pi pi
−
pi
pi
 
= = = − = − ∫ 
• ( ) ( )
4 4 2
43 3
0 2 3
cos x sin x dx
cos xcos x sin x cos x
pi
=
+
∫ ∫
pi 4 2
3 3 3
0
sin xdxL =
cosx 2sin x + 3cos x
( ) ( )
( ) ( )
4 4 4 32 2
3 2 3 3
0 0 0
4
3
0
d 3 2 tg xtg x tg x 1dx d tg x
63 2 tg x cos x 3 2 tg x 3 2 tg x
1 1 1 5ln 3 2 tg x ln 5 ln 3 ln
6 6 6 3
pi pi pi
pi
+
= ⋅ = =
+ + +
= + = − =
∫ ∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 
173 
II. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
1. DẠNG 1: MẪU SỐ LÀ BIỂU THỨC THUẦN NHẤT CỦA SIN ( )∫ n
dx
sinx
• ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
3 3 6 3
11 2 2
42 8
2 2 2 2 2
x xtg d tgdx dx
x x x x xsin cos tg cos tg
+
= = =∫ ∫ ∫ ∫1 3
dxA =
sin x
( ) ( ) ( ) ( )
2 4
2
3 2
x x1 2 tg tg1 1 1 x 12 2 x xd tg 2ln tg tg c
2 24 4 2 2x xtg 2 tg
2 2
+ +  −
= = + + + 
 
  
∫ 
Cách 2: 
( )
( )
( )
( ) ( )[ ]1 3 4 2 22
d sin d d cos d cos
sin sin 1 cos 1 cos1 cos
x x x x xA
x x x xx
= = = − = −
+ −
−
∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 21 1 cos x 1 cos x 1 1 1d cos x d cos x
4 1 cos x 1 cos x 4 1 cos x 1 cos x
 − + + −  
= = +  + − − +  ∫ ∫
( ) ( )
( )
2 2 2 2
1 1 1 2 cos x 1 1 cos xd cos x ln c
4 2 1 cos x1 cos x 2sin x1 cos x 1 cos x
− − + 
= + + = − + 
−
−
− + 
∫ 
• ( ) ( ) ( )5 5 10
dx dx
=
x x x x2sin cos 32 tg cos
2 2 2 2
=∫ ∫ ∫2 5
dxA =
sin x
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4
2 2 4 6 8
5 5
2 4
4 2
x x x x x x1 tg d tg 1 4 tg 6 tg 4 tg tg1 12 2 2 2 2 2 xd tg
216 16x xtg tg
2 2
1 1 2 x 1x x6 ln tg 2 tg tg c
2 216 2 4x x4 tg tg
2 2
+ + + + +
= =
 −
= − + + + + 
 
  
∫ ∫
Cách 2: 2 5 6
dx sin x dxA
sin x sin x
= =∫ ∫
( )
( )
( )
( ) ( )3 32
d cos x d cos x
1 cos x 1 cos x1 cos x
= − = −
 + −
−  
∫ ∫ 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 31 1 cos x 1 cos x 1 1 1d cos x d cos x
8 1 cos x 1 cos x 8 1 cos x 1 cos x
 − + + −  
= = +  + − − +  ∫ ∫
( ) ( )
( )
( ) 12 2 2 42
1 1 1 3 d cos x cos x 3 A
8 2 44sin x2 1 cos x 2 1 cos x 1 cos x
 − −
= − + = −  
− +
− 
∫ 
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
174 
4 2 4 2
cos x 3 cos x 1 1 cos x cos x 3cos x 3 1 cos xln ln c
4 2 1 cos x 8 1 cos x4sin x 2sin x 4sin x 8sin x
 − − + − +
= − − = + + + 
− − 
• ( ) ( )2 12sin cos2 2 n
dx
x x
+
=∫ ∫3 2n+1
dxA =
sinx
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 n
2
2n 1 4n 2 2 n 2 n 1
2n 1
n 2n
0 1 2 n 2 2 n 2
2n 2 n 2n 2 n
2n 2n 1
x x1 tg d tgdx 1 2 2
2x x x2 tg cos tg
2 2 2
x x xC C tg ... C tg ... C tg1 2 2 2 xd tg
22 xtg
2
+ + +
+
+
+
= =
+ + + + +
=
∫ ∫
∫
 ( ) ( ) ( ) ( )
0 n 1 n 1 2n2 2n
n2n 2n 2n 2n
2n2n 2n 2
C C C C1 x x x
... C ln tg tg ... tg c
2 22 2 2n2 x x2n tg 2 tg
2 2
− + 
−
= − − + + + + + 
 
  
• ( ) ( )21 cotg cotg= − + =∫ ∫10 2n+2dxA = sin x
n
x d x 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k n0 1 2 k 2 n 2
n n n n
1 k n
2k 1 2n 10 3n n n
n
C C cotg x ... C cotg x ... C cotg x d cotg x
C C C
C cotg x cotg x ... cotg x ... cotg x c
3 2k 1 2n 1
+ +
 
= − + + + + + 
 
= − + + + + + + 
+ + 
∫
2. DẠNG 2: MẪU SỐ LÀ BIỂU THỨC THUẦN NHẤT CỦA COSIN ( )∫ n
dx
cos x
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 63
2
2
2
3 2
d
2 d d d
sinsin 2sin cos 8 tg cos2 2 2 2 2
1 tg d tg
2 21 1 1 12 ln tg tg ;
4 4 2 2 2 2
tg 2 tg
2 2
x
u u u
u u u u ux
u u
u u c u x
u u
pi+
= = = =
pi+
+
  pi−
= = + + + = + 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
1 3
dxB =
cos x
Cách 2: 
( )
( )
( )
( ) ( )[ ]4 2 22
cos d d sin d sin
cos 1 sin 1 sin1 sin
x x x x
x x xx
= = =
+ −
−
∫ ∫ ∫ ∫1 3
dxB =
cos x
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 21 1 sin 1 sin 1 1 1d sin d sin
4 1 sin 1 sin 4 1 sin 1 sin
x x
x x
x x x x
 + + −  
= = +  + − − +  ∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 
175 
( ) ( )
( )
2 2 2 2
1 1 1 2 sin 1 1 sind sin ln
4 2 1 sin1 sin 2cos1 sin 1 sin
x x
x c
xx xx x
+ 
= + + = + + 
−
−
− + 
∫ 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 1 2 12 1
2
2
2 1 4 2 2 2 1
2 1
d d d2
sinsin 2sin cos2 2 2
1 tg d tgd 1 2 2
22 tg cos tg
2 2 2
n n
n
n
n n n n
n
x
u u
u uux
u u
u
u u u
+ +
+
+ + +
+
pi+
= = =
pi+
+
= =
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
i 2 2n+1
dxB =
cos x
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 1 22 2
2 2 2 2
22 2 2
1
... ln tg tg ... tg
2 22 2 22 2 tg 2 tg
2 2
n n n n
nn n n n
nn n
C C C Cu u uC c
nu un
− + 
−
= − − + + + + + 
 
  
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
0 1 2 2 2
1
2 1 2 10 3
1 tg tg
tg ... tg ... tg tg
tg tg ... tg ... tg
3 2 1 2 1
n
k nk n
n n n n
k n
k nn n n
n
x d x
C C x C x C x d x
C C C
C x x x x c
k n
+ +
= + =
 
= + + + + + 
 
= + + + + + + 
+ + 
∫ ∫
∫
i 3 2n+2
dxB =
cos x
3. DẠNG 3: ( ) ( )∫ 2 2
dxC  ... 
2. Các bài tập mẫu minh họa: 
• ( )
−
∫1 2
7 sin x 5 cos xH = dx
3 sin x + 4 cos x
. 
Giả sử ( ) ( )7 5 3 4 3 4sin x cos x sin x cos x cos x sin x ; xα β− = + + − ∀ 
⇔ ( ) ( )7 5 3 4 4 3sin x cos x sin x cos x; xα β α β− = − + + ∀ 
13 4 7 5
434 3 5
5
αα β
α β β

=
− = 
⇔ ⇔ 
−+ = − = 

. Khi đó ta có: 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1 2 2 2
2
7sin x 5cos x 1 3sin x 4cos x 43 3cos x 4sin xH dx dx dx
5 53sin x 4cos x 3sin x 4cos x 3sin x 4cos x
1 dx 43 d 3sin x 4cos x 1 43J
5 3sin x 4cos x 5 5 5 3sin x 4cos x3sin x 4cos x
− + −
= = −
+ + +
+
= − = +
+ ++
∫ ∫ ∫
∫ ∫
3 4
dxJ
sin x cos x
=
+∫ ( )
( )
22 2
xd tgdx 22
x xx x x 6 tg 4 4 tgcos 6 tg 4 4 tg 2 22 2 2
= =
+ −+ −
∫ ∫ 
x2 tg 42 2ln c
x5 2 tg 1
2
−
−
= +
+
 ⇒ ( )1
x2 tg 42 432H ln c
x25 5 3sin x 4cos x2 tg 1
2
−
−
= + +
++
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 
( ) ( )1 22 2
2sin 5x 3cos5x 5sin 7x 4cos 7xH dx ; H dx
4cos5x 9cos5x 2sin 7x 3cos 7x
− +
= =
+ −
∫ ∫ 
9. DẠNG 9: 
( ) ( )
∫
2 2
a sin x + b sin x cos x + c cos xI = dx
m sin x + n cos x
a. Phương pháp: 
Giả sử: ( ) ( )2 2a sin x b sin x cos x c cos x+ + = 
 ( ) ( ) ( )2 2p sin x q cos x m sin x n cos x r sin x cos x , x= + + + + ∀ 
⇔ ( ) ( )2 2a sin x b sin x cos x c cos x+ + = 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2mp r sin x np mq sin x cos x nq r cos x ; x= + + + + + ∀ 
www.VNMATH.com
Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 
183 
⇔ 
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
a c m bnp
m n
mp r a mp r a
a c n bm
np mq b np mq b q
m n
nq r c mp nq a c
an cm bmn
r
m n
 − +
=
++ = + = 
 
− −  
+ = ⇔ + = ⇔ =  
+  
+ = − = −   
+ −
=
 +
. Khi đó ta có: 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
a c m bn a c n bm an cm bmn dxI sin x cosx dx
msin x ncosxm n m n m n
a c n bm a c m bn an cm bmn dx
sin x cosx
msin x ncosxm n m n m n
 − + − − + −
= + +  ++ + + 
− − − + + −
= − +
++ + +
∫ ∫
∫
b. Các bài tập mẫu minh họa: 
•
( )pi
∫
3 2
1
0
cos x dxI =
sin x + 3cos x
. 
Giả sử ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23cos x a sin x b cos x sin x cos x c sin x cos x ; x= + + + + ∀ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 3cos x a c sin x a b sin x cos x b c cos x ; x⇔ = + + + + + ∀ 
0 1 4
3 0 3 4
1 43 1
a c a
a b b
cb c
+ = = − 
 
⇔ + = ⇔ =

 = + = 
 ⇒ 
3 3
0 0
1 3 1 1 dxI cos x sin x dx
2 2 2 4 sin x 3 cos x
pi pi 
= − + 
  +∫ ∫
3 3
0 0
1 1 dx
cos cos x sin sin x dx
2 6 6 8
cos sin x sin cos x
3 3
pi pi
pi pi 
= − +  pi pi  +
∫ ∫ 
( )
33 3
0 0 0
1 1 dx 1 1 x
cos x dx sin x ln tg
2 6 8 2 6 8 2 6
sin x
3
1 1 1 1 1 1 1ln 3 ln 3 ln 3 1 ln 3
2 8 4 8 4 4 4
pipi pi
 pi pi pi     
= + + = + + +      
pi        + 
 
   
= + − − = + = +   
   
∫ ∫
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
184 
10. DẠNG 10: ( ) ( )∫ 2 2
m sin x + n cos xJ = dx
a sin x + 2b sin x cos x + c cos x
a. Phương pháp: 
•Gọi 1 2,λ λ là nghiệm của phương trình 0
a b
b c
− λ
=
− λ
⇔ ( )2 2 0a c ac bλ − + λ + − = ⇔ ( )
2 2
1 2
4
2,
a c a c b+ ± − +λ = 
Biến đổi ( ) ( )2 2 2 21 1 2 22a sin x b sin x cos x c cos x A A+ + = λ + λ = 
( ) ( )
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
1 1
b b
cos x sin x cos x sin x
a ab b
a a
λ λ   
= − + −   
− λ − λ   + +
− λ − λ
Đặt 1 2
1 2
b b
u cos x sin x ;u cos x sin x
a a
= − = −
− λ − λ
; 1 2
1 2
1 1k ;k
a a
= =
− λ − λ
( ) ( )1 1 2 22 2 2 2
1 2
1 1
1 1
A cos x bk sin x ; A cos x bk sin x
b k b k
= − = −
+ +
Để ý rằng 2 21 2 1A A+ = ⇒ ( ) ( )2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1A A A Aλ + λ = λ − λ + λ = λ − λ + λ 
•Giả sử 
1 2
b b
m sin x n cos x p sin x cos x q sin x cos x
a a
   
+ = + + +   
− λ − λ   
, ∀x 
⇔ 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 1
1 2
2 1 1 2
1 2
p q m
bm n a bm n a
p a ;q ap q n b b
a a b
+ =
− − λ − − λ
⇔ = − λ = − λ λ − λ λ − λ+ =
− λ − λ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 2 1 2 1
2 2 2 21 2
1 22 2
1 2 1 2 2 1 2 1
2
1 1
pdu qdumsin x ncos xJ dx
A Aa sin x b sin xcos x c cos x
dA dA
p b k q b k
A A
− −+
= = +
λ −λ +λ λ −λ +λ+ +
= − + − +
λ −λ +λ λ −λ +λ
∫ ∫ ∫
∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 
185 
b. Các bài tập mẫu minh họa: 
•
( )
−
∫1 2 2
sinx + cosx dxJ =
2sin x 4sinxcosx + 5cos x
1 2,λ λ là nghiệm của phương trình 
2 2
0
2 5
− λ −
=
− − λ
 ⇔ 1 21; 6λ = λ = 
( )
2
22 2 1 24 12sin x 4sin x cos x 5cos x cos x 2sin x cos x sin x
5 5 2
 
− + = + + − 
 
( ) 2 21 2 1 21 2 1A cos x 2sin x ; A cos x sin x ; A A 125 5
 
= + = − + = 
 
Giả sử ( ) ( )12 2sin x cos x p sin x cos x q sin x cos x+ = − + + 1 6p ;q5 5−⇔ = = 
⇒ ( ) ( )1 6 1sin x cos x sin x 2cos x sin x cos x25 5−+ = − + + 
( ) ( )
( )
( )
( )1 2 2 2 2
sin x cos x dx 3 2sin x cos x dx 1 sin x 2cos x dxJ
5 52sin x -4sin x cos x 5cos x 2cos x sin x 1 6 cos x 2sin x
+ + −
= = −
+
− + − +
∫ ∫ ∫ 
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
3 d sin x 2 cos x 1 d cos x 2sin x
5 5sin x 2cos x 1 6 cos x 2sin x
3 1 6 cos x 2sin x
arctg sin x 2 cos x ln c
5 10 6 6 cos x 2sin x
− +
= +
− + − +
+ +
= − + +
− −
∫ ∫
11. DẠNG 11: CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG HỢP 
• ( ) ( )∫1
dxK =
sin x + a sin x + b ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )
1 sin x a x b dx
sin a b sin x a sin x b
+ − +
=
− + +∫ (a ≠ b) 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 sin x a cos x b cos x a sin x b dx
sin a b sin x a sin x b
+ + − + +
=
− + +∫ 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1 sin x b
cotg x b cotg x a dx ln c
sin a b sin a b sin x a
+
 = + − + = + 
− − +∫ 
• ( ) ( )∫2
dxK =
cos x + a cos x + b ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )
1 sin x a x b dx
sin a b cos x a cos x b
+ − +
=
− + +∫ 
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
186 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 sin x a cos x b cos x a sin x b dx
sin a b cos x a cos x b
1 1 cos x b
tg x a tg x b dx ln c
sin a b sin a b cos x a
+ + − + +
=
− + +
+
 = + − + = + 
− − +
∫
∫
• ( ) ( )∫3
dxK =
sin x + a cos x + b ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )
1 cos x a x b dx
cos a b sin x a cos x b
+ − +
=
− + +∫ 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 cos x a cos x b sin x a sin x b dx
cos a b sin x a cos x b
1 1 sin x a
cotg x a tg x b dx ln c
cos a b cos a b cos x b
+ + + + +
=
− + +
+
 = + + + = + 
− − +
∫
∫
•
( )
( )
3 tg cos cos sindx dx
3 cos sin3 tg cos
x x x x
x xx x
+ +
= =
−
−
∫ ∫ ∫4
3 + tgxK = dx
3 - tgx
3
( ) ( )
( )
31 3 cos sin 3 sin cos 1 3 3 sin cos2 2 d d d
2 23 cos sin 3 cos sin
3 d 3 cos sin 3 ln 3 cos sin
2 2 2 23 cos sin
x x x x
x x
x x x
x x x x
x x x x
x x c
x x
− + + +
= = +
− −
−
= − = − − +
−
∫ ∫ ∫
∫
•
3 3
4 4
sin sindx dx
cos sin cos
x x
x x x
pi pi
pi pi
= =∫ ∫ ∫
pi 3
5
pi 4
K = tgxdx
3
4
1 2sin d
2 2sin cos
x
x
x x
pi
pi
= ∫ 
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3
4 4 4
1 cos sin cos sin 1 cos sin d cos sin dd
2 2sin cos 2 2sin cos 2sin cos
x x x x x x x x x x
x
x x x x x x
pi pi pi
pi pi pi
 + − − + −
= = − 
 
 
∫ ∫ ∫ 
( )
( )
( )
( )
3 3
2 2
4 4
1 d sin x cos x d sin x cos x
2 1 sin x cos x sin x cos x 1
pi pi
pi pi
 
− +
 = −
 
− − + − 
∫ ∫ 
( ) ( ) ( )
3
2
4
1
arcsin sin x cos x ln sin x cos x sin x cos x 1
2
pi
pi
 
= − − + + + −  
( ) ( ) ( )4 43 1 3 3 1 31 3 1 1 3 1arcsin ln ln 1 2 arcsin ln
2 22 2 2 2 4 2 2
   + +− −
   = − + + = −   +   
www.VNMATH.com
Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 
187 
• ( )
4 4
3 2 22 2 2 2
8 8
dx dx
1 3sin cossin cos 3sin cos x xx x x x
pi pi
pi pi
= =
−+ −
∫ ∫ ∫
pi 4
6 6 6
pi 8
dxK =
sin x + cos x
( )
( ) ( ) ( )4 4 12 2
4 2 4 224 2 28 8 2 1
1 tg x d tg xdx 1 u du
tg x tg x 1 u u 1cos x 1 tg x 3 tg x
pi pi
pi pi
−
+ +
= = =
  − + − ++ − 
∫ ∫ ∫ 
( )
( ) ( )
11 1 22
22 2 12 1 2 12
1 11 du d u
u 1 2 2 1u u
arctg arctg arctg 3 2
1 u 2 11u 1 u 1
u u
−
− −
 +
− 
− − 
= = = = = +
−+ −
− +
∫ ∫ 
•
12
16
cos 2 cos 6 cos 4 sin 8 dx
sin 4 sin 8 cos 4 cos8
x x x x
x x x x
pi
pi
=
+∫ ∫
pi 12
7
pi 16
cos2xcos6xK = dx
tg4x + cotg8x
( ) ( )
12 12
16 16
cos 2x cos 6x cos 4x sin 8x 1dx cos8x cos 4x sin 8x dx
cos 8x 4x 2
pi pi
pi pi
= = +
−
∫ ∫ 
( )
1212
1616
1 1 8 2 71 1 1
sin16 sin12 sin4 dx cos16 cos12 cos4
4 4 38416 12 4
x x x x x x
pipi
pipi
− − 
= + + = =+ + 
 ∫
• ( )
2 2
0 0
1 2 cos 1 2cos
sin dx d cos
1 3cos 1 3cos
x x
x x
x x
pi pi
+ +
= − = −
+ +∫ ∫ ∫
pi 2
8
0
sin2x + sinxK = dx
1 + 3cosx
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 0 0
11 3cos x2 2 1 d 1 3cos x2 d cos x 1 3cos x d 1 3cos x
3 9 91 3cos x 1 3cos x
pi pi pi+ +
− − +
= = + + −
+ +∫ ∫ ∫
( )
2
3 2
0
1 4 341 3cos x 2 1 3cos x
9 3 27
pi
−  
= + + + =  
 (Đề thi TSĐH khối A 2005) 
•
( ) ( ) ( )
2 22
0 0
1 cos 1 12 cos 2 1 cos cos
1 cos 1 cos
x d x x d x
x x
pi pi
− −  
= = − − 
+ + ∫ ∫ ∫
pi 2 2
9
0
sin x cos xK = 2 dx
1+cos x
( )
22
0
cos x2 cos x ln 1 cos x 2ln 2 1
2
pi
 
= − − + = − 
 
 (Đề thi TSĐH khối D 2005) 
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
188 
• ( ) ( ) ( )
6 6
0 0
dx dx2 2
cos sin cos2 cos cos
4
x x xx x
pi pi
= =
pi −+
∫ ∫ ∫
pi 6
10
0
dxK =
picosxcos x +
4
( )
( )6 6 6
2 0
0 0
d tg xdx 3 32 2 2 ln 1 tg x 2 ln
1 tg x 21 tg x cos x
pi pi
pi +
= = = − − =
−
−
∫ ∫ 
• ( ) ( )
4 4
2
0 0
dx 1 dx
2 2 sin2 1 cos 2 84
x
x
pi pi
= =
pi pi− +
− +  
∫ ∫ ∫
pi 4
11
0
dxK =
2 + sinx cosx
( )
( ) ( ) ( )
4 4
2 00
xd1 1 12 8 xcotg 1 2 1 1
2 8x2 2 2sin
2 8
pi pi
pi+
− −pi  = = + = − + = 
pi+
∫ 
• ( )
( ) ( )
( )
4 4
2 2
0 0
sin dx 1 cos sin cos sin dx
2sin cos sin cos
x x x x x
x x x x
pi pi
+ − −
= =
+ +
∫ ∫ ∫
pi 4
12
0
sinxdxK =
1 + sin2x
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
4 4 4 4
2 2
0 0 0 0
44 4
22
0 0 0
1 dx 1 d sinx cosx 1 dx 1 d sinx cosx
2 sinx cosx 2 22 2sinx cosx sinx cosxsin x 4
d cos x1 1 d sinx cosx 2 x 14 ln tg
2 2 8 2 sinx cosx2 2 2sinx cosxcos x 14
pi pi pi pi
pipi pi
+ +
= − = −
pi+ + ++
 pi+  + pi    
= − = + +  
pi + +  + −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
( ) ( )1 1 2 22 ln 2 1 2 ln 1 2
2 42 2
−
= − − − = + − 
• ( ) ( )
2 2
2
3 3
dx 1 sin dx
2sin cos 1 2 sin cos 1
x
x x x x
pi pi
pi pi
= =
− −
−
∫ ∫ ∫
pi 2
13
pi 3
dxK =
sin2x 2sinx
( )
( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 0 0 0
2 2 22
3 3 2 3 2 3 2
0
3 2
1 d cos x 1 1 u 1 u 1 du dudu
2 4 4 1 u1 cos x 1 cos x 1 u 1 u 1 u
1 1 1 u 1 2 3 1 1 3 2 3ln ln 2 3 ln 2 3
4 1 u 8 1 u 4 2 4 4 4
pi
pi
 + + −
= = = + 
 
−
− − + − − 
+ + + 
= + = − + − = − − 
− − 
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( )2 6 3
1 22 2 2 2
0 0
sin 2x dx sin x dxK , ab 0 ; K
3sin 4x sin 6x 3sin 2xa sin x b cos x
pi pi
= ≠ =
− −+
∫ ∫ 
www.VNMATH.com