Ôn tập về hàm hữu tỷ

Bài 2: ÔN TẬP VỀ HÀM HỮU TỶ 
(Nội dung ôn tập do trung tâm luyện thi chất lượng cao Vĩnh Viễn cung cấp) 
1) Phương trình tổng quát : f(x) = 
pmx
cbxax2
+
++ với a.m ≠ 0. 
 Thực hiện phép chia đa thức ta có : 
 f(x) = 
pmx
D
m
apbmx
m
a
2 +
+
−
+ ( 1 ) 
 Với D = c – p 2
bm ap
m
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
2) Đường tiệm cận : 
 * Nếu D ≠ 0 đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng 
 x = 
m
p
− và tiệm cận xiên y = 
2m
apbmx
m
a −
+ . 
 Giao điểm I của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. 
 * Nếu D = 0, đồ thị suy biến thành đường thẳng 
 y = 
2m
apbmx
m
a −
+ trừ một điểm có hoành độ x = 
m
p
− . 
3) Đạo hàm cấp 1, 2 : 
 Khi gặp hàm hữu tỉ nên dùng công thức (1), ta có : 
 f’(x) = 
2
2
2 )pmx(
Dm)pmx(
m
a
)pmx(
Dm
m
a
+
−+
=
+
− 
 / / 3
.2( )
( )
Dm mf x
mx p
=
+
4) Cực trị hàm số : 
 Nếu tam thức g(x) = Dm)pmx(
m
a 2
−+ 
 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm số đạt cực trị tại x1, x2 và đồ thị hàm số có hai điểm 
cực trị là : 
 M ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
m
bx
m
a2,x 11 N ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
m
bx
m
a2,x 22 
i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định. 
ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định. 
iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 
thỏa x1 < x2 và 1 2
x x p
2 m
+
=− . 
iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 
thỏa x1 < x2 và 1 2
x x p
2 m
+
=− . 
5) Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị : 
 Giả sử hàm có cực trị. Tọa độ hai điểm cực trị thỏa phương trình đường thẳng : 
 y = 
m
bx
m
a2
+ 
 đó là phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. 
6) Tính chất của tiếp tuyến : 
 Mọi tiếp tuyến với (C) tại M thuộc ( C ) cắt hai đường tiệm cận tại A và B thì : 
 * M là trung điểm AB. 
 * Tam giác IAB có diện tích không đổi. 
7) Tính chất của đường tiệm cận : 
 * Mọi điểm M thuộc (C) có tích hai khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận 
là một hằng số. 
 * Nếu từ một điểm E nằm trên một đường tiệm cận của (C) thì qua E chỉ có một tiếp tuyến 
duy nhất với (C). 
8) Khi a = 0 và m ≠ 0 ta có hàm nhất biến f(x) = bx c
mx p
+
+
 * Khi m ≠ 0 và bp – cm ≠ 0 thì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 
m
p
− và tiệm cận 
ngang là y = b
m
. 
 Giao điểm I của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. 
 * Nếu bp – cm = 0, đồ thị suy biến thành đường thẳng 
 y = b
m
 trừ một điểm có hoành độ x = 
m
p
− . 
 Đạo hàm cấp 1 khi a = 0: 
 f ’(x) = 2( )
bp cm
mx p
−
+
 Đạo hàm có dấu của (bp – cm) với mọi x ≠ 
m
p
− . Do đó hàm luôn đồng biến ( hoặc nghịch 
biến) trong từng khoảng xác định; nên được gọi là hàm nhất biến. 
ĐỀ TOÁN ÔN TỔNG HỢP HÀM HỮU TỈ 
 Cho hàm số y = 
mx
)2mm(mx2x)1m( 232
−
−−−−+ có đồ thị (Cm). 
 I. Trong phần này khảo sát các tính chất hàm số khi 
 m = -1. 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C-1). Chứng minh (C-1) có tâm đối xứng. 
2) Gọi (DP) là đường thẳng có phương trình y = 2x + p. Chứng minh (DP) luôn luôn cắt (C-1) tại hai 
điểm A, B. Định p để đoạn AB ngắn nhất. 
3) Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh của (C-1) để khoảng cách MN ngắn nhất. 
4) Tìm M ∈ (C-1) để IM ngắn nhất. Trong trường hợp này chứng tỏ tiếp tuyến với (C-1) tại M sẽ 
vuông góc với IM. 
5) Gọi (D) là đường thẳng có phương trình y = ax + b với 
 a ≠ 0 .Tìm điều kiện của b để tồn tại a sao cho (D) tiếp xúc với (C-1). 
 II. Trong phần này ta xét tính chất hàm số khi m ≠ -1. 
6) Tìm đường tiệm cận xiên của (Cm). Chứng minh tiệm cận xiên này tiếp xúc với một parabol cố 
định 
 y = 21 x
4
− + 3 x
2
 – 1
4
. 
7) Định m để tâm đối xứng của (Cm) nằm trên parabol 
 y = x2 + 1. 
 III. Khảo sát tính chất của hàm số khi m = 1. 
8) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 
9) Biện luận theo k số tiếp tuyến vẽ từ K (0, k) đến (C). 
10) Tìm trên Ox các điểm từ đó ta vẽ được một tiếp tuyến duy nhất đến (C). 
11) Gọi ∆ là một tiếp tuyến với (C) tại J thuộc ( C), ∆ cắt 2 đường tiệm cận tại E và F. Chứng minh 
J là trung điểm của EF và tam giác IEF có diện tích không đổi ( I là tâm đối xứng). 
12) Chứng minh tích số hai khoảng cách từ J ∈ (C) đến hai đường tiệm cận của (C) là một hằng số. 
BÀI GIẢI 
Phần I: m = –1 hàm số thành 
y = 2x 4
x 1
+
+
 = 2 + 2
x 1+
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C–1) : độc giả tự làm 
Chứng minh (C–1) có tâm đối xứng. 
 Đặt 
X x 1
Y y 2
= +⎧⎨
= −⎩ ⇒ 
x X 1
y Y 2
= −⎧⎨
= +⎩ 
 hàm số thành 2Y
X
= , đây là 1 hàm lẻ. Vậy hàm số nhận điểm 
I(–1,2) làm tâm đối xứng. 
Cách khác: đồ thị nhận giao điểm I(–1,2) của 2 tiệm cận làm tâm đối xứng. 
2) Phương trình hoành độ giao điểm của 
( Dp ) và (C–1) là : 
 2x 4
x 1
+
+
 = 2x + p 
⇔ 2x + 4 = (2x + p) (x + 1) 
(hiển nhiên pt này không có nghiệm x = –1) 
 ⇔ 2x2 + px + p – 4 = 0 (1) 
pt (1) có ∆ = p2 – 8(p – 4) 
 = (p – 4)2 + 16 
⇒ ∆ > 0, ∀p ⇒ (1) có 2 nghiệm phân biệt ∀p 
⇒ (Dp) luôn cắt (C–1) tại 2 điểm phân biệt 
 A (x1 , 2x1 + p), B (x2 , 2x2 + p) 
Với x1, x2 là 2 nghiệm của (1). 
Ta có: AB2 = (x2 – x1)2 + (2x2 – 2x1)2 
 = 5(x2 – x1)2 = 5(x1 + x2)2 – 20x1x2 
mà x1 + x2 = 
p
2
− , x1.x2 
p 4
2
−
= 
 nên AB2 = ( )
2p5. 10 p 4
4
− − 
 = 25 p 10p 40
4
− + 
Do đó, AB ngắn nhất khi bp 4
2a
−
= = 
Cách khác: 
Ta có 2 1x x− = a
∆ 
⇒ (x2 – x1)2 2a
∆
= = ( )
2p 4 16
4
− + 
Do đó, AB đạt min ⇔ AB2 đạt min 
⇔ 5(x2 – x1)2 đạt min 
⇔ (x2 – x1)2 đạt min 
⇔ (p – 4)2 + 16 đạt min ⇔ p = 4 
3) Gọi M, N lần lượt là 2 điểm trên 2 nhánh khác nhau của (C–1) 
Giả sử xM < – 1 < xN 
 Đặt X = x + 1 và Y = y – 2 
 I (–1,2), hàm thành 2Y
X
= 
 Trong hệ trục XIY ta có : 
 XM < 0 < XN 
 Và MN2 = (XN – XM)2 + 
2
N M
2 2
X X
⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 = (XN – XM)2 2 2
N M
41
X X
⎡ ⎤
+⎢ ⎥⎣ ⎦
 Vì – XM > 0 
 Nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có : 
 (XN – XM)2 = [XN + (– XM)]2 ≥ 4XN (– XM) 
 và dấu bằng xảy ra ⇔ XN = – XM 
 ⇒ MN2 ≥ – 4 XN XM + ( )N M
16
X X−
 ≥ 2(8) (Cauchy) 
 Vậy MN đạt min ⇔ MN2 = 16 
 ⇔ 
N M
N M
N M
X X 0
164X X
X .X
= − >⎧⎪⎨
=⎪⎩
 ⇔ N
M
X 2
X 2
⎧ =⎪⎨
= −⎪⎩
 Vậy trong hệ trục X I Y ta có MN ngắn nhất khi M(– 2 , – 2 ), 
N( 2 , 2 ) 
 Do đó, trong hệ trục xOy ta có MN ngắn nhất khi 
M(–1 – 2 , 2 – 2 ) , N (–1 + 2 , 2 + 2 ) 
 (nhớ: x = X – 1 , y = Y + 2). 
Cách khác: Ta có 
xM < – 1 < xN . Đặt α = 1 + xM và β = 1 + xN thì α < 0 < β 
 Ta có M 2 - 1 , 2 + ⎛ ⎞α⎜ ⎟α⎝ ⎠ , N
2 - 1 , 2 + ⎛ ⎞β⎜ ⎟β⎝ ⎠ 
 MN2 = ( )2 β − α + 
2
2 2 ⎛ ⎞−⎜ ⎟β α⎝ ⎠ 
 = ( )2 β − α 2 241 ⎡ ⎤+⎢ ⎥α β⎣ ⎦ 
 MN2 = ( )2 4⎡ ⎤β + α − αβ⎣ ⎦ 2 2
41 ⎡ ⎤+⎢ ⎥α β⎣ ⎦ 
 ≥ – 4α β 2 241 
⎡ ⎤
+⎢ ⎥α β⎣ ⎦ 
 ≥ – 4α β 4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟αβ⎝ ⎠ = 16 (Cauchy) 
 Do đó MN đạt min 
 ⇔ β = –α và 2α 2β = 4 
 ⇒ α = 2− và β = 2 
 Vậy MN nhỏ nhất khi 
M ( )2 1, 2 2− − − và N( )2 1, 2 2− + 
4) Gọi M 0
0
2x , 2
x 1
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
+⎝ ⎠ . Ta có I(–1, 2) nên 
 IM2 = ( )20x 1+ + ( )20
4 4
x 1
≥
+
 (Cauchy) 
 Do đó IM nhỏ nhất ⇔ 0x 1+ = 
0
2
x 1+
 ⇔ ( )20x 1+ = 2 ⇔ x0 = –1 ± 2 
Vậy có 2 điểm M với toạ độ là ( )1 2, 2 2− − − , ( )1 2, 2 2− + + 
 Ta có IM
uuur
 = ⎛ ⎞+⎜ ⎟
+⎝ ⎠0 0
2x 1 ; 
x 1
 ⇒ IM có hệ số góc là ( )20
2
x 1+
 = 1 = k1 (do ( )20x 1+ = 2) 
 Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là 
 k2 = y′ ( )0x = ( )20
2
x 1
−
+
 = –1 (do ( )20x 1+ = 2) 
 ⇒ k1 . k2 = –1. Vậy tiếp tuyến tại M vuông góc với IM. 
5) (D) tiếp xúc (C–1) khi và chỉ khi 
( )2
2x 4 ax b (1)
x 1
 2 a (2)
x 1
+⎧
= +⎪ +⎪⎨
−⎪ =
+⎪⎩
 có nghiệm 
⇔ ( )
2x 4
x 1
+
+
 = ( )2
2x b
x 1
−
+
+
 có nghiệm 
⇔ (2x + 4) (x + 1) = –2x + b ( )2x 1+ có nghiệm 
 (hiển nhiên pt này không có nghiệm x = –1) 
⇔ 2 ( )2x 1+ + 2(x + 1) 
 = –2(x + 1) + 2 + b ( )2x 1+ có nghiệm 
⇔ (b – 2) u2 – 4u + 2 = 0 có nghiệm 
 (Với u = x + 1) 
⇔ ′∆ = 4 – 2(b – 2) ≥ 0 
( vì B = - 4 ≠ 0 nên pt bậc 2 có nghiệm khi và chỉ khi ′∆ = 4 – 2(b – 2) ≥ 
0 ) 
⇔ b – 2 ≤ 2 ⇔ b ≤ 4 
Vậy với b ≤ 4 tồn tại a ≠ 0 (phụ thuộc vào b) để (D) tiếp xúc với (C–1) 
NHẬN XÉT: PT (1) phụ thuộc vào b nên a phụ thuộc vào b. 
II. Phần này cho m thay đổi và m ≠ –1 
6) y = (m + 1)x + m2 – m + 2
x m−
Vậy đồ thị (Cm) luôn luôn có tiệm cận xiên m∆ có phương trình : 
 y = (m + 1)x + m2 – m 
 Phương trình hoành độ giao điểm của m∆ và (P) là 
 21 x
4
− + 3 x
2
 – 1
4
 = (m + 1)x + m2 – m 
 ⇔ x2 + 2(2m – 1)x + 4m2 – 4m + 1 = 0 
 ⇔ ( )2x 2m 1+ − = 0 
Vậy m∆ tiếp xúc (P), ∀m. 
Cách khác: m∆ tiếp xúc (P), ∀m 
⇔
⎧
− + − = + + −⎪⎪⎨
−⎪ + = +⎪⎩
2 21 3 1x x (m 1)x m m
4 2 4 
1 3x m 1
2 2
có nghiệm, ∀m . 
7) (Cm) có tâm đối xứng là ( )2m, 2m . Để tâm đối xứng nằm trên parabol y = 
x2 + 1 thì m thoả : 2m2 = m2 + 1 ⇔ m2 = 1 
Vì m ≠ –1 nên giá trị m cần tìm là m = 1 
III. Khảo sát tính chất của hàm số khi m = 1 
8) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 1 (độc giả tự làm). 
9) Phương trình tiếp tuyến vẽ từ K (0, k) đến (C) có dạng: 
 y = hx + k (D) 
 (D) tiếp xúc (C) ⇔ hệ 
( )
2
2
2x 2x 2 hx k
x 1
22 h
x 1
⎧ − +
= +⎪
−⎪⎨⎪
− =⎪ −⎩
 có nghiệm 
 ⇒ Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là: 
22x 2x 2
x 1
− +
−
 = ( )2
22
x 1
⎡ ⎤
−⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
x + h 
 ⇔ 2
x 1−
 = ( )2
2x
x 1
−
−
 + h 
 ⇔ 2(x – 1) = –2x + h ( )2x 1− 
 (hiển nhiên x = 1 không là nghiệm) 
 ⇔ h ( )2x 1− – 2(x – 1) – 2(x – 1) – 2 = 0 
 ⇔ h ( )2x 1− – 4(x – 1) – 2 = 0 (9a) 
 Đặt u = x – 1 , phương trình thành 
 hu2 – 4u – 2 = 0 (9b) 
 + h ≠ 0 ⇒ (9b) có ′∆ = 4 + 2h 
 ′∆ > 0 ⇔ h > –2 
 Biện luận : 
i) h = 0 ⇒ (9b) có 1 nghiệm 
 ⇒ (9a) có 1 nghiệm 
⇒ có 1 tiếp tuyến qua K. 
 ii) h = –2⇒ có 1 tiếp tuyến qua K. 
 iii) h < –2⇒ không có tiếp tuyến nào qua K. 
 iv) Nếu h > –2 và h ≠ 0 ⇒ có 2 tiếp tuyến qua K. 
Ghi chú: Đối với hàm bậc 3 hay hàm hữu tỉ ta có: “ có bao nhiêu tiếp điểm thì có 
bấy nhiêu tiếp tuyến”. 
10) Phương trình tiếp tuyến với (C) qua E ( )0x ,0 ∈ Ox 
 có dạng : y = h ( )0x x− (D0) 
 ⇒ Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D0) và (C) là : 
 2x + 2
x 1−
 = ( )2
22
x 1
⎡ ⎤
−⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
( )0x x− (10a) 
 ⇔ 1
x 1−
 = ( )2
x
x 1
−
−
 0 x− + ( )
0
2
x
x 1−
 ⇔ 
( ) ( )20 0x x 1 x 1 x x 0
x 1
⎧
− + − + − =⎪⎨
≠⎪⎩ 
 ⇔ ( ) ( )⎧ − + − + − =⎪⎨
≠⎪⎩
2
0 0x x  ... tiệm cận đứng. 
 b) Tìm m để khoảng cách giữa 2 cực trị bằng 10. 
 Giả sử hàm số có cực trị ( m > - 1) thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là: 
 y = 2x m 2x m
1
+
= − −
−
với m > -1 
 y' = 0 ⇔ −x2 + 2x + m = 0 
 Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của y' = 0. 
 M(x1; −2x1 – m);N(x2; −2x2 – m) 
x −∞ 0 1 2 +∞ 
y' − 0 + 
+ 0 − 
y +∞ ∞ 
 −∞ −∞
 MN = 10 = 2 2 22 1 2 1 2 1(x x ) 4(x x ) 5(x x )− + − = − 
 100 = 5[x12 + x22 + 2x1x2 – 4x1x2] 
 100 = 5[(x1 + x2)2 – 4x1x2], S = x1x2 = 2, P = −m 
 20 = 4 + 4m m = 4 thỏa điều kiện m > - 1. 
Cách khác: 
 Ta có 22 1 2 1 2x x (x x )a a
∆ ∆
− = ⇒ − = = 4 - 4m,do đó 
MN = 10 = 2 2 22 1 2 1 2 1(x x ) 4(x x ) 5(x x )− + − = − 
⇔ 100 = 5(4 – 4m) ⇔ m = 4 
III ) ĐỀ DỰ BỊ 1 - KHỐI A – NĂM 2003 
(2 điểm) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
y = 
)1x(2
3x4x2 2
−
−− 
2. Tìm m để phương trình 2x2 – 4x – 3 + 2m⏐x – 1⏐ = 0 có hai nghiệm phân biệt. 
BÀI GIẢI: 
 1) Khảo sát y = 
22x 4x 3
2(x 1)
− −
−
 • MXĐ : D = R\{1} 
 • y' = − + >
−
2
2
2x 4x 7 0
2(x 1)
 vì có ∆ < 0 
 • Bảng biến thiên : 
x −∞ 1 +∞ 
y' + + 
y +∞ 
−∞ 
+∞
−∞ 
 • Tiệm cận : tiệm cận đứng x = 1 
 tiệm cận xiên y = x – 1. 
y =
 x 
 1
−
O 1
3
2
y
x
 2) Phương trình 2x2 – 4x – 3 + 2m⏐x – 1⏐ = 0 
 ⇔ g(x) = 
22x 4x 3 m
2 x 1
− −
=⏐ − ⏐ 
 Đồ thị g(x) có được bằng cách : 
 * lấy trùng với (C) khi x > 1 
 * lấy đối xứng qua Ox của (C) khi x < 1. 
 Vẽ đường thẳng y = m, ta thấy nó luôn luôn cắt đồ thị 
g(x) = 
22x 4x 3
2 x 1
− −
⏐ − ⏐ tại 2 điểm phân biệt ∀m. 
IV ) KHỐI A – DỰ BỊ 2 – NĂM 2003 
 (2 điểm) 
Cho hàm số: y = 
)mx(2
4mmx)1m2(x 22
+
+++++ (1) (m là tham số) 
1. Tìm m để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm 
số (1). 
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0. 
BÀI GIẢI: 
 1) Tìm m : 
 Ta có y' = 
2 2
2
x 2mx m 4
2(x m)
+ + −
+
 y có 2 cực trị ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt 
 ⇔ ∆' = m2 – m2 + 4 = 4 > 0 (đúng ∀m) 
 Vậy hàm số luôn có 2 cực trị với mọi m. 
 Gọi A(x1, y1), B(x2, y2) là 2 điểm cực trị. 
 Ta có CTy = 
u
v
′
′
,y1 = 1
2x 2m 1
2
+ + , 
 y2 = 2
2x 2m 1
2
+ + 
 AB = − + − = −2 2 22 1 2 1 2 1(x x ) ( y y ) 2(x x ) 
 = + −21 2 1 22[(x x ) 4x x ] 
 Ta có S = x1 + x2 = −2m, P = x1x2 = m2 – 4 
 AB = 2 22[( 2m) 4m 16] 32 4 2− − + = = đvđd. 
Cách khác: AB = − = ∆ = ∆ =/2 1x x 2 2 8 4 2 . 
 2) Khi m = 0 y = 
2x x 4
2x
+ + 
 MXĐ : D = R\{0} 
 y' = −
2
2
x 4
2x
, y' = 0 ⇔ x = ±2 
x −∞ −2 0 2 +∞ 
y' + 0 − − 0 + 
y 3
2
− 
−∞ −∞ 
+∞ +∞ 
5
2
 Tiệm cận : x = 0 là tiệm cận đứng 
 y = 1 1x
2 2
+ là tiệm cận xiên. 
3
2
5
2
O 2
−2
−1 x
y
−
1
2
1
2
y = x + 
V ) ĐỀ DỰ BỊ 2 - KHỐI B – NĂM 2003 
 (2 điểm) Cho hàm số : y = 
1x
1x2
−
− 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 
2. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến 
của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. 
BÀI GIẢI: 
 1) Khảo sát y = − = +
− −
2x 1 12
x 1 x 1
 MXĐ : D = R\{1} 
y' = 2
1 0
(x 1)
−
<
−
, ∀x ∈ R\{1} 
x −∞ 1 +∞ 
y' − − 
y 2 
−∞ 
+∞ 
2
 Tiệm cận : x = 1 là phương trình tiệm cận đứng 
 y = 2 là phương trình tiệm cận ngang.I(1; 2) là TĐX 
O 1
I
2
x
y
 2) Gọi M(x0; y0) ∈ C là tiếp điểm. 
 Hệ số góc tiếp tuyến tại M là f '(x0) = 2
0
1
(x 1)
−
−
 Hệ số góc của đường thẳng IM là 0 I
2
0 I 0
y y 1 k
x x (x 1)
−
= =
−
−
 Vì Tiếp tuyến tại M ⊥ IM ⇔ 
2 2
0 0
1 1 1
(x 1) (x 1)
− ⋅ = −
− −
 ⇔ (x0 – 1)4 = 1 ⇔x0 – 1 = ± 1 
 ⇔ 0
0
x 0
x 2
=⎡⎢
=⎣
=⎡⎢
=⎣
0
0
y (0 ) 1
y (2) 3
 Vậy có hai điểm M1(0; 1), M2(2; 3) thỏa ycbt. 
VI ) ĐỀ DỰ BỊ 1 – KHỐI D – NĂM 2003 
 (2 điểm) 
Cho hàm số : y = 
3x
6mx5x 22
+
+++ (1) (m là tham số) 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 
 khi m = 1. 
 2. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; +∞). 
 1) Khi m = 1 y = 
2x 5x 7
x 3
+ +
+
 MXĐ : D = R\{−3};y' = 
2
2
x 6x 8
(x 3)
+ +
+
; 
y' = 0 x = −4 hay x = −2 
 Bảng biến thiên : 
x −∞ − 4 −3 −2 +∞ 
y' + 0 − − 0 + 
y −3 
−∞ −∞ 
+∞ +∞
 1 
 Tiệm cận :x = −3; y = x + 2. 
O x
y
2
−2
−4 −3
−3
 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên (1; +∞). 
 Ta có : y' = 
2 2
2
x 6x 9 m
(x 3)
+ + −
+
 y đồng biến trên (1; +∞)⇔ y' ≥ 0 ∀x ≥ 1 
 ⇔ x2 + 6x + 9 – m2 ≥ 0 ∀x ≥ 1 
 ⇔ x2 + 6x + 9 ≥ m2 ∀x ≥ 1 
 Khảo sát hàm số g(x) = x2 + 6x + 9, với x ≥ 1 
 g'(x) = 2x + 6> 0, ∀x ≥ 1.Do đó 
 ycbt ⇔ 
x 1
min
≥
(x2 + 6x + 9) ≥ m2 ⇔ g(1) = 16 ≥ m2 
 ⇔ −4 ≤ m ≤ 4. 
V I ) ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG - KHỐI A - DỰ BỊ 2 - NĂM 2004 
(2 điểm) Cho hàm số : y = x + 1
x
 (1) có đồ thị (C). 
1. Khảo sát hàm số (1) 
2. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm 
M(-1; 7). 
1) Khảo sát y = x + 1
x
 = 
2x 1
x
+ (C) 
 MXĐ : D = R\ 0 
2x 1y'
x
−
= , y’ = 0 ⇔ x2 – 1 = 0 ⇔ x = ± 1 
• BBT 
 −∞ -1 0 1 +∞
' + 0 - - 0 + 
−∞ 
-2 +∞ 
 −∞ 
2 
+∞
Tiệm cận đứng x = 0. Tiệm cận xiên y = x. 
2) Pt tiếp tuyến (d) qua M có dạng : y = k(x + 1) + 7 
 (d) tiếp xúc (C)⇔
2
1x k(x 1) 7 (1)
x
11 k (2)
x
⎧
+ = + +⎪⎪⎨⎪
− =⎪⎩
 có nghiệm. 
Thế (2) vào (1), ta có pthđ tiếp điểm của (d) và (C) là 
2
1 1x (1 )(x 1) 7 
x x
+ = − + + ⇔ 2
1 1 1x x 1 7 
x x x
+ = + − − + 
⇔ 2
1 12. 8 0 
xx
+ − = ⇔ 1 14 hay 2
x x
= − = 
-
-
1 x
y 
y = x
0 
2 
(Nhận xét: đặt u = 1/x ta có u2 + 2u – 8 = 0 
⇔ u = -4 hay u =2 ) 
Thế vào (2) ta có k = - 15 hay k = - 3. 
Vậy pttt của (C) qua M là 
 y = – 15( x + 1) + 7 hay y = –3(x + 1) + 7 
V II ) ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG - KHỐI D - DỰ BỊ 1 - NĂM 2004 
(2 điểm)Cho hàm số : y = 
2x x 4
x 1
+ +
+
 (1) có đồ thị (C). 
1. Khảo sát hàm số (1) 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng x 
– 3y + 3 = 0 
BÀI GIẢI: 
1/ Khảo sát khi y = 
1
42
+
++
x
xx 
 • MXĐ : D = R \ {–1} 
 • y' = 2
2
1
32
)x(
xx
+
−+ , 
 y' = 0 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 
 ⇔ x = 1hay x = – 3. 
• Bảng biến thiên : 
 x -∞ -3 -1 1 +∞ 
 y' + 0 – – 0 + 
 y -5 +∞ +∞ 
 -∞ -∞ 3 
 • Tiệm cận : 
 - Tiệm cận đứng x = – 1 
 - Tiệm cận xiên y = x 
 • Đồ thị :độc giả tự vẽ. 
2) Đường thẳng x – 3y + 3 = 0 có hệ số góc là 1/ 3 nên phương trình tiếp tuyến có dạng: y = 
–3x + m (d) 
(d) tiếp xúc (C) ⇔ 
2
4x 3x m 
x 1
41 3
(x+1)
⎧
+ = − +⎪ +⎪⎨⎪
− = −⎪⎩
 có nghiệm 
 ⇔ 
4x 3x m 
x 1
x 2 hay x 0 
⎧
+ = − +⎪
+⎨⎪
= − =⎩
 ⇔ 
x 2
m= 12
= −⎧⎨
−⎩ hay 
x 0
m= 4
=⎧⎨⎩ 
 Vậy y = –3x –12 hay y = –3x + 4. 
VIII ) DỰ BỊ 1 KHỐI A năm 2005: 
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số : y = 
2 22 1 3x mx m
x m
+ + −
−
 (*) (m là tham số) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) ứng với m = 1. 
2. Tìm m để hàm số (*) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung. 
Giải: 
1/ Khi m = 1 thì 
2x 2x 2y
x 1
+ −
=
−
(1) 
• MXĐ: D = R \ {1} 
• ( )
2
2
x 2xy '
x 1
−
=
−
, y ' 0= 
⇔ = =x 0 hay x 2 
• Bảng biến thiên : 
 x -∞ 0 1 2 +∞ 
 y' + 0 – – 0 + 
 y 2 +∞ +∞ 
 -∞ -∞ 6 
 • Tiệm cận : 
x 1= là pt t/c đứng 
y = x + 3 là pt t/c xiên 
2/ 
Ta có ( )
2 2
2
x 2mx m 1y '
x m
− + −
=
−
Hàm số (*) có 2 cực trị nằm về 2 phía trục tung 
/ 0y⇔ = có 2 nghiệm trái dấu 2 1 0 1 1 1P m m m⇔ = − < ⇔ < ⇔ − < < 
IX ) DỰ BỊ 2 KHỐI A năm 2005: 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số 
2 1
1
x xy
x
+ +
=
+
 . 
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (- 1; 0) và tiếp xúc với đồ thị ( C ) . 
Giải: 
 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( )+ +=
+
2x x 1y C
x 1
• MXĐ: { }D R \ 1= − 
( )
+
= = ⇔ + = ⇔ = = −
+
2
2
2
x 2xy ' ,y ' 0 x 2x 0 x 0hay x 2
x 1
• Bảng biến thiên : 
 x -∞ -2 -1 0 +∞ 
 y' + 0 – – 0 + 
 y -3 +∞ +∞ 
 -∞ -∞ 1 
 • Tiệm cận : 
x 1= − là phương trình tiệm cận đứng 
y x= là phương trình tiệm cận xiên 
2/ Phương trình tiếp tuyến ∆ qua ( )M 1,0− ( hệ số 
góc k ) có dạng 
∆ : ( )y k x 1= + 
∆ tiếp xúc với ( )C ⇔ hệ pt sau có nghiệm 
( )
( )
⎧ + +
= +⎪
+⎪⎨
+⎪ =⎪ +⎩
2
2
2
x x 1 k x 1
x 1
x 2x k
x 1
 phương trình hoành độ tiếp điểm là 
( )( )
( )
22
2
x 2x x 1x x 1
x 1 x 1
+ ++ +
=
+ +
x 1⇔ = 3k
4
= 
Vậy pt tiếp tuyến ∆ với ( )C qua ( )M 1,0− là: ( )3y x 1
4
= + 
X ) DỰ BỊ 2 KHỐI B năm 2005: 
 Cho hàm số : y = 
2 2 2
1
x x
x
+ +
+
 (*) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*) . 
2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của ( C ).Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào 
của (C ) đi qua điểm I . 
Giải : 
-1
1
-3
1/ Khảo sát 
2x 2x 2y
x 1
+ +
=
+
 (C) 
• MXĐ: { }D R \ 1= − 
( )
+
= = ⇔ + = ⇔ = = −
+
2
2
2
x 2xy ' ,y ' 0 x 2x 0 x 0 hay x 2
x 1
• Bảng biến thiên : 
 x -∞ -2 -1 0 +∞ 
 y' + 0 – – 0 + 
 y -2 +∞ +∞ 
 -∞ -∞ 2 
 • Tiệm cận : 
x 1= − là pt t/c đứng; y x 1= + là pt t/c xiên 
 • Đồ thị :độc giả tự vẽ. 
 2/ Chứng minh không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua ( )I 1,0− là giao điểm của 2 tiệm cận. 
Gọi ( ) ( )
2
o o
o o o o
o
x 2x 2M x ,y C y
x 1
+ +
∈ ⇔ =
+
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại oM 
( )( ) ( ) ( )
2
o o
o o o o o2
o
x 2xy y f ' x x x y y x x
x 1
⎛ ⎞+⎜ ⎟
− = − ⇔ − = −⎜ ⎟+⎝ ⎠
Tiếp tuyến đi qua 
( )( )
( )
+ − −
⇔ − =
+
2
o o o
o 2
o
x 2x 1 x
I 0 y
x 1
2 2
o o o o
o o
x 2x 2 x 2x
x 1 x 1
+ + +
⇔ =
+ +
2 0⇔ = : Vô lí. Vậy không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua ( )I 1,0− 
XI ) DỰ BỊ 2 KHỐI D năm 2005: 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
2 3 3
1
x xy
x
+ +
=
+
 . 
2. Tìm m để phương trình 
2 3 3
1
x x m
x
+ +
=
+
 có 4 nghiệm phân biệt 
Giải: 
1/ Khảo sát ( )
2x 3x 3y C
x 1
+ +
=
+
• MXĐ: { }D R \ 1= − 
• ( )
+
= = ⇔ + = ⇔ = = −
+
2
2
2
x 2xy ' ,y ' 0 x 2x 0 x 0 v x 2
x 1
• Bảng biến thiên : 
 x -∞ -2 -1 0 +∞ 
 y' + 0 – – 0 + 
 y -1 +∞ +∞ 
 -∞ -∞ 3 
 • Tiệm cận : 
 x = -1 là tc đứng ; 
 y = x + 2 là tc xiên 
2/ Tìm m để pt 
2x 3x 3 m
x 1
+ +
=
+
 có 4 nghiệm phân biệt 
Ta có ( )
⎧ + +
> −⎪
++ + ⎪
= = ⎨
+ + +⎪
− < −⎪⎩ +
2
2
2
x 3x 3 nếux 1
x 1x 3x 3y
x 1 x 3x 3
nếux 1
x 1
Do đó đồ thị 
+ +
=
+
2x 3x 3y
x 1
 có được bằng cách 
• Giữ nguyên phần đồ thị (C) khi x > -1 
• Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) khi x< -1 
Do đó, nhờ đồ thị 
2x 3x 3y
x 1
+ +
=
+
, ta thấy để pt 
2x 3x 3 m
x 1
+ +
=
+
 có 4 nghiệm phân biệt ta chọn m 
> 3. 
 Th.S PHẠM HỒNG DANH 
(Trung tâm luyện thi chất lượng cao Vĩnh Viễn) 
2