Ôn thi Đại học & Cao đẳng môn Toán - Chương 1: Công thức lượng giác

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
I. Định nghĩa 
Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M 
trên đường tròn lượng giác mà sđqAM = β với 0 2≤ β ≤ π 
Đặt k2 ,k Zα = β+ π ∈
Ta định nghĩa: 
sin OKα = 
cos OHα = 
sintg
cos
αα = α với cos 0α ≠
coscot g
sin
αα = α với sin 0α ≠
II. Bảng giá trị lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt 
Góc α 
Giá trị 
( )o0 0 ( )o306π ( )o454π ( )o603π ( )o902π 
sinα 0 1
2
 2
2
3
2
1 
cosα 1 3
2
2
2
1
2
0 
tgα 0 3
3
1 3 || 
cot gα || 3 1 3
3
0 
III. Hệ thức cơ bản 
2 2sin cos 1α + α = 
2
2
11 tg
cos
+ α = α với ( )k k Z2
πα ≠ + π ∈ 
2
2
1t cot g
sin
+ = α với ( )k k Zα ≠ π ∈ 
IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π ; phụ chéo) 
a. Đối nhau: α và −α 
( )sin sin−α = − α 
( )cos cos−α = α 
( ) ( )tg tg−α = − α 
( ) ( )cot g cot g−α = − α 
b. Bù nhau: α và π − α
( )
( )
( )
( )
sin sin
cos cos
tg tg
cot g cot g
π −α = α
π−α = − α
π−α = − α
π−α = − α
c. Sai nhau π : và α π + α
( )
( )
( )
( )
sin sin
cos cos
tg t g
cot g cot g
π+ α = − α
π+α = − α
π+α = α
π+α = α
d. Phụ nhau: α và 
2
π −α 
sin cos
2
cos sin
2
tg cot g
2
cot g tg
2
π⎛ ⎞− α = α⎜ ⎟⎝ ⎠
π⎛ ⎞− α = α⎜ ⎟⎝ ⎠
π⎛ ⎞− α = α⎜ ⎟⎝ ⎠
π⎛ ⎞− α = α⎜ ⎟⎝ ⎠
e.Sai nhau 
2
π
: và α
2
π + α 
sin cos
2
cos sin
2
tg cot g
2
cot g tg
2
π⎛ ⎞+ α = α⎜ ⎟⎝ ⎠
π⎛ ⎞+ α = − α⎜ ⎟⎝ ⎠
π⎛ ⎞+ α = − α⎜ ⎟⎝ ⎠
π⎛ ⎞+ α = − α⎜ ⎟⎝ ⎠
f. 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
+ π = − ∈
+ π = − ∈
+ π = ∈
+ π =
k
k
sin x k 1 sin x,k Z
cos x k 1 cosx,k Z
tg x k tgx,k Z
cot g x k cot gx
V. Công thức cộng 
( )
( )
( )
sin a b sinacosb sin bcosa
cos a b cosacosb sinasin b
tga tgbtg a b
1 tgatgb
± = ±
± =
±± =
∓
∓
VI. Công thức nhân đôi 
=
= − = − =
= −
−=
2 2 2 2
2
2
sin2a 2sinacosa
cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1
2tgatg2a
1 tg a
cot g a 1cot g2a
2cot ga
−
VII. Công thức nhân ba: 
3
3
sin3a 3sina 4sin a
cos3a 4cos a 3cosa
= −
= − 
VIII. Công thức hạ bậc: 
( )
( )
2
2
2
1sin a 1 cos2a
2
1cos a 1 cos2a
2
1 cos2atg a
1 cos2a
= −
= +
−= +
IX. Công thức chia đôi 
Đặt 
at tg
2
= (với ) a k2≠ π + π
22
2
2
2tsina
1 t
1 tcosa
1 t
2ttga
1 t
= +
−= +
= −
X. Công thức biến đổi tổng thành tích 
( )
( )
a b a bcosa cosb 2cos cos
2 2
a b a bcosa cosb 2sin sin
2 2
a b a bsina sin b 2cos sin
2 2
a b a bsina sin b 2cos sin
2 2
sin a b
tga tgb
cosacosb
sin b a
cot ga cot gb
sina.sin b
+ −+ =
+ −− = −
+ −+ =
+ −− =
±± =
±± =
XI. Công thức biển đổi tích thành tổng 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1cosa.cosb cos a b cos a b
2
1sina.sin b cos a b cos a b
2
1sina.cosb sin a b sin a b
2
= ⎡ + + −⎣ ⎦
−
⎤
= ⎡ + − −⎣ ⎦⎤
= ⎡ + + − ⎤⎣ ⎦
Bài 1: Chứng minh 
4 4
6 6
sin a cos a 1 2
sin a cos a 1 3
+ − =+ − 
Ta có: 
( )24 4 2 2 2 2 2sin a cos a 1 sin a cos a 2sin acos a 1 2sin acos a+ − = + − − = − 2 
Và: ( )( )
( )
6 6 2 2 4 2 2 4
4 4 2 2
2 2 2 2
2 2
sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1
sin a cos a sin acos a 1
1 2sin acos a sin acos a 1
3sin acos a
+ − = + − +
= + − −
= − − −
= −
−
Do đó: 
4 4 2 2
6 6 2 2
sin a cos a 1 2sin acos a 2
sin a cos a 1 3sin acos a 3
+ − −= =+ − − 
Bài 2: Rút gọn biểu thức 
( )2
2
1 cosx1 cosxA 1
sin x sin x
⎡ ⎤−+= = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Tính giá trị A nếu 
1cosx
2
= − và x
2
π < < π 
Ta có: 
2 2
2
1 cosx sin x 1 2cosx cos xA
sin x sin x
⎛ ⎞+ + − += ⎜ ⎟⎝ ⎠
( )
2
2 1 cosx1 cosxA .
sin x sin x
−+⇔ = 
( )2 2
3 3
2 1 cos x 2sin x 2A
sin x sin x sin x
−⇔ = = = (với sinx 0≠ ) 
Ta có: 2 2
1 3sin x 1 cos x 1
4 4
= − = − = 
Do: x
2
π 
Vậy 
3sin x
2
= 
Do đó 
2 4 4A
sin x 33
= = = 3 
Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x: 
 a. A = − 4 4 2 2 22cos x sin x sin xcos x 3sin x+ +
 b. 
2 cot gx 1
tgx 1 cot gx 1
+
− −B = + 
a. Ta có: 
4 4 2 2A 2cos x sin x sin xcos x 3sin x= − + + 2 
( ) ( ) ( )
( )
24 2 2 2 2
4 2 4 2 4
A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x
A 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x
⇔ = − − + − + −
⇔ = − − + + − + − 2
A 2⇔ = (không phụ thuộc x) 
b. Với điều kiện sinx.cosx 0,tgx 1≠ ≠ 
Ta có: 
2 cot gxB
tgx 1 cot gx 1
1+= +− − 
1 1
2 2tgxB 1tgx 1 tgx 1 1 tgx1
tgx
+ +⇔ = + = +− −−
1 tgx
− 
( )2 1 tgx 1 tgxB 1
tgx 1 tgx 1
− − −⇔ = = = −− − (không phụ thuộc vào x) 
Bài 4: Chứng minh 
( )2 2 2 2 2
2 2 2
1 cosa1 cosa cos b sin c1 cot g bcot g c cot ga 1
2sina sin a sin bsin c
⎡ ⎤−+ −− + − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
− 
Ta có: 
* 
2 2
2 2
2 2
cos b sin c cot g b.cot g c
sin b.sin c
− − 
2
2 2
2 2
cotg b 1 cot g bcot g c
sin c sin b
= − − 
( ) ( )2 2 2 2 2cot g b 1 cot g c 1 cot g b cot g bcot g c 1= + − + − = − (1) 
* 
( )2
2
1 cosa1 cosa 1
2sina sin a
⎡ ⎤−+ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
( )2
2
1 cosa1 cosa 1
2sina 1 cos a
⎡ ⎤−+= −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
1 cosa 1 cosa1
2sina 1 cosa
+ −⎡ ⎤= −⎢ ⎥+⎣ ⎦ 
1 cosa 2cosa. c
2sina 1 cosa
+= =+ ot ga (2) 
Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong. 
Bài 5: Cho tùy ý với ba góc đều là nhọn. ABCΔ
 Tìm giá trị nhỏ nhất của P tgA.tgB.tgC= 
Ta có: A B C+ = π −
Nên: ( )tg A B tgC+ = − 
tgA tgB tgC
1 tgA.tgB
+⇔ =− −
+
tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC⇔ + = − + 
Vậy: P tgA.tgB.tgC tgA tgB tgC= = +
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tg ta được A,tgB,tgC
3tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC+ + ≥ 
3P 3 P⇔ ≥ 
3 2P 3
P 3 3
⇔ ≥
⇔ ≥
Dấu “=” xảy ra 
= =⎧ π⎪⇔ ⇔ =⎨ π< <⎪⎩
tgA tgB tgC
A B C
30 A,B,C
2
= = 
Do đó: MinP 3 3 A B C
3
π= ⇔ = = = 
Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 
 a/ 8 4y 2sin x cos 2x= +
 b/ 4y sin x cos= − x 
a/ Ta có : 
4
41 cos2xy 2 cos 2x
2
−⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Đặt với thì t cos2x= 1 t 1− ≤ ≤
( )4 41y 1 t
8
= − + t 
=> ( )3 31y ' 1 t 4t
2
= − − + 
Ta có : Ù ( ) y ' 0= 3 31 t 8t− =
⇔ 1 t 2t− =
⇔ 1t
3
= 
Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3; 
1 1y
3 2
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 7 
Do đó : và 
∈
=
\x
y 3Max
∈
=
\x
1yMin 27
b/ Do điều kiện : sin và co nên miền xác định x 0≥ s x 0≥
π⎡ ⎤= π + π⎢ ⎥⎣ ⎦D k2 , k22 với ∈ ]k 
Đặt t cos= x x với thì 0 t 1≤ ≤ 4 2 2t cos x 1 sin= = −
Nên 4sin x 1 t= − 
Vậy 8 4y 1 t= − − t trên [ ]D' 0,1= 
Thì ( )
−= − <
−
3
748
ty ' 1 0
2. 1 t
 [ )∀ ∈t 0; 1 
Nên y giảm trên [ 0, 1 ]. Vậy : ( )∈ = =x Dmax y y 0 1, ( )∈ = = −x Dmin y y 1 1 
Bài 7: Cho hàm số 4 4y sin x cos x 2msin x cos= + − x 
Tìm giá trị m để y xác định với mọi x 
Xét 4 4f (x) sin x cos x 2msin x cos x= + −
( ) ( )22 2 2f x sin x cos x msin 2x 2sin x cos x= + − − 2 
( ) 21f x 1 sin 2x msin2x
2
= − − 
Đặt : với t sin 2x= [ ]t 1,∈ − 1 
y xác định x∀ ⇔ ( )f x 0 x R≥ ∀ ∈
⇔ 211 t [ ]mt
2
− − ≥ 0 t 1,1−∀ ∈ 
⇔ ( ) 2g t t 2mt 2 0= + − ≤ [ ]t 1,1−
t
∀ ∈ 
Do ∀ nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t2' m 2 0Δ = + > m 1, t2
Lúc đó t t1 t2
 g(t) + 0 - 0 
Do đó : yêu cầu bài toán ⇔ 1 2t 1 1≤ − < ≤ 
⇔ ⇔ ( )( )
1g 1 0
1g 1 0
− ≤⎧⎪⎨ ≤⎪⎩
2m 1 0
2m 1 0
− − ≤⎧⎨ − ≤⎩
⇔ 
1m
2
1m
2
−⎧ ≥⎪⎪⎨⎪ ≤⎪⎩
 ⇔ 1 1m
2 2
− ≤ ≤ 
Cách khác : 
 g t ( ) 2t 2mt 2 0= + − ≤ [ ]t 1,∀ ∈ − 1 
 { }
[ , ]
max ( ) max ( ), ( )
t
g t g g
∈ −
⇔ ≤ ⇔ − ≤
11
0 1 1 0
 { }max ), )m m⇔ − − − + ≤2 1 2 1 0⇔ 
1m
2
1m
2
−⎧ ≥⎪⎪⎨ ⎪ ≤⎪⎩
m⇔− ≤ ≤1 1
2 2
Bài 8 : Chứng minh 4 4 4 43 5 7A sin sin sin sin
16 16 16 16 2
π π π π= + + + 3= 
Ta có : 7sin sin cos
16 2 16 16
π π π π⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
π π π⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
5 5sin cos cos
16 2 16 16
π3 
Mặt khác : ( )24 4 2 2 2sin cos sin cos 2sin cosα + α = α + α − α α2 
 2 21 2sin cos= − α α 
 211 sin 2
2
= − α 
Do đó : 4 4 4 47 3A sin sin sin sin
16 16 16 16
π π π π= + + + 5 
 4 4 4 43 3sin cos sin cos
16 16 16 16
π π π⎛ ⎞ ⎛= + + +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
π ⎞⎟⎠ 
 2 21 11 sin 1 sin
2 8 2 8
3π π⎛ ⎞ ⎛= − + −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠ 
 2 21 32 sin sin
2 8 8
π π⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 2 212 sin cos
2 8 8
π π⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
π π=⎝ ⎠
3do sin cos
8 8
⎛ ⎞⎜ ⎟ 
 1 32
2 2
= − = 
Bài 9 : Chứng minh : o o o o16sin10 .sin 30 .sin50 .sin70 1= 
Ta có : 
o
o
A cos10 1A
cos10 cos10
= = o (16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o
⇔ ( )o oo1 1 oA 8sin 20 cos 40 .cos 202cos10 ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
⇔ ( )0 oo1 oA 4 sin 20 cos20 .cos40cos10= 
⇔ ( )o oo1A 2sin 40 cos40cos10= 
⇔ 
o
o
o o
1 cos10A sin 80 1
cos10 cos10
= = = 
Bài 10 : Cho ABCΔ . Chứng minh : A B B C C Atg tg tg tg tg tg 1
2 2 2 2 2 2
+ + = 
Ta có : A B C
2 2
+ π= −
2
Vậy : A B Ctg cot g
2 2
+ = 
⇔ 
A Btg tg 12 2
A B C1 tg .tg tg
2 2 2
+
=
−
⇔ A B C Atg tg tg 1 tg tg
2 2 2 2
⎡ ⎤+ = −⎢ ⎥⎣ ⎦
B
2
⇔ A C B C A Btg tg tg tg tg tg 1
2 2 2 2 2 2
+ + = 
Bài 11 : Chứng minh : ( )π π π π+ + + =8 4tg 2tg tg cot g *
8 16 32 32
Ta có : (*) ⇔ 8 cot g tg 2tg 4tg
32 32 16 8
π π π= − − − π 
Mà : 
2 2cosa sina cos a sin acot ga tga
sina cosa sina cosa
−− = − = 
cos2a 2cot g2a1 sin2a
2
= = 
Do đó : 
(*) ⇔ cot g tg 2tg 4tg 8
32 32 16 8
π π π π⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦ = 
⇔ 2cot g 2tg 4tg 8
16 16 8
π π π⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦ = 
⇔ 4cot g 4tg 8
8 8
π π− = 
⇔ 8cot g 8
4
π = (hiển nhiên đúng) 
Bài :12 : Chứng minh : 
 a/ 2 2 22 2cos x cos x cos x
3 3
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3
2
+ + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 b/ 1 1 1 1 cot gx cot g16x
sin2x sin4x sin8x sin16x
+ + + = − 
a/ Ta có : 2 2 22 2cos x cos x cos x
3 3
π π⎛ ⎞ ⎛+ + + −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠ 
( )1 1 4 1 41 cos2x 1 cos 2x 1 cos 2x
2 2 3 2 3
⎡ π ⎤ ⎡ π ⎤⎛ ⎞ ⎛= + + + + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎞⎟⎢ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎥⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
3 1 4 4cos2x cos 2x cos 2x
2 2 3 3
⎡ π⎛ ⎞ ⎛= + + + + −⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦
π ⎤⎞⎟⎠ 
3 1 4cos2x 2cos2x cos
2 2 3
π⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦ 
3 1 1cos2x 2cos2x
2 2 2
⎡ ⎤⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ 
3
2
= 
b/ Ta có : cosa cosb sin bcosa sina cosbcot ga cot gb
sina sin b sinasin b
−− = − = 
( )sin b a
sina sin b
−= 
Do đó : ( ) ( )sin 2x x 1cot gx cot g2x 1
sin xsin2x sin2x
−− = = 
( ) ( )sin 4x 2x 1cot g2x cot g4x 2
sin2xsin4x sin4x
−− = = 
( ) ( )sin 8x 4x 1cot g4x cot g8x 3
sin4xsin8x sin8x
−− = = 
( ) ( )sin 16x 8x 1cot g8x cot g16x 4
sin16xsin8x sin16x
−− = = 
Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được 
1 1 1 1cot gx cot g16x
sin2x sin4x sin8x sin16x
− = + + + 
Bài 13 : Chứng minh : + =3 0 2 08sin 18 8sin 18 1 
Ta có: sin180 = cos720
⇔ sin180 = 2cos2360 - 1 
⇔ sin180 = 2(1 – 2sin2180)2 – 1 
⇔ sin180 = 2(1 – 4sin2180+4sin4180)-1 
⇔ 8sin4180 – 8sin2180 – sin180 + 1 = 0 (1 ) 
⇔ (sin180 – 1)(8sin3180 + 8sin2180 – 1) = 0 
⇔ 8sin3180 + 8sin2180 – 1 = 0 (do 0 < sin180 < 1) 
Cách khác : 
Chia 2 vế của (1) cho ( sin180 – 1 ) ta có 
 ( 1 ) ⇔ 8sin2180 ( sin180 + 1 ) – 1 = 0 
Bài 14 : Chứng minh : 
 a/ ( )4 4 1sin x cos x 3 cos4x
4
+ = + 
 b/ ( )1sin6x cos6x 5 3cos4x
8
+ = + 
 c/ ( )8 8 1sin x cos x 35 28cos4x cos8x
64
+ = + + 
a/ Ta có: ( )24 4 2 2 2sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x+ = + − 2 
 221 sin 2
4
= − x 
 ( )11 1 cos4
4
= − − x 
 3 1 cos4x
4 4
= + 
b/ Ta có : sin6x + cos6x ( ) ( )2 2 4 2 2 4sin x cos x sin x sin x cos x cos x= + − + 
( )4 4 21sin x cos x sin 2x4= + − 
(3 1 1cos4x 1 cos4 ... cos x cos x− − + + 
2 23cos2x 4 cos2x 1 sin x cos x⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ 
213cos2x 4 cos2x 1 sin 2x
4
⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
21cos2x 3 4 1 sin 2x
4
⎡ ⎤⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ( )2cos2x 1 sin 2x= − 
3cos 2x= 
Cách 2 : 
Ta có : si 3 3n3x.sin x cos3x.cos x+
3sin x sin3x 3cos x cos3xsin3x cos3x
4 4
− +⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠ 
( ) ( )2 23 1sin3xsin x cos3xcos x cos 3x sin 3x4 4= + + − 
( )3 1cos 3x x cos6x
4 4
= − + 
( )1 3cos2x cos3.2x
4
= + 
( )= + −31 3cos2x 4cos 2x 3cos2x4 ( bỏ dòng này cũng được) 
3cos 2x= 
Bài 16 : Chứng minh : o o o o o 3 1cos12 cos18 4 cos15 .cos21 cos24
2
++ − = − 
Ta có : ( )o o o ocos12 cos18 4 cos15 cos21 cos24+ − o 
( )o o o o2cos15 cos3 2cos15 cos45 cos3= − + o 
o o o o o o2cos15 cos3 2cos15 cos45 2cos15 cos3= − − 
o o2cos15 cos45= − ( )o ocos60 cos30= − + 
3 1
2
+= − 
Bài 17 : Tính 2 o 2 oP sin 50 sin 70 cos50 cos70= + − o
Ta có : ( ) ( ) ( )= − + − − +o o o1 1 1P 1 cos100 1 cos140 cos120 cos202 2 2 o 
( )o o1 1 1P 1 cos100 cos140 cos202 2 2⎛ ⎞= − + − − +⎜ ⎟⎝ ⎠o 
( )o o 1 1P 1 cos120 cos20 cos204 2= − + − o 
o o5 1 1 5P cos20 cos20
4 2 2 4
= + − = 
 Bài 18 : Chứng minh : o o o o 8 3tg30 tg40 tg50 tg60 cos20
3
+ + + = o 
Áp dụng : ( )sin a btga tgb
cosa cos b
++ = 
Ta có : ( ) ( )o o o otg50 tg40 tg30 tg60+ + + 
o o
o o o
sin90 sin90
cos50 cos40 cos30 cos60
= + o 
o o
o
1 1
1sin40 cos40 cos30
2
= + 
o o
2 2
sin80 cos30
= + 
o o
1 12
cos10 cos30
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
o o
o o
cos30 cos102
cos10 cos30
⎛ ⎞+= ⎜ ⎟⎝ ⎠
p o
o o
cos20 cos104
cos10 cos30
= 
o8 3 cos20
3
= 
Bài 19 : Cho ABCΔ , Chứng minh : 
 a/ A B CsinA sinB sinC 4cos cos cos
2 2
+ + =
2
 b/ A B CsocA cosB cosC 1 4sin sin sin
2 2
+ + = +
2
 c/ sin 2A sin 2B sin 2C 4sin A sinBsinC+ + = 
 d/ 2 2 2cos A cos B cos C 2cosA cosBcosC+ + = −
 e/ tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC+ + =
 f/ cot g A.cot gB cot gB.cot gC cot gC.cot gA 1+ + =
 g/ + + =A B C A Bcot g cot g cot g cot g .cot g .cot g
2 2 2 2 2
C
2
a/ Ta có : ( )A B A BsinA sinB sinC 2sin cos sin A B
2 2
+ −+ + = + + 
A B A B A B2sin cos cos
2 2 2
+ − +⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
+ π⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
C A B A B C4cos cos cos do
2 2 2 2 2 2
− 
b/ Ta có : ( )A B A BcosA cosB cosC 2cos cos cos A B
2 2
+ −+ + = − + 
2A B A B A B2cos cos 2cos 1
2 2 2
+ − +⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠− 
A B A B A B2cos cos cos 1
2 2 2
+ − +⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ + 
A B A B4cos sin sin 1
2 2 2
+ ⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
C A B4sin sin sin 1
2 2 2
= + 
c/ ( ) ( )sin2A sin2B sin2C 2sin A B cos A B 2sinCcosC+ = + − + 
= − +2sinCcos(A B) 2sinCcosC 
= − −2sinC[cos(A B) cos(A B) ]+
2
= − −4sinCsinAsin( B) 
= 4sinCsin A sinB 
d/ + +2 2cos A cos B cos C
( ) 211 cos2A cos2B cos C
2
= + + + 
( ) ( ) 21 cos A B cos A B cos C= + + − + 
( )1 cosC cos A B cosC= − − −⎡ ⎤⎣ ⎦ do ( )( )cos A B cosC+ = − 
( ) ( )1 cosC cos A B cos A B= − − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ 
1 2cosC.cosA.cosB= − 
e/ Do nên ta có a b C+ = π −
 ( )tg A B tgC+ = −
⇔ tgA tgB tgC
1 tgAtgB
+ = −− 
⇔ tgA tgB tgC tgAtgBtgC+ = − +
⇔ tgA tgB tgC tgAtgBtgC+ + =
f/ Ta có : cotg(A+B) = - cotgC 
⇔ 1 tgAtgB cot gC
tgA tgB
− = −+ 
⇔ cot gA cot gB 1 cot gC
cot gB cot gA
− = −+ (nhân tử và mẫu cho cotgA.cotgB) 
⇔ cot gA cot gB 1 cot gCcot gB cot gA cot gC− = − −
⇔ cot gA cot gB cot gBcot gC cot gA cot gC 1+ + =
g/ Ta có : A B Ctg cot g
2 2
+ = 
⇔ 
A Btg tg C2 2 cot gA B 21 tg tg
2 2
+
=
−
⇔ 
A Bcot g cot g C2 2 cot gA B 2cot g .cot g 1
2 2
+
=
−
 (nhân tử và mẫu cho cotg A
2
.cotg B
2
) 
⇔ A B A B Ccot g cot g cot g cot g cot g cot g
2 2 2 2 2
+ = − C
2
⇔ A B C A Bcot g cot g cot g cot g .cot g .cot g
2 2 2 2 2
+ + = C
2
Bài 20 : Cho ABCΔ . Chứng minh : 
cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0 
Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1) 
= 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos2C 
= - 2cosCcos(A - B) + 2cos2C 
= - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC 
Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0 
Bài 21 : Cho ABCΔ . Chứng minh : 
cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 3A 3B 3C4sin sin sin
2 2 2
Ta có : (cos3A + cos3B) + cos3C 
23 32cos (A B)cos (A B) 1 2sin
2 2
= + − + − 3C
2
Mà : A B C+ = π − nên ( )3 3A B
2 2
+ = π − 3C
2
=> ( )3 3cos A B cos
2 2
π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
3C
2
3Ccos
2 2
π⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
3Csin
2
= − 
Do đó : cos3A + cos3B + cos3C 
( ) 23 A B3C 3C2sin cos 2sin 1
2 2 2
−= − − + 
( )3 A B3C 3C2sin cos sin 1
2 2 2
−⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( )3 A B3C 32sin cos cos A B 1
2 2 2
−⎡ ⎤= − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
−= +3C 3A 3B4sin sin sin( ) 1
2 2 2
3C 3A 3B4sin sin sin 1
2 2 2
= − + 
Bài 22 : A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh : 
sinA sinB sinC A B Ctg tg cot g
cosA cosB cosC 1 2 2 2
+ − =+ − + 
Ta có : 
2
A B A B C C2sin cos 2sin cossinA sinB sinC 2 2 2
A B A B CcosA cosB cosC 1 2cos cos 2sin
2 2 2
2
+ − −+ − = + −+ − + +
C A B C A B A2cos cos sin cos cosC2 2 2 2 2cot g .
B
A B AC A B C 2 cos cos2sin cos sin
2 22 2 2
−⎡ ⎤
B
− +− −⎢ ⎥⎣ ⎦= = − +−⎡ ⎤ ++⎢ ⎥⎣ ⎦
A B2sin .sin
C 2 2cot g . A B2 2cos .cos
2 2
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠= 
C A Bcot g .tg .tg
2 2 2
= 
Bài 23 : Cho ABCΔ . Chứng minh : 
A B C B C A C A Bsin cos cos sin cos cos sin cos cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ + 
( )A B C A B B C A Csin sin sin tg tg tg tg tg tg *
2 2 2 2 2 2 2 2 2
= + + + 
Ta có : A B C
2 2 2
+ π= − vậy A B Ctg cot g
2 2 2
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
⇔ 
A Btg tg 12 2
A B C1 tg tg tg
2 2 2
+
=
−
⇔ A B C Atg tg tg 1 tg tg
2 2 2 2
⎡ ⎤+ = −⎢ ⎥⎣ ⎦
B
2
⇔ ( )A C B C A Btg tg tg tg tg tg 1 1
2 2 2 2 2 2
+ + = 
Do đó : (*) Ù A B C B C A C Asin cos cos sin cos cos sin cos cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ + B 
A B Csin sin sin 1
2 2 2
= + (do (1)) 
⇔ A B C B C A B C C Bsin cos cos sin sin cos sin cos sin cos 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤ ⎡− + +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
⎤ =⎥⎦ 
⇔ A B C A B Csin cos cos sin 1
2 2 2 2
+ ++ = 
⇔ A B Csin 1
2
+ + = π⇔ sin 1
2
= ( hiển nhiên đúng) 
Bài 24 : Chứng minh : ( )A B C 3 cosA cosB cosCtg tg tg *
2 2 2 sinA sinB sinC
+ + ++ + = + + 
Ta có : 
2A B A B CcosA cosB cosC 3 2cos cos 1 2sin 3
2 2 2
+ − ⎡ ⎤+ + + = + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ 
2C A B2sin cos 4 2sin
2 2
C
2
−= + − 
C A B C2sin cos sin 4
2 2 2
−⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦ 
C A B A B2sin cos cos 4
2 2 2
− +⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦ 
C A B4sin sin .sin 4
2 2 2
= + (1) 
A B A BsinA sinB sinC 2sin cos sinC
2 2
+ −+ + = + 
C A B C2cos cos 2sin cos
2 2 2
C
2
−= + 
C A B A B2cos cos cos
2 2 2
− +⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦ 
C A4cos cos cos
2 2
= B
2
 (2) 
Từ (1) và (2) ta có : 
(*) ⇔ 
A B C A B Csin sin sin sin sin sin 1
2 2 2 2 2 2
A B C A B Ccos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
+
+ + = 
⇔ A B C B A C C A Bsin cos cos sin cos cos sin cos cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎦ 
 A B Csin sin sin 1
2 2 2
= + 
⇔ A B C B C A B C C Bsin cos cos sin sin cos sin cos sin cos 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤ ⎡− + +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
⎤ =⎥⎦ 
⇔ A B C A B Csin .cos cos sin 1
2 2 2 2
+ ++ = 
⇔ A B Csin 1
2
+ +⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ 
⇔ sin 1
2
π = ( hiển nhiên đúng) 
Bài 25 : Cho ABCΔ . Chứng minh: 
A B Csin sin sin
2 2 2 2B C C A A Bcos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
+ + = 
Cách 1 : 
A B A A B Bsin sin sin cos sin cos
2 2 2 2 2 2
B C C A A B Ccos cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2 2
+
+ =Ta có : 
A B Asin cos1 sinA sinB 2 2
B
A B C A B C2 cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
+ −
+= = 
−⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠= =
A BC A B coscos .cos 22 2
A B C Acos .cos .cos cos cos
2 2 2 2
B
2
Do đó : Vế trái 
A B C A B Acos sin cos cos2 2 2
A B A B A Bcos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
−⎛ ⎞ B
2
− ++⎜ ⎟⎝ ⎠= + = 
A B2cos cos
2 2 2A Bcos cos
2 2
= = 
Cách 2 : 
Ta có vế trái 
B C A C A Bcos cos cos
2 2
B C C A A Bcos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2
+ + +
= + + 2
2
B C B C A C A Ccos cos sin sin cos cos sin sin
2 2 2 2 2 2 2
B C C Acos cos cos cos
2 2 2 2
− −
= + 2 
A B Acos cos sin sin
2 2 2
A Bcos cos
2 2
−
+
B
2 
B C A C A B3 tg tg tg tg tg tg
2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦ 
Mà : A B B C A Btg tg tg tg tg tg 1
2 2 2 2 2 2
+ + = 
(đã chứng minh tại bài 10 ) 
Do đó : Vế trái = 3 – 1 = 2 
Bài 26 : Cho ABCΔ . Có A Bcot g ,cot g ,cot g
2 2
C
2
 theo tứ tự tạo cấp số cộng. 
Chứng minh A Ccot g .cot g 3
2 2
= 
Ta có : A Bcot g ,cot g ,cot g
2 2
C
2
 là cấp số cộng 
⇔ A C Bcot g cot g 2cot g
2 2
+ =
2
⇔ 
+
=
A C Bsin 2cos
2 2
A C Bsin sin sin
2 2 2
⇔ 
B Bcos 2cos
2 2
A C Bsin sin sin
2 2 2
= 
⇔ = +
1 2
A C Asin sin cos
2 2 2
C (do 0<B<π nên 
Bcos 0
2
> ) 
⇔ 
A C A Ccos cos sin sin
2 2 2 2 2A Csin .sin
2 2
−
= ⇔ A Ccot g cot g 3
2 2
= 
Bài 27 : Cho ABCΔ . Chứng minh : 
1 1 1 1 A B C A B Ctg tg tg cot g cot g cot g
sin A sinB sinC 2 2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤+ + = + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ 
Ta có : A B C A Bcot g cot g cot g cot g .cot g .cot g
2 2 2 2 2
+ + = C
2
(Xem chứng minh bài 19g ) 
Mặt khác : sin cos 2tg cot g
cos sin sin2
α αα + α = + =α α α 
Do đó : 1 A B C A B Ctg tg tg cotg cotg cotg
2 2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ 
1 A B C 1 A B Ctg tg tg cotg cotg cotg
2 2 2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤ ⎡= + + + + + ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
1 A A 1 B B 1 C Ctg cot g tg cot g tg cot g
2 2 2 2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= + + + + + ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
1 1 1
sinA sinB sinC
= + + 
BÀI TẬP 
1. Chứng minh : 
a/ 2 1cos cos
5 5
π π− =
2
b/ 
o o
o o
cos15 sin15 3
cos15 sin15
+ =− 
c/ 2 4 6cos cos cos
7 7 7
π π π+ + = 1
2
−
3
d/ + =3 3sin 2xsin6x cos 2x.cos6x cos 4x
e/ o o o otg20 .tg40 .tg60 .tg80 3= 
f/ π π π π+ + + =2 5 8 3tg tg tg tg cos
6 9 18 3 3
π
9
g/ 7
2 3 4 5 6 7cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos
15 15 15 15 15 15 15 2
π π π π π π π = 1 
h/ tgx.tg x .tg x tg3x
3 3
π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
k/ o o o otg20 tg40 3tg20 .tg40 3+ + = 
e/ o o o 3sin20 .sin40 .sin80
8
= 
m/ o o o otg5 .tg55 .tg65 .tg75 1= 
2. Chứng minh rằng nếu 
( )
( ) ( )
sin x 2sin x y
x y 2k 1 k z
2
= +⎧⎪⎨ π+ ≠ + ∈⎪⎩
 thì sin( )
cos
ytg x y
y
+ = − 2 
3. Cho ABCΔ có 3 góc đều nhọn và A B C≥ ≥ 
a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC 
b/ Đặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q 
Chứng minh (p-1)(q-1)≥ 4 
4. Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc x : 
a/ ( ) ( )4 2 4 2 2 2A sin x 1 sin x cos x 1 cos x 5sin x cos x 1= + + + + + 
b/ ( ) ( )8 8 6 6B 3 sin x cos x 4 cos x 2sin x 6sin x= − + − + 4 
c/ ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2C cos x a sin x b 2cos x a sin x b sin a b= − + − − − − − ) 
5. Cho ABCΔ , chứng minh : 
a/ cosC cosBcot gB cot gC
sinBcosA sinCcosA
+ = + 
b/ 3 3 3 A B C 3A 3B 3sin A sin B sin C 3cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
+ + = + C 
c/ A B C B A CsinA sinB sinC cos .cos cos .cos
2 2 2 2
− −+ + = + 
C Acos .cos
2 2
B−+ 
d/ cotgAcotgB + cotgBcotgC + cotgCcotgA = 1 
e/ 2 2 2cos A cos B cos C 1 2cosA cosBcosC+ + = −
f/ sin3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = 0 
6. Tìm giá trị nhỏ nhất của : 
a/ 1 1y
sin x cos x
= + với 0 x
2
π< < 
b/ π= + +9y 4x sin x
x
 với 0 x< < ∞ 
c/ 2y 2sin x 4sin x cos x 5= + + 
7. Tìm giá trị lớn nhất của : 
a/ y sin x cos x cos x sin x= + 
b/ y = sinx + 3sin2x 
c/ 2y cos x 2 cos x= + −