Ôn tập TN THPT môn Hình (chương I - II)

CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
----- oOo -----
F CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
I- MỘT SỐ CÔNG THỨC HÌNH HỌC PHẲNG THƯỜNG SỬ DỤNG:
Trọng tâm G của tam giác là giao điểm ba đường trung tuyến, và.
Trực tâm H của tam giác ABC là giao điểm ba đường cao.
Tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực.
Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong.
 1. Tam giác vuông ABC vuông tại A:
· Hệ thức lượng:
 sina = cosa = 
 tana = cota = 
· Định lí Pitago: BC2 = AB2 + AC2
· Diện tích: S = AB.AC
· Nghịch đảo đường cao bình phương: 
· Độ dài đường trung tuyến AM = 
· Công thức khác:
 AB.AC = AH.BC BA2 = BH.BC CA2 = CH.CB
 2. Các công thức đặc biệt:
	· Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)2 ´	· Chiều cao tam giác đều: h = cạnh ´
	· Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh ´
 3. Hệ thức lượng trong tam giác:
	· Định lí Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bccosA	 b2 = a2 + c2 - 2accosB	 c2 = a2 + b2 - 2abcosC
	· Định lí sin:
 4. Các công thức tính diện tích tam giác ABC:
	Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh tương ứng là a, b, c; chiều cao tương ứng với các góc A, B, C là ha, hb, hc; r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp DABC; Gọi S là diện tích DABC:
	· S = 	· S = 
	· S = 	· S = pr	· S =(với p =)
 5. Diện tích các hình đặc biệt khác:
	· Hình vuông: S = cạnh ´ cạnh	· Hình thoi: S =(chép dài ´ chéo ngắn)
	· Hình chữ nhật: S = dài ´ rộng	· Hình thang: S =(đáy lớn + đáy bé) ´ chiều cao
	· Hình tròn: S = pR2	· Hình bình hành: S = đáy ´ chiều cao 
 6. Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet: 
· DABC ∽DMNP nếu chúng có hai góc tương ứng bằng nhau.
· Nếu DABC ∽DMNP thì 
II- MỘT SỐ HÌNH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THƯỜNG SỬ DỤNG:
Hình chóp tứ giác đều
Hình chóp có mp(SAB) ^ (ABC)
Hình chóp tam giác đều
Hình chóp S.ABC có cạnh bên vuông góc mặt đáy.
Hình chóp S.ABC có ba cạnh bên tạo với đáy một góc a.
Lăng trụ thường
Lăng trụ đứng
* Chú ý: Lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Hình hộp thường
Hình hộp chữ nhật
* Chú ý: Hình lập phương là hình hộp có 6 mặt là hình vuông.
III- MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG:
 1. Một số phương pháp chứng minh trong hình học không gian:
	· Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Phương pháp: 
 Để chứng minh đường thẳng D vuông góc mp(P) ta chứng minh D vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong mp(P).
Trình bày bài giải:
 Ta có: 
 Þ D ^ (P)
	· Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
Phương pháp: 
 Để chứng minh đường thẳng D vuông góc với đường thẳng d ta chứng minh D vuông góc với mp(P) chứa d.
Trình bày bài giải:
 Ta có: D ^ (P) É d
 Þ D ^ d
	· Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
Phương pháp: 
 Để chứng minh mp(Q) ^ mp(P) ta chứng minh mp(Q) chứa một đường thẳng D vuông góc mp(P).
Trình bày bài giải:
 Ta có: 
 Þ (Q) ^ (P)
 2. Hai định lí về quan hệ vuông góc:
· Định lí 1: Nếu mp(P) và mp(Q) cùng vuông góc với mp(a) thì giao tuyến (nếu có) của chúng vuông góc mp(a).
· Định lí 2: Cho mp(P) vuông góc mp(Q). Một đường thẳng d nằm trong mp(P) vuông góc với giao tuyến D của (P) và (Q) thì d vuông góc mp(Q).
 3. Góc:	
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
 Góc giữa đường thẳng D và mp(a) là góc giữa D và hình chiếu D' của nó trên mp(a).
@ Trình bày bài giải:
 · Ta có D' là hình chiếu của D trên mp(a)
 · Suy ra: (D,(a)) = (D,D') = j
Góc giữa hai mặt phẳng:
 Góc giữa hai mặt phẳng (a) và (b) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (a), (b) và cùng vuông góc với giao tuyến.
@ Trình bày bài giải:
 · Ta có 
 · Suy ra: ((P),(Q)) = (d,d') = j
 4. Khoảng cách:
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
 Khoảng cách giữa đường thẳng D và mp(a) song song với nó là khoảng cách từ một điểm M trên D đến mp(a).
@ Trình bày bài giải:
 d(D,(a)) = d(M,(a)) = MH
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng D và D' chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của D và D' và bằng với khoảng cách giữa D và mp(a) chứa D' và song song với D.
@ Trình bày bài giải:
 d(D,D') = d(D,(a)) = d(A,(a)) = AH
 5. Định lí ba đường vuông góc, công thức diện tích hình chiếu:
Gọi d' là hình chiếu của d trên (a). Ta có:
D ^ d' Û D ^ d
S' = Scosa
& Ghi chú:
..................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................... 
PHẦN II/ KIẾN THỨC CƠ BẢN LỚP 12
KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các cơng thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
	V=B.h với 
Thể tích khối hộp chữ nhật:
 V= a.b.c với a,b,c là ba kích thước
Thể tích khối lập phương:
 V=a3 với a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:
 V=Bh với 
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta cĩ:
3. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT:
với 
Chú ý:
- Đường chéo của hình vuơng cạnh a là a, Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a, Đường chéo của hình hộp chữ nhật cĩ 3 kích thước a, b, c là , 
-Đường cao của tam giác đều cạnh a là 
- Hình chĩp đều là hình chĩp cĩ đáy là đa giác đều, các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc cĩ đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
Lăng trụ đều là lăng trụ đứng cĩ đáy là đa giác đều.
 - Khối đa diện thoả:
 + Mỗi mặt của nĩ là một đa giác đều p cạnh
 + Mỗi đỉnh của nĩ là đỉnh chung của đúng q mặt
 Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p; q}
 Người ta CM được: Chỉ cĩ 5 loại khối đa diện đều. Đĩ là loại {3; 3}, loại {4; 3}, loại {3; 4}, loại {5; 3}, loại {3; 5}.
Loại{3; 3}-Tứ diện đều 
loại {4; 3}- Hình lập phương
loại {3; 4}- Bát diện đều
loại {5; 3}-Thập nhị diên đều
loại {3; 5}-Nhị thập diên đều.
KHỐI TRỊN XOAY
1/Cơng thức tính diện tích và thể tích khối nĩn
1. Hình trụ- Khối trụ:
2. Hình nĩn – Khối nĩn	
3.Hình nĩn cụt – Khối nĩn cụt:
4. Mặt cầu – Khối cầu:
THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
Dạng 1: Khối lăng trụ đứng cĩ chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuơng cân tại A cĩ cạnh BC = a và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
 Ta cĩ
 vuơng cân tại A nên AB = AC = a
 ABC A'B'C' là lăng trụ đứng 
 Vậy V = B.h = SABC .AA' = 
Ví dụ 2:Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' cĩ cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này
Lời giải:
 ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên 
 BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 
 ABCD là hình vuơng 
Suy ra B = SABCD = 
 Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3
Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h
 trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Tìm diên tích B = SABC bằng cơng thức nào ?
+ Từ diện tích suy ra cạnh nào ? tại sao ? 
+ Tìm h = AA' dùng tam giác nào và định lí gì ?
Lời giải:
 Gọi I là trung điểm BC .Ta cĩABC đều nên
Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng cĩ đáy là hình thoi cạnh a và cĩ gĩc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp . 
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Tìm diện tích B của hình thoi ABCD bằng cách nào ?
+ Tìm h = DD' trong tam giác vuơng nào ? và định lí gì ?
Lời giải:
Ta cĩ tam giác ABD đều nên : BD = a
và SABCD = 2SABD = 
Theo đề bài BD' = AC = 
 Vậy V = SABCD.DD' = 
Ví dụ 5: Một tấm bìa hình vuơng cĩ cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi gĩc tấm bìa một hình vuơng cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật khơng cĩ nắp. Tính thể tích cái hộp này. 
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Tìm h = AA' ? Tại sao ?
+ Tìm AB ? Suy ra B = SABCD = AB2 ? 
Giải
 Theo đề bài, ta cĩ 
AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình vuơng cĩ AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm 
 và chiều cao hộp h = 12 cm
 Vậy thể tích hộp là V = SABCD.h = 4800cm3
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho lăng trụ đứng cĩ đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ. ĐS: ; S = 3a2
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' cĩ đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng . Tính thể tích của lăng trụ. Đs: V = 2a3
Bài 3.Lăng trụ đứng tứ giác cĩ đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ. Đs:V = 240cm3 và S = 248cm2
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác cĩ độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ .	 Đs: V = 1080 cm3
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B cĩ đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ.	 Đs: V = 24a3
Bài 6:Cho lăng trụ đứng tứ giác đều cĩ tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ.	Đs: V = 64 cm3
Bài 7.Cho lăng trụ đứng tam giác cĩ các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ.	Đs: V = 2888
Bài 8. Cho khối lập phương cĩ tổng diện tích các mặt bằng 24 m2 .Tính thể tích khối lập phương. 	 Đs: V = 8 m3
Bài 9:Cho hình hộp chữ nhật cĩ 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.	Đs: V = 0,4 m3
Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là . Tính thể tích khối hộp này.	Đs: V = 6
 Dạng 2: Lăng trụ đứng cĩ gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một gĩc 600 . Tính thể tích lăng trụ.
*) Tìm hình chiếu của A'B trên đáy ABC. Suy ra gĩc [A'B,(ABC)] = ?
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
*) Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng cơng thức nào ?
*) Tìm h = AA' trong tam giác vuơng nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Lời giải:
 Ta cĩ là hình chiếu của A'B trên đáy ABC . 
 Vậy 
 SABC = 
 Vậy V = SABC.AA' = 
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A với AC = a , = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một gĩc 300. Tính AC' và thể tích lăng trụ.
Phân tíc ... ch khối chĩp thành 2 
 khối tứ diện nào mà tính thể tích đơn giản hơn ?
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:Gọi I là trung điểm AB, 
b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’.
+Khối A’CEFcĩ đáy là CEF, đường cao A’A nên 
+Gọi J là trung điểm B’C’. Ta cĩ khối A’B’CF cĩ đáy là CFB’, đường cao JA’ nên 
+ Vậy : 
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 cĩ ABC vuơng. AB = AC = a; AA1 = a. M là trung điểm AA1. Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Đs:V = 
Bài 2: Hình chĩp SABCD cĩ ∆ABC vuơng tại B, SA(ABC). = 60o, 
BC = a, SA = a,M là trung điểm SB.Tính thể tích MABC . Đs: VMABC = 
Bài 3: SABCD cĩ đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, = 90o. ∆SAC và ∆SBD là các tam giác đều cĩ cạnh bằng . Tính thể tích khối chĩp SABCD. Đ s: VSABCD = 
Bài 4: Tính thể tích hình chĩp tam giác đều SABC trong các trường hợp sau:
Cạnh đáy bằng 1, gĩc ABC = 60o . Đs: V = 
AB = 1, SA = 2 . Đs: V = 
Bài 5. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ cĩ độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuơng tại A, 
AB = a, AC = a. Hình chiếu vuơng gĩc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC. 
 Tính VA’ABC theo a? Đs: V = 
Bài 6: Cho hình chĩp SABC cĩ đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = và gĩc giữa 2 đường chéo bằng 60o, các cạnh bên nghiêng đều với đáy 1 gĩc 45o. 
 Tính VSABCD . Đs: 
Bài 7: Cho hình chĩp SABC cĩ SA = SB = SC = a. ASB = 60o, BSC = 90o,
 CSA = 120o.Chứng minh rằng ∆ABC vuơng .Tính VSABC . Đs: 
Bài 8: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh 2a, SA = a ,SB=và mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB.BC.Tính theo a thể tích khối chĩp S.BMDN 
 Đs: 
Bài 9: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ cĩ cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra. Đs: k = 1
Bài 10: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a,mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD.Chứng minh AM vuơng gĩc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
 Đs : 
THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY
Dạng tốn1: Tính thể tích, diện tích của khối nĩn
Cách giải: 
Xác định đường cao bán kính của khối nĩn.
Áp dụng cơng thức phù hợp
Bài 1: Cho hình chĩp lục giác đều S.ABCDEF cĩ cạnh đáy bằng a cạnh bên 2a. Tính thể tích và diện tích xung quanh khối nĩn ngoại tiếp hình chĩp.
Lời giải:
Lục giác đều ABCDEF cạnh a nên nĩ nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R=a. 
Xét tam giác SAD cĩ SA=SD=2a=AD suy ra tam giác SAD đều vậy đường cao SO=a3 chính là đường cao của hình chĩp.
Vnĩn=13πR2h=13πa2.a3=πa333
Sxq=πRl=πa.2a=2πa2
Bài 2: Một hình nĩn cĩ đường sinh bằng a gĩc ở đỉnh bằng 90o. Cẳt hình nĩn bởi một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh sao cho gĩc giữa (P) và đáy hình nĩn bằng 60o
Tính thể tích và diện tích tồn phần của khối nĩn.
Tính diện tích thiết diện.
Lời giải: 
Giả sử ta cĩ hình nĩn đỉnh S trục SO mặt phẳng (P) cắt hình nĩn theo thiết diện là tam giác SAB gọi M là trung điểm AB.
Gĩc ở đỉnh của hình nĩn bằng 90o nên OSA=45o suy ra OS=OA=a22
Vnĩn=13πR2h=13πa222.a22=πa3212
Stp=Sxq+Sđáy=πRl+πR2=πa222+πa22=πa22+12
Tam giác SAB cân tại S cĩ M là trung điểm AB ⟹SM^AB
Tam giác OAB cân tại O ⟹OM ^AB 
vậy gĩc giữa (P) và đáy hình nĩn là gĩc SMO
tam giác SOM vuơng ⟹SM=OSsin60o=a23=a23 
tam giác OAM vuơng tại M AM=OS-SM2=a2-2a23=a33
SSAB=12SM.AB=a23.a33=a223
Bài 3: Cho hình nĩn sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối cầu cĩ thể tích bằng thể tích khối nĩn thì khối cầu cĩ bán kính bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Khối nĩn sinh bởi tam giác đều cạnh a nên cĩ bán kính R=a/2 và chiều cao h=a32⟹Vnĩn=13πR2h=13πa24.a32=πa3324
Gọi R’ là bán kính khối cầu khi đĩ 
Vcầu=4πR'33=πa3324⟺R'3=a33396⟺R'=a3234
vậy bán kính khối cầu R'=a3234.
Dạng tốn2: Tính thể tích, diện tích của khối trụ
Cách giải: 
Xác định đường cao bán kính của khối trụ.
Áp dụng cơng thức phù hợp
Bài 1: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuơng cạnh 2a 
Tính thể tích và diện tích xung quanh khối trụ theo a.
Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp khối trụ
Lời giải:
Thiết diện qua trục là hình vuơng cạnh 2a nên hình trụ cĩ bán kính R=a và chiều cao h=2a
Sxq=2πRh=4πa2 ; Vtru=πR2h=2πa3
Giả sử cĩ lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp khối trụ do ABCD là hình vuơng cĩ đường chéo 2a ⟹SABCD=12AC.BD=2a2
Vậy thể tích lăng trụ là V=Sđáy.Cao=2a2.2a=4a3
Bài 2: Một khối trụ cĩ bán kính R và chiều cao R3
Tính diện tích tồn phần và thể tích khối trụ theo R.
Cho hai điểm A,B lần lượt nằm trên hai đường trịn đáy sao cho gĩc giữa AB và trục hình trụ là 30o. Tính khoảng cách giữa AB và trục hình trụ.
Lời giải:
Stp=Sxq+2Sđáy=2πRh+2πR2=
=2πR2 3+2πR2=2πR23+1
VTrụ=πR2h=3πR3
Từ A kẻ đường sinh AA’//OO’ , gọi M là trung điểm của A’B
OO’//AA’ suy ra gĩc hợp bởi AB và trục hình trụ là gĩc A’AB
Mặt khác OO’//(A’AB) nên khoảng cách giữa trục OO’ và AB là khoảng cách từ O đến mp(A’AB) hay chính là độ dài đoạn OM.
Tam giác AA’B vuơng tại A’ ⟹A'B=AA'tan300=R3.33=R
Tam giác OA’M vuơng tại M ⟹OM=OA'2-A'M2=R2-R24=R32
Vậy khoảng cách trục hình trụ và AB là d=R32.
Bài 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh a chiều cao bằng 2a
Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ.
Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ
Lời giải :
Tam giác ABC đều cạnh a nên cĩ đường cao a32 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là R=a33
Thể tích khối trụ Vtrụ=πR2h=πa3322a=23πa3
Gọi I là trung điểm của trục hình trụ OO’ khi đĩ bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là IA=IO2+OA2=a2+a23=2a3
Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ là 
VCầu=4πR33=43π2a33=32πa393
Bài 4: Một khối hộp chữ nhật cĩ ba kích thước là a,b,c nội tiếp trong khối trụ. Tính thể tích khối trụ.
Lời giải :
Ta cĩ nhận xét cĩ ba khối trụ ngoại tiếp khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cĩ ba kích thước AB=a,AD=b,AA’=c
Ta giả sử rằng khối trụ ngoại tiếp cĩ đáy nằm trên mp(ABCD). Khi đĩ bán kính khối trụ R=AC2=a2+b22
Và chiều cao khối trụ là AA’=c
 Thể tích khối trụ V=πR2h=πa2+b2c4
Như vậy thể tích khối trụ là
πa2+b2c4 hoặc πc2+b2a4hoặc πa2+c2b4
Dạng 3: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chĩp.
Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp.
Tìm một điểm cách đều các đỉnh hình chĩp.
Tìm một đoạn mà các đỉnh nhìn đoạn đĩ dưới một gĩc vuơng
Tìm giao của trục đường trịn đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.
Bài 1: Cho tứ diện S.ABC cĩ SA ^ (ABC) đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SC. Cho SA=AB=a
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm SC ta cĩ SA^(ABC) Þ SA^AC tam giác SAC vuơng tại A ÞIS=IA=IC (trung tuyến bằng nửa cạnh huyền)
CB^AB, CB^SA ÞCB^(SAB) ÞCB^SB tam giác SBC vuơng tại B ÞIS=IC=IB.
Vậy I cách đều các đỉnh của tứ diện hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện băn kính R=SC2=a32.
Gọi O là trung điểm của AC
Tam giác ABC vuơng tại A ÞOA=OB=OC .
Tam giác AKC vuơng tại K ÞOA=OC=OK.
Vì AH^SB; AH^BC ÞAH^(SBC)ÞAH^HC
Tam giác AHC vuơng tại H ÞOA=OC=OH.
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK.
Bài 2: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a cạnh bên a2 . Gọi A’B’C’D’ lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC,SD. Chứng minh rằng các điểm ABCD.A’B’C’D’ cùng thuộc mặt cầu , tìm tâm và bán kính mặt cầu đĩ.( hãy thay giả thiết cạnh bên bằng a2 bằng giả thiết cạnh bên cĩ độ dài a).
Lời giải: 
Gọi H là tâm của hình vuơng ABBCD do hình chĩp đều nên SH ^(ABCD) ÞSH là trục đường trịn của đa giác đáy, măt khác A’B’C’D’//ABCD và A’B’C’D’ là hình vuơng ÞSH ^(A’B’C’D’) và SH đi qua H’ kà giao điểm của hai đường chéo hình vuơng A’B’C’D’ vậy SH là trục của đường trịn ngoại tiếp hai đa giác đáy của khối chĩp cụt.
Ta chứng minh ABCD.A’B’C’D’ cùng thuộc mặt cầu tâm H 
Thật vậy do SA=SC=AC=a2 nên tam giác SAC đều ÞHA’=a22=HA=HC=HC'
Mặt khác H thuộc trục đường trịn ngoại tiếp đai đa giác ABCD và A’B’C’D’ nên
HA=HB=HC=HD=HA’=HB’=HC’=HD’ vậy các điểm ABCD.A’B’C’D’ cùng thuộc mặt cầu cĩ tâm H bán kính R=a22
Dạng 4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Lăng trụ nội tiếp mặt cầu nếu nĩ là lăng trụ đứng cĩ đáy nội tiếp trong đường trịn.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn nối tâm của hai đường trịn đáy.
Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều cĩ cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Tính thể tích và diện tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Lời giải.
Giả sử cĩ lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ . Gọi O và O’ là tâm đường trịn ngoại tiếp hai hai đáy ABC và A’B’C’. Gọi I là trung điểm của OO’ khi đĩ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Xét tam giác IOA vuơng tại O ta cĩ R=IA=IO2+OA2=a24+a23=a712 
vậy Vcầu=4πR33=π7a39. 712 
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác vuơng cân tại A. Biết gĩc hợp bởi B’C và mặt phẳng đáy bằng 60o và BC=a. Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ.
CÁC BÀI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Bài 1 : Cho hình chĩp tam giác đều S.ABCcĩ cạnh đáy bằng a khoảng cách giữa cạnh bên và cạnh đáy đối diện bằng m tính thể tích khối chĩp theo a và m.
Bài 2 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, gĩc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60o. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a. (TN-THPT2010).
Bài 3 Cho hình chĩp S.ABC cĩ mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Biết BAC=1200, tính thể tích khối chĩp S.ABC theo a. (TN-THPT2009).
Bài 4 Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
1) Chứng minh SA vuơng gĩc với BC.
2) Tính thể tích khối chĩp S.ABI theo a.(TN-THPT 2008)
Bài 5 Cho hình chĩp tam giác S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại đỉnh B, cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chĩp S.ABC
(TN THPT 2007)
Bài 6 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy, cạnh bên SB bằng a3.
1. Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD.
2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABCD.(TN-THPT 2006)
Bài 7 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng đáy,SA=SB, gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45o . Tính theo a thể tích của khối chĩp S.ABCD. (Khối A-CĐ2010).
Bài 8 Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ AB=a;SA=a2 Gọi M,N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,SB và CD Chứng minh rằng đường thẳngMN vuơng gĩc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.(Khối A- CĐ2009)
Bài 9 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O; SA = SB = SC = SD. Biết AB = 3a, BC = 4a và SAO = 45o. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a. (GDTX-2010)
Bài 10 Cho hình chĩp.SABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) và SB=2a Tính thể tích khối chĩp theo a.(GDTX-2011)
Bài 11 Cho hình chĩpSABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D với AD=CD=a, AB=.3a Cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt đáy và cạnh bên SB tạo với mặt đáy một gĩc 45o. Tính thể tích khối chĩp theo a.(TN-THPT2011)