Ôn thi ĐH – Phương pháp toạ độ trong không gian (Nguyễn Văn Xá)

16 
Ôn thi ðH – PP toạ ñộ trong không gian xa.nguyenvan@gmail.com 
4. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ðỘ TRONG KHÔNG GIAN 
1. Cho A(1;–2;3), B(–1;0;1), (P) x + y + z + 4 = 0. Tìm hình chiếu của A trên (P). Viết phương 
trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P), có bán kính ABR ,
6
= có tâm thuộc ñường thẳng AB. 
2. Cho x y 1 zd : , (P) : 2x y 2z 2 0.
2 1 1
−
= = − + − =
−
a) Viết PTMP chứa d và vuông góc với (P). b) Tìm M d∈ sao cho d(M, (P)) = MO. 
3. Cho (P): x +y + z – 3 = 0, (Q): x – y + z – 1 = 0. Viết PTMP (R) vuông góc với (P) và (Q), 
ñồng thời d(O, (R)) = 2. 
4. Cho 1 2
x 3 t x 2 y 1 z
: , : .
y z t 2 1 2
 = +
− −∆ ∆ = =
= =
 Tìm 1M ∈ ∆ sao cho 2d(M, ) 1.∆ = 
5. Cho A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; c; 0) (b, c > 0), mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Tìm b, c ñể 
1
(ABC) (P), d(O,(ABC)) .
3
⊥ = 
6. Cho x y 1 z: .
2 1 2
−∆ = = Tìm M Ox∈ sao cho d(M, ) OM.∆ = 
7. Viết PT mặt cầu tâm A(0;0;–2), cắt x 2 y 2 z 3:
2 3 2
+ − +∆ = = tại B, C sao cho BC = 8. 
8. Cho x 1 y z 2: , (P) : x 2y z 0, (P) C, M , MC 6.
2 1 1
− +∆ = = − + = ∆ ∩ = ∈ ∆ =
−
 Tính d(M, (P)). 
9. Cho 1∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x – 2y + z – 4 = 0, (Q): x + 2y – 2z + 4 = 0, và 
2
x 1 t
: y 2 t .
z 1 2t
 = +

∆ = +

= +

 Viết PTMP (R) chứa 1∆ và song song với 2.∆ Tìm ñiểm 2H ∈ ∆ sao cho 
khoảng cách từ H tới M(2; 1; 4) là nhỏ nhất. 
10. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ ñộ O. Biết 
A(2;0;0), B(0;1;0), S(0; 0;2 2), ñiểm M là trung ñiểm của SC, (ABM) SD N.∩ = Tính 
khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA, BM, và tính thể tích khối chóp S.ABMN. 
11. Cho x 1 y 3 z 3d : , (P) : 2x y 2z 9 0.
1 2 1
− + −
= = + − + = Tìm ñiểm I d∈ sao cho d(I, (P)) = 2. 
Viết PT ñường thẳng (P)∆ ⊂ , ∆ vuông góc và cắt d. 
12. Viết PTMP (P) chứa x 1 y z 2d :
2 1 2
− −
= = sao cho khoảng cách từ A(2;5;3) tới (P) lớn nhất. 
13. Lập phương trình ñường thẳng ñi qua A(–1;2–3), song song với (P): 6x – 2y –3z = 0, và cắt 
ñường thẳng x 1 y 1 z 3 .
3 2 5
− + −
= =
−
14. Viết PT mặt cầu ñi qua A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), có tâm thuộc (P): x + y + z – 2 = 0. 
15. Cho 1
x 1 y 2 z 1
d : ,
3 1 2
− + +
= =
−
 d2 là giao tuyến của (P): x + y – z– 2 = 0, (Q): x + 3y – 12 = 0. 
a) Chứng minh d1//d2 và viết PTMP (R) chứa cả d1, d2. 
b) (Oxz) cắt d1, d2 ở A, B. Tính diện tích tam giác OAB. 
16. Cho 2 2 2(P) : 2x y 2z 14 0, (S) : x y z 2x 4y 2z 3 0.− + − = + + − + + − = 
a) Viết PTMP (Q) chứa Ox và cắt (S) theo ñường tròn có bán kính bằng 3. 
b) Tìm ñiểm M thuộc (S) ñể khoảng cách từ M tới (P) là lớn nhất. 
17. Tìm toạ ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp ABC∆ và tính diện tích ABC∆ biết A(3;3;0), 
B(3;0;3), C(0;3;3). 
17 
Ôn thi ðH – PP toạ ñộ trong không gian xa.nguyenvan@gmail.com 
18. Cho A(–1;–1;1), (P): x + 2y + z – 4 = 0, 
x 1 t
d : y 1 2t.
z 1 3t
 = +

= +

= +

a) Viết phương trình ñường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của ñường thẳng d trên (P). 
b) Viết PT mặt cầu (S) tiếp xúc với (P), có tâm thuộc d, bán kính 4 6R .
3
= 
c) Tìm M d∈ sao cho tổng MA + MO ñạt nhỏ nhất. 
d) Viết PT mặt cầu (S’) tâm A tiếp xúc với ñường thẳng d. 
e) Gọi B, C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên Ox, Oy, Oz. Tìm ñiểm ñối xứng với 
ñiểm A qua mặt phẳng (BCD). 
19. Cho d là giao tuyến của (P) : 2x y 1 0, (Q) : x y z 1 0,+ + = − + − = và d’ là giao tuyến của 
 (P ') : 3x y z 3 0, (Q ') : 2x y 1 0.+ − + = − + = Chứng minh d, d’ ñồng phẳng và viết phương 
trình mặt phẳng (R) chứa d, d’. Tìm thể tích phần không gian giới hạn bởi (R) và ba mặt 
phẳng toạ ñộ. 
20. Cho 1 2
x 1 y 1 z 2 x 2 y 2 z
: , : , (P) : 2x y 5z 1 0.
2 3 1 1 5 2
+ − − − +∆ = = ∆ = = − − + =
−
a) Chứng minh 1 2,∆ ∆ chéo nhau và tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng này. 
b) Viết PT ñường thẳng d vuông góc với (P), ñồng thời cắt cả 1 2,∆ ∆ . 
21. Cho A(7;4;3), B(1;1;1), C(2;–1;2), D(–1;3;1). Tính khoảng cách giữa AB và CD. Viết 
phương trình ñường thẳng ∆ ñối xứng với ñường thẳng AB qua mặt phẳng (BCD). 
22. Viết PT ñường vuông góc chung của hai ñường thẳng 
x 3 t
x 1 y z 2
d : y 3t , : .
3 1 1
z 1 2t
 = +
 + −
= ∆ = =
−
= +

23. Viết phương trình ñường thẳng d nằm trong (P): y + 2z = 0 và cắt cả hai ñường thẳng 
 1 2
x 1 t x 2 t '
d : y t , d : y 4 2t ' .
z 4t z 1
 = − = −
 
= = + 
 
= =
 
 Viết phương trình ñường thẳng d’ song song với (P) và cắt 
d1, d2 ở A, B sao cho AB 21.= Tìm 1M d∈ ñể d(M,(P)) 5.= Tìm 2N d∈ ñể ñộ dài ñoạn 
ON ñạt giá trị lớn nhất. 
24. Cho A(1;1;3), x y z 1d : .
1 1 2
−
= =
−
 Tính khoảng cách từ A tới d. Tìm M d∈ ñể MOA∆ cân ở O. 
25. (Kiểm tra bài cũ – thời gian: 60 phút) 
1./ Khảo sát và vẽ ñồ thị 2x 1(C) : y .
1 x
+
=
−
 Tìm M (C)∈ ñể tổng khoảng cách từ M tới 2 ñường 
tiệm cận ñạt giá trị nhỏ nhất. 
2./ Giải bất phương trình 22
2
22
log (2 x 1)log x
.
log xlog (2 x 1)
+
≤
+
3./ Tính tích phân 
2
3
0
5 cos x 4 sin x
I dx.
(cos x sin x)
pi
−
=
+
∫ 
4./ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi O’ là tâm của hình vuông 
A’B’C’D’. Tính thể tích khối tứ diện A’O’BD.