Ôn thi đại học môn Toán cấp tốc theo chủ đề

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC SỐ 1 VIỆT NAM TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG II
Địa chỉ :Yên Trung – Yên Phong - Bắc Ninh
ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CẤP TỐC THEO CHỦ ĐỀ
I. PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm):
Câu 1 (2 điểm):
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)
Câu 2 (2 điểm):
- Phương trình, bất phưong trình; hệ phương trình đại số
- Công thức lượng giác, phương trình lượng giác
Câu 3 (1 điểm):
- Tìm giới hạn
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay
Câu 4 (1 điểm):
- Hình học không gian (tổng hợp): Quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể tích của khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu 5 (1 điểm):
- Bài toán tổng hợp
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu 6.a (2 điểm):
- Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian:
+ Xác định toạ độ của điểm, vectơ
+ Đường tròn, elip, mặt cầu.
+ Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng
+ Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 6.a (1 điểm):
- Số phức
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.
- Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu 5.b (2 điểm):
- Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian:
+ Xác định toạ độ của điểm, vectơ
+ Đường tròn, ba đường cônic, mặt cầu.
+ Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng
+ Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 6.b (1 điểm):
- Số phức
 	- Đồ thị của hàm phân thức hữu tỷ dạng y = và một số yếu tố liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đường cong
- Hệ phương trình mũ và lôgarit
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.
- Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số
Phần thứ nhất:
NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ THEO CÁC CHUYÊN ĐỀ
----------------------
1. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1. Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
	Số giao điểm của hai đường (C1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của (C1), (C2): f(x) = g(x) (1)
2. Sự tiếp xúc của hai đường cong:
	Hai đường cong (C1), (C2) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau có nghiệm: 
Viết PTTT của đồ thị (C) hàm số y =f(x)	
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M0(x0;y0) Î (C).
	Tìm các thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào y – y0 = f’(x0) 
Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )
	 	 - Lập phương trình f’(x) = k Þ .. Þ x = x0 ( hoành độ tiếp điểm)	
 	 - Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0. ta có kết quả
Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(xA;yA)
	- Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)	(1)
	- (d) là tiếp tuyến của (C) khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:
	- Giải pttìm x và thay vào (*) tìm k , thay vào (1) ta có kết quả.
2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
	1) Dạng cơ bản: 
	2) Tổng quát:
	- Phương pháp chung là bình phương, lập phương hai vế của phương trình đã cho để khử dấu căn, sau khi đã đặt điều kiện cho phương trình mới tương đương với hệ đã cho.
	- Nếu phép bình phương, lập phương dẫn đến phương trình bậc cao, phức tạp thì ta tìm cách biến đổi thành tích hoặc dùng ẩn phụ.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Các kiến thức cần nhớ:
	1) Dạng cơ bản: 
	2) Tổng quát:
	- Phương pháp chung là bình phương hai vế của bất phương trình đã cho để khử dấu căn, đôi khi phải dùng ẩn số phụ trước khi bình phương.
	- Một số ít bài có thể dùng tính đơn điệu
	- Lưu ý: Xét các trường hợp về dấu của hai vế có thể thỏa mãn trước khi bình phương
3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Hệ phương trình đối xứng
1) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2) Hệ phương trình đối xứng loại 1:
	- Dạng: trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức đối xứng theo x và y
	- Cách giải: Dùng ẩn phụ S = x + y, P = xy (điều kiện: S2 - 4P 
	- Chú ý:	+ Đôi khi phải sử dụng ẩn phụ trước khi tiến hành đặt S, P
	+ Do tính đối xứng nên nếu (x , y) là nghiệm thì (y , x) cũng là nghiệm.
3) Hệ phương trình đối xứng loại 2:
	- Dạng: (hoán vị vai trò của x và y thì phương trình này thành phương trình kia)
	- Cách giải: 	+ Trừ vế theo vế ta được một phương trình có thể phân tích thành (x - y)g(x,y) = 0
	+ Khi đó hệ phương trình đã tương đương với: 
- Lưu ý: (II) tương đương với (Hệ đối xứng loại 1)
Hệ phương trình đẳng cấp
	- Dạng: trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức đẳng cấp cùng bậc (tổng số mũ của x và y trong cùng một hạng tử bằng nhau)
	- Cách giải: 	+ Giải hệ với x = 0 (hoặc y = 0)
	+ Với x khác 0 (hoặc y khác 0), đặt y = tx (hoặc x = tx)
	Ta được hệ phương trình 2 ẩn x và t.
	+ Khử x, ta được phương trình 1 ẩn t.
Hệ phương trình mũ, lôgarit
	Phương pháp chung thường hay được sử dụng là: Biến đổi với các tính chất tương ứng, sau đó dưa về hệ phương trình đại số (có thể phải qua bước dùng ẩn phụ).
	Để ý: Trong hai phương trình của một hệ thường có một phương trình có thể giúp chúng ta rút được một ẩn theo ẩn kia để thế vào phương trình còn lại.
Hệ phương trình khác
	Dùng phương pháp biến đổi tương đương, đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình đơn giản hơn. Thường ta dùng các phép biến đổi sau:
	1) Nếu biểu thị một ẩn theo các ẩn còn lại thì dùng phương pháp thế
	2) Nếu biến được một phương trình của hệ thành tích thì ta phân tích hệ thành nhiều hệ đơn giản hơn.
	3) Nếu biến đổi hệ thành những biểu thức đồng dạng thì đặt ẩn phụ.
4. LƯỢNG GIÁC
Các công thức biến đổi:
1) Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt:
* Cung đối nhau:
cos(-x)	= cosx;	sin(-x)	= -sinx;	tg(-x) = - tgx;	cotg(-x) = - cotgx
	* Cung bù nhau:
	 cos( - x) = - cosx	sin( - x) = sinx	tg( - x) = - tgx	cotg( - x) = -cotgx
	* Cung phụ nhau:
	 cos() = sinx	sin() = cosx	tg() = cotgx	cotg() = tgx
	* Cung hơn kém nhau :
 cos(+ x) = - cosx	sin( + x) = - sinx	tg( - x) = tgx	cotg( - x) = cotgx
2) Công thức cộng:
	cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb	cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb
	sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa	sin(a - b) = sina cosb - sinb cosa
	tg(a + b) = 	tg(a - b) = 
3) Công thức nhân đôi:
	sin2a = 2sina cosa;	cos2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a = cos2a - sin2a;	tg2a = 
4) Công thức hạ bậc:
	;	;	
5) Công thức tính sina, cosa, tga theo t = :	
6) Công thức biến đổi tổng thành tích:
	;	
	;	
7) Công thức biến đổi tích thành tổng:
	2cosacosb	= cos(a - b) + cos(a + b)
	2sinasinb	= cos(a - b) - cos(a + b)
	2sinacosb 	= sin(a - b) + sin(a + b)
Các dạng phương trình đã biết cách giải tổng quát:
1) PTLG cơ bản: 
2) PT bậc nhất, bậc hai, ... theo một HSLG
3) Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu: asinu + bcosu = c
	- Cách giải: Chia hai vế cho . Đặt:
	- Điều kiện có nghiệm: 
4) Phương trình đẳng cấp: 
	- Xét cosu = 0
	- Trường hợp cosu , chia hai vế của phương trình cho cos2u
5) Phương trình theo và sinu.cosu:
	- Đặt t = , suy ra: sinu.cosu = 
	- Lưu ý: , 
Một số gợi ý giải phương trình lượng giác:
- Đối với một PTLG tổng quát, trong quá trình giải ta cố gắng dùng các công thức lượng giác thích hợp để đưa về PTLG đã biết cách giải tổng quát ở trên hoặc là tích của các phương trình đó.
- Trong quá trình biến đổi ưu tiên việc biến đổi thành tích A.B = 0 trước, sau đó là ưu tiên đưa về cùng một góc lượng giác.
- Nếu trong phương trình có chứa mẫu thức hoặc tg, cotg thì phải đặt điều kiện trước khi giải. Tùy theo trường hợp mà điều kiện có thể để nguyên phương trinh lượng giác cơ bản hay giải tường minh ra x.
- Nếu đưa được PT về theo một hàm lượng giác của cùng một góc thì dùng ẩn phụ (với điều kiện tương ứng).
- Nếu trong phương trình chỉ chứa tgx và sin2x, cos2x, tg2x, cotg2x hoặc chỉ chứa toàn bộ các hàm lượng giác của cùng góc x thì đặt t = tgx. (Nếu Pt bậc n thu được giải được)
Lưu y: Các nhận xét trên chỉ mang tính chất tương đối, nhiều phương trình phải dựa vào đặc trưng riêng của phương trình đó mà đưa ra cách giải thích hợp.
5. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT
Phương trình, bất phương trình mũ
1) Hàm số mũ y = ax: 	- TXĐ: R, ax > 0 với mọi x.
	- Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1, nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1.
	- Các tính chất của lũy thừa.
2) Dạng cơ bản: 
3) Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ:
- Đưa về cùng cơ số	- Lôgarít hai vế (dạng: )
- Dùng ẩn phụ để đưa về dạng cơ bản	- Đoán nghiệm và dùng tính đơn điệu chứng minh duy nhất
Phương trình, bất phương trình lôgarit
	- Định nghĩa: 
	- Hàm số: y = logax có tập xác định: x > 0, . Tập giá trị: R
	- Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu 
	- Các công thức biến đổi:
	loga(N1.N2)= loga|N1| + loga|N2|	
	- Phương trình và bất phương trình cơ bản:
	- Phương pháp giải thường dùng:
	+ Đưa về cùng cơ số
	+ Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình, bất phương trình cơ bản.
6. TÍCH PHÂN
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến:
	Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:
	Đặt x = asint, t hoặc x = acost, t 
	Đặt x = atgt, t 
	Đặt x = acos2t, t 
	Đặt x = , t 
	Đặt x = atgt, t 
Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
	Chú ý: Một số dạng tích phân sử dụng phương pháp tích phân từng phần:
P(x)lnx, P(x)eax, P(x)sinax, P(x)cosax, eaxcosax, eaxsinax
 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay.
 6. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Quy tắc cộng :
Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y, và nếu cách chọn đối tượng x không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng y nào, thì có m + n cách chọn một trong các đối tượng đã cho.
Quy tắc nhân :
Nếu có m cách chọn đối tượng x, và sau đó, với mỗi cách chọn x như thế, có n cách chọn đối tượng y, thì có m x n cách chọn đối tượng (x ; y).
Hoán vị
Chỉnh hợp
Tổ hợp
Pn = n!
(n ³ 1)
n! = 1.2.3n
n! = 1.2.3n
n! = (n – 1)!n
0! = 1
Số cách xếp n phần tử vào n vị trí co thứ tự.
Số cách chọn k phần tử trong n phần tử có thứ tự
Số cách chọn ra tập hợp con k phần tử trong tập hợp n phần tử không thứ tự
Công thức khai triển Niutơn
Các tính chất :
- Trong khai triển (a + b)n ta được (n+1) số hạng.
- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số là n.
- Số hạng tổng quát thứ k+1 trong khai triển (a + b)n là 
Các dạng bài tập
- Dạng 1 : Tìm hệ số của xn trong khai triển nhị thức Niutơn
- Dạng 2 : Tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức, áp dụng giải bài toán khác
Phương pháp :
Nếu trong tổng có , ta khai triển rồi lấy tích phân.
Nếu trong tổng có , ta khai triểnrồi lấy đạo hàm.
Nếu trong tổng không có 2 số hạng trên, ta khai triển rồi chọn a, b, x.
Nếu tổng có chỉ số không đầy đủ, ta đặt tổng bổ sung, tính tổng hiệu
7. SỐ PHỨC
1. Tập hợp số phức: C
2. Số phức (dạng đại số) :
 z = a + bi (a, b, i là đơn vị ảo, i2 = -1); a là phần thực, b là phần ảo của z
z là số thực phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là phần ảo phần thực của z bằng 0 (a = 0)
3. Hai số phức bằng nhau: a + bi = a’ + b’i
4. Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi trong mp(Oxy) (mp phức) 
5. Cộng và trừ số phức : 	(a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
 	 	(a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’
Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b 
z biểu diễn , z’ biểu diễn thì z + z’ biểu diễn bởi và z – z’ biểu diễn bởi 
6. Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’.
7. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là 
 a) 
 b) z là số thực ; z là số ảo 
8. Môđun của số phức : z = a + bi 
 a) 
 b) 
 c) 
9. Chia hai số phức :
 a) Số phức nghịch đảo của z (z: 
 b) Thương của z’ chia cho z (z: 
 c) Với z, 
10. Căn bậc hai của số phức : z là căn bậc hai của số phức 
z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi (a, b, x, y
a) w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
b) w có đúng hai căn bậc hai đối nhau 
 	* Hai căn bậc hai của a > 0 là 
 	 * Hai căn bậc hai của a < 0 là 
11. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A ).
 a) : Phương trình có hai nghiệm phân biệt , ( là 1 căn bậc hai của 
 b) : Phương trình có 1 nghiệm kép là 
8. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Hệtrục toạ độ, toạ độ của điểm, của vectơ
A) Vectơ: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy cho hai vectơ 
 (x1 + x2 ;y1 + y2)	 (x1 - x2 ;y1 - y2)	 
B) Điểm: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A(xA; yA), B(xB;yB), C(xC; yC)
= (xB- xA ; yB - yA)
A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi và cùng phương 
A, B, C là ba đỉnh của tam giác khi và chỉ khi và không cùng phương 
Tọa độ trung điểm M của AB là ,trọng tâm G của tam giác ABC: 
Phương trình đường thẳng, khoảng cách và góc
1.Đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0) và nhận véctơ (a;b) làm véc tơ chỉ phương có phương trình tham số: và phương trình chính tắc 
2. PTTQ của đường thẳng có dạng: ax + by + c = 0 
Đường thẳng qua M(x0;y0) và nhận véctơ (a;b) làm VTPT có PTTQ: a(x- x0) + b(y - y0) = 0
3. Khoảng cách từ M(x0;y0) đến :ax + by + c = 0 là: 
4. Đường thẳng d1, d2 lần lượt có VTCP là . Khi đó ta có:
Đường tròn
1. Đường tròn tâm I(a,b), bán kính R có phương trình chính tắc:(x- a)2 + (y - b)2 = R2
2. Phương trình x2+y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0) là phương trình của đường tròn với tâm I(-a ; -b), bán kính R = .
Elip
1. Định nghĩa: Trong mp cho 2 điểm cố định F1,F2 và số dương 2a không đổi ( 2a > F1F2=2c)
 y 
 M(x,y) 
 F1 F2 
 -c O c x
(E) = {M : M F1 + MF2 = 2a}
 · F1,F2 : Tiêu điểm - F1F2 = 2c tiêu cự ( c < a )
 	 · r1 = M F1 , r2 = MF2 bán kính qua tiêu tại M. 
2. Phương trình chính tắc: ()
- Các đỉnh: A1(-a,0) , A2(a,0) , B1(0,-b) và B2(0,b)
- Các trục: - Trục lớn A1A2 = 2a - Trục nhỏ B1B2 = 2b - Tâm sai: 	- Các đường chuẩn: 
9. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Kệ toạ độ trong không gian
1. Tọa độ vectơ: Cho . Ta có
  	  cùng phương 
2. Tọa độ điểm: Cho 
  M là trung điểm của AB 
  G là trọng tâm tam giác ABC
3. Tích có hướng của hai vectơ: 
Tích có hướng của hai vec tơ và là một vectơ, k/h: 
- Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng: đồng phẳng 
- cùng phương 
- Diện tích hình bình hành ABCD	: 
- Diện tích tam giác ABC	: 
- Thể tích tứ diện ABCD	: 
- Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D'	: 
Phương trình mặt phẳng
1) Vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng:
	* là VTPT của mp() nếu: 
	* Hai vectơ không cùng phương được gọi là cặp vectơ chỉ phương của () nếu chúng song song hoặc nằm trên (). Khí đó: là vectơ pháp tuyến của ()
2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 )
	+ Mặt phẳng có phương trinh: Ax + By + Cz + D = 0 thì có VTPT: 
	+ Mặt phẳng qua M(x0 ; y0 ; z0) và có một VTPT là thì có pt:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
	+ Phương trình mp cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0; c) là:
 (phương trình theo đọan chắn)
	+ MpOxy: z = 0	+ Mp(Oyz): x = 0	+ Mp(Ozx): y = 0
3) Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mp (Ptrình chùm mặt phẳng):: 
Ax+By + Cz +D = 0 và A'x+B'y+ C'z + D'=0 là
m(Ax + By + Cz + D) + n( A'x + B'y + C'z + D') = 0 (m, n không đồng thời = 0)
Phương trình đường thẳng trong không gian
1) Các dạng phương trình đường thẳng:
-Phương trình tham số: , với là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
-Phương trình chính tắc: .
2) Cách xác định vị trí tương đối, tìm giao điểm của hai đường thẳng:
3) Cách viết phương trình đường thẳng:
	Tìm một điểm và một VTCP (hoặc cặp VTPT) của đường thẳng.	 PTTS
Một số dạng toán viết phương trình đường thẳng 
STT
Bài toán
D1
a2
a 1
D2
D
M
M1
M2
Hình vẽ
Cách giải
1
Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M và cắt 2 đường thẳng D1, D2
B1: - Gọi M1 (toạ độ có chứa tham số t) Î D1 
 - M2 (toạ độ có chứa tham số t’) Î D2 
B2: và cùng phương => t => M1
B3: Viết phương trình MM1 chính là phương trình đường thẳng D 
2
Viết phương trình đường thẳng D song song với d và cắt cả D1 và D2
D1
a2
a 1
D2
D
d
B1: - Gọi M1 (toạ độ có chứa tham số t) Î D1 
 - M2 (toạ độ có chứa tham số t’) Î D2 
B2: và cùng phương => t, t’ => M1, M2
B3: Viết phương trình M1M2 chính là phương trình đường thẳng D
3
Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M vuông góc và cắt đường thẳng d
M
d
b ra 
a ra 
N
Å
Å
Phương pháp 1
B1: Gọi N (toạ độ có chứa tham số t) d
B2: MN d = 0 => t => M
Phương trình D chính là phương trình MN
Phương pháp 2
B1: Viết ptrình mặt phẳng(a ) qua M và vuông góc d
B2: Tìm H = (a ) d
B3: phương trình D là phương trình đường MH
4
D1
M
M2
D2
D
a1
a2
Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng D1 và cắt đthẳng D2
B1: Viết phương trình mặt phẳng(a ) qua M và vuông góc D1
B2: Tìm N = (a ) (D2)
B3: Phương trình D là phương trình đường MN
5
Viết phương trình đường thẳng D nằm trong mặt phẳng a và cắt cả 2 đường thẳng D1, D2
M1 
D1 
a 
D2 
M2 
B1: Tìm M1 = D1 (a )
B2: Tìm M2 = D2 (a )
B3: D là đường thẳng M1M2
7
Viết pt đường thẳng D nằm trong mp(a ), qua giao điểm A của d và a , vuông góc d
D 
a 
b 
A
d 
B1: Tìm điểm A = D (a )
B2: D 
Vị trí tương đối giữa các đường và các mặt phẳng
Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
	Cho 2 đường thẳng:	 (d) qua M0(x0 ;y0 ;z0), có VTCP = ( a; b; c) 
	và 	(d’) qua M’0(x’0 ;y’0 ;z’0), có VTCP = ( a’; b’; c’) 
(d) và (d’) đồng phẳng 	Û 
(d) và (d’) cắt nhau 	Û và a:b:c ¹ a’:b’:c’
(d) // (d’) 	Û a:b:c = a’:b’:c’¹ (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)
(d) º (d’) 	Û a:b:c = a’:b’:c’ = (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)
(d) và (d’) chéo nhau 	Û 
Vị trí tương đối của đường thẳng và của mặt phẳng :
	Cho đường thẳng (d) qua M0(x0 ;y0 ;z0) , có VTCP = ( a; b; c).
	và mặt phẳng (a ): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT 
(d) cắt (a ) Û Û Aa +Bb +Cc ¹ 0
Û 
(d) Ì (a ) Û Û 
Khoảng cách 
- Khoảng cách từ M(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (a): Ax + By + Cz = 0 là: 
- Khoảng cách từ điểm M1 đến đt đi qua M0 và có vectơ chỉ phương là: 
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và ', trong dó: 
	 đi qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương , ' đi qua điểm M0' và có vectơ chỉ phương 
Mặt cầu – Phương trình đường tròn trong không gian
1) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b; c), bán kính R:
	- Phương trình: x2 + y2+ z2 +2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A2 + B2 +C2 - D > 0 là phương trình mặt cầu tâm I(-A ; -B; -C), bán kính 
2) Giao của mặt cầu và mặt phẳng - Phương trình đường tròn:
	Cho mặt cầu với tâm I(a ; b; c), bán kính R và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.
	+ d(I, (P)) > R: (P) và (S) không có điểm chung
	+ d(I, (P)) = R: (P) tiếp xúc (S)
	+ d(I, (P)) < R: (P) cắt (S) theo đường tròn có tâm H là hình chiếu của I xuống (P), bán kính 
	Phương trình đường tròn trong không gian:
	với d = 
Nguyễn Duy Thành_lớp cơ điện tử 9
Khoa Hàng Không Vũ Trụ_Học Viện Kĩ Thuật Quân Sự.
MILITARY TECHNICAL ACADEMY
LE QUY DON TECHNICAL UNIVERSITY
Cựu học sinh là một phần quan trọng và không thể tách rời của Yên Phong II. Chúng tôi luôn mong muốn được cung cấp  thông tin từ chính các bạn cũng như gửi lời chúc mừng về những thành công mà bạn đã đạt được trên con đường sự nghiệp. Chúng tôi cũng luôn cố gắng và nỗ lực hết sức để giữ vững, duy trì cũng như tiếp tục phát huy sự liên kết chặt chẽ giữa chúng tôi và các bạn – những cựu học sinh trường THPT Yên Phong II .