Ôn thi Đại học về Nhận dạng tam giác

NHẬN DẠNG TAM GIÁC
I.TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC
Bài 1 : Tính các góc của nếu :
                   (*)
Giải
Do 
Nên 
Bài 2 : Tính các góc của biết :
                (*)
Giải
Ta có : 
Bài 3: Chứng minh có nếu :
                   (*)
Giải
Ta có 
Bài 4 : Tính các góc của biết số đo 3 góc tạo cấp số cộng và 
Giải
Không làm mất tính chất tổng quát của bài toán giả sử 
Ta có : A,B,C tạo 1 cấp số cộng nên   
Mà    :   nên 
Lúc đó : 
Do nên có :
 Bài 5 : Tính các góc của nếu 
Giải
Áp dụng định lí hàm cosin : 
Do (1) : nên 
Di đó  : 
   Vậy            (*)
Mặt khác : 
                    Mà   do (2)
Dấu "=" tại (2) xảy ra 
Bài 6 : (Đề thi tuyển sinh đại học khối A,năm 2004)
Cho không tù thỏa điều kiện
               (*)
Tính ba góc của 
*Cách 1 : Đặt 
Ta có : 
Do và 
Nên 
Mặt khác : không tù nên 
Do đó :    
         Do giả thiết (*) ta có M=0
Vậy :   
Cách 2 :  
Do không tù nên và 
Vậy vế trái của (*) luôn 
Dấu "=" xảy ra 
Bài 7: Chứng minh có ít nhất 1 góc khi và chỉ khi 
                     (*)
Giải
Ta có :
Bài 8
Cho và .Chứng minh :
a/ Nếu thì có một góc vuông
b/ Nếu thì có ba góc nhọn
c/ Nếu thì có một góc tù
Giải
Ta có : 
Do đó :
a/ 
tại A hay tại B hay tại C
b/ 
  có ba góc nhọn
 (Vì trong 1 tam giác không thể có nhiều hơn một góc tù nên không có trường hợp có 2 cos cùng âm )
 c/ 
  có một góc tù.
II.TAM GIÁC VUÔNG
Bài 9 : Cho có 
Chứng minh vuông
Giải
Ta có :  
vuông tại A hay vuông tại C.
Bài 10 : Chứng minh vuông tại A nếu 
Giải
Ta có :  
vuông tại A.
Bài 11 : Cho có :
              (*)
Giải :
Ta có : 
Bài 12: Chứng minh vuông nếu :
Giải
Do bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có :
và 
nên : 
Dấu "=" xảy ra 
vuông tại A.
Bài 13 : cho có : 
Chứng minh vuông
Ta có : 
hay      (*)
(Do nên 
Mà .Vậy (*) vô nghiệm)
Do đó 
III.TAM GIÁC CÂN
Bài 14 : Chứng minh nếu có    thì là tam giác cân.
Giải
Ta có : 
cân tại C.
Bài 15 : Chứng minh cân nếu  :
Giải :
Ta có : 
(do và )
  (vì )
cân tại C.
Bài 16 : Chứng minh cân nếu :
              (*)
Giải
Ta có :
Vậy cân tại C.
Bài 17 : Chứng minh cân nếu :
Giải
Ta có : 
cân tại C.
IV.NHẬN DẠNG TAM GIÁC
Bài 18 : Cho thỏa : 
Chứng mih vuông hay cân.
Giải
Do định lý hàm sin : 
Nên 
Vậy vuông hay cân tại C.
Cách khác :
Bài 19 : là tam giác gì nếu 
Giải
Ta có : 
  (do và )
Vậy cân tại C hay .
Bài 20  : là ta giác gì nếu :
Giải
Ta có :
Thay vào (2) ta được 
 Do đó vuông cân tại C.
 V.TAM GIÁC ĐỀU
  Bài 21 : Chứng minh đều nếu :
Ta có : 
Do và 
   và 
Nên vế trái của (1) luôn     
Do đó , (1) 
đều
Bài 22 : Chứng minh đều nếu 
Giải
Ta có : 
  (do đl hàm cosin )
Ta có : 
do (1) ta có 
Vậy từ (1),(2) ta có đều
Bài 23 : Chứng minh đều nếu :
Giải
Ta có :         (1)
Dấu "=" xảy ra khi : 
Tương tự :      (2)
Dấu bằng xảy ra khi 
Tương tự :      (3)
Dấu "=" xảy ra khi : 
Từ (1), (2), (3) ta có : 
Dấu "=" xảy ra 
đều
Bài 24 : Cho có :
                (*)
Chứng minh đều.
Giải
Ta có : 
Mà : 
Do đó, với điều kiện không vuông ta có 
đều
Bài 25 : Chứng minh đều nếu :
               (*)
Giải :
Ta có : 
Cách 1 : 
   (do bđt Cauchy)
Do đó vế trái :     (1)
Mà vế phải :       (2)
Từ (1) và (2) ta có 
đều
Cách 2 : Ta có : 
Do bất đẳng thức Cauchy ta có 
Do đó : 
Dấu = xảy ra đều.
Bài 26 : Chứng minh đều nếu    
        (*)
Giải 
Ta có : 
Tương tự :      (2)
                (3)
Từ (1), (2), (3) ta có 
Do đó dấu "=" tại (*) xảy ra 
đều.
                                     BÀI TẬP
1.Tính các góc của biết :
a/          (ĐS : )
b/           (ĐS  : )
c/ 
2.Tính góc C của biết :
a/ 
b/ 
3.Cho có : 
Chứng minh có ít nhất một góc 
4.Biết .Chứng minh
a/ thì vuông
b/ thì nhọn
c/ thì tù.
5.Chứng minh vuông nếu :
a/ 
b/ 
c/ 
d/ 
6.Chứng minh cân nếu :
a/ 
b/ 
c/ 
d/ 
e/ 
f/ 
7. là gì nếu :
a/ 
b/ 
c/ 
d/ 
8.Chứng minh đều nếu 
a/ 
b/ 
c/ 
d/ với là 3 đường trung tuyến.