Ôn tập về hàm số bậc 3

ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3
(Trung tâm Luyện thi đại học Vĩnh Viễn)
Giả sử : y = ax3 + bx2 + cx + d với a ¹ 0 có đồ thị là (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b
1)	y” = 0 Û x = (a ¹ 0 )
	x = là hoành độ điểm uốn. Đồ thị hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
2)	Để vẽ đồ thị 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau :
i)	a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm Þ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii)	a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm Þ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii)	a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
	Þ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2.
	Ngoài ra ta còn có :
	+ 	x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn.
	+	hàm số tăng trên (-¥, x1)
	+ 	hàm số tăng trên (x2, +¥)
	+	hàm số giảm trên (x1, x2)
iv)	a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
	Þ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có :
	+	hàm số giảm trên (-¥, x1)
	+	hàm số giảm trên (x2, +¥)
	+	hàm số tăng trên (x1, x2)
3)	Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k là hằng số khác 0;
	thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = r x + q
4)	(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
	Û 
5)	Giả sử a > 0 ta có :
i)	(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt > a
	Û 
ii)	(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt < a
	Û 
Tương tự khi a < 0 .
6)	Tiếp tuyến : Gọi I là điểm uốn. Cho M Ỵ (C).
	Nếu M º I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.
	Nếu M khác I thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.
	Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N không nằm trên (C) ta có nhiều trường hợp hơn.
7)	(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau Û y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y(x0) = 0 (x0 là hoành độ điểm uốn)
8)	Biện luận số nghiệm của phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a ¹ 0) khi x = a là 1 nghiệm của (1).
	Nếu x = a là 1 nghiệm của (1), ta có 
	ax3 + bx2 + cx + d = (x - a)(ax2 + b1x + c1)
	nghiệm của (1) là x = a với nghiệm của phương trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta có các trường hợp sau:
i)	nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = a
ii)	nếu (2) có nghiệm kép x = a thì (1) có duy nhất nghiệm x = a
iii)	nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt ¹ a thì (1) có 3 nghiệm phân biệt
iv)	nếu (2) có 1 nghiệm x = a và 1 nghiệm khác a thì (1) có 2 nghiệm.
v)	nếu (2) có nghiệm kép ¹ a thì (1) có 2 nghiệm
BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC 3
	Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt có phương trình là 
 y = -x3 + mx2 - m và y = kx + k + 1.
	(I) PHẦN I. Trong phần này cho m = 3. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
1)	Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với M khác A , Bø . Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C).
2)	Gọi D là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E Ỵ D với (C).
3)	Tìm E Ỵ D để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
4)	Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định.
5)	Tìm M Ỵ (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C).
	(II) PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.
6)	Tìm điểm cố định của (Cm). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuông góc nhau.
7)	Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị.
8)	Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
 9)	 Định m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2). b) hàm số nghịch biến trong (0, +¥).
10)	Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.
11)	Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để (Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau.
12)	Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm (-1, 1).
13)	Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
BÀI GIẢI
PHẦN I : m = 3
	Khảo sát và vẽ đồ thị (độc giả tự làm)
1) 	Gọi n là hoành độ của M. Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = 2 nên 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x Þ hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k1 = – 3n2 + 6n Ỵ (0, 3] (vì n Ỵ (0, 2)). Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k2 = (với 0 < k1 £ 3). Hoành độ của tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến M là nghiệm của – 3x2 + 6x = (= k2) Û 3x2 – 6x = 0. Phương trình này có a.c < 0, " k1 Ỵ (0, 3] nên có 2 nghiệm phân biệt, " k1 Ỵ (0, 3]. Vậy trên (C) luôn có 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến tại M.
2)	E (e, 1) Ỵ D. Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D). (D) tiếp xúc (C) Û hệ có nghiệm.
	Þ Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là : 
	– x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1	(1)
	Û	– x3 + 3x2 – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)
	Û 	(x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)
	Û	x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex
	Û	x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0	(2)
	(2) có D = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5)(3e + 3)
	(2) có nghiệm x = 2 Û 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 Û e = 2
	Ta có D > 0 Û e .
Biện luận :
i)	Nếu e 2
	Þ	(1) có 3 nghiệm phân biệt Þ có 3 tiếp tuyến.
ii)	Nếu e = – 1 hay e = hay e = 2
	Þ (1) có 2 nghiệm Þ có 2 tiếp tuyến.
iii)	Nếu – 1 < e < Þ (1) có 1 nghiệm Þ có 1 tiếp tuyến.
Nhận xét : Từ đồ thị, ta có y = 1 là tiếp tuyến tại (2, 1) nên phương trình (1) chắc chắn có nghiệm x = 2, " e.
3)	Vì y = 1 là tiếp tuyến qua E (e, 1), " e và đường x = a không là tiếp tuyến nên yêu cầu bài toán.
	Û 	(2) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa : y'(x1).y'(x2) = – 1
	Û	
	Û	
	Û	
	Û	e = . Vậy E 
4)	Tiếp điểm của tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc bằng p là nghiệm của : 
	y' = p Û 3x2 – 6x + p = 0 	(3)
	Ta có	D' = 9 – 3p > 0 Û p < 3
	Vậy khi p < 3 thì có 2 tiếp tuyến song song và có hệ số góc bằng p. 
	Gọi x3, x4 là nghiệm của (3).
	Gọi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) là 2 tiếp điểm. Ta có :
	Vậy điểm cố định (1, –1) (điểm uốn) là trung điểm của M3M4.
5)	Cách 1 : Đối với hàm bậc 3 (a ¹ 0) ta dễ dàng chứng minh được rằng : 
	 " M Ỵ (C), ta có :
i)	Nếu M khác điểm uốn, ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.
ii)	Nếu M là điểm uốn, ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.
	Cách 2 : Gọi M(x0, y0) Ỵ (C). Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng :
	y = k(x – x0) (D)
	Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
	( 5 )
	Û	
	Û	
	Û	
	Û	
	Û	
	Do đó, có đúng 1 tiếp tuyến qua M (x0, y0) Ỵ (C)
	Û	
	Suy ra, y0 = 1. Vậy M(1, –1) (điểm uốn).
 Nhận xét : vì x0 là 1 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắc chắn có nghiệm kép là x0
Phần II : Tham số m thay đổi. y' = – 3x2 + 2mx
6)	(Cm) qua (x, y), "m
	Û	y + x3 = m (x2 – 1) , "m
	Û	
	Vậy (Cm) qua 2 điểm cố định là H(1, –1) và K(–1, 1).
	Vì y' = – 3x2 + 2mx nên tiếp tuyến với (Cm) tại H và K có hệ số góc lần lượt là :
	a1 = y'(1) = – 3 + 2m và a2 = y'(–1) = –3 – 2m. 
	2 tiếp tuyến tại H và K vuông góc nhau.
	Û	a1.a2 = – 1 Û 9 – 4m2 = – 1 Û m = .
7)	Hàm có cực trị Û y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
	Û	3x2 = 2mx có 2 nghiệm phân biệt.
	Û	x = 0 và x = là 2 nghiệm phân biệt.
	Û	m ¹ 0. Khi đó, ta có :
	và phương trình đường thẳng qua 2 cực trị là :
	 (với m ¹ 0)
8)	Khi m ¹ 0, gọi x1, x2 là nghiệm của y' = 0, ta có :
	x1.x2 = 0 và x1 + x2 = 
	Þ	y(x1).y(x2) = 
	= = 
	Với m ¹ 0, ta có y(x1).y(x2) < 0
	Û 
	Û	 
	Vậy (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
	Û	 	
	Û	 
Nhận xét :
i)	Khi thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm âm và 1 nghiệm dương.
ii)	Khi thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm.
9)	a) Hàm đồng biến trên (1,2) Û – 3x2 + 2mx ³ 0, "x Ỵ (1,2). Nếu m ¹ 0 ta có hoành độ 2 điểm cực trị là 0 và .
i)	Nếu m < 0 thì hàm chỉ đồng biến trên . Vậy loại trường hợp m < 0
ii)	Nếu m = 0 Þ hàm luôn nghịch biến (loại).
iii)	Nếu m > 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 
	Do đó, ycbt 	Û m > 0 và 
	 	Û 
	b) Từ câu a, ta loại trường hợp m > 0. 
	Khi m £ 0 ta có hàm số nghịch biến trên và hàm số cũng nghịch biến trên [0, +¥).
	Vậy để hàm nghịch biến trên [0, +¥) thì m £ 0.
Ghi chú : nên lập bảng biến thiên để thấy rõ ràng hơn.
10)	y" = – 6x + 2m , y" = 0 Û x = 
	(Cm) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau.
	Û	y = 0 có 3 nghiệm phân biệt và điểm uốn nằm trên trục hoành.
	Û	
	Û	
11)	Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (Dk) là 
	– x3 + mx2 – m = kx + k + 1
	Û	m(x2 – 1) = k(x + 1) + 1 + x3
	Û	x + 1 = 0 Ú m(x – 1) = k + 1 – x + x2
	Û	x = – 1 hay x2 – (m + 1)x + k + m + 1 = 0	(11)
a)	Do đó, (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt
	Û	(11) có 2 nghiệm phân biệt khác – 1
	Û	
	Û (*)	
b)	Vì (Dk) qua điểm K(–1,1) Ỵ (Cm) nên ta có :
	(Dk) cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau.
	Þ	(Dk) qua điểm uốn của (Cm)
	Þ	
	Þ	 (**)
	Vậy ycbt Û k thỏa (*) và (**).
12)	Phương trình tiếp tuyến với (Cm) đi qua (–1,1) có dạng : 
	y = k(x + 1) + 1	(Dk)
	Vậy, phương trình hoành độ tiếp điểm của (Dk) và (Cm) là :
	– x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1	(12)
	Û	m(x2 – 1) = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 + x3
	Û	x + 1 = 0 Ú m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + 1 – x + x2
	Û	x = – 1 hay 2x2 + (1 – m)x – m – 1 = 0	(13)
	Û	x = – 1 Ú 
	y' (–1) = – 2m – 3
	 = (m2 – 2m – 3)
	Vậy phương trình của 2 tiếp tuyến qua (–1, 1) là :
	y = – (2m + 3)(x + 1) + 1
	y = (m2 – 2m – 3)(x + 1) + 1
Nhận xét : Có 1 tiếp tuyến tại tiếp điểm (–1, 1) nên phương trình (12) chắc chắn có nghiệm kép là x = – 1 và phương trình (13) chắc chắn có nghiệm là x = – 1.
13)	Các tiếp tuyến với (Cm) tại tiếp điểm của hoành độ x có hệ số góc là :
	h = – 3x2 + 2mx
	Ta có h đạt cực đại và là max khi (hoành độ điểm uốn)
	Vậy tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
Nhận xét : 
Ghi chú : Đối với hàm bậc 3
	y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có :
i)	Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
ii)	Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
PHẠM HỒNG DANH 
(Trung tâm Luyện thi đại học Vĩnh Viễn)