Ôn thi Phương trình đạo hàm riêng

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
I. MỞ ĐẦU
Cho hàm với ta kí hiệu hay là đạo hàm riêng của u(x) theo biến còn là gradien của u(x), toán tử Laplace ma trận Hessian . Nếu u(x) là hàm 1 biến thì chính là và là 
Xét phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2
trong đó là các hàm cho trước, u(x) là hàm cần tìm. Xét ma trận , do nên ta có thể giả sử A(x) là ma trận vuông thực, đối xứng. Với mỗi cố định, ma trận có n giá trị riêng thực (tính cả bội), gọi lần lượt là số giá trị riêng dương, âm, bằng 0 (positive: dương, negative: âm, zezo: không), ta có . Phương trình (1.1) được gọi là thuộc loại
Elliptic tại nếu hoặc 
Parabolic tại nếu hoặc 
Hyperbolic tại nếu hoặc 
Khi tất cả các hệ số không phụ thuộc vào x thì có phép đổi biến y=y(x) đưa các phương trình trên về dạng chính tắc (không làm thay đổi phân loại ban đầu).
(E): 
(P): , chẳng hạn phương trình truyền nhiệt 
(H): , chẳng hạn phương trình truyền sóng .
Nghiệm cổ điểm (classical solution) của phương trình (1.1) thường được định nghĩa là hàm thoả mãn (1.1) với 
Với đa chỉ số (muliti index) bậc thì Riêng viết tắt là Du và xếp theo trật tự như đã biết còn được viết ở dạng ma trận Hessian. 
Ta đưa ra một số không gian hàm hay sử dụng sau đây.
	 liên tục trên 
	 liên tục đều trên với mọi .
	 ở bên ngoài một tập compact trong
	Giá của hàm liên tục Hàm u gọi là có giá compact trong nếu supp u là tập compact chứa trong . (Trong tập compact là ttập đóng và bị chặn). Một tập A được gọi là “chứa compact” trong B nếu và là tập compact, kí hiệu Kí hiệu là tập các hàm khả vi vô hạn lần và có giá compact trong .
	 chuẩn là không gian Banach. Nói riêng là không gian Hilbert với tích vô hướng Không gian đo được trên có chuẩn trong đó cận trên cốt yếu.
Ví dụ 1 Xét xem hàm có thuộc hay không.
Lời giải Ta có Ta xét đoạn bất kì Vì nên (Hoặc với mọi tập compact tồn tại 
Hàm đặc trưng 
Tích chập: Cho tích chập của f và g, kí hiệu là f*g, là hàm Ta có 
Ví dụ 2 Cho Chứng minh rằng 
Lời giải Có Và với nên . Ta thấy nếu Nếu Hàm h(x) liên tục trên đoạn , đặt ta có Do đó .
Ví dụ 3 Cho Chứng minh Kiểm tra xem f*g có thuộc hay không.
Lời giải Ta có Theo chứng minh trên Do với hay và f(x – y) = 0 khi lúc đó 
KHÁI NIỆM NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOẠI PARABOLIC VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI NGHIỆM CỔ ĐIỂN
Vài kí hiệu
Ta kí hiệu L là toán tử được xác định như sau
trong đó 
Với và là miền bị chặn trong ta kí hiệu 
	 ở gần 
Bài toán Cauchy
Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính dạng
với 
với điều kiện ban đầu các hàm cho trước.
Nghiệm cổ điển của bài toán Cauchy (1), (2) là hàm u mà và thỏa mãn đồng thời (1), (2).
Nghiệm suy rộng của bài toán (1), (2) trong không gian là hàm và thỏa mãn đồng nhất thức tích phân
Ví dụ 1
Xét phương trình với điều kiện ban đầu 
Ta thấy hàm là (một) nghiệm cổ điển của bài toán (4), (5).
Nghiệm suy rộng của bài toán (4), (5) trong không gian là hàm và thỏa mãn đồng nhất thức tích phân
Nhận xét
Đối với bài toán (1), (2) nếu có thêm điều kiện , thì mọi nghiệm cổ điển đều là nghiệm suy rộng, nhưng điều ngược lại không đúng, nghiệm suy rộng chưa chắc đã là nghiệm cổ điểm, vì nghiệm suy rộng là hàm u(x,t) chỉ đòi hỏi có đạo hàm suy rộng theo x đến cấp 1 thuộc , còn nghiệm cổ điển thì phải có đạo hàm theo x đến cấp 2 và theo t đến cấp 1 liên tục.
Bài toán biên ban đầu
Bài toán biên ban đầu thứ nhất
Ta xét phương trình với điều kiện ban đầu ở đó là các hàm cho trước, và điều kiện biên 
Nghiệm cổ điển của bài toán biên ban đầu thứ nhất (7), (8), (9) là hàm và thỏa mãn đồng thời (7), (8), (9).
Nghiệm suy rộng của bài toán (7), (8), (9) trong không gian là hàm và thỏa mãn đồng nhất thức tích phân
Ví dụ 2
Chẳng hạn phương trình với điều kiện ban đầu và diều kiện biên , hàm là (một) nghiệm cổ điển. Còn nghiệm suy rộng của bài toán (11), (12), (13) trong là hàm và thỏa mãn đồng nhất thức tích phân
với mọi 
Nhận xét
Đối với bài toán (7), (8), (9) nếu thêm điều kiện trơn từng khúc, thì mọi nghiệm cổ điển đều là nghiệm suy rộng, nhưng điều ngược lại không đúng, nghiệm suy rộng chưa chắc đã là nghiệm cổ điểm.
Ta sẽ chứng minh nhận xét này trong trường hợp 
Thật vậy, giả sử là một nghiệm cổ điển của bài toán (7), (8), (9) với điều kiện bổ sung . Vì lúc này nên u có đạo hàm cổ điển theo mọi biến đến cấp 2, theo biến t đến cấp 1 và các đạo hàm đó liên tục, trên cả và Vì là miền bị chặn trong nên là miền bị chặn trong , và compact trong . Do đó tồn tại số sao cho Ta thấy nên Ta thấy mọi đạo hàm cổ điển của u theo mọi biến đến cấp 2, theo biến t đến cấp 1, liên tục trên cả và , lập luận tương tự như trên suy ra các đạo hàm đó cũng thuộc . Mà các đạo hàm cổ điển này lại chính là đạo hàm suy rộng của u. Chứng tỏ các đạo hàm suy rộng đến cấp 1 của u là thuộc (17). Từ (15), (16), (17) suy ra Mặt khác trên Nên Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng u thỏa mãn (10) với mọi 
Nếu là hệ trực chuẩn trong , sao cho bao đóng tuyến tính của nó trong trùng với , và kí hiệu , thì ta có tính chất trù mật trong Do đó với mỗi tức là luôn tồn tại dãy hội tụ tới trong với (nếu tổng này là tổng hữu hạn thì ta coi với k đủ lớn). Vì , mà là bao đóng của trong nên trù mật trong , nghĩa là tồn tại dãy hội tụ tới khi trong Do trù mật trong , và nên tồn tại dãy hội tụ đến khi trong Khi đó Do u là nghiệm cổ điển của bài toán đang xét nên nó thỏa mãn (7). Nhân hai vế của (7) với rồi lấy tích phân hai vế ở trên ta được
Ta có Ta phân tích thành hợp của ba tập đôi một có giao là tập có thể tích 0 như sau mà u = 0 trên khi xét trên thì và là vectơ pháp tuyến ngoài của biên xét trên đáy trụ cho ta còn trên thì , ta thu được Tương tự 
Vì = 0 trên với là vectơ pháp tuyến ngoài của xét trên các đáy trụ nên Do đó ta thu được đẳng thức tích phân 
 Cho thì nên 
Lần lượt cho k = 1, 2, 3, , k0 rồi cộng k0 đẳng thức này lại, cho , mà , nên ta có
Cho thì ta thu được 
Nhưng nên 
Như vậy với mọi thì đẳng thức (10) được thỏa mãn với u là nghiệm cổ điển đang xét (19). Từ (18) và (19) chứng tỏ u là nghiệm suy rộng của bài toán (7), (8), (9).
Ta thấy rằng nghiệm suy rộng của bài toán (7), (8), (9) trong không gian là hàm , khi đó u có đạo hàm suy rộng theo x đến cấp 1, trong khi nghiệm cổ điển của bài toán này đòi hỏi phải có đạo hàm theo x đến cấp 2 và theo t đến cấp 1, do đó u chưa chắc đã là nghiệm cổ điểm của bài toán đó.
Bài toán biên ban đầu thứ hai và thứ ba
Ta xét phương trình (7) với điều kiện ban đầu (8) và điều kiện biên sau đây
 ở đó với là vectơ đơn vị ngoài tới mặt còn là hàm cho trước xác định trên Khi hoặc thì bài toán (7), (8), (20) tương ứng được gọi là bài toán biên ban đầu thứ hai hoặc thứ ba.
Nghiệm cổ điển của bài toán (7), (8), (20) là hàm u(x, t) mà và đồng thời thoả mãn (7), (8), (20).
Nghiệm suy rộng của bài toán trong là hàm thoả mãn đồng nhất thức tích phân
Tương tự như trên, với điều kiện trơn từng khúc, ta thấy mọi nghiệm cổ điển của bài toán (7), (8), (20) đều là nghiệm suy rộng của nó, nhưng điều ngược lại không đúng, nghiệm suy rộng của bài toán đó chưa chắc đã là nghiệm cổ điểm. Lúc này lưu ý
Ví dụ 3
Cho phương trình với điều kiện ban đầu Ta xét bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình này với điều kiện biên lúc này là Ta lưu ý rằng mà lúc này nên điều kiện biên (25) được viết lại thành 
Nghiệm cổ điển của bài toán đang xét là hàm u(x, t) thoả mãn 
Nghiệm suy rộng trong của bài toán là hàm sao cho