Ôn thi Toán 12: Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương trình đường thẳng trong không gian 
91 
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: 
1. Véctơ ( )1 2 3; ;a a a a=
 là véc tơ chỉ phương (VTCP) của (∆) ⇔ (∆) // giá của a
 
2. Nhận xét: Nếu a
 là một VTCP của (∆) thì ka
 (k ≠ 0) cũng là VTCP của (∆) 
tức là (∆) có vô số VTCP. 
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
1. Phương trình tham số: Phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x0, y0, z0) 
và có VTCP ( )1 2 3; ;a a a a=
 : ( )
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t t
z z a t
= +

= + ∈

= +
 
2. Phương trình chính tắc: Phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x0, y0, z0) 
và có VTCP ( )1 2 3; ;a a a a=
 : 0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= = 
3. Phương trình tổng quát: Phương trình đường thẳng (∆) tổng quát là giao 
tuyến của hai mặt phẳng 1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =

+ + + =
 với 1 1 1 2 2 2: : : :A B C A B C≠ 
4. Phương trình đường thẳng (∆) đi qua 2 điểm M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2): 
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z
x x y y z z
− − −
= =
− − −
5. Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc: 
Cho (∆): 
( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
A x B y C z D
A x B y C z D
 α + + + =
 β + + + =
 ( 1 1 1 2 2 2: : : :A B C A B C≠ ) 
⇒VTPT của hai mặt phẳng là 
( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
, ,
, ,
n A B C
n A B C
 =


=




 ⇒ VTCP 1 2,a n n=   

 
 

Tìm điểm M0(x0, y0, z0) ∈ (α) ∩ (β) ⇒ 0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= = . 
Đặt tỉ số này bằng t suy ra dạng tham số. 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
92 
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: 
Cho (∆1) đi qua M1(x1; y1, z1) với VTCP ( )1 2 3, ,u a a a=
 , 
 (∆2) đi qua M2(x2; y2, z2) với VTCP là ( )1 2 3, ,v b b b=
 

 Nếu [ ] 1 2, 0u v M M⋅ ≠


 

 thì ( ) ( )1 2,∆ ∆ chéo nhau. 

 Nếu [ ] 1 2, 0u v M M⋅ =


 

 và 1 2 3 1 2 3: : : :a a a b b b≠ thì (∆1), (∆2) cắt nhau. 

 Nếu 
[ ] 1 2
1 2 3 1 2 3
, 0
: : : :
u v M M
a a a b b b

⋅ =

 =


 

 và hệ phương trình của
( )
( )
1
2
 ∆


∆
 vô nghiệm 
thì (∆1), (∆2) song song nhau. 

 Nếu 
[ ] 1 2
1 2 3 1 2 3
, 0
: : : :
u v M M
a a a b b b

⋅ =

 =


 

 và hệ phương trình của
( )
( )
1
2
 ∆


∆
 có nghiệm 
thì (∆1), (∆2) trùng nhau. 
2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng: 
Cho (∆) đi qua M0(x0; y0, z0) với VTCP ( ), ,u a b c=
 và mp(α): 
0Ax By Cz D+ + + = với VTPT ( ), ,n A B C=
 

 Nếu 0n u⋅ ≠
 
 0Aa Bb Cc⇔ + + ≠ thì (∆) cắt (α). 

 Nếu //n u
 
 : : : :a b c A B C⇔ = thì (∆) ⊥ (α). 

 Nếu ( )0
0n u
M
⋅ =

∉ α

 

 ⇔ 
0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =

+ + + ≠
 thì (∆) // (α). 

 Nếu ( )0
0n u
M
⋅ =

∈ α

 

 ⇔ 
0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =

+ + + =
 thì (∆) ⊂ (α). 
www.VNMATH.com
Phương trình đường thẳng trong không gian 
93 
IV. GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
1. Góc giữa 2 đường thẳng: 
Cho (∆1) đi qua M1(x1; y1, z1) với VTCP ( )1 2 3, ,u a a a=
 , 
(∆2) đi qua M2(x2; y2, z2) với VTCP là ( )1 2 3, ,v b b b=
 
Góc giữa ( ) ( )( ) [ ]1 2, 0,90∆ ∆ = ϕ∈ ° xác định bởi: 
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos
a b a b a bu v
u v a a a b b b
+ +
⋅ϕ = =
⋅ + + + +

 


 
 
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: 
Cho (∆) đi qua M0(x0; y0, z0) với VTCP ( ), ,u a b c=
 và mp(α): 
0Ax By Cz D+ + + = với VTPT ( ), ,n A B C=
 
Góc giữa ( ) ( )( ) [ ], 0,90∆ α = ϕ∈ ° xác định bởi: 
2 2 2 2 2 2
sin u n aA bB cC
u n a b c A B C
⋅ + +ϕ = =
⋅ + + + +

 


 
 
3. Góc giữa hai mặt phẳng: 
Góc giữa 2 mặt phẳng (α1): 1 1 1 1 0A x B y C z D+ + + = và (α2): 
2 2 2 2 0A x B y C z D+ + + = là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) thỏa mãn: 
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
.
cos
n n A A B B C C
n n A B C A B C
+ +
ϕ = =
+ + + +

 


 
 với 1 2,n n

 

 là 2 VTPT của (α1), (α2). 
V. KHOẢNG CÁCH 
1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng: 
Cho (∆) đi qua M0(x0; y0, z0) với VTCP ( ), ,u a b c=
 . Khoảng cách từ điểm 
M1(x1; y1, z1) đến đường thẳng (∆) là: ( )( ) 0 11 , u M Md M
u
 
⋅ ∆ =




 
2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: 
Cho (∆1) đi qua M1(x1; y1, z1) với VTCP ( )1 2 3, ,u a a a=
 , 
(∆2) đi qua M2(x2; y2, z2) với VTCP là ( )1 2 3, ,v b b b=
 
Giả sử ( ) ( )1 2,∆ ∆ chéo nhau, khi đó ( ) [ ][ ]
1 2
1 2
,( ),( )
,
u v M M
d
u v
⋅
∆ ∆ =


 


 
 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
94 
3. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng: 
Khoảng cách từ M0(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (α): 0Ax By Cz D+ + + = là: 
( ) 0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +
α =
+ +
VI. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
1. Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng 
Phương pháp: Giải hệ PT tạo bởi 
( )
( )
1
2
 ∆


∆
; 
( )
( )
 ∆

α
 hoặc sử dụng dấu hiệu nhận 
biết qua hệ thức của các véctơ 
Bài 1. Xét vị trí tương đối bằng 2 cách khác nhau: 
( ) ( )1 2
9
2 3 3 9 0
: 5 :
2 3 0
3
x t
x y z
y t
x y z
z t
=
 − − − = ∆ = ∆ 
− + + = 
= − +
; 
( ) ( )1 2
2 3 0 2 8 0
: :
2 3 0 8 0
x y y z
x y x z
− + = + − =  ∆ ∆ 
+ = + − =  
Bài 2. Xác định giao điểm của đường thẳng ( ) ( )
1 2
: 1
1
x t
y t t
z t
= +
∆ = − ∈

= +
 với mặt 
phẳng ( ) : 2 2 0x y zα + − − = 
Bài 3. Xác định giao điểm của đường thẳng ( )
2 0
:
2 1 0
x y z
x y z
+ + − =∆ 
+ − − =
 với mặt 
phẳng ( ) : 2 1 0x y zα + + − = 
Bài 4. Cho 3 đường thẳng: 
( ) ( ) ( )1 2 3
3 3 3 021 2: 1 , : , :
1 4 3 2 1 05
x t
x y zyx zy t
x y zz t
=
− + − =+ 
− −∆ = − ∆ = = ∆ 
− + + = = +
a. Xét vị trí tương đối của các cặp 2 đường thẳng với nhau. 
b. Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với (∆1), cắt (∆2) và (∆3) 
www.VNMATH.com
Phương trình đường thẳng trong không gian 
95 
2. Dạng 2: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên mặt phẳng (α) 
Phương pháp: 
Viết phương trình tham số của đường thẳng (∆) qua M và (∆) ⊥(α) 
Giao điểm H của (∆) và (α) là hình chiếu vuông góc của M lên (α) 
Bài 1. Tìm hình chiếu vuông góc của M(1; 2;−3) lên ( ) : 3 5 0x y zα + − + = 
3. Dạng 3: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng (α) 
Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (α). 
Giả sử M(x1, y1, z1), H(x0, y0, z0), khi đó điểm M’ đối xứng M qua (α) là 
( )0 1 0 1 0 12 , 2 , 2M x x y y z z′ − − − 
Bài 1. Xác định điểm đối xứng với điểm M(13; 2; 3) qua mặt phẳng (α): 
x + y – 3z + 5 = 0 
4. Dạng 4: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên đường thẳng (∆) 
Phương pháp 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua M và (α) ⊥ (∆). 
 Giao điểm H của (∆) và (α) là hình chiếu vuông góc của M lên (∆) 
Phương pháp 2: Viết PT tham số của (∆) ⇒ Tọa độ H theo tham số t. 
MH u⊥

 

 là véctơ chỉ phương của (∆). GPT 0MH u⋅ =

 

 ⇒ tham số t ⇒ Tọa độ H 
Bài 1. Xác định hình chiếu vuông góc của M(−1; −1; 1) lên đường thẳng (∆): 
{ }1 ; 2 ; 3 3x t y t z t= + = + = − − 
5. Dạng 5: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng (∆) 
Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (∆) 
Giả sử M(x1, y1, z1), H(x0, y0, z0), khi đó điểm M’ đối xứng M qua (∆) là 
( )0 1 0 1 0 12 , 2 , 2M x x y y z z′ − − − 
Bài 1. Xác định điểm đối xứng với điểm M(0; 2; −1) lên đường thẳng (∆): 
{ }1 ; 2 ; 3 3x t y t z t= + = + = − 
6. Dạng 6: 
Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng (∆) lên mặt phẳng (α) 
Phương pháp: 
TH1: (∆) ⊥ (α) ⇒ Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là điểm H≡ (∆) ∩ (α) 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
96 
TH2: (∆) ⊂ (α) ⇒ Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là đường thẳng (∆) 
TH3: (∆) không vuông góc với (α), (∆) ⊄ (α): 
C1: Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa (∆) và (β) ⊥ (α). 
 Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là đường thẳng (∆’) = (β) ∩ (α). 
C2: Lấy 2 điểm A, B phân biệt thuộc (∆). 
Xác định hình chiếu vuông góc của A, B lên (α) là H1, H2. 
 Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là đường thẳng (∆’) ≡ H1H2 
C3: Nếu (∆) cắt (α): Xác định A ≡ (∆) ∩ (α). Lấy M bất kì ∉ (∆) và M ≠ A. 
 Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên (α). 
Hình chiếu vuông góc của (∆) lên (α) là (∆’) ≡ AH 
Bài 1. Xác định hình chiếu vuông góc của (∆): 
5 4 2 5 0
2 2 0
x y z
x z
− − − =

+ − =
lên mặt phẳng (α): 2x – y + z – 1 = 0 
7. Dạng 7: Xác định hình chiếu song song của đường thẳng (∆1) lên (α) 
theo phương (∆2) cắt (α) 
Phương pháp: 
TH1: (∆1) // (∆2) ⇒ Hình chiếu song song của (∆1) lên (α) theo phương (∆2) là 
điểm H≡ (∆1) ∩ (α) 
TH2: (∆1) và (∆2) không song song: 
Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa (∆1) và // (∆2) 
 Hình chiếu song song của (∆1) lên (α) theo phương (∆2) là (∆) = (β) ∩ (α) 
Bài 1. Xác định hình chiếu song song của đt (∆1): 
7 1 0
2 1 0
x y z
x y z
+ − − =

+ + + =
 lên (α): 
2 2 3 0x y z− + − = theo phương (∆2): 11 22 1 3
yx z+− +
= = 
8. Dạng 8: VPT đường thẳng (∆) qua M và cắt (∆1), (∆2) với (∆1), (∆2) chéo 
nhau và không đi qua M 
Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M chứa (∆1) 
Nếu cho (∆1) dưới dạng tổng quát thì nên viết phương trình (α) dưới dạng chùm 
Nếu (∆1) dạng tham số thì lấy 2 điểm A, B ∈ (∆1) 
www.VNMATH.com
Phương trình đường thẳng trong không gian 
97 
⇒ Phương trình (α) qua 3 điểm A, B, M. 

 Nếu (α) // (∆2) thì bài toán vô nghiệm. Nếu (α) cắt (∆2) thì tìm N = (∆2) ∩ (α) 
 Nếu MN // (∆1) thì bài toán vô nghiệm, nếu MN cắt (∆1) suy ra đường thẳng 
cần tìm là (∆) ≡ MN. 
Phương pháp 2: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M chứa (∆1), 
mặt phẳng (β) qua M chứa (∆2) 

 Xét (∆) = (α) ∩ (β). Nếu (∆) cắt (∆1) và (∆2) thì đường thẳng (∆) là đường 
thẳng cần tìm. Nếu (∆) // (∆1) hoặc (∆2) thì bài toán vô nghiệm. 
Bài 1. VPT ĐT (∆) qua M(1; 3; 0) và (∆) cắt (∆1): 
2 0
2 5 0
y
x z
− =

− − =
 , 
(∆2): { }1 2 , 3 , 4x t y t z t= + = − = + 
9. Dạng 9: VPT đường thẳng (∆) cắt (∆1), (∆2) và song song với (∆3) 
Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa (∆1) và // (∆3), 
mặt phẳng (β) chứa (∆2) và // (∆3) 
Nếu (α) // (β) thì bài toán vô nghiệm. Nếu (α) cắt (β) thì xét (∆) = (α) ∩ (β). 
Nếu (∆) cắt (∆1) và (∆2) thì đường thẳng (∆) là đường thẳng cần tìm. 
Nếu (∆) // (∆1) hoặc (∆2) thì bài toán vô nghiệm. 
Phương pháp 2: Viết phương trình tham số của (∆1) theo t1, của (∆2) theo t2. 
Lấy M ∉ (∆1), N ∉(∆2) ⇒ Tọa độ M, N theo t1, t2. ⇒ MN


 theo t1, t2. 
Xác định t1, t2 sao cho MN // (∆3) ⇒ Đường thẳng (∆) cắt (∆1), (∆2) và song 
song với (∆3) là (∆) ≡ MN 
Phương pháp 3: Gọi M(x0, y0, z0) là giao điểm của (∆) và (∆1). 
(∆) nhận VTCP của (∆3) làm VTCP ⇒ Phương trình tham số của (∆) theo x0, y0, z0. 
(∆) cắt (∆2) suy ra hệ 
( )
( )2
 ∆
 ∆
 có nghiệm ⇒ x0, y0, z0. ⇒ Phương trình (∆) 
Bài 1. VPT đường thẳng (∆) cắt (∆1): 
2 0
2 5 0
y
x z
− =

− − =
, (∆2): 
{ }1 2 , 3 , 4x t y t z t= + = − = + và // với trục Oz. 
www.VNMATH. ... 1 2,MN MN⊥ ∆ ⊥ ∆ ⇒ 1 2,t t ⇒ MN. 
c. Phương pháp 2: Gọi 1 2,a a

 

 là VTCP của (∆1) và (∆2) 
⇒ Đường vuông góc chung (∆) có VTCP 1 2,a a a=   

 
 

Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa (∆1) và // (∆), mặt phẳng (β) chứa (∆2) 
và // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β). 
www.VNMATH.com
Phương trình đường thẳng trong không gian 
99 
Bài 1. Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8). 
Viết phương trình đường vuông góc chung của SB, OA. 
Bài 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của 
( )1 3 0: 1 0
x y z
y z
+ + − =∆ 
+ − =
 và ( )2 2 2 9 0: 1 0
x y z
y z
− − + =∆ 
− + =
Bài 3. Viết phương trình đường vuông góc chung của 
( )
1
1 1
1
1 2
: 2
3 3
x t
y t
z t
= +
∆ = +

= − +
 và ( )
2
2 2
2
2
: 3 2
1 3
x t
y t
z t
= +
∆ = − +

= +
Bài 4. VPT đường vuông góc chung của 
( )1 3 2 8 0: 5 2 12 0
x y
x z
− − =∆ 
+ − =
 và ( ) { }2 : 1 3 ; 3 2 ; 2x t y t z t∆ = − + = − − = − 
Bài 5. Cho ( )1
2
: 1
2
x t
y t
z t
= +
∆ = −

=
 và ( )2 2 2 0: 3 0
x z
y
+ − =∆ 
− =
. 
Viết phương trình mặt phẳng cách đều (∆1) và (∆2). 
12. Dạng 12: Các bài toán về khoảng cách 
12.1. Tính khoảng cách: 
Bài 1. Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến ( ) 11 1: 2 1 3
yx z+− −∆ = = 
Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;−1; 1). Tính khoảng cách từ A đến BC. 
Bài 3. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng 
 ( ) ( ) { }1 20: : 1 3 ; ; 24 0
x y
x t y t z t
x y z
+ =∆ ∆ = + = − = +
− + − =
Bài 4. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng 
 ( ) ( )1 2 2 021 3: , :1 2 3 2 3 5 0
x y zyx z
x y z
+ − =−
− −∆ = = ∆ 
− + − =
Bài 5. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng 
 ( ) ( )1 28 23 0 2 3 0: , :4 10 0 2 2 0
x z x z
y z y z
+ + = − − = ∆ ∆ 
− + = + + = 
Bài 6. Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (α): 2x + y + z – 1 = 0 
và (β):2x + y + z + 10 = 0. 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
100 
Bài 7. Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4). 
Tính khoảng cách từ D(−1; 5; 0) đến (ABC) 
12.2. Tìm điểm biết khoảng cách cho trước: 
Bài 1. Cho (α): x + 2y – 2z – 2 = 0. 
 Tìm M∈Oy sao cho khoảng cách từ M đến (α) bằng 4. 
Bài 2. Cho A(1;−2; 0). Tìm M∈Oz sao cho khoảng cách từ M đến 
 (α): 3x – 2y + 6z + 9 = 0 bằng MA. 
Bài 3. Cho (α): x + y + z + 5 = 0. 
 Tìm M∈(∆): 2 1 0
2 3 0
x y z
x y z
+ + − =

+ + + =
 sao cho ( )( ), 3d M α = . 
Bài 4. Cho (α): 12x – 16y + 15z + 1 = 0 và (β): 2x + 2y – z – 1 = 0. 
 Tìm M∈Ox cách đều (α) và (β) 
12.3. Các bài toán về tổng, hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất: 
a. Dạng 1: Cho 2 điểm ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , ; , ,A x y z B x y z . 
Tìm M∈(P): 0ax by cz d+ + + = để (MA + MB) min. 
Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng 
cách tính các đại lượng: 1 1 1 2 2 2;A Bt ax by cz d t ax by cz d= + + + = + + + 

 Nếu 0A Bt t < ⇔ A, B khác phía đối với (P). Gọi M0 ≡ (AB)∩ (P), khi đó 
MA + MB ≥ AB = M0A + M0B. 

 Nếu 0A Bt t > ⇔ A, B cùng phía đối với (P). Lấy A1 đối xứng A qua (P). 
Gọi M0 ≡ (A1B)∩ (P). Khi đó MA + MB = MA1 + MB ≥ A1B = M0A1 + M0B. 
b. Dạng 2: Cho 2 điểm ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , ; , ,A x y z B x y z . 
Tìm M∈(P): 0ax by cz d+ + + = để |MA – MB| max. 
Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng 
cách tính các đại lượng: 1 1 1 2 2 2;A Bt ax by cz d t ax by cz d= + + + = + + + 

 Nếu 0A Bt t > ⇔ A, B cùng phía đối với (P). Gọi M0 ≡ (AB)∩ (P), khi đó 
 |MA – MB| ≤ AB = | M0A – M0B|. 

 Nếu 0A Bt t < ⇔ A, B khác phía đối với (P) Lấy A1 đối xứng A qua (P). 
Gọi M0 ≡ (A1B)∩ (P).Khi đó |MA – MB| = |MA1 – MB| ≤ A1B = | M0A1 – M0B| 
www.VNMATH.com
Phương trình đường thẳng trong không gian 
101 
b. Dạng 3: Cho 2 điểm ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , ; , ,A x y z B x y z . 
Tìm M∈(∆) cho trước sao cho (MA + MB) min. 
Phương pháp: Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là hình chiếu tương ứng của 
các điểm A, B lên (∆). Gọi M0 là điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số 
0
0
' '
' '
M A AAk
M B BB
= = −

 


 
 . Ta chứng minh MA + MB ≥ M0A + M0B 
Thật vậy, gọi A1∈(P) = ((∆), B) sao cho A1 khác phía B so với (∆) và thỏa mãn 
( )
1
1
' '
'
A A AA
A A
=
 ⊥ ∆
 ⇒ 01
1 0
M AA A
B B M B
′′
=
′ ′




 
 ⇒ A1, M0 ,B thẳng hàng 
⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1B = M0A1 + M0B = M0A + M0B 
Bài 1. Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3). 
Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = 0 để (MA + MB) min;|MA – MB| max. 
Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5). 
Tìm M∈ mặt phẳng Oxy sao cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max. 
Bài 3. Cho A(1; 0; 2), B(2; −1; 3). 
Tìm M∈ ( ) : 2 4 0P x y z− + − = để (MA + MB) min; |MA – MB| max. 
Bài 4. Cho A(1; 3; −2), B(13; 7; −4). 
Tìm M∈ ( ) : 2 2 9 0P x y z− + − = để (MA + MB) min; |MA – MB| max. 
Bài 5. Cho A(1; 2;−1), ( )2 2; 2; 3B − − . 
Tìm M∈ ( ) 3 0:
5 0
x y z
y z
+ + − =∆ 
+ − =
 sao cho (MA + MB) min. 
Bài 6. Cho A(1; 1; 0), B(3;−1; 4). 
Tìm M∈ ( ) 11 2:
1 1 2
yx z−+ +∆ = =
−
 sao cho (MA + MB) min. 
Bài 7. Cho 
( )
( )
1;2; 1
7; 2;3
A
B
 −

−
Tìm M∈ ( ) 21 2: 3 2 2
yx z−+ −∆ = =
−
 sao cho (MA + MB) min. 
Bài 8. Cho A(2; 3; 0) và ( )0; 2;0B − . 
Tìm M∈ ( ) 2 0:
2 0
x y z
x y z
+ + − =∆ 
− + − =
 sao cho (MA + MB) min. 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
102 
13. Dạng 13: Các bài toán về góc 
Bài 1. Xác định góc giữa 2 mặt phẳng ( ) ( )1 2: 2 4 0, :2 1 0P x y z P x y z+ + + = + + + = 
Bài 2. Cho tứ diện ABCD với A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1). 
Tính góc của mỗi cặp cạnh đối của ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)). 
Bài 3. Cho ( )1 :3 2 0P x y z− − + = , ( )2 : 2 3 0P x y z+ + − = , 
( )3 : 3 2 1 0P x y z− + − + = . Gọi (∆) là giao tuyến của (P1) và (P2). 
Tính góc giữa (∆) với giao tuyến của (P1), (P3) và với mặt phẳng (P3). 
Bài 4. Cho ( )1 3 1 0: 3 5 0
x y
z y
− − =∆ 
− − =
 và ( )2
2
: 1
1
x t
y
z mt
= +
∆ = −

= +
. Tìm m để: 
a. Góc giữa (∆1) và (∆2) bằng 45° b. Góc giữa (∆1) và (∆2) bằng 60°. 
Khi đó tính góc giữa (P) với (∆2) biết rằng (P) ⊥ (∆1). 
Bài 5. Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), ( )1D ; 1;02− − . 
a. Tính góc giữa ((ABC); (ABD)) 
b. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng (AD) và (BC). 
14. Bài mẫu. Trong hệ Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( ) 21:
1 1 2
yx zd +− = =
−
1. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho: 
a) MA MB+

 

 nhỏ nhất; b) 2 2MA MB+ nhỏ nhất; 
c) MA MB+ nhỏ nhất d) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất 
2. VPT mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất. 
3. VPT mặt phẳng (Q) chứa (d) và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất. 
4. VPT mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất. 
5. Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng (d), viết phương 
trình các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất? nhỏ nhất? 
Giải 
1. ( )1 ; 2 ; 2M t t t d− − + ∈ ⇒ ( ) ( ); 6 ; 2 2 , 2 ; 4 ; 4 2MA t t t MB t t t= − − = − + − −
 
 
a. ( )2 2 ; 10 2 ; 6 4MA MB t t t+ = − + − −
 
 . Suy ra ( ) 224 2 44MA MB t+ = − +
 
 
Do đó MA MB+

 

 nhỏ nhất khi t = 2 và lúc đó ( )1; 0; 4M − 
www.VNMATH.com
Phương trình đường thẳng trong không gian 
103 
b. Ta có 2 2MA MB+ = ( )2212 48 76 12 2 28t t t− + = − + 
Vậy 2 2MA MB+ nhỏ nhất khi 2t = và khi đó ( )1; 0; 4M − 
c. Ta sẽ xác định hình chiếu 1 1,A B của hai điểm A, B lên đường thẳng (d) 
( ) ( )2 2 15 102 12 3 10 20 min ; ;3 3 3 3MA t t t M A= − + ⇔ = ⇔ ≡ − − với ( )1AA d⊥ 
( ) ( )2 2 17 4 1 142 3 14 18 min ; ;3 3 3 3MB t t t M B= − + ⇔ = ⇔ ≡ − với ( )1BB d⊥ 
1 1
1 1210 ; 303 3AA BB= = . Điểm M cần tìm là điểm chia đoạn 1 1A B theo tỉ 
số 1
1
7
AA
k
BB
= − = − nên tọa độ của M là 
( )
( ) ( )
2 1 2 7 10 14 71; ;33 1 7 3 1 7
 
− +
−
−  + + 
d. ( ) ( ) ( ); 6 ; 2 2 ; 2; 2; 2 ; ; 6 16; 2 4; 4 12AM t t t AB AM AB t t t − − + − + − − = − − + − 

 
 
 

( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1; 6 16 2 4 4 12 56 304 4162 2 2AMBS AM AB t t t t t = = − + − + + − = − + 

 

Dễ thấy AMBS nhỏ nhất khi 
304 19
112 7t = = , khi đó ( )5 3812 ; ;7 7 7M − . 
2. PT tổng quát của (d) là
1 0
2 4 0
x y
y z
+ + =

− + =
. Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 
(d) nên (P) có phương trình ( ) ( )1 2 4 0a x y b y z+ + + − + = với 2 2 0a b+ ≠
• Nếu 0a = thì (P): 2 4 0y z− + = . Khi đó ( )( )
( )22
2.4 2 4 10; 2 5
52 1
d A P − += = =
+ −
• Nếu 0a ≠ thì có thể giả sử 1a = . Khi đó ( ) ( ): 1 2 1 4 0P x b y bz b+ + − + + = . 
Suy ra ( )( )
2
2 5 3;
5 4 2
bd A P
b b
+
=
+ +
. Xét hàm số ( ) ( )
2
2
5 3
5 4 2
bf b
b b
+
=
+ +
. 
Ta có ( ) ( )
2
22
50 10 24 340 5 55 4 2
b bf b b b
b b
− + +
′ = = ⇔ = ∨ = −
+ +
Do ( ) ( ) ( )35 34 ; 0 ; lim 55 6 5 bf f f b→∞= − = = nên ( )( );d A P lớn nhất bằng 352 6 . 
Kết luận: So sánh hai trường hợp ta có ( )( ) 35Max ; 2 6d A P = khi 45b = , lúc đó 
phương trình (P) có dạng 13 4 21 05 5 5x y z+ − + = , hay ( ) :5 13 4 21 0P x y z+ − + = 
3. Do (Q) chứa (d) nên PT (Q): ( ) ( )1 2 4 0a x y b y z+ + + − + = với 2 2 0a b+ ≠ . 
Mặt phẳng (xOy) có phương trình 0z = 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
104 
• Nếu 0a = thì (Q): 2 4 0y z− + = và khi đó 1cos
5
α = . 
• Nếu 0a ≠ ta có thể giả sử 1a = . Khi đó (Q): ( )1 2 1 4 0x b y bz b+ + − + + = . 
 Từ đó 
2
cos
5 4 2
b
b b
α =
+ +
. Xét hàm số ( ) 2 22 cos5 4 2
bg b
b b
= = α
+ +
. 
Ta có ( ) ( )
2
22
4 4 0 0 1
5 4 2
b bg b b b
b b
+
′ = = ⇔ = ∨ = −
+ +
Do ( ) ( ) ( )1 10 0; 1 ; lim3 5bg g g b→∞= − = = nên cos α lớn nhất bằng 
1
3 khi 1b = − 
Kết luận: So sánh hai trường hợp trên ta thấy cos α lớn nhất hay (Q) tạo với 
mặt phẳng (xOy) góc nhỏ nhất khi 1b = − . Lúc đó (Q) 3 0x y z− + − = 
4. PT (R): ( ) ( )1 2 4 0a x y b y z+ + + − + = . Trục Oz có VTCP là ( )0; 1; 0v
 
Nếu 0a = thì (R): 2 4 0y z− + = thì β = ((Q), Oy) thỏa mãn 2sin
5
β = . 
Nếu 0a ≠
ta có thể giả sử 1a = . Khi đó (R): ( )1 2 1 4 0x b y bz b+ + − + + = 
Khi đó 
2
1 2
sin
5 4 2
b
b b
+β =
+ +
. Xét hàm số ( ) 2 224 4 1 sin5 4 2
b bh b
b b
+ +
= = β
+ +
. 
Ta có ( ) ( )
2
22
4 6 4 10 2
25 4 2
b bh b b b
b b
− + +
′ = = ⇔ = ∨ = −
+ +
. 
Do ( ) ( ) ( )5 1 42 ; 0 ; lim6 2 5bh h h b→±∞= − = = nên sin β lớn nhất bằng 56 , khi 2b = . 
Kết luận: So sánh hai trường hợp ta thấy sin β lớn nhất khi 2b = . Khi đó mặt 
phẳng (R) có phương trình 5 2 9 0x y z+ − + = . 
5. Giả sử 2d là đường thẳng bất kì đi qua A và cắt d tại ( )1 ; 2 ; 2M t t t− − + . 
Khi đó ( ) 2 22 22
; 56 304 416 28 152 208;
3 10 206 20 40
AM AB t t t td B d
t tAM t t
  
− +
− +
= = =
− +
− +

 


 
Xét ( ) 2228 152 2083 10 20
t tu t
t t
− +
=
− +
. Ta có ( ) ( )( )
2
22
16 11 8 60 0 2
3 10 20
t t
u t t
t t
− −
′ = = ⇔ = −
− +
; 3011t = . 
Do ( ) ( ) ( )30 2842 48; ; lim11 35 3bu u u t→∞− = = = nên khoảng cách từ B đến 2d lớn 
nhất bằng 48 khi 2t = − và nhỏ nhất bằng 435 khi 
30
11t = . Khi đó 2d tương ứng 
có phương trình là 2
41 2: 1 4 3
yx zd −− −= =
− −
 và 2
41 2: 15 18 19
yx zd −− −= =
−
www.VNMATH.com