Ôn thi đại học Hình học giải tích

 ÔN THI ĐẠI HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH NĂM 2012 
A.Lí Thuyết : 
 − Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong đó lần lượt là hai VTCP của hai đường thẳng
 − Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong đó lần lượt là hai VTPT và VTCP của mặt phẳng và đường thẳng 
− Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong đó lần lượt là hai VTPT của hai mặt thẳng
− Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm 
− Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0z0) đến mặt phẳng (a) có phương trình Ax+by+Cz+D=0 là: 
− Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng D đi qua M0 và có vectơ chỉ phương là: 
− Khoảng cách giữa hai đường thẳng D và D’, trong đó D đi qua điểm M0, có vectơ chỉ phương và đường thẳng D’ đi qua điểm , có vectơ chỉ phương là: 
− Công thức tính diện tích hình bình hành :	 
− Công thức tính diện tích tam giác : 
− Công thức tính thể tích hình hộp : 	
− Công thức tính thể tích tứ diện : 	
Chú ý : 
Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện : 
B.VÍ DỤ : 
Ví dụ 1: Cho đường thẳng và hai điểm , .
Tìm tọa độ điểm sao cho:
1) nhỏ nhất.
2) nhỏ nhất.
3) nhỏ nhất.
4) lớn nhất.
Hướng dẫn:
1) Chuyển p/trình của sang dạng tham số 
Gọi tọa độ của có dạng , .
Ta có 
Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm ; 
Gọi là điểm đối xứng của điểm qua trục Ox.
· Ta có =.
Dấu “=” xảy ra thẳng hàng .
Đường thẳng có vecto chỉ phương nên có vecto pháp tuyến và đi qua nên có phương trình tổng quát
.
Tọa độ giao điểm của đường thẳng và trục Ox là nghiệm của hệ 
. Vậy . 
Vậy . 
Đạt được khi .
Suy ra nhỏ nhất bằng khi 
Cách 2: 
· Làm như cách 1, đến đoạn .
Xét hàm số 
Ta có 
 (*)
· Xét hàm số , 
Ta có nên hàm số g đồng biến trên .
· Do đó từ (*) ta có 
Bảng biến thiên của hàm số f :
t
0
3
Từ bảng biến thiên suy ra .
Vậy đạt được tại , tức là .
Cách 3: 
Bước 1 : Tìm tọa độ H và H’
Bước 2 : Tính AH và BH’ 
Bước 3 : Tìm M thỏa mãn =>ycbt
2). Làm tương tự câu 1), ta tính được 
.
Biểu thức này là tam thức bậc hai với hệ số nên đạt giá trị nhỏ nhất khi . Tức là .
Nhận xét: nếu không nhớ tính chất về đồ thị bậc hai thì có thể khảo sát hàm số để tìm giá trị hỏ nhất.
3). Theo câu 1) , gọi .
Ta có , .
Suy ra .
.
Dấu “=” xảy ra hay .
Vậy đạt được tại .
Nhận xét: nếu không phân tích được thì có thể khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất. 
4). Tương tự câu 1), ta tính được 
Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm ; . 
Khi đó 
Nhận thấy H, K nằm cùng phía so với trục Ox.
Suy ra .
Bài toán này vô nghiệm vì .
Cách 2: Khảo sát hàm số như cách 2 ở câu 1 ® Hàm số không có GTLN.
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng . Tìm điểm sao cho:
1). nhỏ nhất, biết , .
2). lớn nhất, biết , .
3). nhỏ nhất, biết , .
4). nhỏ nhất, biết , , .
5). nhỏ nhất, biết , , .
Hướng dẫn :
1). Cách giải
· Xét vị trí tương đối của A, B so với (P).
Đặt . 
Thay tọa độ của A, B vào và tính .
- Nếu thì A, B ở hai phần không gian khác nhau ngăn cách bởi (P).
- Nếu thì A, B ở cùng phía so với (P).
· Nếu A, B ở khác phía so với (P) thì với tùy ý ta có 
. Suy ra đạt được khi .
- Viết p/trình đường thẳng AB.
- Tìm giao điểm M của . (Giải hệ p/trình của AB và (P))
- Kết luận.
· Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) , ta lấy điểm đối xứng với A qua (P).
Khi đó 
 đạt được khi 
§ Tính tọa độ : 
- Viết phương trình đường thẳng qua và 
- Giải hệ tìm được tọa độ của là hình chiếu vuông góc của A trên (P).
- là trung điểm của . Biết tọa độ của suy ra tọa độ của .
§ Viết p/trình đường thẳng .
§ Giải hệ tìm được tọa độ của .
A
B
M
A’
B
M
A
H
Tr.Hợp 1
Tr.Hợp 2
2). Làm ngược lại của hai trường hợp trên câu 1.
· Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) thì 
· Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P), ta lấy điểm đối xứng với A qua (P).
Khi đó 
Cách làm mỗi trường hợp như câu 1.
3). Xét điểm I tùy ý, ta có 
Suy ra 
Giả sử , ta có tọa độ của I là:
. Hay 
Vậy, với , ta có nên .
Do I cố định nên không đổi. Vậy nhỏ nhất nhỏ nhất
 nhỏ nhất là hình chiếu của I trên (P).
· Đường thẳng qua và vuông góc với (P) nhận vecto pháp tuyến của (P) làm vecto chỉ phương nên có p/trình 
- Tọa độ giao điểm H của là: .
- H là hình chiếu của I trên (P).
· Vậy M là hình chiếu của I trên (P) nên 
Kết luận: nhỏ nhất khi 
4). Làm tương tự câu 3)
5). Cần rút gọn tổng thành một vecto . 
Khi đó nhỏ nhất là hình chiếu của H trên (P).
Làm như câu 3).
Bằng cách phân tích 
Đến đây chỉ việc tìm tọa độ điểm sao cho rồi làm tiếp theo hướng dẫn trên.
Chú ý: 
Suy ra tọa độ của I là .
Ví dụ 3:(ĐH – A2008) Cho mặt phẳng . Lập phương trình 
mặt phẳng () chứa d sao cho khoảng cách từ tới () là lớn nhất
Hướng dẫn : 
1) Phương trình mặt phẳng () chứa d có VTPT : có dạng :
Ta có : 
 => 
 − TH1: Nếu C = 0 
− TH1: Nếu C ,Đặt 
Xét hàm số => ;
Lập bảng biến thiên => tại t =1 . Vậy khi 
So sánh TH1 và TH2 : ycbt A=C và B=−4C => Phương trình mặt phẳng cần tìm là : x - 4y + z – 3 = 0 
Nhận xét : 
 − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau : 
 +) Lập phương trình mặt phẳng () chứa d sao cho khoảng cách từ A tới () là nhỏ nhất hoặc khoảng cách đó là hằng số 
 − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này 
Ví dụ 4: Cho đường thẳng và ,
(Q): x + 2y +2z – 3 =0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho 
1) Góc giữa hai mặt phẳng (Q) nhỏ nhất 
2) Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ lớn nhất 
Hướng dẫn : 
1) Phương trình mặt phẳng () chứa d có VTPT : có dạng :
Ta có : 
Gọi góc giữa hai mặt phẳng là 
 => 
− TH1: Nếu B = 0 
 (1)
− TH2: Nếu B ,Đặt 
Xét hàm số 
=> tại t =1 hay . Vậy (2)
So sánh TH1 và TH2 => với 
 => Phương trình mặt phẳng cần tìm là : x + 2y + 5z + 3 = 0 
2) Phương trình mặt phẳng () chứa d có VTPT : có dạng :
Ta có : 
Gọi góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ là : 
 => 
 − TH1: Nếu B = 0 
 (1)
− TH2: Nếu B ,Đặt 
Xét hàm số 
=> tại t =-7 hay . Vậy 
So sánh TH1 và TH2 => với 
 => Phương trình mặt phẳng cần tìm là : 7x - y + 5z - 9 = 0 
Nhận xét : 
 − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau : 
 +) Lập phương trình mặt phẳng () chứa d sao cho góc giữa hai mặt phẳng hoặc góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa mãn một điều kiện nào đấy 
 − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này 
Ví dụ 5: Cho mặt phẳng . Và các điểm ;.
Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất , nhỏ nhất
Hướng dẫn :
 Gọi VTCP của đường thẳng d là: 
 ; 
=> 
− TH1: Nếu b = 0 
− TH2: Nếu b ,Đặt 
 ;Xét hàm số 
=> 
So sánh TH1 và TH2 =>
+) chọn a =1 => c= 1 
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là : 
+) chọn b = -1 => a =1 , c =-1 
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là : 
Nhận xét : 
 − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau : 
 +) Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng thỏa mãn một điều kiện nào đấy 
 − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này 
Ví dụ 6: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (1;-1;2),song song với mặt phẳng ,đồng thời d tạo với đường thẳng một góc lớn nhất , nhỏ nhất
Hướng dẫn :
 Gọi VTCP của đường thẳng d là: 
 ; 
Gọi góc giữa hai mặt phẳng là 
=> 
− TH1: Nếu b = 0 
− TH2: Nếu b ,Đặt 
 ;Xét hàm số 
=> 
So sánh TH1 và TH2 =>
+) => 
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là : 
+) => 
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là : 
Nhận xét : 
 − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau : 
 +) Lập phương trình đường thẳng d đi qua A ,song song với mặt phẳng ,đồng thời d tạo với đường thẳng một góc thỏa mãn một điều kiện nào đấy 
 − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này 
Ví dụ 7: Lập phương trình đường thẳng d đi qua và cắt đường thẳng sao cho 
1) Khoảng cách từ là lớn nhất , nhỏ nhất
2) Khoảng cách giữ d va là lớn nhất
Hướng dẫn :
 1) 
 => VTCP của d : 
 ; 
 => 
 Xét hàm số => 
=> 
+) 
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là : 
+) 
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là : 
2) 
 => VTCP của d : 
Từ phương trình => và 
 ; 
 => 
 Xét hàm số => 
=> 
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là : 
Nhận xét : 
 − Có thế mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho trước 
 − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này 
Ví dụ 8: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (-1;0;-1)và cắt đường thẳng sao cho góc giữa đường thẳng d và
 là lớn nhất , nhỏ nhất
Hướng dẫn :
 => VTCP của d : 
Gọi góc giữa hai mặt phẳng là 
=> 
Xét hàm số 
=> ;
+) => 
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là : 
+) => 
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là : 
Nhận xét : 
 − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau : 
 +) Có thế mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho trước 
 − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này 
C.Bài Tập
Bài 1 : Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : x − y + z − 1 = 0 và các điểm A (1 ; 2 ;−1) , B (1 ; 0 ; −1) , C (2 ;1 ; −2) . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α) sao cho MA + MB − MC nhỏ nhất 
 ĐS : M ( ; ; )
Bài 2 : Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : x − 3y + 3z − 11 = 0 và các điểm A ( 3 ; −4 ; 5 ) , B (3 ; 3 ; −3) . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α) sao cho 
 lớn nhất 
 ĐS : M ( − ; − ; )
Bài 3 : Cho đường thẳng : và hai điểm A(2 ; −1 ; 1) , B(1 ;−1;0)
Tìm điểm M thuộc đường thẳng để diện tích tam giác AMB đạt giá trị nhỏ nhất 
 ĐS : M ( ; − ; − )
Bài 4 : Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A (1 ; 2 ;−1) , B(−1 ; 1 ;2) . Viết phương trình mặtphẳng (α) tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất 
 ĐS : 6x + 3y + 5z − 7 = 0
Bài 5 : Cho đường thăng : và các điểm A(2 ; 1 ; −1) ,B(−1 ; 2 ; 0) 
Trong các đường thẳng đi qua B và cắt đường thẳng , viết phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nó là lớn nhất ? bé nhất ?
 ĐS : Lớn nhất : ; nhỏ nhất : 
Bài 6 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1;2;4) và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại 
M , N ,P Khác gốc tọa độ sao cho tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất 
 ĐS : + + =1
Bài 7 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại A,B,C sao cho 
 + + nhỏ nhất 
 ĐS : x + 2y + 3z − 14 = 0 
Bài 8 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2;5;3) và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại 
A , B ,C sao cho OA + OB +OC nhỏ nhất 
 ĐS : + + = 1
Bài 9 : Cho mặt phẳng (α) : x-y+2z = 0 và các điểm A(1;2;-1),B(3;1;-2),
C(1;-2;1)
Tìm M thuộc mặt phẳng (α) sao cho 
 MA+MB nhỏ nhất
 lớn nhất
 MA - MB - MC lớn nhất 
++ nhỏ nhất
 ĐS : a) M( ; 1 ; − )
 b) M( ; ; 1)
 c) M(2 ; −2 ;−2)
 	 d) M( ; ; − )
Bài 10 : Cho các đường thẳng 
 : = = 
 : 
 Trong các đường thẳng đi qua A(2 ; −1 ; 2) và cắt đường thẳng , viết phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách giữa và là lớn nhất
 ĐS : = = 
 Bài 11 : Trong các mặt phẳng đi qua A(2 ;−1 ; 0) và song song với đường thẳng 
 d : = = 
Viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất
 ĐS : x+y+2z−1=0
Bài 12 : Trong các đường thẳng đi qua A(1 ; 1 ; −1) và vuông góc với mặt phẳng (β) : 2x−y+z+2=0 viết phương trình tạo với đường thẳng Oy một góc lớn nhất
 ĐS : x + y + z −3 = 0 
Bài 13 : Cho mặt phẳng (α) : x+y−z+1=0 và đường thẳng
 d : 
Trong các đường thẳng đi qua A(1; −1 ; 2) và song song với mặt phẳng (α) viết phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách giữa và d là lớn nhất 
 ĐS : 
Bài 14 : Cho đường thẳng d : = = và hai điểm A (2 ; 1 ; −1) và 
B(3 ; −2 ; 1) . Trong các đường thẳng đi qua B và cắt d , viết phương trình các đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nó là lớn nhất , nhỏ nhất
 ĐS : Lớn nhất : = = ; Nhỏ nhất : = = 
Bài 15 : Cho đường thẳng : và hai điểm A(2 ;1 ; 1) và B(−1;2;0)
Tìm M thuộc sao cho MA + MB nhỏ nhất 
 ĐS : M( ; ; )
 Bài 17: (THTT 2009)
Cho đường thẳng ; 
 và hai điểm A(1 ; 4 ; 2) B(−1 ; 2 ; 4)
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A tới (P) là lớn nhất 
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng 
 (xOy) một góc nhỏ nhất 
Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy góc
 lớn nhất
Trong các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng d , viết phương trình
 các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B tới nó là lớn nhất , nhỏ nhất
Trong các đường thẳng đi qua A(2 ; −1 ; 2) và cắt đường thẳng d , viết 
 phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách giữa nó và d là lớn nhất
 ĐS : 
5x + 13y −4z + 21 = 0 
 x − y + z − 3 = 0 
x + 5y − z + 9 = 0 
Lớn nhất : Nhỏ nhất : 
Bài 18: (THTT 2009)
Cho đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 60 
 ĐS : 
 a) và 
Bài 19: (THTT 2009)
Cho đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) : một góc nhỏ nhất 
 ĐS : 
Bài 20: (ĐH - B2009) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
 ĐS : 
Bài 21: (ĐH - B2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:. Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến Δ bằng OM. 
 ĐS : 
Bài 22: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: và hai điểm . Xác định tọa độ điểm M thuộc sao cho
MA + MB nhỏ nhất 
 nhỏ nhất 
Diện tích tam giác MAB nhỏ nhất 
 ĐS : a) 
 b) 
 c) 
Bài 23: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: và các điểm . Xác định tọa độ điểm M thuộc sao cho
Góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (CAB) bằng 
 ĐS : 
Bài 24: (ĐH - A2009) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z - 1 = 0 và hai đường thẳng . Xác định toạ độ điểmM thuộc D1 sao cho khoảng cách từ M đến D2 và khoảng cách từ M đến (P) bằng nhau.
ĐS : 
Bài 25: Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho các điểm 
Lập phương trình mặt thẳng qua A,B và cắt trục Oz tại M sao cho diện tích tam giác ABM bằng 
Lập phương trình mặt thẳng qua C,Q và cắt trục Oy tại N sao cho thể tích hối tứ diện ABCN bằng 12
ĐS : a) 
 b)