Ôn tập thể tích khối đa diện

ÔN TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông ở A , AH là đường cao, M là trung điểm Của BC ta có : 
H
C
A
B
M
1). Định lí pitago: 
2).;; 	3). 
II). CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH 
1). DIỆN TÍCH TAM GIÁC ABC
Nếu bất kì và R; r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của ; ; 
H
A
c
C
B
a
b
; 
* vuông tại A : ; 
* đều cạnh là a : 
* Hình chữ nhật S = a.b
* Hình vuông S = a2
* Hình bình hành ABCD : S = AB.AD.SinA
* Hình thoi ABCD : 
* Hình thang ABCD : (a, b là hai đáy , h là đường cao )
* Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc : 
* Định lí Cos & Sin 
 * ; b2 = a2 + c2 – 2acCosB ; c2= a2 + b2 – 2acCosB
 * 
Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng dựa theo định lý:
Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý: 
Cách xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng : 
+ Xác định hình chiếu d của a trên mặt phẳng 
+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa d và a
CÁC CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH
Thể tích khối đa diện
Thể tích khối chóp 
Thể tích khối lăng trụ 
Chú ý: có thể sử dụng công thức sau đây khi giải toán 
Khối tròn xoay, mặt tròn xoay.
Thể tích khối nón tròn xoay 
Thể tích khối trụ tròn xoay 
Thể tích khối cầu 
Diện tích xung quanh của mặt nón, mặt trụ, mặt cầu lần lượt là 
BÀI TẬP THẺ TÍCH 
Tính thể tích của khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, , , , . 
Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, , SA, góc giữa cạnh bên SB và đáy bằng 600. Tính thể tích của khối chóp.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết AB = a, BC = 2a, SC = 3a và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA(ABC), biết AB = a, BC = , SA = 3a.
1/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2/ Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài của cạnh BI theo a.
Tính thể tích của khối chóp đều S.ABC có cạnh bằng a.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên đều tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp.
Cho hình chóp đều S. ABC, đường cao SO của hình chóp tạo với mặt bên một góc 300, khoảng cách từ O đến một mặt bên bằng a (cm). Tính thể tích khối chóp.
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, . Mặt bên (SBC) tạo với đáy một góc 600 và SA(ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Cho tam giác cân ABC, có , . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm S sao cho .
a. Tính thể tích khối chóp SABC .
b. Tính diện tích , suy ra khoảng cách từ A đến mp(SBC). 
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, (a >0). Tam giác SAC cân tại S góc SAC bằng 600 ,(SAC) ^ (ABC). Tính thể tích của của khối chóp S.ABC theo a.
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh .
a. CMR vuông. Tính diện tích .
b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc 300.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy.
1/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2/ Chứng minh trung điểm I của cạnh SC là tâm của mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên và vuông góc với đáy, góc giữa SC và đáy là 450 .Tính thể tích của khối chóp.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SB vuông góc với đáy, cạnh bên SC bằng .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.Chứng minh trung điểm của cạnh SD là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Tính .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, , , , . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC =BD= a. Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, . Mặt bên SAD là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo a.
TN2006 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hìh vuông cạnh a. SA (ABCD), SB = a . 1) Tính thể tích VSABCD. 2) Chứng minh trung điểm SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.
TN2007l1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B. SA (ABC). Biết SA= AB=BC=a. Tính thể tích SABC.
TN2007l2 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
TN2008 l1 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của BC. 1) Chứng minh SA vuông góc BC. 2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.
TN2008 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,đường thẳng SA vuông góc (ABC). Biết AB=a, BC=a và SA = 3a. a) Tính thể tích S.ABC theo a. b) Gọi I là trung điểm SC, Tính BI theo a.
TN2009 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết =1200, tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
TN2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Góc gữa mp(SBD) và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp theo a.
Cho hình lăng trụ đứng , vuông tại A, , góc giữa với mp bằng .
	1. Tính độ dài đoạn .
	2. Tính thể tích khối lăng trụ. 
KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Bài 28 Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mp (ABC) và (ACS) cùng vuông góc (SBC). Tính thể tích khối chóp.
Bài 29 Cho hình chóp SABC có dáy ABC là tam giác vuông Cân tại B với AC bằng a . Biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 600 .
Chứng minh các mặt bên là những tam giác vuông.
Tính thể tích khối chóp
Bài 30 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA vuống Góc đáy và (SBC) hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích hình chóp.
Bài 31 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy , mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 600.
Tính thể tích hình chóp SABCD.
Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD).
Bài 32 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BC = BA = a, biết SA vuông với đáy và SB hợp với (SAB) một góc 300. Tính thể tích hình chóp 
Bài 33 Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h biết tam giác ABC đều và mp (SBC) hợp với đáy một 300. Tính thể tích khối chóp SABC.
Bài 34 Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy, biết SB = a, SC hợp với SAB một góc 300 và (SAC) hợp với đáy một góc 600 
	1. Chứng minh rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2
 2. Tính thể tích hình chóp 
Bài 35 Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc ABC, biết AC = AD = 4 cm, AB = 3 cm , BC= 5 cm
Tính thể tích ABCD 
Tính khoảng cách từ A đến mp (BCD).
Bài 36 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a góc = 1200 , biết SA vuông góc (ABC) và mp(SBC) hợp với đáy 1 góc 450. Tình thể tích khối chóp SABC
Bài 37 Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết SA vuông đáy , SC = a và SC hợp với đáy 1 góc 600 . Tính thể tích khối chóp 
Bài 38 Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD lá hình chữ nhật, biết rằng SA vuông đáy, SC hợp với đáy 1 góc 450 và AC = 3a, BC = 4a . Tính thể tích khối chóp.
Bài 39 Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 600 và SA vuông góc đáy, biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC bằng a. Tính thể tích khối chóp SABCD.
Bài 40 Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B , biết AB = BC = a , AD = 2a, SA vuông góc đáy và (SCD) hợp với đáy 1 góc 600. Tính thể tích khối chóp SABCD.
Bài 41 Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều nội tiếp trong nữa đường tròn đường kính AB = 2R , biết mp (SBC) hợp với đáy ABCD 1 góc 450. Tính thể tích khối chóp SABCD.
KHỐI CHÓP CÓ MỘT MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Bài 42 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều nằm trong mp vuông góc với đáy 
CMR chân đường cao của khói chóp trùng với trung điểm của cạnh AB
Tính thể tích của khối chóp SABCD
Bài 43 Cho tứ diện ABCD có đáy ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, (ABC) vuông góc (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 600. Tính thể tích cuẩ khối chóp ABCD.
Bài 44 Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cận B, có BC= a, mặt bên (SAC) vuông góc đáy , các mặt bên còn lại đều tạo với đáy một góc 450 
CMR chân đường cao của khói chóp trùng với trung điểm của cạnh AC
Tính thể tích của khối chóp SABC
Bài 45 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SBC caan tại S và nằm trong mp vuông góc ABC
CMR chân đường cao của khói chóp trùng với trung điểm của cạnh BC
Tính thể tích của khối chóp SABC
Bài 46 Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a, biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mp vuông góc (ABC) ; mp(SAC) hợp với (ABC) một góc 450. Tính thể tích của khối chóp SABC
Bài 47 Cho hình chóp SAB có , SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB) vuông góc (ABC) . Tính thể tích khối chóp SABCC
Bài 48 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều ; tam giác SBC có dường cao SH = a và (SBC) vuông góc đáy, biết SB hợp với đáy một góc 300 . Tính thể tích của khối chóp SABC
Bài 49 Cho tứ diện ABCD có ABC vầ BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mp vuông góc với nhau biết AD = a . Tính thể tích tứ diện
Bài 50 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên (SAB) là tam giác đều có đường cao SH = h nằm trong mp vuông góc với đáy.
Chứng minh chân đường cao trùng với trung điểm của cạnh AB
Tính thể tích khối chóp SABCD
Bài 51 Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, BC = 4a, mp(SAB) vuông góc ABCD , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy một góc 300. Tính thể tích khối chóp SABCD
Bài 52 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD vuông cân tại S. Nằm trong mp vuông góc với đáy. Tính thể tích của khói chóp SABCD
Bài 53 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thanh vuông tại A và D với AD = CD = a, AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mp vuông góc với đáy . Tính thể tích của khối chóp SABCD
KHỐI CHÓP ĐỀU 
Bài 54 Cho khối chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a cạnh bên 2a. CMr chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC. Tính thể tích của khối chóp.
Bài 55 Cho khối chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng a
CMR : SABCD là hình chóp tứ giác đều 
Tính thẻ tích khối chóp SABCD
Bài 55 Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh DC
Tính thẻ tích của khối tứ diện ABCD
Tính khoảng cách M đến mp ABC và Thể tích hình chóp MABC 
Bài 56 Cho hình chóp đều SABC có cạng bên bằng a hợp với đáy 1 góc 600 . Tính thể tích hình chóp 
Bài 57 Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên bằng a góc ở đáy của mặt bên là 450.
Tính độ dài chiều cao SH của khối chóp SABC
Tính thể tích hình chóp SABC
Bài 58 Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy là a và mặt bên hợp với đáy 1 góc 600 . Tính thể tích SABC.
Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện bằng cách xác định chiều cao và đáy của khối đa diện.
Phương pháp: 
+ Xác định đáy và dựng được chiều cao khối đa diện.
+ Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào công thức. 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng .
Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
	Tính thể tích của khối chóp MBCD.
Yêu cầu: 
+ Học sinh xác định được góc.
+ Xác định được công thức thể tích của khối, tính độ dài đường cao SA.
+Xác định được đường cao trong trường hợp chân đường cao có thể không thuộc mặt đáy của khối.
+Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông
Lời giải:
a)Ta có 
 + 
 + 
b) Kẻ 
 Ta có: , 
Nhận xét: 
+Học sinh gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
+Học sinh gặp khó khăn khi tính SA vì không biết sử dụng hệ thức trong tam giác vuông.
Bài 2: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. 
Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).
Yêu cầu: 
+ Học sinh nắm cách vẽ khối tứ diện đều và tính chất đặc biệt của khối.
+Xác định được đường cao và ghi thể tích của khối
+Sử dụng được định lý Pitago	
Lời giải:
a) Gọi O là tâm của 
 + , 
 + 
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH
Nhận xét: 
+ Học sinh đa phần quên tứ diện đều và tính chất các mặt, các cạnh của nó.
+ Còn yếu trong tính toán độ dài của các yếu tố có trong hình vẽ.
+ Bài tập này là bài 1/25 sgk cơ bản lớp 12 bổ sung thêm câu b
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có , AD = a, AA’=a, O là giao điểm của AC và BD.
Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
Tính thể tích khối OBB’C’.
Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Yêu cầu:
+Học sinh xác định công thức thể tích của khối hộp và khối chóp.
+Biết khai thác tính chất của hình hộp đứng để làm bài: Chọn đáy của khối OBB’C’ là (BB’C’) (thuộc mặt bên hình hộp)
+Giải được câu b) tương tự như bài 1b
Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.
 Ta có : 
 .
 * Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên: 
b) M là trung điểm BC 
c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’. Ta có : 
 + Bài tập này rèn kỷ năng làm toán trên khối lăng trụ đứng, khối hộp chữ nhật.
 + Học sinh khắc sâu cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dựa theo thể tích.
Bài tập dạng: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện để tính thể tích khối đa diện.
Phương pháp: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện theo nhiều khối dễ tính thể tích.
(Trên cơ sở phát hiện những khối dễ xác định đường cao và diện tích đáy)
Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
Yêu cầu:
+Học sinh biết chọn đáy và chiều cao đối với khối nhỏ đang tính 
Lời giải:
Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’.
 + Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích và chiều cao bằng nhau nên có cùng thể tích.
 Khối CB’D’C’ có 
 + Khối lập phương có thể tích:
Nhận xét: 
+ Học sinh gặp nhiều khó khăn khi phân chia khối, giáo viên hướng dẫn
+ Bài toán này lấy từ bài tập 3/25 sách giáo khoa chỉ thay đổi giả thiết “hình hộp” thành “hình lập phương cạnh a” có số liệu cụ thể để học sinh dễ tiếp thu. Sau đó, yêu cầu học sinh tự giải bài 3/25 sách giáo khoa ở nhà.
Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
E là trung điểm cạnh AC,	 mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE.
Yêu cầu:
+ Học sinh biết cách tính khối A’B’ BC
+Biết phân khối chóp CA’B’FE thành hai khối chóp tam giác.
+ Biết được đường thẳng nào vuông góc với mp(CEF), ghi công thức thể tích cho khối CEFA’.
+ Tương tự cho khối CFA’B’ 
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:
 Gọi I là trung điểm AB, Ta có:
b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’.
+Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên 
+Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ nên 
+ Vậy : 
+ Bài tập này lấy từ bài 10/27 SGK 12 cơ bản và thay đổi một số giả thiết. Elà trung điểm thay cho trọng tâm G để bài toán dễ hơn, phù hợp với khả năng của học sinh. 
+Sau khi gợi ý giúp học sinh tính thể tích khối A’CEF, học sinh tính được thể tích khối A’B’CF
3) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện bằng cách lập tỉ số thể tích của hai khối đa diện
Phương pháp: 
+ Tìm tỉ số thể tích giữa khối đa diện đã cho với một khối đa diện dễ tìm thể tích .
	+ Rút ra thể tích của khối đa diện đã cho.
	+ Lưu ý công thức tỉ số thể tích dùng cho khối chóp.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, , SA vuông góc với đáy, 
Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Gọi G là trọng tâm 	tam giác ABC, mặt phẳng qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Yêu cầu:
+Học sinh ghi được thể tích khối SABC và tính.
+Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ các đoạn thẳng để lập tỉ số thể tích hai khối. 
+ Nắm được công thức (*) để lập tỉ số thể tích đối với khối chóp 
Lời giải:
a)Ta có: 
 + 
 + 
 Vậy: 
b) Gọi I là trung điểm BC.
 G là trọng tâm,ta có : 
 // BC MN// BC 
 Vậy: 
Nhận xét: 
	+Một số học sinh không nhớ tính chất trọng tâm tam giác, chưa thành thạo định lý Talet 
	+Qua bài toán đơn giản này học sinh tiếp cận được cách tính thể tích khối thông qua khối khác để chuyển qua bài toán khó hơn trong sách giáo khoa.
Bài 7: (Bài 9/26 Sgk)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. 
Hãy xác định mp(AEMF)
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Yêu cầu: 
+Học sinh dựng được E, F dưới sự pháp vấn của giáo viên.
+Tính được thể tích của khối S.ABCD sau khi đã làm qua nhiều bài tập.
+Giáo viên gợi ý tính thể tích khối S.AMF. Từ đó học sinh biết cách tính thể tích khối S.AMF bằng cách lập tỉ số ( tương tự như bài 5)
Lời giải:
a) Gọi . 
Ta có (AEMF) //BD EF // BD
b) 
 + 
 + có : 
 Vậy : 
c): 
 Xét khối chóp S.AMF và S.ACD 
 Ta có : 
 có trọng tâm I, EF // BD nên:
Nhận xét: 
	+Học sinh gặp khó khăn khi xác định E,F.
	+Học sinh đã biết cách sử dụng định lý Talet 
 	+Sau khi làm bài 6, học sinh tiếp thu bài số 7 dễ dàng hơn 
Bài 8: (Bài 5/26 Sgk) 
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Chứng minh 
Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Yêu cầu:
+Học sinh chứng minh được đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
+Nắm được nhu cầu tính các tỉ số ,.
+Biết dụng hệ thức trong tam giác vuông để suy ra 
Lời giải:
a)Tính 
Ta có: 
b) Ta có: 
 Ta có: 
c) Tính :
 Ta có: 
 Mà , chia cho 
 Tương tự: 
 Từ (*) .
 Vậy 
Nhận xét: 
	+ Kỷ năng chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng chưa được tốt.
	+ Giáo viên giúp học sinh rút ra tỉ số từ hệ thức trong tam giác vuông và khắc sâu để sử dụng. 
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
 Chứng minh 
Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Yêu cầu:
+Học sinh biết chứng minh 
+ Biết phân thành hai khối chóp bằng nhau: 
+ Sử dụng tỉ số để giải như bài 7.
Lời giải:
a) Ta có: 
b) Ta có 
 Ta có 
 Suy ra: 
c) Tính 
+Tính : 
 Ta có: 
 vuông cân nên 
 Ta có: 
 Từ 
+ 
Nhận xét: 
	+ Bài toán này lấy từ bài tập 8/26 sách giáo khoa. Tuy nhiên, tôi thay đổi một số giả thiết để phù hợp với khả năng của học sinh: “Hình chữ nhật” được thay bởi hình vuông cạnh a, “Cạnh SA=c” được thay bởi . Nếu giữ nguyên các kích thước như vậy thì việc tính toán quá nặng.
	+Sau khi làm bài 8, học sinh tiếp thu bài toán 9 dễ dàng và nhẹ nhàng hơn.