Ôn thi học sinh giỏi - Hàm số mũ và logarit

Hàm số mũ và logarit
Bài toán 1: Dùng công thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc hàm số logarit
 a-n = ; a0 = 1 ; ( m; n nguyeân döông , n > 1)
· Caùc quy taéc: 
 ax.ay = ax+y 	 (a.b)x =ax.bx
· Haøm soá muõ : y = vôùi a > 0 ; a ¹ 1 
TXĐ : D = R 	MGT : (0; +¥ )
 * a > 1 ; h/s ñoàng bieán : x1 > x2 Û > 
 * 0 x2 Û < 
* Hàm số logarit: 
a = logaN Û aa = N logax = b Û x= ab
· Ñaëc bieät : = x ; log = x ; loga1 = 0
· Caùc qui taéc bieán ñoåi : vôùi a , B , C > 0 ; a ¹ 1 ta coù:
	log(B.C) = logB + logC
log = logB - logC	log = logB
· Coâng thöùc ñoåi cô soá : vôùi a , b , c > 0 ; a , c ¹ 1 ta coù :
loga.logb = b Û 
0 < a, b ¹ 1 : logb = 
Chuù yù : log10x = lg x ; logx = ln x 
· Haøm soá Logarit: y = logx vôùi a > 0 ; a ¹ 1 
TXĐ : D = (0 ; +¥ )	MGT : R 
 * a > 1 ; h/s ñoàng bieán : x1 > x2 > 0 Û logx1 > logx2 
 * 0 x2 > 0 Û logx1 <logx2 
Bài toán 2: giải phương trình mũ và logarit :
· Daïng cô baûn:
* = Û f(x) = g(x) 
* = b ( vôùi b > 0 ) Û f(x) = logb
hoặc
* logf(x) = logg(x) Û
* daïng: Û f(x) = 
* = b Û 
· Ñaët aån phuï : 
* a. +b. + g = 0 ; Ñaët : t = Ñk t > 0
* a.+b.+ g = 0 ; Ñaët : t = Ñk t > 0
* a.+b.+ g = 0 vaø a.b = 1; Ñaët: t = ; =
* a.+b.+ g. = 0 ; Ñaët t = 
· Logarit hoaù hai veá :
Bài tập
1. §s: 
2. §s: x = 1, 
3. §s: 
4. §s: x = 2
5. 
6. 
7. §s: x = 3
8. §s: x = 2, 
9. §s: , 
10. §s: x = - 2, x = 2 
11. §s: x = 0, 
 I. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1/ NÕu hµm sè ®¬n ®iÖu vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ®o¹n sao cho th× .
NÕu hµm sè ®¬n ®iÖu vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ®o¹n sao cho th× .
Bài tập
 1. 	2. 
	3. 	3. 
4. 	5. 
 	6. 	7. 
 	8. 	9. 
 	10. 	11. 
12. 	13. 
14. 	15. 
 	16. 	17. 
 	18. 	19. 
 20. 	21. 
22. 	23. 
24. 	25. 
26. 	27. 
28. 	29. 
30. 	31. 
32. 	33. 
34. 	35. 
36. 	37. 
 38. 	39. 
40. 	41. 
 4. 	 	43 
 44. 	45. 
	46. 	47. 
2/NÕu hµm sè d­íi dÊu tÝch ph©n cã chøa c¨n d¹ng vµ (trong trong ®ã a lµ h»ng sè d­¬ng) mµ kh«ng cã c¸ch biÕn ®æi nµo kh¸c th× nªn ®æi sang c¸c hµm sè l­îng gi¸c ®Ó lµm mÊt c¨n thøc, cô thÓ lµ:
Víi , ®Æt 
 hoÆc .
Víi , ®Æt 
 hoÆc .
Víi , ®Æt 
 hoÆc .
Bài tập: H·y tÝnh c¸c tÝch sau: 
 a) b) c) 	 d) 
 e) f) g) h)
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
 Công thức tích phân từng phần : 
 Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
 @ Dạng 1 
 Đặt 
 @ Dạng 2: 
 Đặt 
@ Dạng 3: 
Đặt:
Bài tập
1) 2) 3) 4) 
 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 
 13) 	 14) 	 15) 16) 	 17) 18) 19) 	 20) 	
III.TÝch ph©n mét sè hµm sè th­êng gÆp
1. TÝch ph©n hµm sè ph©n thøc
a)TÝnh tÝch ph©n d¹ng tæng qu¸t sau:
 .
 (trong ®ã víi mäi )
XÐt .
 +)NÕu th× tÝnh ®­îc.
 +)NÕu th× ,
 (trong ®ã )
 .
 +) NÕu th× 
§Æt , ta tÝnh ®­îc I.
b) TÝnh tÝch ph©n: .
(trong ®ã liªn tôc trªn ®o¹n )
 +) B»ng ph­¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè, ta t×m A vµ B sao cho: 
 +)Ta cã I= 
 . TÝch ph©n = 
 TÝch ph©n tÝnh ®­îc.
 c) TÝnh tÝch ph©n víi P(x) vµ Q(x) lµ ®a thøc cña x.
NÕu bËc cña P(x) lín h¬n hoÆc b»ng bËc cña Q(x) th× dïng phÐp chia ®a thøc.
NÕu bËc cña P(x) nhá h¬n bËc cña Q(x) th× cã thÓ xÐt c¸c tr­êng hîp:
+ Khi Q(x) chØ cã nghiÖm ®¬n th× ®Æt
 .
+ Khi th× ®Æt
+ Khi víi a ¹ b th× ®Æt
.
Bài tập
a/ b/ c/ d/ 
	e/ 	 f/ g/ h/ 	
 i/ k/ l/ m/ 
IV.TÝch ph©n hµm v« tØ 
.D¹ng 1: BiÕn ®æi vÒ tÝch ph©n v« tØ c¬ b¶n
VÝ dô : TÝnh tÝch ph©n: .
.D¹ng 2: BiÕn ®æi vÒ tÝch ph©n hµm l­îng gi¸c
D¹ng 3: BiÕn ®æi lµm mÊt c¨n
 Gåm: §æi biÕn sè t lµ toµn bé c¨n thøc
 ViÕt biÓu thøc trong c¨n d­íi d¹ng b×nh ph­¬ng ®óng
VÝ dô :TÝnh 
Bài tập:
a/ b/ c/ d/ e/ f/
V. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1. 	2. 3. 4. 5. 6.