Ôn tập toán 12 − Chủ đề 1 : Ứng dụng đạo hàm - Hồ Văn Hoàng

VẤN ĐỀ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) y = x3 – 3x2 + 2 b) y = − x4 + 4x2 – 3 
c) 	 d) 	
e) y = x3 - 2x2 + x − 3. f) y = 9x7 −7x6 + x5 + 12 
g) y = x − 2sinx ( 0 <x < 2p) 	h) y = x – ex i) 
Bài 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định 
a) .
b) y = x3 + mx2 + (m + 6)x − (2m + 1).
Bài 3. Xét chiều biến thiên: 
a) y = 2x − 1 −  ; b) y = x + 1 −  ; c) y = 1 + .
Bài 4. Chứng minh rằng f(x) = x + cos2x đồng biến trên ¡ .
Bài 5. Với các giá trị nào của m , hàm số y = x + 2 +
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó ?
*Bài 4. CMR x − 0.
HD: ta cminh y = f(x) = − x + sinx > 0, " x > 0.
thật vậy f’(x) = − 1 + cosx; f”(x) = x − sinx.
Do f”’(x) = 1 − cosx ≥ 0 "x > 0 
Þ f”(x) đồng biến / [0;+∞) Þ f”(x) > f”(0) = 0, "x
Þ f’(x) đồng biến / [0;+∞) Þ f’(x) > f’(0) = 0, "x
Þ f(x) đồng biến / [0;+∞) Þ f(x) > f(0) = 0, "x > 0.
VẤN ĐỀ II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Hai quy tắc tìm cực trị của hàm số:
a. Quy tắc 1: 
+ Tìm f’(x).
+ Tìm các xi (i = 1,2,) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
+ Xét dấu f’(x). Nếu f’(x)đổi dấu khi x đi qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại xi 
b. Quy tắc 2: 
+Tính f’(x).
+ Tìm các nghiệm xi (i = 1,2,) của phương trình f’(x)=0
+ Tìm f”(x)và tính f”(xi).
* Nếu f”(xi) < 0 thì hàm số đạt đại tại điểm xi
* Nếu f”(xi) > 0 thì hàm số đạt tiểu tại điểm xi
* Nếu f”(xi) ≠ 0 thì hàm số đạt trị tại điểm xi
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 3x2 – 2x3 b) y = 2x3 + 3x2 − 36x − 10 
c) d) e)
Bài 2. Dùng quy tắc 2, tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = x4 – 2x2 + 3 b) y = 3x5 – 125x3 + 2160x. 
c) y = sin2x – x	d) y= x3(x − 1)2.
e) f(x) = sinx + cosx với x Î (−p ; p)
Bài 3. Định m để 
a) y= có cực trị (ĐS m < 3)
b) y = − mx2 + (m2 − m + 1)x đạt CĐ tại x = 1.
Bài 4. Định a, b để y = − ax2 + b đạt cực trị bằng −2 tại x = 1
Bài 5. CMR y = có CĐ, CT "m. 
*Bài 6. Tìm m để hàm số (m là tham số) có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực trị trái dấu 
*Bài 7. Cho y = . 
a) Tìm cực trị của hàm số;
b) Tính khoảng cách giữa 2 điểm cực trị;
c)Viết pt đường thẳng qua 2 điểm cực trị. 
VẤN ĐỀ III: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
1) Trên một đoạn [a;b] 
Ÿ Tìm các điểmÎ [a; b] tại đó hàm số f(x) có đạo hàm bằng 0 hoặc đạo hàm không xác định
Ÿ Tính các giá trị .
+ So sánh các giá trị tìm được Þ Kết luận.
2) Các trường hợp khác: Lập Bảng biến thiên.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số 
Bài 1. 
a) y = x3 − 3x2 − 9x + 35 trên [−4; 4] (M = 40; m = −41)
b) y = trên [−1 ; 1]	 (M = 3 ; m =) 
c) y = trên [−1 ; 1]	 (M = 3 ; m = 1)
d) y = trên [−3 ; 3]	 (M = 4 ; m =1)
e) y = (M = không có ; m = 5)
f) y = 	 (M = 2 ; m = −)
Bài 2.
a) y =cos2x + 4sinx trên (M = 2 ; m =)
b) y = sin2x − x trên (M =  ; m = −)
c) y= sin4x−4sin2x+5 (đặt t=sin2x, tÎ[0 ;1]; M=5 ; m=2)
Bài 3. a) b) y = x2.ex trên [-3;2] 
c) trên [-3;2] d) trên [-8;6] 
e) x < 0 f) .
Bài 4. Tìm hình chữ nhật trong các hình chữ nhật có :
a) Chu vi nhỏ nhất biết diện tích S = 48 m2.
b) Diện tích lớn nhất biết chu vi = 16 cm.
KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. Hàm số BẬC BA: y = ax3 + bx2 + cx + d	(a ≠ 0)
1) Tập xác định: ¡ 
2) Sự biến thiên: 
Ÿ Giới hạn: a>0:y=−¥,y=+¥; 
 a<0:y=+¥,y=−¥.
Ÿ Chiều biến thiên: tính đạo hàm y’ = Ax2 + Bx + C (tính ), sau đây là các khả năng có thể xảy ra 
TH1:Þ y’< 0, "x¡ Þ HS nghịch biến /¡ (1)
TH2:Þ y’> 0, "x¡ Þ HS đồng biến /¡ (2) 
TH3:Þ y’£ 0, "x¡ Þ HS nghịch biến/ ¡ (3)
TH4:Þ y’³ 0, "x¡ Þ HS đồng biến / ¡ (4)
TH5, 6:>0. Cho y’= 0Û (5), (6)
Ÿ Bảng biến thiên : 
(Ứng với các trường hợp đạo hàm phía trên )
Căn cứ vào BBT kết luận các khoảng hàm số tăng; giảm
Ÿ Cực trị : 
* Các TH1, TH2, TH3, TH4 : Kết luận không có cực trị
* TH5: Hàm số đạt cực đại tại x = x1 và yCĐ = f(x1) 
 Hàm số đạt cực tiểu tại x = x2 và yCT = f(x2) 
* TH6: Hàm số đạt cực tiểu tại x = x1 và yCT = f(x1) 
 Hàm số đạt cực đại tại x = x2 và yCĐ = f(x2) 
3) Đồ thị 
Điểm uốn y” = ?; y” = 0 Û x = xo Þ yo. 
Kết luận điểm uốn I(xo; yo) 
Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy: x = 0 Þ y= ? 
+ Giao điểm với Ox (nếu có): y = 0 Þ x = ?
+ Các điểm cực trị; có thể lấy thêm vài điểm khác. 
+ Vẽ đồ thị gồm các bước: vẽ hệ trục; điểm đặc biệt; vẽ.
Đồ thị nhận điểm uốn I(xo; yo) làm tâm đối xứng.
2. Hàm trùng phương : y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0 )
a. TXĐ : D = ¡ 
b. Sự biến thiên: 
Ÿ Giới hạn: a>0: y = + ¥ ; a < 0 : y = − ¥ .
Ÿ Chiều biến thiên: Đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx 
= x (4ax2 + 2b). Có thể xẩy ra 1 trong 4 trường hợp sau: 
TH1: a < 0 và b < 0 thì y’= 0 Û x = 0 Þ y = f(0) . (1)
TH2: a > 0 và b > 0 thì y’= 0 Û x = 0 Þ y = f(0) . (2)
TH3: a 0 thì y’= 0 Û . (3) 
TH4: a > 0 và b< 0 thì y’= 0 Û . (4)
Xem BBT để kết luận khoảng tăng , giảm 
Ÿ BBT
Ÿ Cực trị : 
TH 1: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = f(0)
TH 2: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và yCT = f(0)
TH 3: Xem BBT để kết luận
TH 4: Xem BBT để kết luận
c. Đồ thị : 
* Điểm đặc biệt : Tương tự như HS bậc ba 
* Vẽ đồ thị : Thứ tự các bước vẽ như HS bậc ba. 
Nhận xét: Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng.
Ÿ a.b < 0: 3 cực trị. Ÿ a.b ≥0 : 1 cực trị.
3. Hàm nhất biến: y = ( c ¹ 0 ; ad –bc ¹ 0 )
a. TXĐ : D = ¡ \ 
b. Sự biến thiên: 
Ÿ Chiều biến thiên: Đạo hàm y’ = 
Có thể xẩy ra 1 trong 2 trường hợp sau :
TH1: y’ > 0 "xÎDÞ HS tăng / (-¥,) và (,+¥ ) (1) 
TH1: y’ < 0 "xÎDÞ HS giảm/ (-¥,) và (,+¥ ) (2) 
Ÿ Cực trị: Không có 
Ÿ Tiệm cận : ( có TCĐ và TCN)
* y’ > 0: và
 y’ < 0: và 
Þ đường thẳng x = là TCĐ 
* Þ đường thẳng y = là TCN
Ÿ Bảng biến thiên :
c. Đồ thị : 
* Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy: x = 0 Þ y = ?; với Ox: y = 0 Þ x =?
 Có thể lấy thêm vài điểm khác
* Vẽ đồ thị : Gồm các bước : Vẽ hệ trục ; vẽ hai đường tiệm cận ; lấy điểm đặc biệt, từ đó vẽ đồ thị. 
Các dạng đồ thị ứng với 2 trường hợp trên như sau:
(1)
(2)
Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 1: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 − 3x + 2
2)Dùng đồ thị biện luận số nghiệm pt: x3−3x + 2−m = 0.
3)Viết phương trình tiếp tuyến của (C) a) tại điểm M(2; 4).
b) tại điểm có hoành độ . c) tại các điểm có tung độ là 0 .
Bài 2 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) : .
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận p trình : x3−3x+m − 1 = 0
3)Viết pttt với (C), biết tiếp tuyến // đường thẳng x + 9y + 5 = 0.
4)Đường thẳng d đi qua điểm M(0;−2) và có hệ số góc k.
Định giá trị tham số k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Khi k = −1, tính diện tích hình phẳng giỡi hạn bỡi (C) &d
5)Cmr tiếp tuyến với (C) tại điểm M(0;−2) có hệ số góc lớn nhất.
Bài 3 Cho hàm số (C)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Biện luận theo m số nghiệm phtrình: x3 − 6x2 + 9x + 3 − m=0
Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C) .
Viết pt tiếp tuyến của (C) tại điểm có hệ số góc nhỏ nhất 
*Viết pt đường thẳng đi qua điểm và tiếp xúc (C) .
Bài 4. Cho hàm số 	(C)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Tìm m để (C’): y = (2−x)(m−2) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 
Viết pt tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến //d1:
*Tìm m để d2: y = |m|(x+1) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt .
Viết pt parabol đi qua các điểm cực đai, cực tiểu và M(−3;4).
Bài 5 Cho hàm số y = x4 − 2x2 (C). 
1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của p trình x4 − 2x2 = m.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) 	
a) tại điểm có hoành độ 
b) tại điểm có tung độ y = 8 . 
c) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24
Bài 6 Cho hàm số . (1)
1) Định giá trị tham số m để hàm số có 3 điểm cực trị.
2) Khi m = 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên .
3) Khảo sát và vẽ đồ thi (C) của hàm số (1) khi m = 1.
4) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm pt: x4 − 2x2 + 2k −1= 0
5) Viết pt tiếp tuyến với (C) tại M(x0 ; y0)(C), biết f ”(x0) = 0.
6) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và trục hoành. 
Bài 7 Cho hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 (1)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi .
Tìm k để pt x4 − 8x2 + 10k = 0 có hai nghiệm thực phân biệt .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 2x + 45y − 1 = 0.
Tìm m để hàm số có một điểm cực trị .
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị .
Bài 8 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : .
Đường thẳng (d) đi qua I(1; −2) có hệ số góc k.
Biện luận theo k số giao điểm của (d) và (C).
Trong trường hợp (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh các tiếp tuyến với (C) tại A và B song song nhau.
Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng x + y + 2010 = 0.
Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm pt mx+2x−1−m=0.
Tính Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bỡi: (C), Ox; đ thẳng x= −1, khi cho hình phẳng quay xung quanh trục Ox.
Bài 9 Cho hàm số (C)
Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) a) biết hệ số góc k = 4.
b) tại điểm có hoành độ . c) tại điểm có tung độ . 
3. Tìm m để cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 10 1.Khào sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất .
3.Tìm m để đường thẳng d1: y = mx −2m − 7 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt .Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB .
4.Viết pttt của (C), biết tiếp tuyến ^ d2: x + y − 2 = 0.
5.Tìm những điểm Î (C) có toạ độ là số nguyên .
Bài 11 1. Khào sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2.Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng y = m.
3.Viết pttt của (C) tại các giao điểm của (C) và đường y = − x
4.Tìm GTLN và GTNN của trên .
5.Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua d2:y =
Bài 12 1. Khào sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2.Tìm toạ độ những điểm M sao cho .
3.Viết pt tiếp tuyến của (C) tại những điểm tìm được ở câu 2 .
4.Chứng tỏ giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng của (C) .
5.Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt 
Tự luyện : Khảo sát các hàm số
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = − x3 + 3x2 (C).
2. Viết ptrình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng -1.
3. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
ĐS: 2. d: y = −9x −7; 3.
1. Khảo sát hàm số y = có đồ thị (C).
2. Biện luận theo m số nghiệm ph trình (*).
3. Viết pttiếp tuyến d với (C) tại giao điểm của (C) với trục Ox.
ĐS: 2. 	 hoặc m < 0 (*) có 1 nghiệm;
 	 hoặc m = 0 (*) có 1 nghiệm
	 (*) có 3 nghiệm	 3. 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (C).
2. Xác định m để pt có 3 nghiệm phân biệt.
3. Viết ptrình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
ĐS: 2. -5<m<1; 3. d: y=-3x+6
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = (x + 1)3 (C).
2. Viết ptttuyến d với (C) tại tâm đối xứng.	ĐS: 2. d:y = 0
1. Khảo sát hàm số (C).
2. Viết pttt d với (C) tại giao điểm cùa (C) với Oy. ĐS:y=-4x+2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (C)
2. Biện luận theo m số nghiệm phương trình
ĐS: 2. 	m > 4 phương trình vn; m = 4 phương trình có 2 nghiệm
	3< m <4 phương trình có 4 nghiệm;
	m = 3 phương trình có 3 nghiệm
	m< 3 phương trình có 2 nghiệm
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Biện luận theo m số nghiệm phương trình .
ĐS: 2. phương trình có 2 nghiệm 
 phương trình có 3 nghiệm
 phương trình có 4 nghiệm	 phương trình có 2 nghiệm
	 phương trình vô nghiệm
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Biện luận theo m số nghiệm phương trình
3. Viết p trình tiếp tuyến với (C ) tại điểm có hoành độ bằng −2.
ĐS: 2.	m >2 2 ngh pb; m=2 có 3 nghiệm; 0 <m < 2 có 4 nghiệm 
m = 0 có 2 nghiệm; m < 0 vô nghiệm	3. d: y=-48x-78
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = x4 + x2 (C).
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm pt x4 + x2 =2m.
ĐS: 2. m>0 có 2 nghiệm; m=0 có 1 nghiệm; m<0 vô nghiệm
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = x2(x2 − 2) (C).
2. Định m để phương trình x4 − x2 = m có 4 nghiệm phân biệt.
3. Tinh thể tích vật thể khi cho hình phẳng giới hạn bời (C) và hai đường thẳng x=0, x=1 xoay quanh trục Ox.	ĐS: 	2. −1< m < 0	3. 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (C).
2. Viết ph trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
3. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bời (C) và hai đường thẳng x= -3, x= -1.ĐS: 2. d: y = x + 2	3. S = 6 − 4ln2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại giao điểm cùa (C) với trục hoành. ĐS: 2. d: y = −4x + 2
 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (C).
2. Viết pt tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng −3.
3. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bời (C), x = −5 và Ox.
ĐS: 2. d: y = −x −3	3. S = 3 − 4ln2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (C).
2. Viết pt tiếp tuyến d với (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2 .
3. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bời (C), x=2 và x = 4.
ĐS: 2. 3. 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (C).
2. Viết p trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có tung độ bằng −2.
3. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ), và hai trục tọa độ.
ĐS: 2. 	3. S=2ln2-1
 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số 
1/ y = x3 - 3x; 2/ y = x4 - 2x2 + 1; 3/; 4/
Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số 
a/; b/ ; c/; d/
Bài 3: Biện luận theo m số nghiệm của PT: x3 - 3x - m = 0
Bài 4: CMR: Đồ thị (C) của hàm số luôn cắt đường thẳng (d) : y = m − x với mọi giá trị của m.