Ôn tập Toán 12 năm học 2011-2012

PHẦN ÔN TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC
CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN 12 
Dùng cả cho ôn thi TN , Chủ đề I,II,III)
Chủ đề I : A/SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: 8 bước( 8 dấu :+ )
I / Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) .
1) Tập xác định : +/ D = R . 
2) Sự biến thiên : 
 +/ Chiều biến thiên : 
y’ = 3ax2 + 2bx + c .
y’ = 0 xi = ? ; f(xi) = ? .
 +/ trên các khoảng (.) và (..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến .
 Trên khoảng (.) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ., yCT = .
Hàm số đạt cực Đại tại x = ., yCĐ = .
+ / Giới hạn ở Vô cực :
 ? ; ? .
+/ Bảng biến thiên : 
x
- ∞ ?
?
 ? + ∞
y’
 ?
?
?
y
 ?
?
?
3) Đồ thị :
+ ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d .
Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? ., Các điểm khác : 
 +) Đồ thị : y
 0
 x
II / Hàm số y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0) .
1) Tập xác định : +/ D = R . 
2) Sự biến thiên : 
 +/ Chiều biến thiên : 
y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b ) .
y’ = 0 . 
 +/ trên các khoảng (.) và (..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến .
 Trên khoảng (.) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ., yCT = .
Hàm số đạt cực đại tại x = ., yCĐ = .
+ / Giới hạn ở Vô cực :
 ? ; ? .
+/ Bảng biến thiên : 
x
- ∞ ?
?
 ? + ∞
y’
 ?
?
?
y
 ?
?
?
3) Đồ thị :
Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng.
Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? . Các điểm khác 
Đồ thị : y
 0
 x
III / Hàm số : 
1) Tập xác định : +/ D = R /{ - . }
2) Sự biến thiên : 
 +/ Chiều biến thiên : 
y’ = .
y’ > 0 ( y < 0 ) , D
 +/ : Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) . trên các khoảng (.) và (..) 
 +/ Cực trị : Hàm số không có cực trị .
+ / Tiệm cận và Giới hạn :
 và => tiệm cận ngang : y = . 
? Và ? => tiệm cận đứng : x = . 
+/ Bảng biến thiên : 
x
- ∞ ?
 ? + ∞
y’
 ?
?
y
 ?
?
3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = .
Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = , Đồ thị nhận giao điểm I(;) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng 
 y
 0
 x
B/ CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1/ y = ax3 + bx2 + cx + d ( C )
 2/ y = ax4 + bx2 + c ( C )
BÀI 1 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a’x3 + b’x2 + c’x + n = 0 (2).
(2) ax3 + bx2 + cx + d = k.m ; ( ax4 + bx2 + c = k.m )
Số nghiệm phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị ( C) với đường thẳng d: y = k.m (vẽ d)
Nhận xét số giao điểm d: với ( C ) , theo yCT và yCĐ của ( C ).
Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại :
Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) .
Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ).
Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p 
HƯỚNG DẪN :
1/ Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) :
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :
 y = k(x – x0 ) + y0 ( * )
k = f’(x0) ; thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm .
2/ Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :
 y = k(x – x0 ) + y0 ( * )
k = f’(x0 ) giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 . 
Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
3/ Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :
 y = k(x – x0 ) + y0 ( * )
Trong đó k.k’ = -1 k = . 
thế k = f’(x0 ) giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 . 
Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
4/ Các dạng khác : cho biết x0 hoặc y0 tìm các yếu tố còn lại suy ra có (*)
3/ ( C )
Bài toán : Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) tại t đểm phân biệt ?
Hướng dẫn : Số giao điểm của f(x;m ) với ( C ) , bằng số nghiệm phương trình : f( x ) = f ( x ; m ) . Từ đó ta tìm ra điều kiện của m cần tìm .
Chủ đề II : C/ Hàm sô lũy thừa, Mũ và logarit
1)Phương trình, Bất phương trình mũ và Lô ga rít.
a)Phương trình mũ :
Bước 1/ Dùng tính chất của luỹ thừa, đưa phương trình mũ đã cho về phương trình đặt được ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp. ( t = aX , t > 0 ).
Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm ra nghiệm của biến t.
Bước 3/ Dựa vào cách đặt và điều kiện để tìm ra nghiệm của bài toán. Và kết luận nghiệm.
b)Phương trình logarít: 
Bước 1/ Dùng tính chất của lô ga rít, đưa phương trình lô ga rít đã cho về phương trình đặt được ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp. ( t = logaX , điều kiện X > 0 ).
Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm ra nghiệm của biến t.
Bước 3/ Dựa vào cách đặt và điều kiện để tìm ra nghiệm của bài toán. Và kết luận nghiệm .
c) Bất phương trình : Biến đổi tương tự các bước giải phương trình chứa ẩn số ở luỹ thừa hay dưới dấu lô ga rít .
2) Gía trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : y = f(x) trên đoạn [ a ; b ] ?
Bước 1: Tìm tập xác định D của f(x) : D = ?, xét xem [a ; b ] D ?
Bước 2 : */Tìm đạo hàm y’ = f’(x) = ?
	*/ Giải phương trình y’ = 0 => xi = ? loại các giá trị xi [ a ; b ] 
	*/ Tính các giá trị : f(a) ; f(b) ; f(xi) .
Bước 3 : So sánh các giá trị vừa tìm được . Tìm ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất .
Chủ đề III: D/ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN:
I/ Tìm thể tích hình chóp:
1/ Các loại bài toán :
Cho hình chóp S.ABC ( Đáy tam giác : thường, vuông, đều, cân, hinh vuông, thoi, chữ nhật, hình bình hành )
Có SA ┴ ( ABC) ( SO ┴ (ABC). ) biết cạnh SA , góc giữa SB và đáy ( (ABC) và đáy ) là α .
Tính thể tích S.ABC.
Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Cách giải : gồm 2 bước:
Bước 1 : Vẽ hình : 
Mục đích : Xác định các yếu tố về giả thiết bài toán. 
Tìm các yếu tố : Góc , đường cao . Vẽ từ đáy vẽ lên
 Xây dựng được hình vẽ đã cho 	0.25đến 0.5 đ).
Bước 2: Tính toán: 
a)Tính Thể tích hình chóp VS.ABC = 1/3B.h
Trong đó B = SABC ; h = SO ( SH: đường cao ).
b)Tìm tâm và bán kính: 
+ Xác định tâm đáy ( tam giác : tâm đường tròn ngoại tiếp, tứ giác(hcn): giao điểm 2 đường chéo..). Xác định trục d đáy : vuông góc đáy qua tâm.
+ Xác định mặt phẳng trung trực: 1 cạnh bên, hoặc trung trực đường cao.
Giao của trục d và mp vừa vẽ, ký hiệu I : là tâm mặt cầu cần tìm
Khoảng cách IA = IB = IC = IS = R là bán kính. Tìm vị trí I , R .
Kết luận.
Chú ý : Các bài toán đã học phải giải đúng sơ đồ trên mới đạt điểm tối đa.
Giaỉ cách khác, nếu đúng , chỉ đạt điểm tối đa từng phần. 
 Phần kết luận kết quả bài toán ( đáp số ) chiếm 0.25 điểm mỗi bài. 
II/ Bài toán hình hộp, lăng trụ: Các bước giải tương tự bài toán hình chóp.
ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV : NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
A/Nguyên hàm:
I .Định nghĩa và ký hiệu:
Định nghĩa : F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x)
Ký hiệu: 
Định lí : + C
II. Tính chất: 
 f(x) +C
Chú ý 1 :
Nguyên hàm dạng tích , và hữu tỷ không có công thức phải biến đổi đưa về tổng hiệu:
	Ví dụ 1 : Tìm Nguyên hàm : A = .
	Ví dụ 2 : Tìm Nguyên hàm : B = 
III .Công thức:
Nhóm 1: Hàm số lũy thừa.
1.1 / . k R .	1.2 / = . 
1.3 / = ln + C .
 2 . Nhóm II: Hàm số lượng giác
2.1 / 
2.3 / 
2.2 / 
2.4 / 
2.5 / 
2.7 / 
2.6 / 
2.8 / 
Nhóm III: Hàm số Mũ : 
3.1 / 	3.2/ 
 Chú ý 2 : 
 Nếu : F(x)’ = f(a) , thì : 
 B/ Phương pháp tính tích phân:
	 Công thức : 
I/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
1. Dạng 1: Tính : I 
Phương pháp chung : 
Bước 1 : Đặt : t=u(x) dt = u’(x).dx
Bước 2 : Đổi cận : x a b
	 t u(a) u(b)
 Bước 3 : Tính I : 
 I = 
CÁC DẠNG CƠ BẢN THƯỜNG GẶP :
2. Dạng 2 : Tính : I = ; Với f(x) = . R*
Phương pháp: 
 Bước 1 : Đặt t = dt = a . 
Bước 2 : Đổi cận : x a b
	 t u(a) u(b)
 Bước 3 : Tính I :
	 I = 
Ví dụ 3: Tính các tích phân sau : 
A = . ; B = . 
C = . ( Ta đặt t = )
3. Dạng 3 : Tính : I = ; Với f(x) = . 
Phương pháp: 
 Bước 1 : Đặt t = dt = a . cosx.dx =.
	f(x)dx = . ta đưa về bài toán quen thuộc.
Ví dụ 4 : Tính các tích phân sau : 
4 . D = ; 5 . E = .
6 . G = ; Ta đặt t = .
4 Dạng 4 : Tính : I = ; Với f(x)dx = .
Phương pháp: 
Bước 1 : Đặt x = b.tant , dx = .dt.
	 b2 + x2 = b2.( 1 + tan2t) . f(x).dx = .
Bước 2: Đổi cận, tính kết quả .
5. Dạng 5 : Tính : I = ; Với = dx . (a> 0)
Phương pháp: 
Bước 1 : Đặt x = a.sint dx = a.cost.dt ; . 
Bước 2: Đổi cận, tính kết quả .
II/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Dạng áp dụng phương pháp tích phân từng phần : 
 I = .
Phương pháp: 
Đặt : 	 	; 
 = U.V.
Các dạng tích phân thường gặp :
Dạng 1 : Tính : I = ; Với f(x)dx = P(x). cosx.dx , hoặc P(x).sinx.dx .
Ta đặt : U = P(x) ; dv = sinx.dx.	
Dạng 2 : Tính : I = ; Với f(x)dx = P(x). ex.dx .
Ta đặt : U = P(x) ; dv = ex.dx . 
Dạng 3 : Tính : I = ; Với f(x)dx = P(x). ln(x).dx .
Ta đặt : U = ln(x) ; dv = P(x).dx .
 Chú ý 3 : Thông thường bài toán tích phân cho dưới dạng :
I = ,
 ta khai triển thành tổng hai tích phân, rồi áp dụng các phương pháp trên để tính , xong cộng kết quả lại.
Ví dụ 5: Tính các tich phân sau : 
6. ; 7. ; 
8 . ; 9 . 
C / Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích:
1) Diện tích hình phẳng:
	Cơ sở lí thuyết:
	· Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S = (1).
	· Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; x= b được tính bởi: S = (2).
Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2.
Giải: Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = 
 thì S = 
Phương trình: x2 -1= 0 x = 1 , nghiệm x = 1 [0;2]
Vậy S = + = + = 2 (đvdt)
Vídụ 7:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y =x.
Giải:
 · Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x x2 + x – 2 = 0 x = 1 và x = -2 
Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức
 S = thì S = 
Vậy S = = = = (đvdt)
* Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b].
2) Thể tích vật thể tròn xoay:
	Cơ sở lí thuyết:
	Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay quanh trục Ox được tính bởi: V = (3)
Ví dụ 8: 
a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox., 
Giải:
	· Phương trình 2x – x2 = 0 x = 0 và x = 2 
· Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V = 
Ta có V = = = (đvtt)
b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 và y = x3. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.
Giải:
	· Phương trình – x2 = x3 x = 0 và x = –1 
· Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox: 
Có V1 ==
· Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, x = 0, x = -1 và trục Ox: 
Có V2 == 
Vậy thể tích V cần tính là: V = = (đvtt)
Chú ý:4 Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hai đường y =  ...  y2 + z2 – 2ax + 2by + 2cz + D = 0.	 (1)
Trong đó gọi I(a ; b ; c) là tâm mặt cầu (S)
Lần lượt thay tọa độ A, B, C, D vào (1), ta có hệ phương trình :
 ( 2)
Giải hệ ( 2 ) , với 4 ẩn số :a , b , c , D thế vào (1) ta có phương trình (S) cần tìm.
 Chú ý : bài toán đơn giản khi A(xA ; 0 ; 0 ) , B(0 ; yB ; 0 ) , C(0 ; 0 ; zC ). D(xC ; yD ; zD ).
Áp dụng :
1/ bài thi TN THPT năm 2010: Câu 4.a/1: 
“ Cho 3 điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2; 0) và C(0 ; 0 ; 3). Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC . “
2/ Bài 9.b/ trang 100- sgk hh 12 cơ bản.
---------------------------------------------------------------------
Bài toán 2.1/ 
Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ pháp tuyến (A ; B ; C).
	Ta có : (α ) : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
	 Ax + By + Cz + D = 0. (2).
Chú ý 1:
 véc tơ pháp tuyến (A ; B ; C) , được xác định tùy từng trường hợp cụ thể 
Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm không thẳng hàng :
A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ). 
Cách giải : Khi đó ta chọn M0 là điểm A. = [ , ] = ( A ; B; C ) . Chú ý rèn luyện cách tính tích có hướng của 2 véc tơ [ , ] .
Với : = (a1 ; b1 ; c1 ).
 = (a2 ; b2 ; c2 ). Ta có = [ , ] 
 = = (b1.c2 – b2.c1 ; c1.a2 – c2.a1 ; a1.b2 – a2.b1 )
Tính theo tích chéo : “ Giữa – Cuối ; Cuối – Đầu ; Đầu – Giữa “
b. Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A(xA ; yA ; zA ) , và vuông góc đường thẳng :
 Δ : ; 
Cách giải : (α ) qua điểm A(xA ; yA ; zA ) và vuông góc với đường thẳng Δ nên (α ) nhận véc tơ chỉ phương của Δ : = ( a1 ; a2 ; a3 ) làm véc tơ pháp tuyến = = ( a1 ; a2 ; a3 ) . Ta có :
(α ) : a1.( x – xA ) + a2. (y – yA ) + a3. (z – zA ) = 0 
 a1.( x ) + a2.(y ) + a3.(z ) + D = 0 .
Chú ý 2 : Nếu đường thẳng Δ cho dưới dạng chính tắc :
 Δ : ; 
Thì khi giải chú ý dạng chính tắc các ẩn số x , y , z có hệ số là + 1, Nếu đề chưa cho đúng thì phải biến đổi sắp xếp dạng chính tắc đã nêu. Ta cho cả 3 phân số trên = t, chuyển về dạng tham số của Δ, ta tìm được véc tơ chỉ phương của Δ : = ( a1 ; b1 ; c1 ) 
Ví dụ: Cho đường thẳng Δ có phương trình : 
Δ : ; và điểm I( -1 , 3 ; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua I và (α ) vuông góc Δ.
Giải: 
Cho : = t ; 
Ta có véc tơ chỉ phương của Δ là = ( 2 ; - 3 ; 2 ) . 
Mặt phẳng (α ) qua I ( -1 , 3 ; 2), và (α ) vuông góc Δ :
 (α ) : -1(x – 2) + 3( y + 3) + 2( z - 2) = 0.
(α ) : -x + 3y + 2z + 7 = 0 .
Cho tứ diện A.BCD , Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua AB và song song CD .
Ta có : véc tơ pháp tuyến : = [ , ] .
Cho mặt phẳng ( β ) : A( x – a) + B ( y – b ) + C ( z – c ) = 0 . ( * )
Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) và song song mp ( β ) 
Ta có : véc tơ pháp tuyến : = [ A ; B ; C ] .
Áp dụng giải bài tập trang 80, 81 skg hh12 cơ bản
Bài toán 3.1/ 
Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ chỉ phương (a1 ; a2 ; a3 ).
Giải : Gọi M(x ; y ; z ) Δ, ta có : phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ chỉ phương (a1 ; a2 ; a3 ) :
Δ : ;
Các dạng bài tập : 
3.1/a : Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm
 M0(x0 ; y0 ; z0 ) , và vuông góc mặt phẳng :
 (α ) : Ax + By + Cz + D = 0. (1).
Giải : Ta có véc tơ chỉ phương của đường thẳng Δ , là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) : = = (A ; B ; C). Vậy phương trình tham số của đường thẳng Δ là :
 Δ : ; (2)
3.1/b : Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm
 M0(x0 ; y0 ; z0 ) , và song song với đường thẳng d:
d: ; 
Giải : Ta có véc tơ chỉ phương của đường thẳng Δ , là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d : = (a1 ; a2 ; a3). Vậy phương trình tham số của đường thẳng Δ là ( 2 )
3.1/c : Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm
 M0(x0 ; y0 ; z0 ) ; M1(x1 ; y1 ;z1 ) .
Giải : Ta có véc tơ chỉ phương của đường thẳng Δ , là véc tơ :
 = = (x1 – x0 ; y1 – y0 ; z1 – z0 ) = (a1 ; a2 ; a3). Vậy Vậy phương trình tham số của đường thẳng Δ là ( 2 )
Áp dụng giải bài tập 1 trang 89 SGK HH 12 CB. Bài tập 4 trang 92.
Dạng II : Xét vị trí tương đối : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng.
Bài 2.1.a /
 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình : 
	d1: ( 1 ) ; d2 : ; ( 2 )
Cách giải : 
Bước 1 : Đường thẳng d1 đi qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) ; có véc tơ chỉ phương 
 = (a1 ; a2 ; a3 ) . 
Đường thẳng d2 có véc tơ chỉ phương : = ( b1 ; b2 ; b3 ).
 Nếu : = k.: Đúng (Đ) , và M0(x0 ; y0 ; z0 ) d2 . Ta có d1 // d2 .
 : = k.: Sai ( S ) ,
 Bước 2 : ta xét hệ : 
 ( * ) ; 
	Ta lấy 2 trong 3 phương trình ( * ), giải tìm được t và t’ , thế vào phương trình còn lại . Nếu Đ thì hệ ( * ) có đúng 1 nghiệm thì d1 cắt d2 . 
	Nếu S hệ ( * ) vô nghiệm thì d1 chéo d2 . 
 Kết luận: 
Bài 2.1.b /
 Xét vị trí tương đối của đường thẳng Δ và mặt phẳng (α ), có phương trình : 
 Δ : ; (1) ; (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 ( 2 ) .
Cách giải : 
 Gỉa sử Δ cắt (α ) tại M( x ; y ; z ) , thế tọa độ M (1 ) vào ( 2 ).
 A ( ) + B ( t ) + C( ) = 0 ( 3 ) .
 Nếu : + Phương trình ( 3 ) có 1 nghiệm t , thì Δ cắt (α ).
 + Phương trình ( 3 ) có vô số nghiệm t , thì Δ (α ).
 + Phương trình ( 3 ) vô số nghiệm t , thì Δ // (α ).
Bài 2.1.c /
 Xét vị trí tương đối của mặt phẳng ( α ) và mặt cầu ( S ), có phương trình : (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 . ( 1 )
 (S): x2 + y2 + z2 – 2ax + 2by + 2cz + D = 0 . ( 2 )
Cách giải : 
Bước 1 : Tìm tọa độ tâm I ( a ; b ; c ) và bán kính R của mặt cầu ( S ); ( bài toán 1.2/ ). 
Bước 2 : Tìm khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( α ) :
	d(I ; (α )) = 	= m .
Bước 3 : So sánh và kết luận :
	Nếu m > R : mặt phẳng (α ) không cắt mặt cầu (S) .
	Nếu m = R , mặt phẳng (α ) tiếp xúc mặt cầu (S) .
	Nếu m < R , mặt phẳng (α ) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn ( C ), Tâm H, bán kính r = IH . Trong đó H là hình chiếu I trên (α ). 
Áp dụng : Bài tập 5, trang 92. 
 Đề thi TN THPT 4a.1 năm 2009.
	 Đề thi CĐ Khối B năm 2010 .
--------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng III : 
 1)Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên mặt phẳng (α) , 
 2)Trên đường thẳng Δ
Bài : 3.1 : cho điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) . Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 . (1)
Cách giải :
 Gọi H (x ; y ; z ) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) . H (α) , và H MH vuông góc (α) . 
 Đường thẳng MH đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc (α) , nên nhận véc tơ pháp tuyến của (α) làm véc tơ chỉ phương = = (A ; B ; C):
 MH : ( 2 ) ; 
 Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta tìm được t , thay vào ( 2 ) ta tìm được tọa độ H.
Áp dụng Bài tập 8 trang 91 sgk ; Bài 9 trang 93 sgk .
 Đề thi CĐ Khối B năm 2010 
Bài : 3.2 : cho điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) . Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng Δ có phương trình : 
 Δ : ( 1 ) ;
Cách giải :
 Gọi H (x ; y ; z ) là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng Δ: H Δ . . H (α )qua M0 , và (α ) vuông góc đường thẳng Δ . 
 Mặt phẳng (α ) đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc (α) , nên nhận véc tơ véc tơ chỉ phương = (a1 ; a2 ; a3) của Δ làm véc tơ pháp tuyến của (α) : = = (a1 ; a2 ; a3) . 
 Ta có (α) : a1(x – x0 ) + a2 (y – y0 ) + a3(z – z0 ) = 0 ( 2 ).
 Thế ( 1) vào ( 2 ) , ta tìm được t .
 Thế t vào ( 1 ) ta tìm được toa độ H.
Kết luận . 
Áp dụng Bài tập 7 trang 91 sgk ; Bài 12 trang 93 sgk .
---------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng IV : Bài toán tổng hợp :
 Cho 4 điểm : A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ). D(xD ; yD ;zD ). 
Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ) .
Tính góc A, B của tam giác ABC.
Tính diện tích tam giác ABC .
Chứng minh D.ABC là tứ diện. Tính thể tích hình chóp D.ABC .
Cách giải :
Bài toán 2.1/ Chú ý a) ( 
Ta có cosA = = = m.
 Sử dụng MTCT tính góc A.
SABC = AB . AC . sinA .( kết quả ở 2) )
Thế tọa độ D(xD ; yD ; zD ) vào (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 (1).
 AxD + ByD + CzD + D = 0 m = 0 : Sai ( S), ta có D (ABC).
Kết luận D.ABC là tứ diện.
Gọi : VD.ABC là thể tích tứ diện D.ABC . Ta có : VD.ABC = Sđ. h.
 ( Với Sđ = SABC = AB . AC . sinA ,
 h = d(D,(ABC))= ). Ta có thể tích cần tìm.
******
ÔN TẬP CHỦ ĐỀ VI
SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI:
A/ TỐT NGHIỆP THPT
1. Bài 1 : Giải phương trình : 	2x2 – 5x + 4 = 0 .	trên tập số phức.
	TN THPT Năm : 2006 	; Đáp số : x1 = ; x2 = .
2. Bài 2: Giải phương trình : x2 -4x + 7 = 0 .	trên tập số phức.
	TN THPT Năm : 2007 (lần 1) 	; Đáp số : x1 = 2 + i ; x2 = 2 - i.
3. Bài 3: Giải phương trình : x2 – 6x +25 =0 .	trên tập số phức.
	TN THPT Năm : 2007 (lần 2.) 	; Đáp số : x1 = 3 + 4i ; x2 = 3 - 4i .
4. Bài 4 : Tìm giá trị biểu thức : 	P = ( 1 + i)2 + ( 1 - i)2 .
TN THPT Năm : 2008 ( lần 1) ; Đáp số P = 4 .
5. Bài 5: Giải phương trình : x2 - 2x + 2 = 0 .	trên tập số phức.
	TN THPT Năm : 2008 ( lần 2 ) 	; Đáp số : x1 = 1 + i ; x2 = 2 + i .
6. Bài 6: Giải phương trình : 8z2 – 4z + 1 ; Trên tập số phức.
	TN THPT Năm : 2009 ( Cơ bản ) ; Đáp số : z1 = ; z2 = 
7. Bài 7: Giải phương trình : 2z2 – iz + 1 = 0	trên tập số phức.
	TN THPT Năm : 2009 (NC) 	; Đáp số : z1 = i ; z2 = - 
8. Bài 8: Giải phương trình :2z2 + 6z + 5 = 0 ; 	trên tập số phức.
	TN THPT Năm : 2010 (GDTX)	; Đáp số : z1 =- ; z2 = - 
9. Bài 9 : Cho hai số phức: z1 = 1 + 2i , z2 = 2 – 3i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 -2z2 .
TN THPT Năm : 2010 ( Cơ bản ) ; Đáp số : Phần thực : -3 ; Phần ảo : 8.
10. Bài 10 : Cho hai số phức: z1 = 2 + 5i , z2 = 3 – 4i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1.z2 .
TN THPT Năm : 2010 ( NC) ; Đáp số : Phần thực : 26 ; Phần ảo : 7.
SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI: CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC
Bài 11 : Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0.
Tính giá trị của biểu thức A = .
ĐH Khối A – 2009 (CB) . 	Đáp số : A = 20.
Bài 12 : Tìm số phức z thỏa mãn và : .
ĐH Khối B – 2009 (CB) . 	Đáp số : z = 3 + 4i và z = 5 .
Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện : . 
ĐH Khối D – 2009 . 	Đáp số : Đường tròn tâm I(3 ; 4 ), bán kính R =2 .
Bài 14 : Cho số phức z thỏa mãn : (1 + i)2.(2 – i)z = 8 + I + (1 – 2i )z .
Xác định phần thực , phần ảo của Z .
CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( CB). Đáp số : Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Bài 15 : Giải phương trình : 	trên tập số phức.
CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( NC). Đáp số : z1 = 1 +2i ; ; z2 = 3 + i . 
Bài 16 : Tìm phần ảo của số phức z, biết : .
ĐH Khối A – 2010 (CB) . Đáp số : b = .
Bài 17 : Cho số phức z thỏa mãn : z = . Tìm môđun của : . 
ĐH Khối A – 2010 (NC) . 	Đáp số : 8 .
Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện : .
ĐH Khối B – 2010 (CB) . 	Đáp số : Đường tròn : x2 + (y + 1 )2 = 2 .
Bài 19 : Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện : , và z2 là số thuần ảo .
ĐH Khối D – 2010 . Đáp số : z1 = 1 +i ; z2 = 1 – i , z3 = - 1 – i , z4 = -1 + i.
Bài 20 : Cho số phức z thỏa mãn : ( 2 – 3i)z + ( 4+i)= - (1 + 3i)2 ; Xác định phần thực và phần ảo của z ?
CĐ KHỐI A,B,D – 2010 ( CB). Đáp số : Phần thực : - 2 ; phần ảo : 5 .
Bài 21 : Giải phương trình : z2 – (1 + i)z + 6 + 3i = 0 ; trên tập số phức.
CĐ KHỐI A,B,D – 2010 ( NC). Đáp số : z1 = 1 – 2i ; z2 = 3i .