Dạng 2 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số CM bất đẳng thức.
Đưa bất đẳng thức về dạng f(x)>=M
Xét hàm số y=f(x)
Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng( ;a b) .
Dựa vào bảng biến thiên và kết luận.
hoặc Dạng 2 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số CM bất đẳng thức. Đưa bất đẳng thức về dạng , ;f x M x a b . Xét hàm số , ;y f x x a b . Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng ;a b . Dựa vào bảng biến thiên và kết luận. Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : sin t n 2 , 0; 2 x a x x x . Giải : Xét hàm số sin t n 2f x x a x x liên tục trên nửa khoảng 0; 2 . Ta có : 22 2 1 1 ' cos 2 cos 2 0, 0; 2cos cos f x x x x x x f x là hàm số đồng biến trên 0; 2 và 0 ,f x f 0; 2 x hay sin t n 2 , 0; 2 x a x x x (đpcm). Ví dụ 2 : Chứng minh rằng 1. sin , 0; 2 x x x 3 2. sin , (0; ) 3! 2 x x x x 2 4 3. cos 1 , (0; ) 2 24 2 x x x x 3 sin 4. cos , (0; ) 2 x x x x . Giải : hoặc 1. sin , 0; 2 x x x Xét hàm số ( ) sinf x x x liên tục trên đoạn 0; 2 x Ta có: '( ) cos 1 0 , 0; 2 f x x x ( )f x là hàm nghịch biến trên đoạn 0; 2 . Suy ra ( ) (0) 0 sin 0; 2 f x f x x x (đpcm). 3 2. sin , (0; ) 3! 2 x x x x Xét hàm số 3 ( ) sin 6 x f x x x liên tục trên nửa khoảng 0; 2 x . Ta có: 2 '( ) cos 1 "( ) sin 0 0; 2 2 x f x x f x x x x (theo câu 1) '( ) '(0) 0 0; ( ) (0) 0 0; 2 2 f x f x f x f x 3 sin , 0; 3! 2 x x x x (đpcm). 2 4 3. cos 1 , (0; ) 2 24 2 x x x x Xét hàm số 2 4 ( ) cos 1 2 24 x x g x x liên tục trên nửa khoảng 0; 2 x . hoặc Ta có: 3 '( ) sin 0 0; 6 2 x g x x x x (theo câu 2) ( ) (0) 0 0; 2 g x g x 2 4 cos 1 , 0; 2 24 2 x x x x (Đpcm). 3 sin 4. cos , (0; ) 2 x x x x . Theo kết quả câu 2, ta có: 3 sin , 0; 6 2 x x x x 332 2 2 4 6sin sin 1 1 1 6 6 2 12 216 x x x x x x x x x 3 2 4 4 2sin 1 (1 ) 2 24 24 9 x x x x x x Vì 32 2 4sin 0; 1 0 1 2 9 2 24 x x x x x x Mặt khác, theo câu 3: 2 4 1 cos , 0; 2 24 2 x x x x Suy ra 3 sin cos , 0; 2 x x x x (đpcm). Ví dụ 3 : Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 4 1 , 0; 2sin x x x Giải : Xét hàm số 2 2 1 1 ( ) sin f x x x liên tục trên nửa khoảng 0; 2 x . Ta có: 3 3 3 3 3 3 2 cos 2 2( cos sin ) '( ) sin sin x x x x f x x x x x . hoặc Theo kết quả câu 4 - ví dụ 2 , ta có: 3 sin cos , 0; 2 x x x x 3 3cos sin 0 , 0; '( ) 0 , 0; 2 2 x x x x f x x 2 4 ( ) 1 , 0; 2 2 f x f x Do vậy: 2 2 2 1 1 4 1 , 0; 2sin x x x (đpcm). Ví dụ 4 : Với 0 2 x . Chứng minh rằng 3 12.sin t n 22 2 2 xx a x . Giải : Ta có: 1 sin t n2.sin t n 2 sin t n 22 2 2. 2 .2 2.2 x a xx a x x a x Ta chứng minh: 1 3 sin t n 2 2 1 32 2 sin t n 2 2 x x a x x a x x 0; 2 x . Xét hàm số 1 3sin t n 2 2 x f x x a x liên tục trên nửa khoảng 0; 2 . Ta có: 3 2 2 2 , 1 3 2cos 3 cos 1cos 22.cos 2 cos x x f x x x x 2 2 (cos 1) (2 cos 1) 0 , [0; ) 22 cos x x x x . ( )f x đồng biến trên [0; ) 2 1 3 ( ) (0) 0 sin tan 2 2 f x f x x x , [0; ) 2 x (đpcm). hoặc Ví dụ 5 : Chứng minh rằng 1. 1 , xe x x 2 2. 1 , 0 2 x xe x x Giải : 1. 1 , xe x x Xét hàm số ( ) 1xf x e x liên tục trên . Ta có: '( ) 1 '( ) 0 0xf x e f x x Lập bảng biến thiên, ta thấy ( ) (0) 0 f x f x . 2 2. 1 , 0 2 x xe x x Xét hàm số 2 ( ) 1 2 x xf x e x liên tục trên nửa khoảng 0; Ta có: '( ) 1 0 xf x e x x (theo kết quả câu 1) ( ) (0) 0 0 f x f x đpcm. Ví dụ 6 : 1.Chứng minh rằng 21ln(1 ) 0 2 x x x x . 2.Tìm số thực a nhỏ nhất để bất đẳng thức sau đúng với 0x 2ln(1 )x x ax . Giải : 1.Chứng minh rằng 21ln(1 ) 0 2 x x x x (1). Xét hàm số 21( ) ln(1 ) 2 f x x x x liên tục trên nửa khoảng 0; . Ta có 21 '( ) 1 0, 0 1 1 x f x x x x x ( ) (0) 0 0 (1)f x f x đúng. hoặc 2.Tìm số thực a nhỏ nhất để BĐT sau đúng với 0x 2ln(1 )x x ax (2). Giả sử (5) đúng với 0x (2) đúng với 0x 2 ln(1 ) 0 x x a x x (3). Cho 0x , ta có: 2 ln(1 ) 1 1 2 2 x x a a x . Khi đó: 2 2 1 0 2 x x x ax x . Mà theo chứng minh ở câu 1 thì: 21ln(1 ) 0 2 x x x x , suy ra 2ln(1 ) 0x x ax x . Vậy 1 2 a là giá trị cần tìm. Ví dụ 7 : Tìm tất cả các giá trị của a để : 1 0 xa x x . Giải : Xét hàm số : ( ) 1 0xf x a x với 0x (*). Ta có: ( )f x là hàm liên tục trên [0; ) và có '( ) ln 1xf x a a . Nếu 0 1 ln 0 '( ) 0 0a a f x x f x nghịch biến. ( ) (0) 0 0f x f x mâu thuẫn với (*). 1a không thỏa yêu cầu bài toán. Nếu ln 1 1 0 0 ( )x xa e a a e x f x là hàm đồng biến trên [0; ) ( ) (0) 0 0f x f x a e thỏa yêu cầu bài toán. 1 a e , khi đó 0 '( ) 0 log (ln ) 0af x x x a và '( )f x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 0 x , dẫn đến 0 0 min ( ) ( ) x f x f x ( ) 0 0f x x 0 1 ( ) 0 log (ln ) 1 0 ln a f x a a hoặc ln(ln )1 1 0 ln ln a a a 1 ln(ln ) ln 0a a ln ln 0 ln ln 0 e a e a a e a a a (**). Xét hàm số ( ) lng a e a a với 1 a e , ta có: '( ) 1 0 (1; ) ( ) ( ) 0 (1; )eg a a e g a g e a e a mâu thuẫn với (**) 1 a e không thỏa yêu cầu bài toán. Vậy a e . Nghiên cứu kỹ hơn về dạng toán này ở chuyên đề “ Mũ – Logarit” BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. Cho hàm số 2 sin t n 3f x x a x x )a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 . )b Chứng minh rằng 2 sin t n 3x a x x với mọi 0; 2 x . 2. )a Chứng minh rằng t na x x với mọi 0; 2 x . )b Chứng minh rằng 3 t n 3 x a x x với mọi 0; 2 x . 3. Cho hàm số 4 t nf x x a x với mọi 0; 4 x )a Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn 0; 4 . )b Từ đó suy ra rằng 4 t nx a x với mọi 0; 4 x . 4. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau : )a sin x x với mọi 0x , sin x x với mọi 0x hoặc )b 2 cos 1 2 x x với mọi 0x )c 3 sin 6 x x x với mọi 0x , 3 sin 6 x x x với mọi 0x )d sin t n 2x a x x với mọi 0; 2 x Hướng dẫn : 1. )a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nữa khoảng 0; 2 Hàm số 2 sin tan 3f x x x x liên tục trên nửa khoảng 0; 2 và có đạo hàm 3 2 2 2 1 2cos 1 3cos ' 2 cos 3 cos cos x x f x x x x 2 2 1 cos 2 cos 1 ' 0, 0; 2cos x x f x x x Do đó hàm số 2 sin tan 3f x x x x đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 )b Chứng minh rằng 2 sin tan 3x x x với mọi 0; 2 x Hàm số 2 sin tan 3f x x x x đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 và 0 0, 0; 2 f x f x ; do đó 2 sin t n 3 0x a x x mọi 0; 2 x hay 2 sin t n 3x a x x với mọi 0; 2 x 2. hoặc )a Chứng minh rằng hàm số t nf x a x x đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 . Hàm số t nf x a x x liên tục trên nửa khoảng 0; 2 và có đạo hàm 22 1 ' 1 t n 0, 0; 2cos f x a x x x . Do đó hàm số t nf x a x x đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 và 0 0, 0; 2 f x f x hay tanx x . )b Chứng minh rằng 3 t n 3 x a x x với mọi 0; 2 x . Xét hàm số 3 t n 3 x g x a x x trên nửa khoảng 0; 2 . Hàm số 3 t n 3 x g x a x x liên tục trên nửa khoảng 0; 2 và có đạo hàm 2 2 22 1 ' 1 t n cos g x x a x x x ' t n t n 0, 0; 2 g x a x x a x x x câu )a Do đó hàm số 3 t n 3 x g x a x x đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 và 0 0, 0; 2 g x g x hay 3 t n 3 x a x x với mọi 0; 2 x . 3. )a Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn 0; 4 . hoặc Hàm số 4 t nf x x a x liên trục trên đoạn 0; 4 và có đạo hàm 22 4 1 4 ' t n , 0; , 4cos f x a x x x 4' 0 t nf x a x Vì 40 1 t n 4 a nên tồn tại một số duy nhất 0; 4 c sao cho 4t na c ' 0, 0;f x x c hàm số f x đồng biến trên đoạn 0;x c ' 0, ; 4 f x x c hàm số f x nghịch biến trên đoạn ; 4 x c )b Dễ thấy 4 40 ; 0; t n 0 t n 4 f x f c x x a x hay x a x với mọi 0; 4 x . 4. )a sin x x với mọi 0x . Hàm số sinf x x x liên tục trên nửa khoảng 0; 2 và có đạo hàm 2' 1 cos 2 sin 0, 0; 2 2 x f x x x . Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 và ta có hoặc 0 0, 0; 2 f x f x , tức là sin 0, 0; sin , 0; 2 2 x x x hay x x x . )b 2 cos 1 2 x x với mọi 0x Hàm số 2 cos 1 2 x f x x liên tục trên nửa khoảng 0; và có đạo hàm ' sin 0f x x x với mọi 0x ( theo câu a ). Do đó hàm số f x đồng biến trên nửa khoảng 0; và ta có 0 0, 0f x f x , tức là 2 cos 1 0, 0 2 x x x Với mọi 0x , ta có 2 2 cos 1 0, 0 cos 1 0, 0 2 2 x x x x hay x x Vậy 2 cos 1 2 x x với mọi 0x )c Hàm số 3 sin 6 x f x x x . Theo câu b thì ' 0, 0f x x . Do đó hàm số nghịch biến trên . Và 0 0 0 0 f x f khi x f x f khi x )d sin t n 2x a x x với mọi 0; 2 x Hàm số sin tan 2f x x x x liên tục trên nửa khoảng 0; 2 và có đạo hàm 22 2 1 1 ' cos 2 cos 2 0, 0; 2cos cos f x x x x x x . hoặc Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 và ta có 0 0, 0; 2 f x f x .
Tài liệu đính kèm: